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1. 개요
對角化 / diagonalization행렬 [math(A\in M_{n}\left(F\right))]를 행렬 대각화한다고 함은, 적절한 [math(P\in\text{GL}_{n}\left(F\right))]와 대각행렬[1] [math(D\in M_{n}\left(F\right))]를 찾아, [math(A=PDP^{-1})]로 표현하는 일이다.[2] 이렇게 하면, [math(A^{k}=PD^{k}P^{-1})]이고, [math(D^{k})]을 계산하는 것은 아주 쉬우므로, [math(A^{k})] 계산도 아주 쉬워진다.
수학적으로는, 벡터 공간을 분해한다는 점에서 의미가 있다. 이게 무슨 말인지는 대각행렬이 갖는 의미를 생각해보면 알 수 있다. 대각행렬로 벡터를 변환하면 기저벡터가 늘어났다 줄었다 하면서 좌표계가 변하는 것을 알 수 있다. 대각화라는 건 대각화 가능한 행렬에 대해 어떤 기저가 존재해서 그 행렬이 그 기저에 대해 이러한 작용을 한다는 말과 같다.
2. 대각화 가능할 필요충분조건
대각화 가능성[3]대각화가 항상 가능한 것은 아니므로, 대각화 가능한 필요충분 조건을 알아야한다.
대각화 가능할 필요충분 조건
[math(A)]의 최소 다항식을 [math(p\in F\left[x\right])]라 하자.
[math(A)]가 대각화 가능할 필요충분조건은, 서로 다른 [math(\lambda_{i}\in F)]가 존재하여 [math(p=\prod\left(x-\lambda_{i}\right))]인 것이다.
[math(A)]의 최소 다항식을 [math(p\in F\left[x\right])]라 하자.
[math(A)]가 대각화 가능할 필요충분조건은, 서로 다른 [math(\lambda_{i}\in F)]가 존재하여 [math(p=\prod\left(x-\lambda_{i}\right))]인 것이다.
- [math(\left(\begin{array}{cc}0 \quad 1 \\ 0 \quad 0\end{array}\right))]의 최소 다항식은 [math(x^{2})]이다. 따라서, 복소수체와 그 하위의 체 위에서는 대각화할 수 없다.[4]
- [math(\left(\begin{array}{cc}0 \quad 1 \\ -1 \quad 0\end{array}\right))]의 최소 다항식은 [math(x^{2}+1)]이다. 따라서, 복소수 체 [math(\mathbb{C})] 위에서는 대각화 가능하지만, 실수 체 [math(\mathbb{R})]위에서는 대각화 불가능이다.
3. 동시적 대각화(simultaneous diagonalization)
대각화 가능한 행렬들의 모임 [math(S\subset M_{n}\left(F\right))]을 생각하자. [math(A,B\in S)]는 대각화 가능이기 때문에, 적절한 [math(P_{A},P_{B}\in\text{GL}_{n}\left(F\right))]와 대각행렬 [math(D_{A},D_{B}\in M_{n}\left(F\right))]를 찾아, [math(A=P_{A}D_{A}P_{A}^{-1})], [math(B=P_{B}D_{B}P_{B}^{-1})]로 표현할 수 있다. 그러나, [math(P_{A}\neq P_{B})]일 수 있다. 그럼 [math(P\in\text{GL}_{n}\left(F\right))]가 존재하여, 임의의 [math(A\in S)]에 대해, [math(A=PDP^{-1})]일 수 있는지 알고 싶다. 이를 동시적 대각화(simultaneous diagonalization)라 한다.동시적 대각화가 가능할 필요충분 조건은 다음이다.
* 임의의 [math(A,B\in S)]에 대해, [math(AB=BA)]이다.
4. 관련 항목과의 관계
- 언급한 것과 같이, 항상 대각화 가능한 것은 아니며 꼭 대각화가 되어야 계산이 편해지는 것도 아니다. 대각화를 못하더라도 충분히 간단하게 행렬을 재구성할 수 있다. 이 목적을 완벽하게 달성한 결과가 조르당 분해이다.
- 수반 연산자 항목에서는 이를 복소수 위에서 정의한 유니터리 대각화에 대해 다룬다.
[1] 대각선 외의 성분이 모두 [math(0)]인 행렬, 대각선의 성분은 [math(0)]이어도 좋다.[2] 즉, 상사인 대각행렬을 찾는 일이다.[3] 대각화 가능을 영어로 diagonalizable, 대각화 가능성을 영어로 diagonalizablity라고 한다. 즉 이 항목은 diagonalizablity에 대해 다루고 있다.[4] 다만, 멱영원 [math(\epsilon)]을 도입한 체. 즉 이원수(dual number)나 이원복소수(dual complex numbers)상의 체라면 대각화가 가능하다.