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1. 개요
내시 균형(Nash equilibrium)은 게임 이론의 용어 중 하나로, 게임 상황에서 모든 참여자가 자신의 선택을 최적화하여 상호 작용했을 때 나타나는 결과 중 하나[1]를 말한다. 존 내시가 고안했다.내시 균형의 증명은 가쿠타니 부동점 정리(角谷の不動点定理), 브라우어 부동점 정리(Dekpuntstelling van Brouwer) 등을 이용한다. #
2. 내용
임의의 다인게임(multiplayer game)에서, 내시 균형이란 상대방이 내시 균형인 상태로 고정되었을 때 내가 조금이라도 다른 행동을 하는 순간 무조건 손해가 되는 상태를 말한다. 쉽게 말해, 교착상태 비슷한 것으로, 일단 내시 균형에 빠졌으면 그 누구도 손해를 보지 않고는 빠져 나갈 수 없다.이를 수식으로 쓰면 다음과 같다. 내시 균형 [math(\mathbf{a}^*)]는[2]
[math(\displaystyle \mathbf{a}^* \iff \forall{i}: \forall{a_i}: u_i(a_i, \mathbf{a}_{-i}^*) \le u_i(\mathbf{a}^*))]
"내시 균형 [math(\mathbf{a}^*)]이란, 각 [math(i)]번째 사람이, 그 어떤 행동 [math(a_i)]를 취하더라도 다른 모든 사람들 ([math(-i)])의 행동이 내시 균형 ([math(\mathbf{a}_{-i}^*)])에 고정되었다면, 본인이 내시 균형에서 조금이라도 벗어난 행동을 한다면 무조건 손해(혹은 동등)가 된다."
최선 반응에 최선 반응으로 대응하는 경우 특정 균형으로 수렴 안하고 사이클이 돌 수 있다. 예시 물론 만약 수렴한다면 이는 당연히 내시 균형이다.[3]"내시 균형 [math(\mathbf{a}^*)]이란, 각 [math(i)]번째 사람이, 그 어떤 행동 [math(a_i)]를 취하더라도 다른 모든 사람들 ([math(-i)])의 행동이 내시 균형 ([math(\mathbf{a}_{-i}^*)])에 고정되었다면, 본인이 내시 균형에서 조금이라도 벗어난 행동을 한다면 무조건 손해(혹은 동등)가 된다."
내시 균형 자체가 여러개 존재할 수도 있다. 다만 2인 제로섬 게임에서는 mixed strategy를 고려한다면, 언제나 내시 균형이 유일하게 존재하고 이것이 minimax, maximin과 같다는 걸 쉽게 증명할 수 있다.[4] 하지만 mixed strategy를 고려하지 않는다면 minimax, maximin이 다르고 (finite 게임이면 존재하긴 할테지만), 내시 균형은 존재할 수도 있고 존재 안 할 수도 있다. 예시
유한한 전략적인 형식의 게임의 무작위 전략에는 소수가 우월 전략을 세운 이상 무조건 존재한다.
내시 균형이 반드시 모두의 최선의 이익을 의미하는 것은 아니다. 대표적으로 죄수의 딜레마는 내시 균형(양쪽 모두 배신)보다 양쪽 모두 협력하는 경우가 더 큰 이익이다.
2.1. 우월 균형
플레이어 i가 선택할 수 있는 전략 중 다른 플레이어의 결정과 상관없이 가장 큰 이득을 주는 전략을 우월 전략이라고 한다. 2인 게임에서 양측 플레이어 모두 강우월 전략을 가지고 있는 경우, 전략 프로필(강우월 전략, 약우월 전략)이 그 게임의 해가 된다.- 항상 다른 전략보다 더 많은 이득을 주는 전략을 강우월하다고 하여 엄격한 우월한 전략으로 부른다. 즉 최선의 선택이다.
- 다른 전략과 같은 이득을 주는 경우가 하나라도 있으면 약우월하다고 하여 약하게 우월한 전략으로 부른다.
2.2. 정제된 내시 균형
조정 게임과 같이 내시 균형이 2개 이상 성립하는 경우, 그 게임의 해를 특정하기 위해 '셸링 점'이나 '떨리는 손 균형'과 같은 방법이 사용되기도 한다. 이처럼 다수의 내시 균형에서 특정한 하나의 내시 균형을 선택하기 위한 방법들을 도입하는 것을 내시 균형의 정치화, 정제, 정련 등의 단어로 표현한다. 정제된 내시 균형을 얻기 위해서는 다음과 같은 방법을 선택할 수 있다.- 우월 전략을 약하게 제거[5] → 전략적인 형태로 축소
- 보다 합리성을 추구 → 광대한 형태로 확대 → 내시 균형의 점진적 진보 → 균형 도달
- 혼란을 극복하기 위한 안정성 확보 → 광대한 형태로 일반화 시도 → 전략적 안정화
3. 문제점
- 내시 균형의 비유일성
- 내시 균형의 비효율성
4. 관련 문서
[1] 결과 중 하나인 이유는 내시 균형 뿐 아니라 minimax 등 다른 최적화 선택 방법이 있을 수 있기 때문이다. 참조[2] 여러 명의 action이므로 벡터라서 bold face로 씀.[3] Geometrically 생각해보면, strategy profile 혹은 action profile을 아무데서나 일단 시작하고 permutation은 아무렇게 local optimal로 update하는 것으로 생각할 수 있다. Physically 공 혹은 유체를 payoff matrix curvature 상에서 굴리는데 공을 x-axis(x player)로 먼저 굴리고, 그 다음 y-axis(y player)로 굴리고 다시 x-axis, y-axis 반복하는 것과 대충 isomorphic하다. Discrete action space에선 이것이 directed graph로 나타날것이고, continuous space에선 directed flow로 나타날 것이다. 이러한 흐름 속에서 유체가 하수구 구멍에 물 빠지듯이 한곳 혹은 여러 곳에 고여서 더는 안 움직이는 지점이 나타난다면 이 지점이 내시 균형이다. 물론 이것도 dynamical system 관점에서 볼 수 있기에 Lorenz attractor 처럼 chaotic behavior를 보일 수도 있을 것이다.[4] 왜냐하면 타인의 손해는 나의 이득이니까.[5] 정제된 내시 균형을 위한 방법이지만, 약우월 전략을 제거하면 엉뚱한 변수가 등장해 게임의 최종 결과를 바꿀 수 있다. 반면 엄격한 강우월 전략을 없앤다면 문제가 되지 않는다.