몬티 홀 문제

1. 개요

• 닫혀 있는 문 3개가 있다.
• 한 문 뒤에는 상품(=자동차)이 있고, 나머지 두 문은 꽝(=염소)이다.
• 참가자는 이 3가지 문 중 하나를 골라야 상품을 얻을 수 있다.
• 참가자가 문 하나를 고르면, 이미 상품이 어딨는지 알고 있는 사회자는 남은 2가지 문 중에 하나를 열고 그게 '꽝'이라는 사실을 밝힌다.
• 여기서 참가자에게 다른 문으로 바꿀 수 있는 기회가 주어진다.

• 사회자는 자동차가 어느 문 뒤에 있는지 알고 있다: 실제 게임 룰에서 자연스레 추론되는 부분으로, 사회자가 실수로 자동차가 있는 문을 열어버리면 바로 방송사고이기 때문이다.
• 이 전제가 달라지면 문제의 답이 완전히 달라진다. 만약 사회자가 자동차가 어디에 있는지 모르는 상태로 문을 열었는데 염소가 나온 상황이라면, 참가자가 원래 선택지를 고수하나 선택을 바꾸나 자동차를 얻을 확률은 1/2로 동일해진다. 하술한 사회자가 문 너머를 인지 못한 채 연다면? 문단 참고
• 사회자는 추가적으로 문을 열어줘야만 한다: 사회자는 참가자가 선택한 문 외의 빈 문을 무조건 열어주어야 하며 이를 선택할 수 없다. 만약 문을 열어줄지 말지 여부를 사회자 재량으로 선택할 수 있다면 확률 변화를 이용한 심리 트릭이 되어버린다. 아래 다른 문을 안 열어줘도 된다? 참고.
• 사회자는 염소가 들어 있는 문을 임의로 선택한다: 만약 참가자가 처음에 선택한 1번 문이 자동차가 있는 문이라면, 사회자는 염소가 들어 있는 2번, 3번 문 중 하나를 아무거나 열 수 있는데, 이때 무조건 편향 없이 두 문 중 하나를 무작위로 열어야 한다.
• 사회자가 두 문중 한 문을 더 선호한다는 정보가 알려지면, 참가자는 이를 바탕으로 자동차의 위치를 추론할 수 있게 되기 때문이다. 하술한 편견을 가질 수 있는 몬티 문단 참고.

2. 역사

3. 해설

3.1. 조건부 확률

1. 처음에 염소가 있는 문을 선택할 확률 = 2/3

- 사회자는 무조건 염소가 있는 문을 선택해서 열 수밖에 없다 = 1/1
- 문을 바꿨을 경우 자동차가 있을 확률 =
- 2/3 * 1/1 = 2/3

ii. 처음에 자동차가 있는 문을 선택할 확률 = 1/3

a) 사회자가 염소가 있는 문 중 첫번째 것을 선택할 확률 = 1/2

- 문을 바꿨을 경우 자동차가 있을 확률 = 0/1
- 1/3 * 1/2 * 0/1 = 0/6

b) 사회자가 염소가 있는 문 중 두번째 것을 선택할 확률 = 1/2

- 문을 바꿨을 경우 자동차가 있을 확률 = 0/1
- 1/3 * 1/2 * 0/1 = 0/6

- 0/6 + 0/6 = 0/6

- 2/3 + 0/6 = 2/3

1. 처음에 염소가 있는 문을 선택할 확률 = 2/3

- 사회자는 무조건 염소가 있는 문을 선택해서 열 수밖에 없다 = 1/1
- 문을 바꾸지 않았을 경우 자동차가 있을 확률 = 0/1
- 2/3 * 1/1 * 0/1 = 0/3

ii. 처음에 자동차가 있는 문을 선택할 확률 = 1/3

a) 사회자가 염소가 있는 문 중 첫번째 것을 선택할 확률 = 1/2

- 문을 바꾸지 않았을 경우 자동차가 있을 확률 = 1/1
- 1/3 * 1/2 * 1/1 = 1/6

b) 사회자가 염소가 있는 문 중 두번째 것을 선택할 확률 = 1/2

- 문을 바꾸지 않았을 경우 자동차가 있을 확률 = 1/1
- 1/3 * 1/2 * 1/1 = 1/6
- 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
- 0/3 + 1/3 = 1/3

3.2. 베이즈 정리(조건부 확률)

• 만약 자동차가 a에 있다면 사회자는 b와 c문 중 하나를 열어줄 것이다. 2가지 선택지 중 하나를 무작위로 고르는 확률이므로 $\displaystyle P(D_b|A) = P(D_c|A) = {1 \over 2}$.
• 만약 자동차가 b에 있다면 사회자는 a, b문을 열 수 없으므로 c문을 열 수밖에 없다. 즉 $\displaystyle P(D_c|B) = 1$ 이고 $\displaystyle P(D_b|B) = 0$.
• 만약 자동차가 c에 있다면 사회자가 c문을 여는 일은 일어날 수 없다. 즉 $\displaystyle P(D_c|C) = 0$ 이고 $\displaystyle P(D_b|B) = 1$.

3.3. 프로그래밍

• 자바(Java)

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#!syntax java
public class MontyHallProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int normal_win_rate=0; // 바꾸지 않아서 이긴 횟수
        int normal_lose_rate=0; // 바꾸지 않아서 진 횟수
        int change_win_rate=0; // 바꿔서 이긴 횟수
        int change_lose_rate=0; // 바꿔서 진 횟수

        for(int i=0;i<100000;i++){ // 총 10만 번 반복한다.
            int reward = (int)(Math.random()*3+1); // 주최자는 1~3중 정답을 하나 숨김
            int answer = (int)(Math.random()*3+1); // 참가자는 1~3중 하나를 고름

            /*이때 주최자는 염소를 고른 뒤 참가자에게 바꿀지 말지 제안한다.*/
            
            //주최자는 참가자의 답과 보상이 아닌 것을 택함
            int val = (int)(Math.random()*3+1);
            while(reward == val || answer == val){
                val = (int)(Math.random()*3+1);
            }

            //바꾸지 않았을 시
            if(reward == answer) normal_win_rate++; //바꾸지 않아서 이겼을 경우 1승 추가
            else normal_lose_rate++; //바꾸지 않아서 졌을 경우 1패 추가

            //바꿨을 시
            int change = (int)(Math.random()*3+1);
            while(val == change || answer == change){ //이때 참가자는 바꾸기로 결정
                change = (int)(Math.random()*3+1);
            }
            if(reward == change) change_win_rate++; //바꿔서 이겼을 경우 1승 추가
            else change_lose_rate++; //바꿔서 졌을 경우 1패 추가
        }

        System.out.println("normal_win_rate : "+normal_win_rate); // 바꾸지 않아서 이긴 횟수 출력
        System.out.println("normal_lose_rate : "+normal_lose_rate); // 바꾸지 않아서 진 횟수 출력
        long normal_rate = (normal_win_rate*100)/(normal_win_rate+normal_lose_rate); //확률계산
        System.out.println("rate : "+normal_rate+"%"); //바꾸지 않아서 이길 확률
        System.out.println();

        System.out.println("change_win_rate : "+change_win_rate); // 바꿔서 이긴 횟수 출력
        System.out.println("change_lose_rate : "+change_lose_rate); // 바꿔서 진 횟수 출력
        long change_rate = (change_win_rate*100)/(change_win_rate+change_lose_rate); //확률계산
        System.out.println("rate : "+change_rate+"%"); //바꿔서 이길 확률
    }
}

출력 결과
normal_win_rate : 33540
normal_lose_rate : 66460
rate : 33%

change_win_rate : 66460
change_lose_rate : 33540
rate : 66%

• PHP

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#!syntax php
<?php

$normal_win_count = 0; // 바꾸지 않고 이긴 횟수
$normal_lose_count = 0; // 바꾸지 않고 진 횟수
$change_win_count = 0; // 바꿔서 이긴 횟수
$change_lose_count = 0; // 바꿔서 진 횟수

for ($i = 0; $i < 100000; $i++) { // 총 10만 번 반복한다.
    $reward = rand(1, 3); // 주최자는 1~3중 정답을 하나 숨김
    $answer = rand(1, 3); // 참가자는 1~3중 하나를 고름

    /*이때 주최자는 염소를 고른 뒤 참가자에게 바꿀지 말지 제안한다.*/

    //주최자는 참가자의 답과 보상이 아닌 것을 택함
    $val = rand(1, 3);
    while ($reward == $val || $answer == $val) {
        $val = rand(1, 3);
    }

    //바꾸지 않았을 때
    if ($reward == $answer) $normal_win_count++; //바꾸지 않고 이겼을 경우 1승 추가
    else $normal_lose_count++; //바꾸지 않고 졌을 경우 1패 추가

    //바꿨을 때
    $change = rand(1, 3);
    while ($val == $change || $answer == $change) { //이때 참가자는 바꾸기로 결정
        $change = rand(1, 3);
    }
    if ($reward == $change) $change_win_count++; //바꿔서 이겼을 경우 1승 추가
    else $change_lose_count++; //바꿔서 졌을 경우 1패 추가
}


echo "바꾸지 않고 이긴 횟수 : {$normal_win_count} \n";
echo "바꾸지 않고 진 횟수 : {$normal_lose_count} \n";
$normal_rate = ($normal_win_count * 100) / ($normal_win_count + $normal_lose_count); //확률계산
echo "확률 : {$normal_rate} % \n"; //바꾸지 않고 이길 확률

echo "바꿔서 이긴 횟수: {$change_win_count} \n";
echo "바꿔서 진 횟수 : {$change_lose_count} \n";
$change_rate = ($change_win_count * 100) / ($change_win_count + $change_lose_count); //확률계산
echo "확률 : {$change_rate} %"; //바꿔서 이길 확률

출력 결과
바꾸지 않고 이긴 횟수: 33540
바꾸지 않고 진 횟수: 66460
확률 : 33%

바꿔서 이긴 횟수 : 66460
바꿔서 진 횟수 : 33540
확률 : 66%

4. 오해

4.1. 다른 문을 열어주는 건 의미가 없다?

4.2. 경우의 수 계산을 잘못함

• 1번을 골랐을 경우에는 자동차가 없다. 그러므로 사회자가 염소가 있는 문을 연다면 2번 문을 열 것이다. 남은 문이 3번이므로 바꾸면 유리하다.
• 2번을 골랐을 때도 자동차가 없다. 그러므로 사회자가 염소가 있는 문을 연다면 1번 문을 열 것이다. 남은 문이 3번이므로 바꾸면 유리하다.

• 3번 문을 골랐을 때는 사회자가 두 가지 선택을 할 수 있다.
1. 1번 문을 열었을 때 남은 문이 2번이므로 바꾸면 불리하다.
2. 2번 문을 열었을 때 남은 문이 1번이므로 바꾸면 불리하다.
• 따라서 경우의 수는 넷인데 유리한 경우는 2가지이므로 확률은 1/2이다라는 것.

• 1번 문을 고를 확률이 1/3.
• 2번 문을 고를 확률이 1/3.
• 3번 문을 고를 확률이 1/3인데,
• 사회자가 1번 문을 열어 줄 확률은 3번 문을 고를 확률 × 1번 문을 열어줄 확률(1/3 × 1/2) = 1/6
• 사회자가 2번 문을 열어 줄 확률은 3번 문을 고를 확률 × 2번 문을 열어줄 확률(1/3 × 1/2) = 1/6

4.3. 다른 문을 안 열어줘도 된다?

4.4. 본능적인 손실 회피 성향

5. 직관적 설명

5.1. 만일 문이 2개라면

5.2. 만일 문이 100라면

도박마 28권 302화, "직감과 논리" 中.

5.3. 확률의 합은 1이다

• 첫 선택에서는 어차피 뭐가 정답이고 뭐가 꽝인지 모르기 때문에, 정답일 확률은 1/3이다.
• 이후 사회자가 꽝 중에 하나를 공개하면 남은 문은 2개이므로, 선택하지 않아서 남은 문은 정답일 확률이 1/2이다.

5.4. 경우의 수 확인

• 문 A, B, C의 뒤에 상품이 있을 가짓수는 3가지이니, 3갈래로 나누자.
  1) ( A B C )
  2) ( A B C )
  3) ( A B C )
• 참가자가 1단계 선택에서 문을 고르는 선택지는 3가지이니, 1~3을 각각 3갈래로 나누자.
  1-1) ( A B C ) A선택
  1-2) ( A B C ) B선택
  1-3) ( A B C ) C선택
  2-1) ( A B C ) A선택
  2-2) ( A B C ) B선택
  2-3) ( A B C ) C선택
  3-1) ( A B C ) A선택
  3-2) ( A B C ) B선택
  3-3) ( A B C ) C선택
• 참가자가 2단계에서 문을 바꾸거나 안 바꾸는 선택지는 2가지이니, 위의 선택지를 각각 2갈래로 나누자.
  1-1-1) ( A B C ) A선택 -> 유지 (당첨)
  1-1-2) ( A B C ) A선택 -> 바꿈 (실패)
  1-2-1) ( A B C ) B선택 -> 유지 (실패)
  1-2-2) ( A B C ) B선택 -> 바꿈 (당첨)
  1-3-1) ( A B C ) C선택 -> 유지 (실패)
  1-3-2) ( A B C ) C선택 -> 바꿈 (당첨)
  2-1-1) ( A B C ) A선택 -> 유지 (실패)
  2-1-2) ( A B C ) A선택 -> 바꿈 (당첨)
  2-2-1) ( A B C ) B선택 -> 유지 (당첨)
  2-2-2) ( A B C ) B선택 -> 바꿈 (실패)
  2-3-1) ( A B C ) C선택 -> 유지 (실패)
  2-3-2) ( A B C ) C선택 -> 바꿈 (당첨)
  3-1-1) ( A B C ) A선택 -> 유지 (실패)
  3-1-2) ( A B C ) A선택 -> 바꿈 (당첨)
  3-2-1) ( A B C ) B선택 -> 유지 (실패)
  3-2-2) ( A B C ) B선택 -> 바꿈 (당첨)
  3-3-1) ( A B C ) C선택 -> 유지 (당첨)
  3-3-2) ( A B C ) C선택 -> 바꿈 (실패)

• 2단계에서 '유지' 를 선택 한 경우 당첨 3 실패 6 가지,
• 2단계에서 '바꿈' 을 선택 한 경우 당첨 6 실패 3 가지 임을 확인할 수 있다.

5.5. 베이즈주의적 사고

5.6. '엄선'의 관점

5.7. 선택을 '묶음'으로 생각

5.8. 선택을 배제하기

5.9. 그럼에도 헷갈린다면

• 사회자가 처음부터 문 1개를 열어 남은 문 중 1개를 고를 때: 이 경우 열린 문은 쳐다볼 필요도 없으니 2개의 문 중 1개를 고르면 된다. 따라서 이견의 여지가 없이 50%이다.
• 문 1개를 고른 뒤 사회자가 1개를 열어 변경이 가능할 때: 이 때는 사회자가 참가자가 선택한 문과 자동차가 있는 문을 열 수 없다. 참가자가 선택한 문이 자동차가 있는 문이라면 사회자는 전자의 상황처럼 2개 중 아무거나 고르면 되지만 만약 참가자가 자동차가 없는 문을 고르는 경우 선택지는 1개로 줄어든다.

6. 비고전적 몬티 홀 문제들

6.1. 사회자가 정답을 모르는 상태에서 연다면?

6.2. 편견 있는 몬티

• 자동차가 1번 문에 들어 있을 경우(1/3),
• 사회자가 2번 문을 연다.{1/3 × (1-q)}
• 사회자가 3번 문을 연다.(1/3 × q)
• 자동차가 2번 문에 들어 있을 경우 사회자는 3번 문을 연다.(1/3)
• 자동차가 3번 문에 들어 있을 경우 사회자는 2번 문을 연다.(1/3)

6.3. 사회자는 참가자가 선택한 문을 열 수도 있다면? 참가자가 문의 개수만큼 있다면?

7. 비슷한 문제들

7.1. 야바위 문제

7.2. 아들 딸 문제

7.3. 카드 뽑기 문제

8. 여담

9. 대중매체에서의 등장

• 정글고등학교에서 불사조, 권영빈, 김영수, 명왕성이 사다리타기로 음료수 내기를 하는데, 선택지가 3개 남은 상황에서 명왕성이 하나를 골랐다가 불사조가 사실 네가 고르지 않은 선택지 중 하나는 꽝이라고 하면서 선택을 바꿀 기회를 주자 다른 아이들은 불사조가 심리전을 건다고 생각해서 바꾸지 말라고 말렸지만, 명왕성은 위의 이론대로 선택을 바꿨고, 실제로 꽝을 피하고 당첨되는데 성공했다. 하지만 그 사다리타기에서는 당첨이 음료수를 사야 했고, 결국 명왕성은 매점에 가서 4명의 음료수를 사야 했다. 사실 생각해보면 몬티 홀 문제에서는 1개가 상품(=자동차), 2개가 꽝(=염소)이지만, 이 사다리타기에서는 1명이 음료수를 사야 하므로 1개가 당첨의 탈을 쓴 꽝이었고 2개가 꽝의 탈을 쓴 정답이었던 셈이다. 지식은 불사조에 버금가면서 상식적인 방향으로 머리가 안 돌아가는 명왕성의 특성이 돋보이는 에피소드다.
• 괭이갈매기 울 적에 Ep8에서 조지와 제시카가 낸 퀴즈로 등장. "새로 알게된 사실에 따라 가지고 있는 진실이 변한다."는 말을 하려고 꺼낸 듯. 수학적으로 말하자면 주어진 정보가 달라질 때 어떤 사건이 일어날 확률은 달라질 수 있다는 것에 가깝다.
• 이야기 시리즈 끝 이야기 상권에서 5년 전 오이쿠라 소다치가 아라라기 코요미에게 이 문제를 본뜬 쪽지를 보냈다. 따지고 보면 아라라기가 수학에 관심을 가지게 된 계기가 된 문제.
• 정재승의 과학 콘서트 책에서도 이를 언급했다.
• 도전 골든벨 수학 골든벨 특집 33번 문제에서 출제되었다.
• 도박마의 배틀십 편에서 오후나 가쿠히토가 선택한 행위를 설명하는 데 본 문제가 인용되었다. 위의 문 100개짜리 만화가 해당 장면으로, 그만큼 오후나가 직감을 믿었다고 강조한 것.정작 오후나는 직후 마음을 바꿨다는 게 함정
• 드림 인베이더 둘째 날 문제에서 출제되었다.
• D.P. 4화의 제목이자 중심 소재로 쓰였다.
• 문제적 남자 34회에서 장진이 뽑은 미디어 속 뇌풀기 문제로 출제되었다.
• 웹툰 셜록: 여왕폐하의 탐정 53화에서 셜록 홈즈의 덫으로 쓰였다. 그런데 이 작품에서는 몬티홀 문제를 잘못 다루고 있다. 작중에서 셜록 홈즈가 문 하나를 열어보이고 "앗, 여기는 꽝이군요." 라고 말했는데, 이미 꽝이라고 알고 있는 문을 하나 열어보인다는 조건이 아니고 하나를 열어봐서 꽝임을 발견한 경우라면 확률은 1/2이 된다. 단, 55화에서 밝혀진 바로는 염소 카드가 나올 수밖에 없는 속임수였고, 꽝인 문을 열어보일 생각이면서 연기를 했다. 그 결과 문제의 수학적인 의의가 퇴색되고 사기극이 되었다.
• 교학사와 미래앤 <확률과 통계> 교과서에 나와 있다.
• 유키 히로시의 수학 교양소설 '수학 걸 4권 - 확률적 알고리즘(Randomized Algorithms)'의 주제가 바로 이 몬티 홀 문제와 NP-완전 문제다.
• 넘버스 제1기 13화에서 주인공인 찰스 앱스 교수가 이에 대해 강의하는 모습이 잠깐 나온다.
• 1990년대에 방영한 MBC 칭찬합시다의 한 코너에서 이 방식을 차용한 적이 있었다.
• 악의 교전의 5권에서도 등장했다.
• 게임 방송 유튜버 우왁굳이 생방송 중 이 문제에 대해 3시간 가량 토론하고 유튜브에도 업로드했다.[22] 영상 또한 VR챗으로 실제 실험을 하기도 했다.
• 마인크래프트 유튜버 마인애플이 명령어로 몬티 홀 실험을 해 확률 증명을 하는 컨텐츠를 진행했다. 실험 10000번을 진행했는데 6633번(66.33%)의 성공 결과가 나왔다고 한다. 영상 이론상 성공 확률인 2/3에 매우 근사한 값이다.
• 유튜버 Logical 로지컬도 마인크래프트 레드스톤 회로를 만들어 몬티홀 실험을 해서 확률 증명을 했다. 실험 결과 성공 216개 대 실패 93개로 약 2/3의 성공 확률이 나왔다고 한다.[23] 영상
• 수학동아에서 연재된 <X섬의 비극>에서 등장한다.

10. 관련 문서

• 수학
• 널리 알려진 퀴즈