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1. 개요
선형변환의 행렬표현(matrix representation)은 두 벡터공간 [math(V)], [math(W)]의 차원이 유한할 때, 선형변환 [math(T: V \to W)]를 나타내는 행렬이다. 행렬표현은 정의역과 공역의 기저의 선택에 따라 달라질수 있으며, 정의역과 공역이 같은 선형변환 [math(T: V \to V)]의 임의의 기저에 대한 행렬표현은 모두 닮음 관계이다.2. 정의
2.1. 좌표
유한차원 벡터공간 [math(V)]와 기저 [math(\beta=\{\beta_1,\cdots,\beta_n\})]이 주어져 있을 때, 임의의 [math(v\in V)]에 대하여,| [math(v=c_1\beta_1+\cdots +c_n\beta_n)] |
| [math([v]_\beta=\begin{pmatrix} c_1\\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix})] |
2.2. 행렬표현
체 [math(F)]위의 두 유한차원 벡터공간 [math(V)]와 [math(W)]가 주어져 있고, 그 기저가 각각 [math(\beta_V)], [math(\beta_W)]이라 하자. [math(\dim V=n)], [math(\dim W=m)]일 때, 함수 [math(L: [v]_{\beta_V}\mapsto [ T(v) ]_{\beta_W})]은 [math(F^n)]에서 [math(F^m)]으로 가는 선형변환이다. 그러므로,| [math([T]_{\beta_V}^{\beta_W} [v]_{\beta_V}=[ T(v) ]_{\beta_W})] |
[math(T)]의 정의역과 공역이 같을 때, [math([T]_\beta)]는 [math([T]_\beta^\beta)]를 의미하며, 표준순서기저(standard ordered basis)에 대한 행렬표현은 기저를 생략하여 [math([T])]라고 쓴다.
3. 실수체에서의 행렬표현
[math(n)]차원 실수체 [math(\mathbb R^n)] 위에서의 선형 변환 [math(D : (x_1,\,x_2,\cdots,\,x_n) \mapsto (a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n,\,a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n, \cdots,\,a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n))]에 대한 행렬표현은 표준순서기저를 가정하고 기저를 생략할 때 다음과 같다.| [math([D]=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix})] |
| [math(\begin{aligned}[D]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \cdots +a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n \end{pmatrix}\end{aligned})] |
[math(n)]차원 실수체 [math(\mathbb R^n)] 위의 벡터를 [math(m)]차원 실수체 [math(\mathbb R^m)] 위의 벡터로 변환하는, 즉 서로 다른 차원의 실수체 간에 변환하는 선형 변환 [math(D : (x_1,\,x_2, \cdots,\,x_n) \mapsto (a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n,\,a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n, \cdots,\,a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n))]의 행렬도 마찬가지로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
| [math([D]=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix})] |
4. 예
실수체 [math(\mathbb R)] 위의 [math(n)]차 이하의 다항식 집합 [math(\mathcal P_n(\mathbb R))]에 주어진 선형변환 [math(D : \sum\limits_{i=0}^n a_i x^i \mapsto \sum\limits_{i=0}^n i a_i x^{i-1})]을 미분연산자라 한다. [math(D)]의 순서기저 [math(\beta=\{1,\,x,\cdots,\,x^n\})]에 대한 행렬표현은| [math([D]_\beta =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix})] |
예를 들어 3차 다항식의 경우 [math(D : a_0+a_1x+a_2x^2 \mapsto a_1+2a_2x)]이므로 [math(D)]의 순서기저 [math(\beta=\{1,\,x,\,x^2\})]에 대한 행렬표현은
| [math([D]_\beta=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix})] |
| [math(\begin{aligned}[D]_\beta\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a_1 \\ 2a_2 \\ 0 \end{pmatrix}\end{aligned})] |
[math(n)]차원 실수체 [math(\mathbb R^n)] 위에서의 선형 변환을 예로 들면 다음과 같다. 3차원 실수체 [math(\mathbb R^3)] 위에서의 선형 변환 [math(D : (x,\,y,\,z) \mapsto (x+y,\,2x-z,\,x-y+z))]에 대한 행렬표현은 다음과 같다.
| [math([D]=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix})] |
| [math(\begin{aligned}[D]_\beta\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x+y \\ 2x-z \\ x-y+z \end{pmatrix}\end{aligned})] |
[math(n)]차원에서의 항등변환의 행렬표현은 [math(n)]차 항등행렬이다.
5. 기하학에서의 행렬표현
기하학에서 점이나 도형을 이동시키는 선형 변환을 나타내기 위해 행렬표현이 자주 사용된다.5.1. 평면기하 (2차원)
평면은 2차원이므로 2차원 실수체 [math(\mathbb R^2)] 위에서의 선형 변환이다. 기하와 벡터(2007)의 1단원 '일차변환과 행렬'에서 이 부분에 대해 다룬다.- 항등변환 [math((x,\,y) \mapsto (x,\,y))]
[math(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]
이때 위 행렬을 항등행렬 [math(I)][3]라고 한다. - 도형을 원점을 중심으로 [math(k)]배 확대하는 선형변환 [math((x,\,y) \mapsto (kx,\,ky))]
[math(kI = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix})] - 도형을 원점을 중심으로 [math(x)]축 방향으로 [math(k_x)]배, [math(y)]축 방향으로 [math(k_y)]배 확대하는 선형변환 [math((x,\,y) \mapsto (k_xx,\,k_yy))]
[math(\begin{pmatrix} k_x & 0 \\ 0 & k_y\end{pmatrix})] - [math(x)]축 대칭변환 [math((x,\,y) \mapsto (x,\,-y))]
[math(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix})] - [math(y)]축 대칭변환 [math((x,\,y) \mapsto (-x,\,y))]
[math(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})] - 원점 대칭변환 [math((x,\,y) \mapsto (-x,\,-y))]
[math(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix})] - 직선 [math(y=x)]에 대한 대칭변환 [math((x,\,y) \mapsto (y,\,x))]
[math(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix})] - 직선 [math(y=-x)]에 대한 대칭변환 [math((x,\,y) \mapsto (-y,\,-x))]
[math(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix})] - 직선 [math(y=mx)]에 대한 대칭변환
[math(\displaystyle\frac1{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1\end{pmatrix})]
위 행렬은 옮겨지기 전의 점 [math(\rm P)]와 옮겨진 후의 점 [math(\rm P')]에 대해 [math(\rm\overline{PP'})]의 중점이 직선 [math(y=mx)] 위에 있고, [math(\rm\overline{PP'})]가 직선 [math(y=mx)]와 수직임을 이용하면 된다. - 원점을 지나고 [math(x)]축의 양의 방향과 [math(\theta)]의 각을 이루는 직선에 대한 대칭변환의 경우, [math(y=mx)]에 대한 대칭변환의 행렬표현에서 [math(m=\tan\underline\theta)](단, [math(underlinetheta = theta/{rm rad})])를 이용하여 변형하면 되므로
[math(\begin{pmatrix} \cos2\underline\theta & \sin2\underline\theta \\ \sin2\underline\theta & -\cos2\underline\theta \end{pmatrix})] - 원점을 기준으로 반시계 방향으로 [math(\theta)]만큼 회전시키는 회전변환 [math((x,\,y) \mapsto (x\cos\underline\theta-y\sin\underline\theta,\,x\sin\underline\theta+y\cos\underline\theta))]
[math(\begin{pmatrix} \cos\underline\theta & -\sin\underline\theta \\ \sin\underline\theta & \cos\underline\theta \end{pmatrix})]
이다. 구체적인 각도에 따른 회전변환은 다음과 같다.
270\degree &: \begin{pmatrix} \cos\cfrac32\pi & -\sin\cfrac32\pi \\ \sin\dfrac32\pi & \cos\cfrac32\pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned})] ||
특히 [math(180\degree)] 회전변환은 원점 대칭변환과 동치임을 알 수 있다.
5.2. 공간기하 (3차원)
3차원 공간이므로 [math(\mathbb R^3)] 위에서의 선형 변환이다.- 항등변환 [math((x,\,y,\,z) \mapsto (x,\,y,\,z))]
[math(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})]
2차원의 경우와 마찬가지로 위 행렬을 [math(I)][4]로 나타낸다. - 도형을 원점을 중심으로 [math(k)]배 확대하는 선형변환 [math((x,\,y,\,z) \mapsto (kx,\,ky,\,kz))]
[math(kI = \begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k\end{pmatrix})] - 도형을 원점을 중심으로 [math(x)]축 방향으로 [math(k_x)]배, [math(y)]축 방향으로 [math(k_y)]배, [math(z)]축 방향으로 [math(k_z)]배 확대하는 선형변환 [math((x,\,y,\,z) \mapsto (k_xx,\,k_yy,\,k_zz))]
[math(\begin{pmatrix} k_x & 0 & 0 \\ 0 & k_y & 0 \\ 0 & 0 & k_z\end{pmatrix})] - [math(xy)]평면, [math(yz)]평면, [math(zx)]평면에 대한 대칭변환은 항등변환에서 평면의 이름에 없는 변수의 부호를 바꿔 주면 된다.
(x,\,y,\,z) \mapsto (x,\,-y,\,z) &: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{aligned})] ||
- [math(x)]축, [math(y)]축, [math(z)]축에 대한 대칭변환은 항등변환에서 축의 이름에 있는 변수를 제외한 나머지 변수들의 부호를 바꿔 주면 된다.
(x, y, z) \mapsto (-x, -y, z) &: \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{aligned})] ||
- 원점 대칭변환 [math((x, y, z) \mapsto (-x, -y, -z))]
[math(\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix})] - 임의의 단위 벡터 [math({\bf\hat n} = (a,\,b,\,c))]를 축으로, 회전이 일어나는 평면에 대하여 각도 [math(\theta)]만큼 반시계 방향으로 회전시키는 변환은 로드리게스 회전 공식에서 유도할 수 있으며 다음과 같이 표현된다. 편의상 회전변환 행렬을 [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta))](단, [math(underlinetheta = theta/{rm rad})])라고 하면
[math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta) &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} + (1-\cos\underline\theta)\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{pmatrix}^2 + (\sin\underline\theta)\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{pmatrix} \\ &= (1-\cos\underline\theta)\begin{pmatrix} a^2 & ab & ac \\ ab & b^2 & bc \\ ac & bc & c^2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \cos\underline\theta & -c\sin\underline\theta & b\sin\underline\theta \\ c\sin\underline\theta & \cos\underline\theta & -a\sin\underline\theta \\ -b\sin\underline\theta & a\sin\underline\theta & \cos\underline\theta \end{pmatrix} \end{aligned})] - [math(xy)]평면 [math(Y = \begin{pmatrix} \cos\underline\theta & -\sin\underline\theta & 0 \\ \sin\underline\theta & \cos\underline\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})]
- [math(xz)]평면 [math(P = \begin{pmatrix} \cos\underline\theta & 0 & \sin\underline\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\underline\theta & 0 & \cos\underline\theta\end{pmatrix})]
- [math(yz)]평면 [math(R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\underline\theta & -\sin\underline\theta \\ 0 & \sin\underline\theta & \cos\underline\theta\end{pmatrix})]
여기서 [math(\begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{pmatrix} = K({\bf\hat n}))]은 크로스곱 연산자 [math({\bf\hat n}\bm\times)]를 행렬로 표현한 것이다. 본디 크로스곱 연산은 기본적으로 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않기 때문에 일반적인 3차원 회전변환, 즉 회전축이 바뀌는 경우까지 고려한 일반적인 경우 교환법칙이 성립하지 않는다. 단, 회전축이 일정한 경우라면 사실상 2차원상의 회전변환으로 간주할 수 있기 때문에 교환법칙이 성립한다. 이 밖에도 [math(\theta)]가 충분히 작은 미소 변환 [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,{\rm d}\underline{\bm\theta}))]라면 교환법칙이 성립한다.(자세한 것은 각 변위 참고)
특히, 항공기의 조종을 설명할 때 많이 쓰이는 요(yaw), 피치(pitch), 롤(roll)에 대한 행렬표현 [math(Y)], [math(P)], [math(R)]의 경우 [math({\bf\hat n})]이 각각 [math({\bf\hat n}_{xy} = (0,\,0,\,1))], [math({\bf\hat n}_{zx} = (0,\,1,\,0))], [math({\bf\hat n}_{yz} = (1,\,0,\,0))]이므로 위 공식에 대입해서 변환행렬을 얻을 수 있다.
5.3. 성질
- 특정 축의 좌표값을 유지한 채로 다른 축의 좌표값을 바꾸려면, 행렬표현에서 행과 열이 모두 값을 유지하려는 축에 해당하는 성분은 1, 행과 열 중 하나만 그 축에 해당하는 성분은 0으로 하고, 값을 바꾸려는 축들에 대한 변환의 행렬표현을 그대로 사용하면 된다.
- 예를 들어 좌표공간에서 어떤 점의 [math(z)]좌표는 유지한 채로 [math(xy)]평면을 따라서 [math(\theta)]만큼 회전시키는 회전변환의 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} \cos\underline\theta & -\sin\underline\theta & 0 \\ \sin\underline\theta & \cos\underline\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})][5]이다. 여기서 제1, 제2행은 [math(x)], [math(y)]축과 관련되어있고, 각 행의 제3열 성분은 변환 전의 [math(z)] 성분에 곱해지는 값이므로 0이다. [math(xy)]평면상에서의 회전은 2차원 회전변환 [math(\begin{pmatrix} \cos\underline\theta & -\sin\underline\theta \\ \sin\underline\theta & \cos\underline\theta\end{pmatrix})]과 같으므로 이를 그대로 사용하고, 제3행은 [math(z)]축과 관련되어있는데 제1, 제2열 성분은 변환 전의 [math(x)], [math(y)] 성분에 곱해지는 값이므로 각각 0, 제3열은 1이다.
- [math(\mathbb R^n)] 위에서, 즉 [math(n)]차원 좌표공간에서 모든 좌표축에 대해 수직이거나 그것을 포함하는 [math(m)]차원 도형에 대한 대칭변환에 대한 행렬표현은 [math(n)]차원 항등행렬에서 [math((n-m))]개의 1인 성분을 -1로 바꾼 것이다. 예를 들어 3차원 좌표공간에서 [math(xy)]평면, 즉 2차원 도형에 대한 대칭변환의 행렬표현은 3-2=1개의 1인 성분을 -1로 바꾼 것이다.
6. 합성변환의 행렬표현
선형 변환 [math(f)], [math(g)]를 나타내는 행렬표현이 각각 [math(F)], [math(G)]일 때, 합성변환 [math(f \circ g)]의 행렬표현은 행렬의 곱 [math(FG)]이다. 예를 들어 [math(f)]를 [math(y)]축에 대한 대칭변환, [math(g)]를 원점 기준으로의 [math(45\degree = \cfrac\pi4{\rm\,rad})] 회전변환이라고 할 때, 합성변환 [math(f \circ g)]의 행렬표현은 다음과 같다.| [math(\begin{aligned} FG &= \begin{pmatrix} \cos\cfrac\pi4 & -\sin\cfrac\pi4 \\ \sin\cfrac\pi4 & \cos\cfrac\pi4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cfrac1{\sqrt2} & -\cfrac1{\sqrt2} \\ \cfrac1{\sqrt2} & \cfrac1{\sqrt2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\cfrac1{\sqrt2} & -\cfrac1{\sqrt2} \\ -\cfrac1{\sqrt2} & \cfrac1{\sqrt2}\end{pmatrix} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} FG\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-\cfrac1{\sqrt2} & -\cfrac1{\sqrt2} \\ -\cfrac1{\sqrt2} & \cfrac1{\sqrt2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\sqrt2 \\ -\sqrt2\end{pmatrix} \end{aligned})] |
합성변환의 행렬표현이 합성변환을 이루는 각 변환의 행렬표현의 곱과 같다는 점에서 다음을 추론할 수 있다.
- 2차원 평면에서의 원점 기준으로의 회전변환 관련
[math(\begin{pmatrix} \cos\underline\alpha & -\sin\underline\alpha \\ \sin\underline\alpha & \cos\underline\alpha\end{pmatrix}^{2n\pi/\underline\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]
[math(\biggl()]단, [math(n)], [math(\cfrac{2\pi}{\underline\alpha})]는 정수[math(\biggr))] ||
- 2차원 평면에서의 [math(y=mx)]에 대한 대칭변환 관련[A]
- 직선 [math(y=mx)]에 대한 대칭변환 [math(A = \cfrac1{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1\end{pmatrix})]일 때
7. 역변환의 행렬표현
선형 변환 [math(f)]를 나타내는 행렬표현이 각각 [math(F)]일 때, 역변환 [math(f^{-1})]의 행렬표현은 역행렬 [math(F^{-1})]이다. 예를 들어 [math(f)]를 원점 기준으로의 [math(90\degree = \cfrac\pi2{\rm\,rad})] 회전변환이라고 할 때 다음과 같다.| [math(\begin{aligned} F &= \begin{pmatrix} \cos\cfrac\pi2 & -\sin\cfrac\pi2 \\ \sin\cfrac\pi2 & \cos\cfrac\pi2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \\ F^{-1} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \end{aligned})] |
이때, [math(f)]에 의해 점 [math((1,\,2))]는 점 [math((-2,\,1))]로 옮겨지고, [math(f^{-1})]에 의해 점 [math((-2,\,1))]는 반대로 점 [math((1,\,2))]로 옮겨지는데, 이것을 각각 행렬표현을 이용하여 나타내면 다음과 같다.
| [math(\begin{aligned} F\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix} \\ F^{-1}\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} \end{aligned})] |
역변환의 행렬표현이 그 변환의 행렬표현의 역행렬과 같다는 점에서 다음을 추론할 수 있다.
- 2차원 평면에서의 원점 기준으로의 회전변환 관련
- 2차원 평면에서의 [math(y=mx)]에 대한 대칭변환 관련[A]
- [math(y=mx)]에 대한 대칭변환 [math(A = \cfrac1{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1\end{pmatrix})]일 때, [math(A^{-1} = A)]
어떤 선형변환의 행렬표현의 역행렬이 존재하지 않는 경우, 역변환의 행렬표현이 존재하지 않는다는 의미이므로 역변환도 존재하지 않는다.
8. 선형대수학의 기본정리
체 [math(F)]위의 [math(n)]차원 벡터공간 [math(V)]와 [math(m)]차원 벡터공간 [math(W)]에 대하여, [math(V)]에서 [math(W)]로 가는 임의의 선형변환을 모은 집합을 [math(\mathfrak L(V,W))]이라 하자. 또한, 성분이 [math(F)]의 원소인 [math(m\times n)] 행렬을 모은 집합을 [math(\mathfrak M_{m,\,n}(F))]이라 하자. [math(V)]와 [math(W)]의 기저 [math(\beta_V)]와 [math(\beta_W)]가 주어졌을 때, 함수 [math(f: T\mapsto [T]_{\beta_V}^{\beta_W})]는 [math(\mathfrak L(V,W))]에서 [math(\mathfrak M_{m,\,n}(F))]으로 가는 동형사상[8]이다. 즉, [math(\mathfrak L(V,W))]와 [math(\mathfrak M_{m,\,n}(F))]의 대수적인 구조가 같다고 볼수 있는데, 이를 선형대수학의 기본정리라고 한다.9. 기저변환행렬
[math(n)]차원 벡터공간 [math(V)]의 임의의 두 기저 [math(\beta=\{\beta_1,\cdots,\,\beta_n\})]과 [math(\beta' = \{\beta_1',\cdots,\,\beta_n'\})]에 대하여, 행렬 [math(P)]를| [math( P=\begin{pmatrix} [\beta_1]_{\beta'} & [\beta_2]_{\beta'} & \cdots & [\beta_n]_{\beta'}\end{pmatrix})] |
10. 동차 좌표계
동차 좌표계는 [math(\mathbb R^2)] 위의 벡터와 1을 [math(\mathbb R^3)]에 대응시킨 것으로, 이것을 이용해서 [math(\mathbb R^2)]에서의 이동 변환을 [math(\mathbb R^3)]에서의 선형 변환의 형태로 나타내는 등으로 응용할 수 있다.[math(\mathbb R^2)]에서의 선형 변환 [math(T_2)]의 행렬표현을 [math(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix})]라고 하고, 도형의 이동 변환을 [math(T_M : (x,\,y) \mapsto (x+x_1,\,y+y_1))]라고 할 때, 행렬표현이 [math(\begin{pmatrix} a & b & x_1 \\ c & d & y_1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})]인 선형 변환 [math(T_3)]에 의해서 이 도형은 [math(T_2)]에 의해 이동된 후 [math(x)]축 방향으로 [math(x_1)], [math(y)]축 방향으로 [math(y_1)]만큼 평행이동된다. 이때 도형이 점인 경우, 그 좌표를 [math((x,\,y)^T)]가 아니라 [math((x,\,y,\,1)^T)]과 같이 나타낸다. 이것을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
| [math(\begin{pmatrix} a & b & x_1 \\ c & d & y_1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+by+x_1 \\ cx+dy+y_1 \\ 1\end{pmatrix})] |
예를 들어 [math(T_2)]가 [math(60\degree = \cfrac\pi3{\rm\,rad})] 회전변환으로 행렬표현이 [math(\begin{pmatrix} \cos\cfrac\pi3 & -\sin\cfrac\pi3 \\ \sin\cfrac\pi3 & \cos\cfrac\pi3 \end{pmatrix})]이고 이동 변환이 [math(T_M : (x,\,y) \mapsto (x+2,\,y+4))]일 때, [math(T_3)]의 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} \cos\cfrac\pi3 & -\sin\cfrac\pi3 & 2 \\ \sin\cfrac\pi3 & \cos\cfrac\pi3 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})]이고, 이것에 의해서 점 [math((2,\,0))]는 다음과 같이 점 [math((3,\,4+\sqrt 3))]으로 옮겨진다.
| [math(\begin{pmatrix} \cos\cfrac\pi3 & -\sin\cfrac\pi3 & 2 \\ \sin\cfrac\pi3 & \cos\cfrac\pi3 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4+\sqrt 3 \\ 1\end{pmatrix})] |
11. 행렬의 닮음
두 정사각행렬 [math(A)], [math(B)]에 대하여, [math(P^{-1}AP=B)]를 만족하는 가역행렬 [math(P)]가 존재하면 두 행렬이 닮았다고 한다. [math(n)]차 정사각행렬 [math(A)]에 대하여 선형변환 [math(L_A: F^n\to F^n)]을| [math(L_A(X)=AX)] |
| [math(P^{-1}[L_A]_\beta PX = AX)] |
| [math(\operatorname{tr}T = \operatorname{tr}[T]_\beta)] |
[1] [math(v)]에 [math(\beta_j)]를 대입하면 알 수 있듯이 위 행렬의 [math( j )]열은 [math( [ T(\beta_{j}) ]_{\beta_W} )]이다. 즉, [math( j )]열은 [math(\beta_V)]의 [math(j)]번째 벡터가 [math(T)]에 의해 어디로 이동하는지를 [math(\beta_W)]에 대한 좌표로 나타낸 것이다.[2] 이는 [math(V)]에서 [math(W)]로 가는 선형변환 [math(T)]가 [math(V)]의 각 기저벡터들이 [math(T)]에 의해 어디로 이동하는지만 알면 결정된다는 것과 관련이 있다. (즉, 이 행렬표현들은 각 열에 각 기저벡터들이 어디로 이동하는지에 대한 정보를 좌표로 담고 있으므로 이는 해당 선형변환의 구조를 묘사하기에 충분하다. 위 행렬표현의 정의를 보면 알 수 있듯, 행렬표현과 벡터의 곱은 선형변환에 벡터를 넣은 것에 대응하고 행렬곱은 선형변환의 합성에 대응된다.)[3] [math(E)]로 나타내는 경우도 있다.[4] 혹은 [math(E)][5] 제1, 제2, 제3행이 각각 [math(x)], [math(y)], [math(z)]축과 관련되어있다.[A] [math(x)]축, [math(y)]축, 직선 [math(y=x)] 등에 대한 대칭변환 등을 의미한다. 단 [math(y)]축 대칭변환의 경우 [math(m)]이 정의되지 않는다.[A] [8] 더 정확히는 덧셈과 스칼라배가 보존되는 [math(F)]-module isomorphism이며, [math(V=W)]일 때는 추가로 곱셈도 보존되어 [math(F)]-algebra isomorphism이 된다. 여기서 선형변환의 곱셈이란, 선형변환의 합성을 뜻한다.