최근 수정 시각 : 2023-09-17 13:54:19

조건부기댓값


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1. 개요2. 정의3. 성질

1. 개요

條件附平均 / conditional expectation

조건부 확률분포를 이용하여 조건부기댓값을 정의할 수 있다. 확률론에서 조건부기댓값의 존재는 라돈-니코딤 정리에 의해 보장된다.

2. 정의

  • 이산 확률 변수인 경우
    X와 Y가 이산 확률 변수인 경우 Y가 주어진 경우 X의 조건부 기대값은 다음과 같이 정의된다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[math(E(X | Y = y) = \displaystyle\sum_x xP(X=x|Y=y))]
}}}
  • 연속 확률 변수
    X와 Y가 연속 확률 변수이며, [math(f_{X,Y}(x,y))] 가 X 와 Y 의 결합 분포 이며, [math(f_Y(y))] 가 Y의 확률 밀도 함수 이면, Y 가 주어진 경우 X의 조건부 기대값은 다음과 같이 정의된다.

    {{{#!wiki style="text-align:center"
[math(
\begin{aligned}E(X | Y = y) &= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}dx\\
&= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xf_{X|Y}(x|y)dx
\end{aligned}
)]
}}}
단, [math(f_Y(y) = 0)] 일 경우, 조건부 기댓값은 정의되지 않는다.

3. 성질

X, Y, Z 를 랜덤 확률 변수라 정의하고, 각각의 기댓값이 모두 존재한다고 가정할 경우, 아래 모든 성질이 성립한다.
  • [math(E[a|Y ] = a)]
  • [math(E[aX + bZ|Y ] = aE[X|Y ] + bE[Z|Y ])]
  • [math(X \geq 0)] 이면, [math(E[X|Y ] \geq 0)]
  • X 와 Y 가 독립 일 경우, [math(E[X|Y ] = E[X])]
  • [math(E[E[X|Y ]] = E[X])]. 전체 기댓값의 법칙 또는 반복 기댓값의 법칙 이라 불린다.
  • [math(E[Xg(Y)|Y ] = g(Y)E[X|Y ])]. 단, [math(E[g(Y )|Y ] = g(Y))]
  • [math(E[X | Y, g(Y) )]] = [math(E[X | Y)]]
  • [math(E[E[X|Y, Z]|Y ] = E[X|Y ])]

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