| [[미시경제학|미시경제학 '''{{{#!wiki style="font-family: Times New Roman, serif; font-style: Italic; display: inline"''']] | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: 28px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -6px -1.5px -13px" | <colbgcolor=#FFA500> 기본 개념 | 시장(수요와 공급(수요 · 공급) · 시장가격 · 균형) · 한계 이론 · 탄력성 · 재화(유동성) | |
| 소비자이론 | 효용함수(효용 · 선호관계 · 한계 효용 체감의 법칙 · 효용극대화 문제 · 지출극소화 문제 · 기대효용이론) · 수요함수 · 무차별곡선 · 예산선 · 소득소비곡선 · 가격소비곡선 · 슬러츠키 분해 | ||
| 생산자이론 | 생산함수(콥-더글러스) · 생산요소시장 · 이윤 · 비용(기회비용 · 매몰비용 · 규모의 경제 · 범위의 경제 · 거래비용 · 수직적 통합) | ||
| 산업조직론 | 경쟁시장이론(완전경쟁시장) · 독점시장이론(독점 · 가격차별) · 과점시장이론(과점 · 담합 · 카르텔 · 쿠르노 모형 · 베르트랑 모형(에지워스 순환) · 게임 이론(내시균형) · 입지론 · 중심지 이론 | ||
| 후생경제학 | 잉여 · 사중손실 · 파레토 효율성 · 불가능성 정리 | ||
| 공공경제학 | 경제정책론(정책 · 조세) · 시장실패 · 외부효과 · 공공재(공유지의 비극) · 공공선택론 | ||
| 정보경제학 | 역선택 · 도덕적 해이 | ||
| 금융경제학 | 기본 요소 | 화폐 · 유가증권(주식 · 채권 · 파생상품) | |
| 재무가치평가 | 자본자산가격결정모형 · 차익거래가격결정이론 | ||
| 가치평가모형 | 배당할인모형 · 블랙-숄즈 모형 | ||
| 기업금융 | 기업가치평가(DCF) · 자본구조(모디글리아니-밀러 정리) · 배당정책 | ||
| 거시경제학의 미시적 기초 | 동태확률일반균형(RBC) | }}}}}}}}} | |
1. 개요
선호관계(選好關係, preference relation)란 소비자가 선택할 수 있는 임의의 두 대안(alternative) 혹은 소비묶음(consumption bundle) 중 어떤 것을 더 좋아하는지를 표시하는 체계를 말한다. 비교 대상이 무엇이 되더라도 어떤 것이 더 선호되는지를 표시할 수 있으므로, 취향이라는 지극히 주관적인 대상을 수학적으로 엄밀하게 표시하는 경제학의 유용한 개념이다.실제로 소비자가 선택할 수 있는 소비묶음은 너무나도 많기 때문에 소비자의 선호관계를 일일이 표시하는 것은 일반적으로 불가능에 가까운데, 수학적으로 일부 예외적인 경우를 제외하면 대부분의 선호관계를 하나의 함수로 나타낼 수 있음이 증명되어 있다. 이 함수를 효용함수(效用函數, utility function)라고 한다. 그래서 선호관계와 효용함수는 연관이 매우 깊은데, 이 문서에서는 선호관계 자체에 대해서만 설명하고 이를 함수로 나타내는 방법론은 효용함수 문서를 참고하자.
2. 강선호·약선호·무차별
소비자의 선호의 대상이 되는 모든 선택의 집합을 [math(X)]라 하면, 선호관계는 집합 [math(X)]의 임의의 두 원소 사이의 선호되는 순서를 표시한다. 서로 다른 두 선택 [math(x)]와 [math(y)]에 대하여 소비자가 [math(x)]를 더 선호하면 [math(x)]가 [math(y)]보다 강선호(強選好)된다고 하고([math(x)] is strictly prefered to [math(y)]), 선호하는 정도가 동일하면 [math(x)]와 [math(y)]가 무차별(無差別)하다고 하며(indifferent between [math(x)] and [math(y)]), [math(x)]가 [math(y)]보다 강선호되거나 둘이 무차별하면 [math(x)]가 [math(y)]보다 약선호(弱選好)된다고 한다([math(x)] is weakly prefered to [math(y)]). 기호로는 다음과 같이 표기한다.- 강선호: [math(x)]가 [math(y)]보다 더 나은 선택, [math(x\succ y)]
- 무차별: [math(x)]나 [math(y)]나 상관없는 선택, [math(x\sim y)] [1]
- 약선호: [math(x)]가 [math(y)]보다 못하지 않은 선택, [math(x\gtrsim y)]
또한 다음이 성립한다.
- [math(x\nsucc y\equiv y\gtrsim x)]: [math(x)]가 [math(y)]보다 강선호되지 않으면, [math(y)]가 [math(x)]보다 약선호된다
- [math(x\nsucceq y\equiv y\succ x)]: [math(x)]가 [math(y)]보다 약선호되지 않으면, [math(y)]가 [math(x)]보다 강선호된다
- [math(\{x\nsucc y,\,y\nsucc x\}\equiv\{y\gtrsim x,\,x\gtrsim y\}\equiv x\sim y)]: 상호 비강선호, 상호 약선호, 무차별은 같은 의미이다
그래서 강선호나 약선호 중 하나만을 이용해도 모든 선호관계를 제대로 표시할 수 있다. 먼저 약선호를 맨 처음으로 정의해 보자.
약선호는 이진 관계(binary relation)의 일종으로, [math(x\gtrsim y)]는 물론 [math(x)]가 [math(y)]보다 못하지 않다는 뜻이다. 여기에서 강선호와 무차별은 약선호로부터 도출될 수 있다. 강선호와 무차별은 다음과 같이 정의된다.
[math(\begin{aligned}x\succ y &\iff x\gtrsim y\text{ and }y\nsucceq x\\x\sim y &\iff x\gtrsim y\text{ and }y\gtrsim x\end{aligned})]
3. 공리
선호관계라면 모름지기 만족시켜야 한다고 여겨지는 성질들을 가정으로 만든 것이다. 이 공리들은 소비자이론을 논리 정연하게 전개하는 데에 필수적이며, 경우에 따라서 적용하는 공리가 다를 수는 있다.3.1. 종류
3.1.1. 완전성
完全性 / completeness완전성이란 임의의 두 소비묶음을 '비교'할 수 있어야 한다는 가정으로, 번역에 따라서는 완비성(完備性)이라고도 한다. 두 소비묶음 [math(x)]와 [math(y)]에 대하여, [math(x)]와 [math(y)] 중 하나를 약선호해야 한다고 표현할 수 있다.
[math(x \succsim y \text{ or } y \succsim x)]
여기에서 약선호를 강선호로 바꿔서는 안 되는데, 그 이유는 [math(x\sim y)]인 경우를 포괄하지 못하기 때문이다. 완전성을 조금 더 이해하기 쉽게 표현하면 다음과 같다.
[math(x \succ y \text{ or } x\sim y \text{ or } x\prec y)]
3.1.2. 반사성
反射性 / reflexivity반사성은 모든 소비묶음이 자기 자신에 대하여 가져야 할 자명한 성질을 나타내는 가정이다.
반사성은 사실 그 자체로 독립적인 공리가 아니며, 완전성으로부터 도출될 수 있는 성질이다. 완전성의 공리에서 [math(x)]와 [math(y)]를 둘 다 [math(x)]로 정하면 바로 도출된다. 따라서 반사성은 다음과 같이 세 가지 방식으로 나타낼 수 있다.
[math(x \succsim x\\x \nsucc x\\x \sim x)]
다시 말해서 임의의 소비묶음 [math(x)]는 적어도 하나의 소비묶음, 곧 [math(x)] 자기 자신보다는 약선호된다. 말을 바꾸면, [math(x)]는 [math(x)] 자기 자신보다 강선호되지 않는다. 약선호라는 것은 강선호되거나 무차별하다는 뜻인데, 강선호되지 않는다면 남은 가능성은 [math(x)]가 [math(x)] 자기 자신과 무차별한 것밖에 없다. 따라서 위 세 표현 모두가 반사성을 나타낸다고 할 수 있다.
3.1.3. 이행성
移行性 / transitivity이행성은 선호관계가 '순환(cycle)'하지 않을 것을 요구하는 가정이다. 곧, 임의의 세 소비묶음 [math(x)], [math(y)], [math(z)]에 대하여 다음이 성립해야 한다.
[math(x\succsim y, y\succsim z \implies x \succsim z)]
곧, [math(x)]가 [math(y)]보다 선호되고 [math(y)]가 [math(z)]보다 선호되면 [math(x)]가 [math(z)]보다 선호되어야 한다. 만약 이행성이 위배되어 [math(z)]가 [math(x)]보다 선호되면 [math(x)], [math(y)], [math(z)] 사이에 끝없는 순환이 발생하게 된다.
3.1.4. 단조성
3.1.5. LNS(local nonsatiation)
local nonsatiation이라는 용어는 한국에서 합의된 번역이 딱히 없는 상태이다.[2] 번역한다면 '국소적 비포만' 정도가 된다. 이 문서에서는 local nonsatiation의 약칭인 LNS로 부르기로 한다.LNS는 연속성과 더불어 다소 복잡한 공리로, 그 내용은 모든 소비묶음 [math(x\in X)]와 모든 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여, [math(X)]에 속하는 또 다른 소비묶음 [math(y)]가 존재하여 다음이 성립한다는 것이다.
[math(\|y-x\|<\varepsilon,\;y\succ x)]
이때 [math(\|y-x\|)]는 유클리드 노름으로, [math(n)]차원 공간상에서의 두 소비묶음 [math(x)]와 [math(y)] 간 거리를 뜻한다. 이를 [math(2)]차원 공간에서 시각적으로 이해해 보자.
원의 정의는 한 점으로부터의 거리가 같은 모든 점의 집합이므로, 점 [math(x)]를 중심으로 하고 반지름이 [math(\varepsilon)]인 원, 소위 '[math(\varepsilon)]-ball'에 대하여, 점 [math(x)]보다 선호되는 점 [math(y)]가 이 원 내부에 들어오면 LNS가 충족된다고 할 수 있다. [math(2)]차원 공간에서의 LNS의 조건은 제[math(1)]사분면 위[3]에서 어떤 점을 잡더라도, 또한 그 점을 중심으로 하여 어떤 크기의 원을 그리더라도 그 원 내부에는 원의 중심에 있는 점보다 선호되는 점이 적어도 하나 존재해야 한다는 것이다.
이때, '어떤 크기의 원을 그리더라도'라는 말은 결국 '아무리 원을 작게 그려도'라는 말로 바꿀 수 있다. 모든 [math(x)]와 어떤 양수 [math(\varepsilon_0)]에 대하여 [math(\|y-x\|<\varepsilon_0)]가 성립함을 보였다고 하자. 그러면 [math(\varepsilon>\varepsilon_0)]인 경우에 대해서는 굳이 증명할 필요가 없다. 왜냐하면 반지름이 [math(\varepsilon_0)]인 원 내부에 이미 [math(x)]보다 선호되는 점이 존재하면, 그보다 큰 원을 그려도 여전히 그 점이 원 내부에 있을 것이기 때문이다. 즉, 추가로 증명해야 할 부분은 [math(\varepsilon<\varepsilon_0)]인 경우뿐이다. 다시 말하면 증명의 방향은 자연스럽게 원이 작아지는 쪽으로 향하게 된다. 아무리 작은 원 안에 점 [math(x)]보다 선호되는 점 [math(y)]가 존재한다 하더라도 그 원의 반지름이 [math(0)]보다 큰 이상, 그 점 [math(y)]가 내부에 들어오지 않을 만큼 충분히 작은 새로운 원을 그릴 수가 있으며 이때는 이렇게 더 작아진 원 안에서 [math(x)]보다 선호되는 점을 새로 찾아 주어야 하는 것이다.
만약 LNS가 위배되면, 그 원 내부에서는 원의 중심에 있는 점이 가장 선호된다. 이는 해당 원이라는 국소적인(local) 영역에서 원의 중심이 '포만해진다(satiated)'는 의미가 된다. LNS라는 조건의 의미는 어느 한 점에 대해서도 그 점에서의 거리가 일정 거리 이하인 '국소적(local)' 영역에서 그 점이 '포만점(satiated point, 가장 선호되는 점)'이 되어서는 안 된다는 것이다. 이것이 바로 용어 local nonsatiation이 뜻하는 바이다.
위와 같은 [math(2)]차원 공간에서의 LNS는, [math(x=(x_1,\,x_2))], [math(y=(y_1,\,y_2))]라 하면 모든 [math(x)]와 [math(\varepsilon)]에 대하여
[math(\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}<\varepsilon)]
이 성립하는 점 [math(y)]가 존재해야 할 조건이라고 할 수 있다.
3.1.6. 볼록성
3.1.7. 연속성
연속성은 선호관계의 공리 중 가장 이해하기 어렵다. 정의 자체도 어려우며 직관적으로 이해하기에도 다른 공리에 비해 복잡하다. 쉽게 말하면 연속성이란 선호관계가 '갑작스럽게' 변하지 않을 조건을 의미하는데, 달리 말하면 아주 작은 변화에 의하여서는 선호관계가 쉽사리 뒤바뀌지 않아야 한다는 말과도 같다. 무차별곡선 등을 잘 정의하는 등 수학적 편의를 위해서 연속성이라는 조건을 추가한다.- 연속성( continuity) [math(x\succ y)]라면 x와 y사이에 z가 무조건 존재한다.
3.2. 위배되는 경우
위에서 소개한 대부분의 가정들은 일견 자명해 보이지만, 잘 들여다보면 이런 가정들이 위배되는 경우들이 있다.3.2.1. 완전성
당연히 두 대안이 있으면 사람으로서 자신의 취향을 생각해서 잘 비교할 수 있는 것 아닌가 할 수 있지만, 잘 들여다보면 완전성의 가정이 위배되는 경우를 여럿 찾을 수 있다.- 이진 관계
- 모든 이진 관계(binary relation)가 완전성을 만족시키지는 못한다. 두 사람 [math(A)], [math(B)]에 대하여 '~의 형이다(is the brother of)'라는 관계를 [math(\succ)]으로 표시한다고 하자. 이때 관계 [math(\succ)]는 완전성을 만족시키지 못한다. [math(A)]와 [math(B)]가 형제 관계라면 [math(A\succ B)]이거나 [math(B\succ A)]이므로 완전성이 충족되지만, 형제 관계가 아니라면 한 사람이 다른 사람의 형이라고 말할 수 없다. 즉, [math(\succ)]의 관계로서 둘을 '비교'할 수 없다. 반면 '~보다 나이가 많다(is older than)'라는 관계의 경우에는 완전성이 충족된다. 누구나 일정한 나이가 있으므로 두 사람의 나이를 '비교'할 수 있음은 자명하기 때문이다. 물론 이는 관계의 일종일 뿐 선호관계의 일종은 아니다.
- 여러 기준 동시 적용
- 가령 한 여성 [math(A)]가 남성들을 볼 때 키가 클수록 또는 얼굴이 잘생겼을수록 선호한다고 하자. 이때 한 남성 [math(B)]가 다른 남성 [math(C)]보다 키도 크고 얼굴도 잘생긴 경우는 문제가 되지 않는다. [math(A)]는 틀림없이 [math(B)]를 [math(C)]보다 선호한다. 그러나 [math(B)]가 [math(C)]보다 키는 크지만 얼굴은 못생겼다거나, 얼굴은 잘생겼지만 키는 작다면 [math(A)]는 [math(B)]와 [math(C)]를 비교할 수 없게 된다. 이와 같이 대안들을 평가하는 기준을 동시에 여러 개 적용하려 하는 경우(aggregation of criteria), 최종적으로는 어느 대안이 더 선호되는지가 애매해질 수 있다(ambiguous). 이 경우 각 기준들이 선호관계에 미치는 영향을 잘 반영하는 효용함수를 도출하는 작업이 필요하다. 어떤 효용함수를 사용하느냐에 따라 [math(A)]의 선택은 달라질 수 있다.
- 만장일치
3.2.2. 이행성
이행성은 일견 당연해 보이는 성질이지만, 이행성이 위배되는 경우도 찾아볼 수 있다. 실제로 이행성은 선호관계의 공리 중에서 가장 논란이 많은 공리로, 여러 실험의 결과 다양한 상황에서 실제 인간들의 선호가 항상 이행성을 충족하지는 못하는 현상이 나타났다.- 이진 관계
- 가위바위보에서 '이긴다'라는 관계가 이행성을 위배하는 것이 대표적인 예이다. 가위는 보자기를 이기고 보자기는 주먹을 이기지만, 그렇다고 해서 가위가 주먹을 이기지 않으며 오히려 주먹이 다시 가위를 이김으로써 가위, 바위, 보자기가 순환에 빠지게 된다. 물론 이는 관계의 일종일 뿐 선호관계의 일종은 아닌데, 다음과 같이 정말로 선호관계가 이행성을 위배하는 경우도 있다.
- 프레이밍 효과
- 프레이밍 효과(framing effect)는 동일한 정보나 상황이 다르게 표현될 때, 사람들의 판단이나 결정이 달라지는 현상을 말한다.
또한 다음과 같이 사회적 선호가 이행성을 위배하기도 한다.
| 후보 | ||||
| 가 | 나 | 다 | ||
| 투 표 자 | [math(A)] | 1 | 2 | 3 |
| [math(B)] | 3 | 1 | 2 | |
| [math(C)] | 2 | 3 | 1 | |
사회 구성원 [math(A)], [math(B)], [math(C)]가 후보 '가', '나', '다'에 대하여 위와 같은 선호 순위를 갖는다고 하자. 이때 '가'와 '나'를 비교하면 [math(A)]와 [math(C)]는 '가'를, [math(B)]는 '나'를 선호하므로 다수결에 따라 사회적으로는 '가'가 선호된다. 또한 '나'와 '다'를 비교하면 [math(A)]와 [math(B)]는 '나'를, [math(C)]는 '다'를 선호하므로 사회적으로는 '나'가 선호된다. 따라서 '가'가 '나'보다 선호되고 '나'가 '다'보다 선호되므로 이행성에 따르면 '가'가 '다'보다 사회적으로 선호되어야 한다. 그러나 '가'와 '다'를 비교하면 [math(A)]는 '가'를, [math(B)]와 [math(C)]는 '나'와 '다'를 선호하므로 사회적으로는 오히려 '다'가 '가'보다 선호된다. 이는 아무리 구성원 개인들이 합리적인 선호를 가진다고 해도 사회적 선호를 결정할 때는 기본적인 공리조차 위배될 수 있음을 보여주는 대표적인 예이다.
한편, 어떤 소비묶음들에 대하여 소비자가 이행성을 위배하는 선호를 가진다면, 그 소비묶음들 중 하나를 팔면서 그 소비자로부터 무한히 많은 대가를 얻어낼 수 있다.
4. 합리적 선호관계
완전성과 이행성을 만족시키는 선호관계를 합리적 선호관계(rational preference relation)라고 한다.모든 선택을 모아놓은 집합 [math(X)]가 유한집합이면 합리적 선호관계를 효용함수로 나타낼 수 있음이 수학적 귀납법으로 증명된다.[4] 그러나 [math(X)]가 무한집합이면 이것만으로는 충분하지 않고 추가로 연속성을 만족시켜야 한다. 따라서 [math(X)]가 무한집합이면 이 합리적 선호관계는 효용함수로 나타내어지기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다.
[1] 수학적으로 동치관계이다.[2] 다른 공리들은 학부 수준에서 언급되기 때문에 한국어 교재들이 나와 있고 공인회계사시험 등 여러 자격증 시험의 경제학 과목에서도 언급되기에 널리 쓰이는 번역어가 존재하지만 LNS는 보통 학부 때는 배우지 않고 대학원 초급 과정의 고급미시경제학에서 처음 배우기 때문에 사정이 다른 것으로 보인다.[3] 재화의 소비량이 음일 수는 없기 때문이다.[4] 선호가 같은 객체를 동치류로 묶어 버리면 선호관계가 total order (혹은 linear order)가 되므로 한줄로 쫙 나열할 수 있다. 그럼 그 나열된 객체에 그냥 순서 지켜지게 (monotonic) 아무 숫자나 부여하면 된다.