다항함수/공식

상위 문서: 다항함수

1. 개요

이미 다항함수의 차수나 그래프의 개형이 알려져 있을 때 적용할 수 있는 공식을 소개하는 문서이다. 경우에 따라 적용할 수 있는 공식이 다르다. 길이 공식이 가장 기본이 되며, 이를 토대로 넓이 공식, 나아가 기울기 공식 등을 깊게 다룰 수 있으므로 길이와 넓이 공식을 먼저 숙지할 것을 권한다.

해당 내용에 대한 대수학적·해석기하학적 증명 그리고 평가원, 교육청, EBS, 각종 대학별 고사 등의 주요 대학 입시 관련 기출 문제를 실었다.

2. 길이·거리

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3. 넓이

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4. 기울기

다항함수의 그래프 위의 주요 점들을 지나는 직선의 기울기를 여러 공식으로 편리하게 구할 수 있다.

4.1. 이차함수

이차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 서로 다른 임의의 세 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((\gamma,\,f(\gamma)))]에 대하여 다음이 성립한다.

[math(\dfrac{\alpha+\gamma}2=\beta\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{f'(\alpha)+f'(\gamma)}2=f'(\beta))]

곧, 이차함수의 그래프 위의 세 점의 [math(x)]좌표가 등차수열을 이루면, 세 점에서의 접선의 기울기 역시 등차수열을 이루며, 역도 성립한다. 이는 이차함수의 도함수가 일차함수이기 때문인데, 등차수열을 이루는 세 수를 임의의 일차식에 대입하면 그 값들 역시 등차수열을 이룰 수밖에 없는 것이다.

또한, 위에서 간접적으로 밝혔듯이 두 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\gamma,\,f(\gamma)))]를 이은 선분의 기울기는 두 점의 평균점에서의 접선의 기울기와 같다. 곧, 다음이 성립한다.

[math(\dfrac{f(\gamma)-f(\alpha)}{\gamma-\alpha}=f'\left(\dfrac{\alpha+\gamma}2\right))]

다시 말해서, 이차함수의 그래프에 대하여 임의의 닫힌 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 점은 해당 구간의 정중앙에 존재한다. 한편, 만약 위 그림처럼 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]가 등차수열을 이루면 [math(f'(\beta))]와도 값이 같음은 물론이다. 따라서 이차함수 [math(f(x))]에 대하여

[math(\dfrac{f(\gamma)-f(\alpha)}{\gamma-\alpha}=f'(\beta))]

이면 [math(\boldsymbol\alpha)], [math(\boldsymbol\beta)], [math(\boldsymbol\gamma)]는 등차수열을 이룬다.

증명 [펼치기·접기]: ----

위 그림과 같이 이차함수 [math(f(x))]의 그래프와 일차함수 [math(g(x))]의 그래프가 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]에서 만날 때,

[math(\begin{aligned}f(x)&=ax^2+bx+c\\g(x)&=mx+n\\f(x)-g(x)&=a(x-\alpha)(x-\beta)\\&=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\end{aligned})]

로 놓을 수 있다. 따라서 계수비교법에 의하여 [math(g(x))]의 기울기는 다음과 같다.

[math(m=b-\{-a(\alpha+\beta)\}=a(\alpha+\beta)+b)]

한편, [math(f(x))]를 미분하여 [math(f'(\alpha))]와 [math(f'(\beta))]의 평균을 구하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f'(x)&=2ax+b\\f'(\alpha)&=2a\alpha+b\\f'(\beta)&=2a\beta+b\\\\\therefore\dfrac{f'(\alpha)+f'(\beta)}2&=\dfrac{(2a\alpha+b)+(2a\beta+b)}2\\&=a(\alpha+\beta)+b\end{aligned})]

이는 [math(m)]의 값과 일치하므로, 해당 사실이 증명되었다.

예제 [펼치기·접기]

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2024학년도 수능특강 수학Ⅱ 52쪽 4번

이 사실을 그대로 가져다 쓸 수 있는, 이차함수만의 특성을 확연하게 드러내는 문제이다. 말하자면 [math(f(x))]가 이차함수여서 가능한 문제로, [math(f(x))]의 차수가 달라진다면 유의미하면서도 지나치게 복잡하지 않은 문제를 낼 수가 없게 된다.

[math(f(x))]는 이차함수이므로 닫힌구간 [math([n,\,n+1])]에서 평균값 정리를 만족시키는 점은 정중앙, 즉 [math(x=n+1/2)]에 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^n\left(k+\dfrac12\right)=60)]

실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 공식을 알지 못한 채 직접 계산하는 것은 다소 번거롭다.

파일:2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 52쪽 4번 수특 해설.jpg

2018학년도 수능특강 수학Ⅱ & 미적분Ⅰ 149쪽 5번

이 사실을 활용할 수 있는 대표적인 형태가 나오는 문제이다.

[math(f(x))]는 이차함수이고 문제의 해당 접점 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]를 지나는 직선의 기울기가 [math(-2)]이므로, 이 두 점의 접선의 기울기의 평균 역시 [math(-2)]여야 한다. 따라서, 두 점의 [math(x)]좌표를 각각 [math(a)], [math(b)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\dfrac{f'(a)+f'(b)}2=\dfrac{-5+f'(b)}2=-2)]

[math(\therefore f'(b)=1)]

수능특강의 해설에는 다음과 같은 복잡한 풀이가 제시되어 있는데, 공식을 사용하면 문제가 훨씬 빠르게 해결됨을 실감할 수 있다.

2022학년도 수능완성 수학Ⅰ·수학Ⅱ·미적분Ⅰ 실전 모의고사 4회 9번에도 정확히 같은 형태의 그래프가 출제되었는데, 마찬가지의 원리로 답은 ③이다.

특히, 위 그림의 [math(\rm{(b)})]와 같이 두 접점의 [math(y)]좌표가 같으면 [math(m=0)]이 되고 이차함수의 그래프의 대칭성 때문에 두 접선의 기울기의 합 역시 [math(0)]이 되므로 마찬가지의 사실이 성립한다.

또한, 위 그림처럼 [math(f'(\alpha))]와 [math(f'(\beta))] 중 어느 하나가 [math(0)]이면 다른 하나는 [math(m)]의 두 배이다. 곧, 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}{\rm(c)}:\qquad\quad m&=\dfrac{f'(\alpha)+f'(\beta)}2=\dfrac{f'(\beta)}2\\\therefore f'(\beta)&=2m\\\\{\rm(d)}:\qquad\quad m&=\dfrac{f'(\alpha)+f'(\beta)}2=\dfrac{f'(\alpha)}2\\\therefore f'(\alpha)&=2m\end{aligned})]

특히, 위 그림의 [math(\rm{(a)})]와 같이, 이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 그래프 위의 서로 다른 두 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\beta,\,f(\beta)))]를 지나는 직선 [math(y=mx+n)]에 대하여 다음이 성립한다.

[math(m=\dfrac{f'(\alpha)+f'(\beta)}2=a(\alpha+\beta)+b)]

곧, 이차함수의 그래프 위의 서로 다른 임의의 두 점에 대하여, 이 두 점을 이은 직선의 기울기는 각 점에서의 접선의 기울기의 평균과 같으며, 그 값은 [math(a(\alpha+\beta)+b)]이다. 이는 바로 위에서 설명한 평균값 정리에 관한 이차함수의 성질과 사실상 같은 의미이다.

또한, 이차함수의 그래프는 원뿔곡선의 일종으로서 포물선에 해당하므로 준선에 관한 성질이 그대로 적용되기도 한다. 포물선 참고.

4.2. 삼차함수

위 그림의 [math((\rm a))]와 같이, 최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(f(x))]와 상수함수 [math(y=k)]의 그래프의 교점을 왼쪽부터 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)]라 하고 각각의 [math(x)]좌표를 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f'(\alpha)&=a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AC}\\f'(\beta)&=-a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}\\f'(\gamma)&=a\times\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}\\\\\therefore\dfrac{f'(\alpha)}{f'(\beta)}&=-\dfrac{\overline{\rm AC}}{\overline{\rm BC}},\;\dfrac{f'(\beta)}{f'(\gamma)}=-\dfrac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm AC}},\;\dfrac{f'(\alpha)}{f'(\gamma)}=\dfrac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm BC}}\end{aligned})]

즉, 각 교점에서의 [math(f(x))]에 대한 접선의 기울기 또는 기울기끼리의 비는 교점들을 이은 선분의 길이로 나타낼 수 있다.

특히, 위 그림의 [math((\rm b))]와 같이, 점 [math((\beta,\,f(\beta)))]가 곡선 [math(f(x))]의 변곡점이면 [math(\gamma-\beta=\beta-\alpha)]이므로 [math(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC})]이다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f'(\alpha)&=a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AC}=a\times\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}=f'(\gamma)\\f'(\beta)&=-a\times\overline{\rm AB}^2=-a\times\overline{\rm BC}^2=-a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}\end{aligned})]

증명 [펼치기·접기]

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직접 [math(f(x))]를 곱미분하여 각 값을 대입하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)+k\\f'(x)&=a\{(x-\beta)(x-\gamma)+(x-\alpha)(x-\gamma)+(x-\alpha)(x-\beta)\}\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}f'(\alpha)&=a(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)=a(\beta-\alpha)(\gamma-\alpha)\\&=a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AC}\\f'(\beta)&=a(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)=-a(\beta-\alpha)(\gamma-\beta)\\&=-a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}\\f'(\gamma)&=a(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)\\&=a\times\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}\end{aligned})]

혹은 미분계수의 정의를 이용하여 다음과 같이 증명할 수도 있다.

[math(\begin{aligned}f'(\alpha)&=\displaystyle\lim_{x\to\alpha}\dfrac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}\\&=\lim_{x\to\alpha}\dfrac{a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}{x-\alpha}\\&=\lim_{x\to\alpha}a(x-\beta)(x-\gamma)\\&=a(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)\\f'(\beta)&=\displaystyle\lim_{x\to\beta}\dfrac{f(x)-f(\beta)}{x-\beta}\\&=\lim_{x\to\beta}\dfrac{a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}{x-\beta}\\&=\lim_{x\to\beta}a(x-\alpha)(x-\gamma)\\&=a(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)\\f'(\gamma)&=\displaystyle\lim_{x\to\gamma}\dfrac{f(x)-f(\gamma)}{x-\gamma}\\&=\lim_{x\to\gamma}\dfrac{a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}{x-\gamma}\\&=\lim_{x\to\gamma}a(x-\alpha)(x-\beta)\\&=a(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)\end{aligned})]

예제 [펼치기·접기]

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2017년 한국산업기술대 적성고사 17번

이 사실을 그대로 가져다 쓸 수 있는 문제이다. [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 [math(1)]이므로, 위에서 밝힌 바 그대로 정답은 ②이다.

2013학년도 10월 A형 26번

이 사실을 활용할 수 있는 문제이다. [math(f(a)=f(2)=f(6)=k)]라 하면, [math(f(x))]는 삼차함수이므로 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(y=k)]의 교점은 [math(x=a)], [math(x=2)], [math(x=6)]에서 발생한다. 이때, [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 양수이고 [math(f'(2)=-4)]로 [math(0)]보다 작으므로 점 [math((2,f(2)))](또는 [math((2,\,k))])는 세 교점 중 가운데에 위치하게 된다. 따라서 다음 그림처럼 [math(a<2<6)]이다.

이제 [math(f'(2)=-4)]라는 단서를 이용하여 [math(a)]의 값을 구하자. 위에서 소개한 공식을 사용하면

[math(1\times(2-a)\times(2-6)=-4)]

에서 [math(a=1)]이고, 다시금 공식을 사용하면 답은 다음과 같다.

[math(f'(a)=f'(1)=1\times(1-2)\times(1-6)=5)]

이와 같이 접선의 기울기가 교점을 이은 선분의 길이에 의존하므로, 다음과 같이 선분의 길이의 대소를 통해 접선의 기울기의 대소를 판별할 수 있다.

	[math(a>0)]	[math(a<0)]
[math(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC})]	[math(f'(\alpha)>f'(\gamma)>0>f'(\beta))]	[math(f'(\alpha)<f'(\gamma)<0<f'(\beta))]
[math(\overline{\rm AB}<\overline{\rm BC})]	[math(f'(\gamma)>f'(\alpha)>0>f'(\beta))]	[math(f'(\gamma)<f'(\alpha)<0<f'(\beta))]
[math(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC})]	[math(f'(\gamma)=f'(\alpha)>0>f'(\beta))]	[math(f'(\gamma)=f'(\alpha)<0<f'(\beta))]

예제 [펼치기·접기]

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2007학년도 10월 가형 9번

앞서 밝힌 사실이 매우 직접적으로 출제된 문제로, ㄱ, ㄷ은 옳다. 다소 까다로운 것이 ㄴ이라고 할 수 있는데, 이 역시 앞서

[math(\begin{aligned}f'(\alpha)&=a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AC}\\f'(\beta)&=-a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}\end{aligned})]

로 표현했던 것을 생각하면 [math(\overline{\rm AC}>\overline{\rm BC})]에서 [math(|f'(\alpha)|>|f'(\beta)|)]이다. 이때 삼차항의 계수가 양수인 상황이므로 앞서 밝혔듯이 [math(f'(\alpha)>0>f'(\beta))]이다. 결론적으로 [math(f'(\alpha)+f'(\beta)>0)]이 성립하며, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

위 그림과 같이 극값이 두 개인 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프에서, 두 극점을 지나는 직선을 [math({\color{dc4343}y=g_1(x)})], 변곡점의 접선을 [math({\color{#36BF72}y=g_2(x)})]라 하자. 각 직선의 기울기를 순서대로 [math({\color{dc4343}g_1})], [math({\color{#36BF72}g_2})]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}{\color{dc4343}g_1}&=-\dfrac{a}2(\beta-\alpha)^2\\{\color{#36BF72}g_2}&=-\dfrac{3a}4(\beta-\alpha)^2\\\therefore{\color{dc4343}g_1}:{\color{#36BF72}g_2}&={\color{dc4343}2}:{\color{#36BF72}3}\quad(\because\beta-\alpha\neq0)\end{aligned})]

증명 [펼치기·접기]: ----
[math({\color{dc4343}g_1})]의 값은 다항함수/공식/길이 문서에서 설명한 삼차함수의 극값의 차 공식을 이용하여 구할 수 있는데, [math(f(x))]의 최고차항의 계수 [math(a)]의 부호에 따라 계산이 약간 다르다. 다음과 같이 경우를 분류해 보자.

[1] [math(\boldsymbol{a>0\;(g_1,\,g_2<0)})]

[math(\begin{aligned}{\color{dc4343}g_1}&=\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\cfrac{-\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^3}{\beta-\alpha}\\&=-\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^2=-\dfrac{a}2(\beta-\alpha)^2\quad(\because a>0)\end{aligned})]

[2] [math(\boldsymbol{a<0\;(g_1,\,g_2>0)})]

[math(\begin{aligned}{\color{dc4343}g_1}&=\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\cfrac{\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^3}{\beta-\alpha}\\&=\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^2=-\dfrac{a}2(\beta-\alpha)^2\quad(\because a<0)\end{aligned})]

[math(a>0)]이면 [math(|a|=a)]이고, [math(a<0)]이면 [math(|a|=-a)]임에 유의하자. 곧, [math(a)]의 부호에 관계없이 공식 자체는 같다.

한편, [math({\color{#36BF72}g_2})]의 값은 변곡점에서의 접선의 기울기이므로, [math(f'(x))]를 구하자. 위 그림에서 [math(f(x))]는 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]에서 극값을 가지므로 [math(f'(\alpha)=f'(\beta)=0)]이며, [math(f(x))]의 최고차항은 [math(ax^3)]이므로 [math(f'(x))]의 최고차항은 [math(3ax^2)]이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(f'(x)=3a(x-\alpha)(x-\beta))]

또한 변곡점의 [math(x)]좌표는 두 극점의 [math(x)]좌표의 평균이므로 [math((\alpha+\beta)/2)]이다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}{\color{#36BF72}g_2}&=f'\left(\dfrac{\alpha+\beta}2\right)\\&=3a\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\alpha\right)\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\beta\right)\\&=-3a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^2=-\dfrac{3a}4(\beta-\alpha)^2\end{aligned})]

위 그림과 같이 극값이 두 개인 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프의 변곡점을 지나도록 [math(y)]축에 수직인 직선을 그을 때, 세 교점의 [math(x)]좌표를 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(|f'(\alpha)|:|f'(\beta)|:|f'(\gamma)|=2:1:2)]

증명 [펼치기·접기]

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삼차함수의 그래프는 변곡점 대칭이므로, 계산의 단순화를 위하여 [math(\beta=0)]이라 하면 [math(\alpha=-\gamma)]이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=ax(x+\gamma)(x-\gamma)\\&=ax\left(x^2-\gamma^2\right)=a\left(x^3-\gamma^2x\right)\\\therefore f'(x)&=a\left(3x^2-\gamma^2\right)\\\\\rightarrow f'(\alpha)&=a\left(3\alpha^2-\gamma^2\right)=2a\gamma^2\\f'(\beta)&=f'(0)=-a\gamma^2\\f'(\gamma)&=a\left(3\gamma^2-\gamma^2\right)=2a\gamma^2\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}\therefore |f'(\alpha)|:|f'(\beta)|:|f'(\gamma)|&=\left|2a\gamma^2\right|:\left|-a\gamma^2\right|:\left|2\gamma^2\right|\\&=2:1:2\end{aligned})]

4.3. 여러 차수: 영점에서의 기울기

위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 다항함수 [math(f(x))]의 그래프와 [math(y)]축에 수직인 직선 [math(y=t)]가

[math(x=x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_i,\,\cdots,\,x_n)]

에서 접점이 아닌[1] 서로 다른 [math(n)]개의 교점을 가지며 이외의 점에서는 교점이 발생하지 않는다고 하자. 그러면

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)+t\\&=a\displaystyle\prod_{i=1}^n(x-x_i)+t\end{aligned})]

이며, 이때 [math(x=x_i)]에서의 접선의 기울기는 다음과 같다.

[math(f'(x_i)=a\displaystyle\prod_{j\neq i}(x_i-x_j))]

다시 말해서, [math(\boldsymbol{f(x)})]에서 상수항과 [math(\boldsymbol{(x-x_i)})]를 지운 뒤 [math(\boldsymbol{x=x_i})]를 대입한 값이다. 예를 들어 다음과 같이 구하면 된다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+5\\\\\rightarrow f'(4)&=2\times(4-1)\times(4-2)\times(4-3)=12\end{aligned})]

이는 다름이 아니라 바로 위 문단에서 설명한 삼차함수 공식의 일반화이다. 다만 사차함수부터는 교점이 너무 많아져 접선의 기울기를 교점끼리의 거리로 해석하여 설명하기에는 지나치게 복잡해지므로 삼차함수만을 그런 기하학적 방식으로 설명한 것이다.

증명 [펼치기·접기]

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미분계수의 정의를 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 위 그림에서 [math(n)] 이하의 모든 자연수 [math(i)]에 대하여 [math(f(x_i)=t)]이므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f'(x_i)&=\displaystyle\lim_{x\to x_i}\dfrac{f(x)-f(x_i)}{x-x_i}=\lim_{x\to x_i}\dfrac{f(x)-t}{x-x_i}\\&=\lim_{x\to x_i}\dfrac{a(x-x_1)\cdots\cancel{(x-x_i)}\cdots(x-x_n)}{\cancel{x-x_i}}\\&=\lim_{x\to x_i}a(x-x_1)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)\\&=\lim_{x\to x_i}\displaystyle a\prod_{j\neq i}(x-x_j)=a\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)\end{aligned})]

즉, [math(f'(x_i))]는 [math(f(x))]에서 상수항과 [math((x-x_i))]를 지운 뒤 [math(x=x_i)]를 대입한 값임이 증명되었다.

[math(f(x))]를 직접 곱미분하여 증명할 수도 있다. 조금 계산이 복잡해지지만 식을 정리하는 과정을 눈여겨 보면 또 다른 원리를 발견할 수 있다. 먼저 두 그래프의 교점의 좌표를 이용하여 [math(f(x))]의 식을 세워 계산하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)+t\\ \\\rightarrow f'(x)&=a[{\color{#DA3832}\{(x-x_2)(x-x_3)\cdots(x-x_n)\}}+{\color{#55AE58}\{(x-x_1)(x-x_3)\cdots(x-x_n)\}}\\&\quad+\cdots+{\color{#48A0E2}\{(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{n-1})\}}]\\&=a\left[{\color{#DA3832}\displaystyle\prod_{j\neq1}(x-x_j)}+{\color{#55AE58}\displaystyle\prod_{j\neq2}(x-x_j)}+\cdots+{\color{#48A0E2}\displaystyle\prod_{j\neq n}(x-x_j)}\right]\;\cdots\,(\rm a)\\&=a\sum_{k=1}^n\left[\displaystyle\prod_{j\neq k}(x-x_j)\right]\end{aligned})]

이때, [math((\rm a))]는 [math(n)]개의 항이 더해진 형태로서, 그중 [math(i)]번째 항만이 [math((x-x_i))]를 인수로 가지지 않으므로 [math((\rm a))]에 [math(x=x_i)]를 대입하면 [math(i)]번째 항을 제외하면 모두 [math(0)]이 된다. 즉, [math(f'(x_i))]는 [math((\rm a))]에서 [math(i)]번째 항만을 계산한 값과 같다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\begin{aligned}f'(x_i)&=a\displaystyle\sum_{k=1}^n\left[\prod_{j\neq k}(x_i-x_j)\right]\\&=a\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)\end{aligned})]

예제 [펼치기·접기]

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2012학년도 7월 나형 12번

[math(f'(1))]은 [math((x-1))]을 제외한 나머지 항에 [math(1)]을, [math(f'(4))]는 [math((x-4))]를 제외한 나머지 항에 [math(4)]를 대입한 값이므로 다음과 같이 빠르게 계산할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{f'(1)}{f'(4)}&=\dfrac{(1-2)(1-3)\cdots(1-10)}{(4-1)(4-2)(4-3)\times(4-5)(4-6)\cdots(4-10)}\\&=\dfrac{-9!}{3!\times6!}=-\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=-84\end{aligned})]

[math(f(x))]의 곱미분을 시도해 보면 금방 규칙을 발견하게 될 뿐만 아니라, [math(f(x))]를 전개한 뒤 미분을 하면 계산이 지나치게 복잡해지므로, 애초에 식을 위와 같이 간단히 정리할 수 있는지를 시험하기 위한 문제였다고 할 수 있다.

또한 이러한 내용은 전형적인 극한 문제와도 의외로 연관이 깊다.

2022학년도 9월 고3 8번

우선 문제에서 두 극한식의 분모는 모두 [math(0)]으로 수렴하는 가운데 극한의 수렴값이 존재하므로, 분자 역시 다음과 같이 [math(0)]으로 수렴해야 한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)&=f(0)\\=\lim_{x\to1}f(x)&=f(1)\\&=0\end{aligned})]

[math(f(x))]는 다항함수이므로 [math(x)] 그리고 [math((x-1))]을 인수로 갖는다. 따라서 위 공식에 따라 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}x=\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x-{\color{#DA3832}0}}&=f'({\color{#DA3832}0})\\\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)}{x-{\color{#DA3832}1}}&=f'({\color{#DA3832}1})\\\\\therefore f'(0)=f'(1)=1\end{aligned})]

이는 [math(0/0)] 꼴의 부정형의 전형적인 극한 문제로서, 다음의 공식과 일맥상통한다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{x-a}=b)]이면 [math(f(a)=0,\,f'(a)=b)]

이 공식의 증명은 극한 문서를 참고하라. 다만 이 공식은 [math(f(x))]가 꼭 다항함수일 필요가 없는 반면, 위에서 소개한 접선의 기울기를 구하는 논리는 [math(f(x))]가 다항함수일 때만 통한다는 점에 유의하자. 또한, 위 문제를 위와 같은 방식으로 풀기보다는 극한 문서에서 소개한 증명에 따라 푸는 편이 더욱 자연스럽고 간단하다.

또한, [math(f(x)=a\displaystyle\prod_{i=1}^n(x-x_i)+t)]일 때, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(f'(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{f(x)-t}{x-x_i})]

물론 이렇게 나타내는 것은 모든 [math(i)]에 대하여 [math(x\neq x_i)]일 때만 가능하다.

증명(곱미분) [펼치기·접기]: ----
[math(\displaystyle\prod_{j\neq k}(x-x_j))]는 [math((x-x_1))]부터 [math((x-x_n))]까지 [math(n)]개의 항 중에서 [math((x-x_k))]만을 제외하고 모두 곱한 값이라는 뜻이므로, [math(x\neq x_k)]일 때는 [math(n)]개의 항을 모두 곱한 뒤 [math((x-x_k))]로 나눈 것과 같다. 즉, 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\prod_{j\neq k}(x-x_j)=\dfrac{\displaystyle\prod_{j=1}^n(x-x_j)}{x-x_k}\quad(x\neq x_k)\quad\cdots(\rm a))]

한편 위 증명에서 [math(f(x))]를 직접 곱미분함으로써

[math(f'(x)=a\displaystyle\sum_{k=1}^n\left[\prod_{j\neq k}(x-x_j)\right])]

임을 알아냈다. 이 식을 [math((\rm a))]와 접목하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}f'(x)&=a\displaystyle\sum_{k=1}^n\left[\prod_{j\neq k}(x-x_j)\right]\\&=a\sum_{k=1}^n\dfrac{\displaystyle\prod_{j=1}^n(x-x_j)}{x-x_k}\\&=\sum_{k=1}^n\dfrac{a\displaystyle\prod_{j=1}^n(x-x_j)}{x-x_k}=\sum_{k=1}^n\dfrac{f(x)-t}{x-x_k}\\&=\sum_{i=1}^n\dfrac{f(x)-t}{x-x_i}\end{aligned})]

단, 모든 [math(i)]에 대하여 [math(x\neq x_i)]이다.

증명(로그 미분) [펼치기·접기]: ----
[math(f(x)=a\displaystyle\prod_{i=1}^n(x-x_i)+t)]

에 로그를 취하기 전에, 우변을 인수들의 곱으로만 나타내기 위하여 다음과 같이 이항하자.

[math(f(x)-t=a\displaystyle\prod_{i=1}^n(x-x_i))]

양변에 절댓값과 로그를 차례대로 취하면 모든 [math(i)]에 대하여 [math(x\neq x_i)]일 때

[math(\ln|f(x)-t|=\ln|a|+\displaystyle\sum_{i=1}^n\ln|x-x_i|)]

이고, 양변을 미분하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{f'(x)}{f(x)-t}&=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1{x-x_i}\\\therefore f'(x)&=\sum_{i=1}^n\dfrac{f(x)-t}{x-x_i}\end{aligned})]

단, 이 경우에도 모든 [math(i)]에 대하여 [math(x\neq x_i)]이다.

사실 위 식은 아예 새로운 내용이 아니다. 증명(곱미분)을 읽어보면 실감할 수 있듯이, [math(f(x))]를 곱미분할 때, [math(f(x))]에서 미분에 아무런 영향을 미치지 않는 상수항 [math(t)]를 뺀 식 [math(f(x)-t)]에 대하여 [math(f'(x))]는 각 [math((x-x_i))]를 제외한 모든 불가약 인수들의 곱의 합으로 나타난다는 사실을 또 다른 형태로 표현한 것뿐이다. 다만 위 식은 [math((x-x_i))]를 제외한 모든 불가약 인수들을 곱하는 형태, 즉 [math(a\prod_{j\neq i}(x-x_j))] 따위의 형태가 아니라 일단 모든 불가약 인수들을 곱한 뒤 [math(\boldsymbol{(x-x_i)})]로 도로 나누는 형태를 취하고 있기에, 분모가 [math(0)]이 되는 경우를 포괄하지 못한다는 특징이 생기는 것이다.

예제 [펼치기·접기]

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2018학년도 한양대학교 자연계열 오전 2-1번

[math(x_i=2i-1)]이라 하면

[math(f(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{1009}(x-x_i))]

로 쓸 수 있다. 따라서 [math(f'(x))]는 다음과 같다.

[math(f'(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{1009}\dfrac{f(x)}{x-x_i})]

따라서 [math(f'(2))]의 값은

[math(\begin{aligned}f'(2)&=\displaystyle\sum_{i=1}^{1009}\dfrac{f(2)}{2-x_i}=f(2)\times\sum_{i=1}^{1009}\dfrac1{2-x_i}\\&=f(2)\left\{\cancel{\dfrac1{2-1}}+\cancel{\dfrac1{2-3}}+\dfrac1{2-5}+\cdots+\dfrac1{2-2017}\right\}\\&=f(2)\left\{\dfrac1{2-5}+\dfrac1{2-7}+\cdots+\dfrac1{2-2017}\right\}\\\biggr(&=f(2)\times\sum_{i=3}^{1009}\dfrac1{2-x_i}\biggr)\end{aligned})]

이다. 이때 모든 [math(i)]에 대하여 [math(2-x_i\neq0)]이므로

[math(f(2)=\displaystyle\prod_{i=1}^{1009}(2-x_i)\neq0)]

이며, [math(3)] 이상의 모든 [math(i)]에 대하여 [math(1/(2-x_i)<0)]이므로

[math(\displaystyle\sum_{i=3}^{1009}\dfrac1{2-x_i}<0)]

이다. 따라서 [math(f'(2)\neq0)]이다.

한편 로그 미분법을 사용하면, 위와 마찬가지로 [math(1/(2-1)+1/(2-3)=0)]이므로

[math(\dfrac{f'(2)}{f(2)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{1009}\dfrac1{2-x_i}=\sum_{i=3}^{1009}\dfrac1{2-x_i}\neq0)]

에서 [math(f'(2)\neq0)]이 성립한다.

실제 논술에서는 직접 곱미분 또는 로그 미분을 함으로써 풀이 과정을 자세히 보여 주어야 한다.

또한 이 공식을 적용할 때는 반드시 함수를 먼저

[math(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n))]

의 꼴로 고쳐야 한다. 그 다음에야 [math(f'(x_i))]의 값을 구할 때 [math((x-x_i))]를 지운 채 [math(x=x_i)]를 대입할 수 있는 것이다. 예를 들어

[math(f(x)=(2x-3)(3x-4)(4x-5))]

에서 [math(f'(3/2))]의 값을 다음과 같이 구하면 안 된다.

[math(\begin{aligned}f'\left(\dfrac32\right)&=\left(3\times\dfrac32-4\right)\times\left(4\times\dfrac32-5\right)\\&=\dfrac12\times1=\dfrac12\end{aligned})]

올바르게 공식을 적용하는 방법은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=(2x-3)(3x-4)(4x-5)\\&=2\times3\times4\times\left(x-\dfrac32\right)\left(x-\dfrac43\right)\left(x-\dfrac54\right)\\\\\rightarrow f'\left(\dfrac32\right)&=2\times3\times4\times\left(\dfrac32-\dfrac43\right)\times\left(\dfrac32-\dfrac54\right)\\&=24\times\dfrac16\times\dfrac14=1\end{aligned})]

두 값은 [math(2)]배 차이가 나는데, 이 [math(2)]라는 수는 다름 아닌

[math(2x-3=2\left(x-\dfrac32\right))]

의 우변에 있는 [math(2)]에서 비롯된 것이다. 마찬가지 이유로 위에서 설명한 잘못된 방법과 올바른 방법으로 [math(f'(4/3))] 및 [math(f'(5/4))]의 값을 구하면 각각 [math(3)]배, [math(4)]배 차이가 나게 된다.

잘못된 방법으로 값을 구하게 되면

[math(f(x)=(200x-300)(3x-4)(4x-5))]

와 같이 [math(f(x))]가 [math(100)]배가 되었는데도 [math(f'(3/2))]의 값을 똑같이 [math(1/2)]로 구하게 되는 것만 보더라도 이 방법은 수학적으로 말이 되지 않는다. 이 경우에는 올바른 방식으로 값을 구하면 [math(1/2)]의 [math(200)]배인 [math(100)]이 나오게 된다.

물론 공식을 적용할 때 지우는 항의 일차항의 계수가 [math(1)]이기만 하면 다른 항은 굳이 조작하지 않아도 된다. 예를 들어

[math(f(x)=(x-1)(2x-3)(3x-4))]

일 때 [math(f'(1))]의 값을 구할 때는 바로

[math(\begin{aligned}f'(1)&=(2\times1-3)\times(3\times1-4)\\&=(-1)\times(-1)=1\end{aligned})]

과 같이 구해도 무방하며, 오히려 이쪽이 계산이 더 편할 것이다. 왜냐하면 [math(f(x))]를

[math(\begin{aligned}f(x)&=2\times3\times(x-1)\left(x-\dfrac32\right)\left(x-\dfrac43\right)\\&=6\times(x-1)\left(x-\dfrac32\right)\left(x-\dfrac43\right)\end{aligned})]

로 고친 다음

[math(\begin{aligned}f'(1)&=6\times\left(1-\dfrac32\right)\times\left(1-\dfrac43\right)\\&=6\times\left(-\dfrac12\right)\times\left(-\dfrac13\right)=1\end{aligned})]

과 같이 구하는 것과 다를 것이 없기 때문이다. 그러나 이때에도 [math(f'(3/2))] 및 [math(f'(4/3))]의 값을 구할 때는 앞서 밝힌 대로 식을 고치지 않은 채 공식을 적용하려 하면 올바른 값과 각각 [math(2)]배, [math(3)]배의 차이가 나게 된다.

나아가 [math(f(x)=(x-a)Q(x))]로 나타내어질 때 [math(f'(a)=Q(a))]임은 물론이다. 이는 [math(f(x))]가 꼭 다항함수가 아니더라도 미분가능하기만 하면 성립하는 사실이다. 다음과 같이 손쉽게 증명할 수 있다.

[math(\begin{aligned}f'(a)&=\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\\&=\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)Q(x)-0}{x-a}\\&=\lim_{x\to a}Q(x)=Q(a)\end{aligned})]

예제 [펼치기·접기]

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2024학년도 5월 17번

위에서 밝힌 원리에 따라 [math(f'(1))]의 값은 [math(x^3+x^2+5)]에 [math(x=1)]을 대입한 값으로서 [math(7)]이다.

경기도교육청에서는 위와 같은 해설을 제시했는데, 직접 곱미분을 계산하는 과정이 다소 번거롭다. 반면 미분계수의 정의를 상기하면 한눈에 답을 구할 수 있다.

4.3.1. 역수의 합

[math(n\geq2)]이고 [math(i<j\,\Leftrightarrow\,x_i<x_j)]인 [math(n)]차함수

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\\&=a\displaystyle\prod_{i=1}^n(x-x_i)\end{aligned})]

에 대하여 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1{f'(x_i)}=0)]

다시 말해서, 두 개 이상의 단일 실근만을 근으로 갖는 다항방정식 [math(f(x)=0)]에 대하여, 각 근에서의 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 미분계수의 역수의 합은 항상 [math(\boldsymbol0)]이다.

증명 [펼치기·접기]: ----
먼저, 부분분수분해 문서에 설명된 Heaviside cover-up method 그리고 앞서 밝힌 기울기 공식을 종합하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\frac1{f(x)}&=\sum_{i=1}^n\frac1{(x-x_i)}\times\frac1{\displaystyle a\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)}\\&=\sum_{i=1}^n\frac1{(x-x_i)f'(x_i)}\end{aligned})]

양변에 [math(f(x))]를 곱하면

[math(\begin{aligned}1&=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1{f'(x_i)}\frac{a(x-x_1)\cdots(x-x_n)}{x-x_i}\\&=\sum_{i=1}^n\dfrac{\displaystyle\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)}{f'(x_i)}\;\cdots\,(\rm a)\end{aligned})]

이다. 여기에서 양변의 [math(x^{n-1})]의 계수를 조사하자. 각 [math(i)]들에 대하여 [math(x)]에 관한 [math((n-1))]차식이 나오며, 그것의 최고차항의 계수는 [math(1/f'(x_i))]이다. 따라서 위 식의 최종적인 [math(x^{n-1})]의 계수는

[math(\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac1{f'(x_i)})]

이다. 그런데 [math((\rm a))]의 계산 결과가 결국 [math(1)]이라는 상수에 불과하므로 [math(x^{n-1})]의 계수는 [math(0)]이 되어야 한다. 곧, 다음이 증명되었다.

[math(\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac1{f'(x_i)}=0)]

또한 [math(n=1)]이면 부분분수분해 자체가 성립하지 않으므로 위와 같은 논리가 통하지 않는다. 즉, 이 사실은 [math(n\geq 2)]일 때만 성립한다.

고등학교에서는 부분분수분해를 거의 다루지 않긴 하지만 이 증명은 고등학생이 아주 이해하지 못할 수준은 아니다. 이것이 그나마 가장 쉬운 증명이며, 대학교 수준 이상의 더 많은 증명에 대해서는 sum of reciprocals of derivative of polynomial at its roots를 참고하자.

예제 [펼치기·접기]

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2024학년도 7월 미적분 28번

먼저 (가)에 의하여

[math(\dfrac{g(0)-k}{0-k}=1)]

에서 [math(g(0)=0)]이다. 따라서 [math(f(0)=0)]이다. 또한 (나)에 의하여

[math(\displaystyle\lim_{x\to k}\frac{g(x)-k}{x-k}=\dfrac13)]

에서 분모가 [math(0)]으로 수렴하는데 극한값이 존재하므로 분자 역시 [math(0)]으로 수렴해야 한다. 따라서 [math(g(k)=k)]이며, [math(f(k)=k)]이다. 위 식에 [math(k=g(k))]를 대입하면

[math(\displaystyle\lim_{x\to k}\frac{g(x)-g(k)}{x-k}=g'(k)=\dfrac13)]

이며, 이에 따라 [math(f'(k)=3)]이다. 이상에서 [math(f(x))]의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있다.

일단 오른쪽 경우는 곡선 [math(y=f(x))]가 [math(x=0)]에서 직선 [math(y=x)]에 접하는 경우로서 [math(f'(0)=1)]이다. 그런데 왼쪽 경우는 [math(x=0)]에서 두 그래프가 교차하여, [math(f'(0)>1)]임을 기하학적으로 금방 알 수 있다. 따라서 [math(f'(0))]의 최댓값은 왼쪽 경우에서 발생하므로, 왼쪽 경우만을 검토하자. 이 경우 다음이 성립한다.

[math(f(x)-x=x(x-t)(x-k))]

[math(f(x)-x=p(x))]라 하면 삼차방정식 [math(p(x)=0)]은 서로 다른 세 실근 [math(0)], [math(t)], [math(k)]를 가지므로 앞서 밝힌 공식에 따라 다음이 성립한다.

[math(\dfrac1{p'(0)}+\dfrac1{p'(t)}+\dfrac1{p'(k)}=0)]

여기에서 [math(p'(k)=f'(k)-1=2)]이므로 위 식을 정리하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\dfrac1{p'(0)}&=-\dfrac1{p'(t)}-\dfrac1{p'(k)}\\&=-\dfrac1{p'(t)}-\dfrac12=-\dfrac{p'(t)+2}{2p'(t)}\end{aligned})]

한편 [math(f(x))]는 최고차항의 계수가 양수이고 역함수를 가지므로 증가함수이다. 따라서 모든 실수 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)\geq0)]이며, 이에 따라 [math(p'(x)\geq-1)]이다. 따라서 [math(p'(0))]의 범위는 다음과 같다.

[math(p'(0)=-\dfrac{2p'(t)}{p'(t)+2}=-2+\dfrac4{p'(t)+2}\leq2)]

즉, [math(p'(t)=-1)]일 때 [math(p'(0))]은 최댓값 [math(2)]를 가지며, 이에 따라 [math(f'(t)=0)]일 때 [math(f'(0))]은 최댓값 [math(3)]을 갖는다.

참고로 일련의 과정에 따라 계산하면 [math(\alpha=2)], [math(f(x)=(x-1)^3+1)]이 구해지며 정답은 ②이다.

인천광역시교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 계산의 양이 많아져 다소 번거롭다. 반면 미분계수의 역수의 합 공식을 이용하면 [math(f'(0))]의 최댓값을 보다 간편하게 구할 수 있다.

[math(n\geq2)]인 경우로 한정하는 이유를 알아보자. [math(n=1)]이면 [math(f(x))]는 일차함수이므로 [math(f(x)=ax+b\,(a\neq0))]로 쓸 수 있다. 이 경우 [math(f(x)=0)]의 근은 [math(x=-b/a)]뿐이며 이때의 미분계수는 당연히 [math(a)]이다. 따라서 미분계수의 역수의 합은 [math(1/a)]로, [math(0)]이 될 수 없다.

나아가 위 그림에서 바로 알 수 있듯이 [math(f(x))]의 각 영점에서의 미분계수는 왼쪽부터 차례대로 양수와 음수가 번갈아 나오는데, 이 점을 이용하면 다음과 같은 결론을 추가로 도출할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1{f'(x_i)}&=\dfrac1{f'(x_1)}+\dfrac1{f'(x_2)}+\cdots+\dfrac1{f'(x_n)}\\&=\left\{\dfrac1{f'(x_1)}+\dfrac1{f'(x_3)}+\cdots\right\}+\left\{\dfrac1{f'(x_2)}+\dfrac1{f'(x_4)}+\cdots\right\}\\&=\sum_{i=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil}\dfrac1{f'(x_{2i-1})}+\sum_{i=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor}\dfrac1{f'(x_{2i})}=0\end{aligned})]

[math(\therefore\displaystyle\sum_{i=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil}\dfrac1{f'(x_{2i-1})}=-\sum_{i=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor}\dfrac1{f'(x_{2i})})]

다시 말해서, 왼쪽부터 홀수 번째 그리고 짝수 번째 영점들의 미분계수의 합은 서로 반수 관계를 이룬다.

참고로 위 4.2문단에서 설명한 삼차함수의 [math(2:1:2)] 비율관계 역시 이 성질을 따름을 쉽게 알 수 있다. 역수의 합을 계산해 보면 임의의 [math(0)]이 아닌 실수 [math(k)]에 대하여 [math(1/2k+(-1/k)+1/2k=0)]이기 때문이다.

5. 방정식

관련 문서: 대수학의 기본정리

#!if top2 != null
, [[영점]][[]]

#!if top3 != null
, [[]][[]]

#!if top4 != null
, [[]][[]]

#!if top5 != null
, [[]][[]]

#!if top6 != null
, [[]][[]]

다항함수의 그래프 위의 주요 점들을 지나는 그래프의 방정식을 여러 공식으로 편리하게 구할 수 있다.

5.1. 이차함수: 행렬 대각화

보통 아래의 꼴로 정리한 뒤 대각화를 통해 영점(해)을 빠르게 구할 수 있다.

[math({{\bf x}^t \boldsymbol{\mathsf{A}} {\bf x}} + {{\bf b}^t {\bf x}}+ {\bf c} = {\bf 0} \quad ({\boldsymbol{\mathsf{A}} ^t} {\boldsymbol{\mathsf{A}} } \neq 0))]

5.2. 삼차함수: 두 극점을 지나는 직선

삼차함수 [math(f(x))]가 극값을 두 개 가질 때

[math(f(x)=f'(x)Q(x)+R(x))]

라 하여 [math(f(x))]를 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 몫을 [math(Q(x))], 나머지를 [math(R(x))]라 하면

[math(y=R(x))]

는 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 두 극점을 지나는 직선의 방정식이다.

증명 [펼치기·접기]: ----
[math(f(x))]가 삼차함수이므로 도함수 [math(f'(x))]는 이차식이며, 이에 따라 [math(Q(x))]는 일차식, [math(R(x))]는 일차 이하의 다항식이어야 한다. 곧, 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}R(x)&=ax+b\\f(x)&=f'(x)Q(x)+ax+b\end{aligned})]

한편 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]를 곡선 [math(f(x))]의 두 극점의 [math(x)]좌표라 하면 [math(f'(\alpha)=f'(\beta)=0)]이다. 따라서 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(\alpha)&=f'(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha+b=a\alpha+b\;&\cdots(\rm 1)\\f(\beta)&=f'(\beta)Q(\beta)+a\beta+b=a\beta+b\;&\cdots(\rm 2)\end{aligned})]

이 두 식은 결국 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]가 방정식

[math(f(x)=R(x))]

의 서로 다른 실근이라는 뜻이므로 [math(R(x))]는 정확히 곡선 [math(f(x))]의 두 극점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\beta,\,f(\beta)))]를 지난다.

한편 [math((\rm 1)-(\rm 2))]를 계산하면

[math(f(\alpha)-f(\beta)=a(\alpha-\beta))]

이고 [math(f(\alpha)-f(\beta)\neq 0,\,\alpha-\beta\neq 0)]이므로 [math(a\neq 0)]이다. 곧, [math(R(x))]는 일차식이다.

또한, 위 그림과 같이 기하학적으로 [math(f(x))]와 [math(R(x))]는 최고차항의 계수의 부호가 서로 반대일 수밖에 없다.

위 사실을 이용하여 다음을 증명할 수 있다.

[math(x)]에 관한 삼차식 [math(f(x))]를 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 나머지가 상수이면 방정식 [math(f(x)=0)]의 실근은 한 개이다.

귀류법을 이용한다. 삼차함수의 그래프의 특성상 삼차방정식 [math(f(x)=0)]은 실근을 적어도 한 개 갖는다. 따라서 위 명제를 부정하면 [math(f(x)=0)]의 실근이 두 개 혹은 세 개라고 가정할 수 있다. 그런데 실근을 두 개 이상 가지려면 [math(f(x))]는 무조건 극값 두 개를 가져야 하며, 일대일대응이어서는 안 된다. 이때, 앞서 밝혔듯이 삼차함수의 그래프의 두 극점은 무조건 [math(y)]좌표가 다르므로 두 극점을 지나는 직선의 기울기는 [math(0)]이 될 수 없다. 곧, 직선의 방정식은 상수가 아닌 일차식이어야 하므로 모순이다. 따라서 [math(f(x))]를 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 나머지가 상수이면 방정식 [math(f(x)=0)]의 실근은 한 개여야만 한다.

그래프의 기하학적 개형을 고려하지 않고 대수적인 방식으로만 증명할 수도 있다.

대수적 증명 [펼치기·접기]: ----
방정식 [math(f(x)=0)]의 실근의 개수는 곡선 [math(f(x))]와 [math(x)]축의 교점의 개수이므로, [math(f(x))]를 [math(0)]이 아닌 실수배를 하여 최고차항의 계수를 바꾸어도 실근의 개수에는 영향이 없다. 곧, 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}x^3+ax^2+bx+c&=0\\\Leftrightarrow m(x^3+ax^2+bx+c)&=0\quad(m\neq 0)\end{aligned})]

따라서 계산의 단순화를 위해 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(1)]로 두어 다음과 같이 [math(f(x))]와 [math(f'(x))]를 써도 충분하다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=x^3+ax^2+bx+c\\f'(x)&=3x^2+2ax+b\end{aligned})]

[math(f(x))]를 [math(f'(x))]로 나눈 몫 [math(Q(x))]와 나머지 [math(R(x))]는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}Q(x)&=\dfrac13x+\dfrac19a\\R(x)&=\dfrac29\left(3b-a^2\right)x+c\end{aligned})]

나머지가 상수가 되려면 다음이 성립해야 한다.

[math(3b-a^2=a^2-3b=0)]

그런데 이는 도함수 [math(f'(x)=3x^2+2ax+b)]의 판별식 [math(D/4)]와 일치한다. 즉, 이차방정식 [math(f'(x)=0)]은 중근을 가져서 모든 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)\geq 0)]이므로 [math(f(x))]는 일대일대응이다. 결국, 방정식 [math(f(x)=0)]의 실근의 개수는 [math(1)]이다.

예제 [펼치기·접기]

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1989년 교토대학 이과 3번

한국어 번역

[math(f(x))]는 [math(x)]에 대한 삼차식이고, [math(f(x))]를 그 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 나머지는 상수이다. 이때 방정식 [math(f(x)=0)]을 만족시키는 실수 [math(x)]는 단 하나임을 보이라.

위에서 증명한 사실이 그대로 출제된 문제이다. [math(f(x))]는 일대일대응이므로 곡선 [math(f(x))]와 [math(x)]축의 교점의 개수는 [math(1)]이다. 즉, 방정식 [math(f(x)=0)]의 실근의 개수는 [math(1)]이다.

5.3. 사차함수

5.3.1. 세 극점을 지나는 포물선

사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 극점을 세 개 가질 때

[math(f(x)=f'(x)Q(x)+R(x))]

라 하여 [math(f(x))]를 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 몫을 [math(Q(x))], 나머지를 [math(R(x))]라 하면

[math(y=R(x))]

는 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 세 극점을 지나는 포물선의 방정식이다.

증명 [펼치기·접기]: ----
[math(f(x))]가 사차함수이므로 도함수 [math(f'(x))]는 삼차식이며, 이에 따라 [math(Q(x))]는 일차식, [math(R(x))]는 이차 이하의 다항식이어야 한다. 곧, 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}R(x)&=ax^2+bx+c\\f(x)&=f'(x)Q(x)+ax^2+bx+c\end{aligned})]

한편 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]를 곡선 [math(f(x))]의 세 극점의 [math(x)]좌표라 하면 [math(f'(\alpha)=f'(\beta)=f'(\gamma)=0)]이다. 따라서 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)], [math(x=\gamma)]를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(\alpha)&=f'(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha^2+b\alpha+c=a\alpha^2+b\alpha+c\\f(\beta)&=f'(\beta)Q(\beta)+a\beta^2+b\beta+c=a\beta^2+b\beta+c\\f(\gamma)&=f'(\gamma)Q(\gamma)+a\gamma^2+b\gamma+c=a\gamma^2+b\gamma+c\end{aligned})]

이 세 식은 결국 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)], [math(x=\gamma)]가 방정식

[math(f(x)=R(x))]

의 서로 다른 실근이라는 뜻이므로 [math(R(x))]는 정확히 곡선 [math(f(x))]의 세 극점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))], [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((\gamma,\,f(\gamma)))]를 지난다.

한편 [math(a=0)]이면 [math(R(x))]는 일차식이므로 곡선 [math(f(x))]의 세 극점은 한 직선 위에 있어야 하는데 이는 불가능하다. 따라서 [math(a\neq 0)]이고, [math(R(x))]는 이차식, 곧 포물선의 방정식이다.

또한, 위 그림과 같이 기하학적으로 [math(f(x))]와 [math(R(x))]는 최고차항의 계수의 부호가 서로 반대일 수밖에 없다.

5.3.2. 두 변곡점을 지나는 직선

사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 변곡점을 두 개 가질 때

[math(f(x)=f''(x)Q(x)+R(x))]

라 하여 [math(f(x))]를 이계도함수 [math(f''(x))]로 나눈 몫을 [math(Q(x))], 나머지를 [math(R(x))]라 하면

[math(y=R(x))]

는 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 두 변곡점을 지나는 직선의 방정식이다.

증명 [펼치기·접기]: ----
[math(f(x))]가 사차함수이므로 이계도함수 [math(f''(x))]는 이차식이며, 이에 따라 [math(Q(x))]는 이차식, [math(R(x))]는 일차 이하의 다항식이어야 한다. 곧, 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}R(x)&=ax+b\\f(x)&=f''(x)Q(x)+ax+b\end{aligned})]

한편 [math(\alpha)], [math(\beta)]를 곡선 [math(f(x))]의 두 변곡점의 [math(x)]좌표라 하면 [math(f(\alpha)=f(\beta)=0)]이다. 따라서 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(\alpha)&=f(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha+b=a\alpha+b\\f(\beta)&=f(\beta)Q(\beta)+a\beta+b=a\beta+b\end{aligned})]

이 두 식은 결국 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]가 방정식

[math(f(x)=R(x))]

의 서로 다른 실근이라는 뜻이므로 [math(R(x))]는 정확히 곡선 [math(f(x))]의 두 변곡점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\beta,\,f(\beta)))]를 지난다.

주의할 점은 앞서 살펴본 삼차함수의 그래프의 두 극점을 지나는 직선의 방정식과는 달리 [math(R(x))]의 기울기가 [math(0)]일 수 있다는 것이다. 삼차함수의 그래프의 두 극점과 달리 사차함수의 그래프의 두 변곡점은 [math(y)]좌표가 같을 수 있기 때문이다. 이 경우는 위와 같이 곡선 [math(f(x))]가 좌우 대칭이다.

또한, 위 그림과 같이 기하학적으로 [math(f(x))]와 [math(R(x))]는 최고차항의 계수의 부호가 같을 수도 있고 다를 수도 있으며, 앞서 밝혔듯이 [math(R(x))]의 기울기는 양도 음도 아닌 [math(0)]일 수도 있다.

5.4. 근과 계수의 관계

근과 계수의 관계(혹은 비에트의 정리)에 의하여, [math(n)]차방정식 [math(f(x)=0)]의 모든 근의 합은 [math(f(x))]의 [math(n)]차항 및 [math((n-1))]차항의 계수에만 의존하므로, 이 값이 동일하게 유지된다면 나머지 차수의 항들이 아무리 변하더라도 모든 근의 합은 변하지 않는다. 마찬가지로 두 근끼리의 곱의 합은 [math(n)]차항 및 [math((n-2))]차항의 계수에만 의존한다는 사실 또한 요긴한 단서가 된다. 이러한 성질들을 잘 이용하면 다항함수를 각 차수에 따라 더욱 깊이 있게 다룰 수 있다. 특히, 이 테크닉은 다항함수의 식이 일부 또는 전체가 알려져 있을 때 그 그래프와 접선의 교점의 [math(x)]좌표를 구할 때 특히 요긴하게 사용할 수 있다. 이는 이차함수보다도 삼차 이상의 다항함수에서 더욱 간편하게 사용할 수 있는데, 예를 들어 다음과 같은 그림들에서 직선의 방정식을 몰라도 곡선의 방정식의 최고차항과 그 다음 차수의 항만 알면 교점들의 [math(x)]좌표 중 어느 하나만이 알려져 있지 않은 경우 그 하나의 값을 쉽게 구할 수 있다.

5.4.1. 이차함수

위 그림과 같이 이차함수 [math(f(x))]의 그래프와 직선 [math(g_1(x))]의 두 교점의 [math(x)]좌표가 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)]일 때, 직선 [math(g_2(x))] 및 [math(g_3(x))]와 같이 [math(g_1(x))]와 기울기가 동일하고 곡선 [math(f(x))]와의 교점이 두 개인 직선들은 항상 교점의 [math(x)]좌표의 합이 [math(\alpha+\beta)]이다. 또한 직선 [math(g_4(x))]와 같이 [math(g_1(x))]와 기울기가 동일하고 곡선 [math(f(x))]에 접하는 직선은 그 접점의 [math(x)]좌표가 [math((\alpha+\beta)/2)]이다.

또한 이차방정식 [math(\boldsymbol{f(x)=0})]의 두 실근의 합은 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 꼭짓점의 [math(\boldsymbol x)]좌표의 [math(\boldsymbol2)]배이다.

증명 [펼치기·접기]: ----
이차방정식의 근과 계수의 관계로 간단히 증명할 수 있다. 위 그림을 방정식으로 해석하면, 이차방정식 [math(f(x)-g_1(x)=0)]의 서로 다른 두 실근이 [math(\alpha)], [math(\beta)]라고 할 수 있다. 이때 [math(f(x)-g_1(x))]의 이차항의 계수를 [math(a)], 일차항의 계수를 [math(b)]라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 다음이 성립한다.

[math(\alpha+\beta=-\dfrac ba)]

그러면 [math(g_2(x))], [math(g_3(x))], [math(g_4(x))]는 직선 [math(g_1(x))]와 기울기가 같으므로 [math(f(x)-g_1(x))], [math(f(x)-g_2(x))], [math(f(x)-g_3(x))], [math(f(x)-g_4(x))] 모두 이차항의 계수가 같고 일차항의 계수도 같다. 따라서 네 방정식

[math(\begin{aligned}f(x)-g_1(x)&=0,\,f(x)-g_2(x)=0,\\f(x)-g_3(x)&=0,\,f(x)-g_4(x)=0\end{aligned})]

의 두 실근의 합은 모두

[math(-\dfrac ba=\alpha+\beta)]

로 일치할 수밖에 없다. 이 가운데 방정식 [math(f(x)-g_4(x)=0)]은 중근을 가지므로, 그 중근을 [math(x=k)]라 하면 [math(2k=\alpha+\beta)]에서 [math(k=(\alpha+\beta)/2)]가 되는 것이다.

기하학적으로는 다음과 같이 이해하면 쉽다.

위 그림은 [math(i=1,\,2,\,3,\,4)]에 대하여 [math(f(x)-g_i(x))]의 그래프를 그렸을 때 [math(x)]축이 위치하는 곳을 표시한 것이다. [math(f(x)-g_i(x))]는 모든 [math(i)]에 대하여 이차식이며, 다른 것은 상수항밖에 없다. 이차함수의 그래프의 선대칭성에 의하여 두 실근의 합은 항상 [math(\alpha+\beta)]가 될 수밖에 없다. 이때 방정식 [math(f(x)-g_4(x)=0)]의 중근이었던 [math((\alpha+\beta)/2)]는 위 이차함수의 그래프의 대칭축을 나타낸다. 따라서 꼭짓점의 [math(x)]좌표의 [math(2)]배가 바로 두 실근의 합임이 증명되었다.

5.4.2. 삼차함수

위 그림과 같이 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프와 [math(y)]축에 수직인 직선 [math(y=t)]의 세 교점의 [math(x)]좌표가 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]일 때, 이 세 상수 중 두 상수의 평균을 나타내는 곡선 [math(f(x))] 위의 점에서 그은 접선은 나머지 한 상수를 나타내는 교점을 지난다.

증명 [펼치기·접기]

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삼차방정식의 근과 계수의 관계로 간단히 증명할 수 있다. 위 그림을 방정식으로 해석하면, 삼차방정식 [math(f(x)-t=0)]의 서로 다른 세 실근이 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라고 할 수 있다. 이때, [math(f(x)-t)]의 삼차항의 계수를 [math(a)], 이차항의 계수를 [math(b)]라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 다음이 성립한다.

[math(\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac ba)]

또한 논의의 편의를 위하여 다음의 표현을 정의하자.

[math(l_{i,\,j}(x)=f'\left(\dfrac{i+j}2\right)\left(x-\dfrac{i+j}2\right)+f\left(\dfrac{i+j}2\right))]

즉, 위 그림과 같이 [math(\alpha)]와 [math(\beta)], [math(\beta)]와 [math(\gamma)], [math(\gamma)]와 [math(\alpha)]의 평균점에서 그은 접선의 방정식을 각각 [math(l_{\alpha,\,\beta}(x))], [math(l_{\beta,\,\gamma}(x))], [math(l_{\gamma,\,\alpha}(x))]로 쓰자. 그러면 [math(l_{\alpha,\,\beta}(x))], [math(l_{\beta,\,\gamma}(x))], [math(l_{\gamma,\,\alpha}(x))] 모두 직선의 방정식이므로 일차 이하의 다항식이다.[2] 따라서 [math(f(x)-t)], [math(f(x)-l_{\alpha,\,\beta}(x))], [math(f(x)-l_{\beta,\,\gamma}(x))], [math(f(x)-l_{\gamma,\,\alpha}(x))] 모두 삼차항의 계수가 같고 이차항의 계수도 같다. 따라서 네 방정식

[math(\begin{aligned}f(x)-t&=0,\,f(x)-l_{\alpha,\,\beta}(x)=0,\\f(x)-l_{\beta,\,\gamma}(x)&=0,\,f(x)-l_{\gamma,\,\alpha}(x)=0\end{aligned})]

의 세 실근의 합은 모두

[math(-\dfrac ba=\alpha+\beta+\gamma)]

로 일치할 수밖에 없다. 이에 따라 다음 세 방정식의 실근을 조사하자. 설명에 앞서 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하자.

[math(\boldsymbol{f(x)-l_{\alpha,\,\beta}(x)=0})]

직선 [math(y=l_{\alpha,\,\beta}(x))]가 [math(x=\dfrac{\alpha+\beta}2)]에서 곡선 [math(f(x))]에 접함
중근 [math(x=\dfrac{\alpha+\beta}2)]를 가짐
나머지 한 단일근을 [math(k)]라 하면 [math(2\times\dfrac{\alpha+\beta}2+k=\alpha+\beta+\gamma)]에서 [math(k=\gamma)]
[math(f(x)-l_{\alpha,\,\beta}(x)=a\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^2(x-\gamma))]

[math(\boldsymbol{f(x)-l_{\beta,\,\gamma}(x)=0})]

직선 [math(y=l_{\beta,\,\gamma}(x))]가 [math(x=\dfrac{\beta+\gamma}2)]에서 곡선 [math(f(x))]에 접함
중근 [math(x=\dfrac{\beta+\gamma}2)]를 가짐
나머지 한 단일근을 [math(k)]라 하면 [math(2\times\dfrac{\beta+\gamma}2+k=\alpha+\beta+\gamma)]에서 [math(k=\alpha)]
[math(f(x)-l_{\beta,\,\gamma}(x)=a\left(x-\dfrac{\beta+\gamma}2\right)^2(x-\alpha))]

[math(\boldsymbol{f(x)-l_{\gamma,\,\alpha}(x)=0})]

직선 [math(y=l_{\gamma,\,\alpha}(x))]가 [math(x=\dfrac{\gamma+\alpha}2)]에서 곡선 [math(f(x))]에 접함
중근 [math(x=\dfrac{\gamma+\alpha}2)]를 가짐
나머지 한 단일근을 [math(k)]라 하면 [math(2\times\dfrac{\gamma+\alpha}2+k=\alpha+\beta+\gamma)]에서 [math(k=\beta)]
[math(f(x)-l_{\beta,\,\gamma}(x)=a\left(x-\dfrac{\gamma+\alpha}2\right)^2(x-\beta))]

따라서 직선 [math(y=l_{\alpha,\,\beta}(x))], [math(y=l_{\beta,\,\gamma}(x))], [math(y=l_{\gamma,\,\alpha}(x))]는 각각 점 [math((\gamma,\,f(\gamma)))], [math((\alpha,\,f(\alpha)))], [math((\beta,\,f(\beta)))]를 지남이 증명되었다.

이 결과를 요약하면 다음과 같다. 삼차방정식 [math(f(x)-t=0)]의 세 근의 합은 삼차항의 계수와 이차항의 계수에만 의존하므로, [math(f(x))]에서 어떤 일차 이하의 다항식을 빼더라도 세 근의 합은 같을 수밖에 없다. 이때 기존의 삼차방정식 [math(f(x)-t=0)]의 세 실근 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]에서 두 개를 뽑아 그것들의 평균을 중근으로 갖되 삼차항의 계수와 이차항의 계수가 그대로 유지되는 새로운 삼차방정식을 세우면, 이 방정식의 나머지 한 단일근은 앞서 뽑지 않았던 나머지 한 근이 되는 것이다.

예제 [펼치기·접기]

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1980년 나고야대학 본고사 전기 문과 2번

한국어 번역

원점을 지나고 곡선 [math(C:\,y=x^3-3x^2+2x)]와 원점 이외의 점에서 접하는 직선 [math(l)]의 방정식을 구하라. 또한, 이 접선 [math(l)]과 곡선 [math(C)]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하라.

[math(x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2))]

이므로 곡선 [math(C)]는 [math(x=0)]. [math(x=1)], [math(x=2)]에서 [math(x)]축과 만난다. 이에 따라 곡선 [math(C)]와 접선 [math(l)]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 접점의 [math(x)]좌표는 [math(1)]과 [math(2)]의 평균인 [math(3/2)]이며, 위 그림에서 색칠된 두 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는 다항함수/공식/넓이 문서의 3.1문단에서 설명한 [math(1/12)] 공식을 사용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

[math(\dfrac{|1|}{12}\times\left(\dfrac32-0\right)^4=\dfrac{27}{64})]

실제 논술 시험에서는 왜 접점의 [math(x)]좌표가 [math(1)]과 [math(2)]의 평균이 되는지, 왜 [math(1/12)] 공식이 성립하는지를 별도로 증명하지 않으면 안 된다. 접점의 [math(x)]좌표는 앞서 밝힌 논리를 설명하여 쉽게 구하되 정적분은 직접 계산하는 편이 가장 나은 방식일 것이다.

나아가 위 그림과 같이 세 교점의 [math(x)]좌표 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]가 등차수열을 이룰 경우, 세 교점 및 두 접점의 [math(x)]좌표 역시 등차수열을 이룰 수밖에 없다. 이때, [math(\alpha)]와 [math(\gamma)]의 평균이 정확히 [math(\beta)]이므로, 점 [math((\beta,\,f(\beta)))]에서 그은 접선은 그 자체로 이미 [math(x)]좌표가 [math(\alpha)]와 [math(\gamma)]을 제외한 나머지, 즉 [math(\beta)]인 점을 지나고 있음에 주목하자. 그래서 이 접선은 다른 접선들과는 달리 곡선 [math(f(x))]와의 교점이 점 [math((\beta,\,f(\beta)))] 하나뿐이며, 이 점은 다름 아닌 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 변곡점이다. 이와 같이 직선이 접하면서 교차하는 형태에서는 다음과 같이 세제곱 인수가 도출된다. 이에 대해서는 다항함수/추론 참고.

[math(\begin{aligned}f(x)-l_{\alpha,\,\gamma}&=a\left(x-\dfrac{\alpha+\gamma}2\right)^3\\&=a(x-\beta)^3\end{aligned})]

따라서 방정식 [math(f(x)-l_{\alpha,\,\gamma}=0)]은 삼중근 [math(x=\beta)]를 가지며, [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]가 등차수열을 이루므로 세 근의 합은 다음과 같이 동일하게 유지된다.

[math(\alpha+\beta+\gamma=3\beta)]

즉, 삼차방정식 [math(\boldsymbol{f(x)=0})]의 세 실근의 합은 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 변곡점의 [math(\boldsymbol x)]좌표의 [math(\boldsymbol3)]배이다. [math(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d)]라 하면 방정식 [math(f(x)=0)]의 세 실근의 합은 [math(-b/a)]이므로, 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 변곡점의 [math(\boldsymbol x)]좌표는 [math(\boldsymbol{-b/3a})]이다.

좀 더 정확히 말하면, 일단 [math(l_{\alpha+\gamma})]는 [math(x=\beta)]에서의 접선이므로 [math(f(x)-l_{\alpha+\gamma}=0)]은 [math(x=\beta)]를 중근으로 갖는다. 나머지 한 근의 값을 [math(k)]라 하면

[math(\beta+\beta+k=\alpha+\beta+\gamma)]

이므로 [math(k=\beta)]가 되는 것이다. 즉, 일단은 [math(\beta)]가 중근이라는 것만 아는 상태에서 나머지 한 근의 값을 계산하니 그것 역시 [math(\beta)]라는 것을 나중에 알게 된 것이다. 즉, [math(\beta)]가 중근이라는 사실에서 출발했는데 알고 보면 그것이 중근을 넘어 삼중근이라는 사실을 사후적으로 알게 되었다고 보면 된다.

나아가 위 그림과 같이 동일한 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프에 대하여 직선 [math(y=g_1(x))], [math(y=g_2(x))]를 그었을 때 발생하는 교점의 [math(x)]좌표가 각각 [math(\alpha')], [math(\beta')] 그리고 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라고 하자. 이때, [math((\alpha',\,f(\alpha')))]만이 접점이다. 그러면 [math(g_1(x))]와 [math(g_2(x))]는 직선의 방정식이므로 일차식인바, 두 방정식

[math(f(x)-g_1(x)=0,\,f(x)-g_2(x)=0)]

의 세 실근의 합은 앞서 밝힌 논리에 따라 동일하다. 즉, [math(f(x)-g_1(x))] 및 [math(f(x)-g_2(x))]의 삼차항의 계수를 [math(a)], 이차항의 계수를 [math(b)]라 하면 위 그림의 경우 다음이 성립한다.

[math(\alpha'+\alpha'+\beta'=\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac ba)]

그밖에도 삼차함수의 그래프와 직선이 그려진 다양한 모양에 대하여 얼마든지 이러한 원리를 적용할 수 있다.

예제 [펼치기·접기]

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2023학년도 4월 12번

직선 [math(\rm AB)]의 방정식을 [math(y=h(x))]라 하면, [math(h(x))]는 일차식이므로 삼차식 [math(f(x)-h(x))]의 삼차항의 계수와 이차항의 계수는 [math(f(x))]와 마찬가지로 각각 [math(1)]과 [math(-6)]이다. 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(h(x))]는 [math(x=0)]에서 교차하고 [math(x=k)]에서 접하므로, 삼차방정식 [math(f(x)-h(x)=0)]은 단일근 [math(x=0)]과 중근 [math(x=k)]를 갖는다. 따라서

[math(0+k+k=-\dfrac{-6}1=6)]

에서 [math(k=3)]이다. 참고로 정답은 [math(\displaystyle\int_0^3g(x)\,{\rm d}x=-\dfrac{33}4)]이다.

경기도교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 직접 미분을 통하여 접선의 방정식을 세운 뒤 좌표를 대입하는 과정이 매우 번거롭다. 그러나 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하면 [math(f(x))]의 삼차항과 이차항만 보고도 [math(k)]의 값을 단숨에 알아낼 수 있다.

특히, 위 그림과 같이 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프와 한 점에서 접하고 한 점에서 교차하는 어떤 직선에 대하여 두 점의 [math(x)]좌표를 작은 것부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자. 그러면 이 두 상수의 평균을 나타내는 곡선 [math(f(x))] 위의 점에서 그은 접선은 앞서 그었던 직선의 접점을 지난다. 즉, 평균점의 접선은 왼쪽 그림에서는 직선이 [math(x=\beta)]에서 접하므로 [math((\beta,\,f(\beta)))]를, 오른쪽 그림에서는 직선이 [math(x=\alpha)]에서 접하므로 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]를 지난다. 이 역시 앞서 설명한 원리에 따라 당연히 성립하는 사실로서, 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 따라 다음이 성립하게 된다.

[math(\begin{aligned}\alpha+\alpha+\beta&=\alpha+\dfrac{\alpha+\beta}2+\dfrac{\alpha+\beta}2\\\alpha+\beta+\beta&=\dfrac{\alpha+\beta}2+\dfrac{\alpha+\beta}2+\beta\end{aligned})]

예제 [펼치기·접기]

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이러한 형태의 그래프는 이미 그어진 접선의 두 교점의 '평균점'에서 새로운 접선을 긋는다기보다는, 사실상은 접선을 그었을 때 발생하는 '교점'에서 다시금 또 다른 접선을 긋는 상황에서 많이 출제된다. 이러한 상황을 다루는 문제를 두 개 소개한다.

2016학년도 사관학교 A형 21번

접선 [math(l)]과 [math(m)]의 방정식을 각각 [math(l(x))], [math(m(x))]라 하고, 점 [math(\rm B)]와 [math(\rm C)]의 [math(x)]좌표를 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자. 그러면 위에서 밝힌 논리에 따라 두 삼차방정식

[math(f(x)-l(x)=0,\,f(x)-m(x)=0)]

의 세 근의 합은 동일하다. 이때, 직선 [math(l)]은 곡선 [math(f(x))]와 [math(x=0)]에서 접하고 [math(x=\alpha)]에서 교차하므로 전자의 방정식은 중근 [math(x=0)]과 단일근 [math(x=\alpha)]를 가지며, 직선 [math(m)]은 곡선 [math(f(x))]와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)]에서 교차하므로 후자의 방정식은 중근 [math(x=\alpha)]와 단일근 [math(x=\beta)]를 갖는다. 따라서

[math(0+0+\alpha=\alpha+\alpha+\beta)]

이므로 [math(\beta=-\alpha)]임을 쉽게 알아낼 수 있다. 참고로 추가적인 단서를 찾아 추론하면 정답은 ②이다.

2013학년도 10월 A형 20번

점 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]에서의 접선의 방정식을 각각 [math({\rm A}(x))], [math({\rm B}(x))]라 하면 세 삼차방정식

[math(f(x)=0,\,f(x)-{\rm A}(x)=0,\,f(x)-{\rm B}(x)=0)]

의 세 근의 합은 모두

[math(-\dfrac01=0)]

으로 일치한다. 따라서

[math(-1+(-1)+b=b+b+c=0)]

에서 [math(b=2)], [math(c=-4)]이다. 이에 따라 [math(f(b)+f(c)=-80)]을 풀면 정답은 [math(a=12)]이다. 엄밀한 설명을 위하여 삼차방정식을 직접 명시했지만 사실상은 무엇이 중근이고 무엇이 단일근인지만 파악하여 마지막 줄만 계산하면 끝이므로 이보다 편리할 수 없을 것이다.

서울특별시교육청에서는 다음과 같은 해설을 대표로 제시했는데, 접선의 방정식을 세운 뒤 그것을 [math(f(x))]와 연립하여 방정식을 푸는 번거로운 과정이 두 번이나 반복되므로 계산이 너무 오래 걸린다.

또한 다음과 같이 [math(f(x))]가 이차항이 없는 점을 이용한 다른 풀이도 제시했는데, 앞선 풀이보다는 편리하긴 하나 [math(f(x))]가 이차항이 없는 경우에만 그럴 뿐이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하는 방법에 비하여 한계가 명확하며, 방정식을 직접 세워야 하는 등 계산 자체도 여전히 더 오래 걸린다.

평균점에서 직접 접선을 긋는 문제로는 다음과 같은 예가 있다.

1988년 교토대학 본고사 후기 문과 4번

한국어 번역

삼차곡선 [math(y=-x^3+2x^2)] 위의 원점 이외의 점에서 그은 접선이 원점을 지날 때, 이 접선과 원래의 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하라.

[math(-x^3+2x^2=-x^2(x-2))]이므로 그 그래프와 문제에서 말하는 접선을 그리면 다음과 같다.

이 접선이 원점을 지나기 위해서는 그 접점의 [math(x)]좌표가 삼차곡선과 [math(x)]축의 두 교점의 [math(x)]좌표의 평균이어야 하는 것이다. 따라서 문제에서 구하고자 하는, 위 그림에서 색칠된 영역의 넓이는 다항함수/공식/넓이 문서에서 밝힌 [math(1/12)] 공식에 따라 다음과 같다.

[math(\dfrac{|-1|}{12}\times(1-0)^4=\dfrac1{12})]

실제 논술 시험에서는 이와 같은 공식을 별도의 증명 없이 사용해서는 안 되므로, 접선의 교점만 위에서 밝힌 논리대로 구하고 정적분은 직접 계산하는 편이 나을 것이다.

한편, 이상에서 알아본 사실을 활용하여 삼차함수 문서에서 밝혔던 [math(x)]좌표 간 거리의 성질을 기하학적으로 이해할 수도 있다. 다음 그림을 보자. 설명에 앞서, 위에서 여러 번 보았듯 두 실근의 평균을 [math(x)]좌표로 하는 곡선 [math(f(x))] 위의 점을 편의상 해당 두 실근의 '평균점'이라고 부르기로 하자.

위 그림에서, 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프와 세 번 만나는 임의의 [math(y)]축에 수직인 직선에 대하여 항상 초록색 선분이 빨간색 선분보다 길다는 사실을 삼차함수 문서에서 밝혔다. 위 그림의 주황색 점은 한 직선 위의 빨간색 점과 초록색 점을 이은 선분의 중점으로, 항상 극대점보다 [math(x)]좌표가 클 수밖에 없다. 따라서 이때 두 실근의 평균점에서의 [math(f(x))]의 미분계수는 음수이므로, 평균점에서의 접선은 우하향하여 오른쪽에 있는 검은색 점과 만날 수 있게 된다.

만약 초록색 선분과 빨간색 선분의 길이가 같다면, 평균점은 극대점이 될 것이며 평균점에서의 접선의 기울기는 [math(0)]이 되어 검은색 점과 만날 수 없게 되므로 모순이다. 또한 초록색 선분이 빨간색 선분보다 짧다면, 평균점은 극대점보다 왼쪽에 있게 되어 평균점에서의 접선의 기울기는 양수가 되므로 이 경우에도 평균점에서의 접선은 검은색 점과 만날 수 없게 되어 모순이다. 결론적으로, 위에서 설명한 사실이 성립하기 위해서는 초록색 선분이 빨간색 선분보다 길어야만 한다. 즉, 이 형태에서 평균점에서의 접선의 방정식은 상수식일 수 없으며 항상 일차식이다. 앞서 평균점에서의 접선의 방정식을 바로 일차식이라고 단정하지 않고 일차 이하의 다항식이라고 했었지만 이제는 일차식이라고 확신할 수 있는 것이다.

예제 [펼치기·접기]

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1968년 홋카이도대학 본고사 전기 문과 5번

한국어 번역

[math(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma))]가 있다. 단 [math(\alpha<\beta<\gamma)]라 하자.

방정식 [math(f(x)=m(x-\alpha))]가 [math(\alpha)]가 아닌 중근을 가질 때, [math(m)]의 값과 그 중근을 구하라.
방정식 [math(f'(x)=0)]은 서로 다른 두 실근을 가짐을 보이라.
방정식 [math(f'(x)=0)]의 두 근을 [math(A)], [math(B)] [math((A<B))]라 할 때, [math(\dfrac12(\alpha+\beta))]와 [math(A)]의 대소를 비교하라.

첫 번째 문제의 해설은 9.3.1.2문단을 참고하자. 두 번째 문제의 해설은 생략한다. 세 번째 문제의 상황을 그래프로 그리면 다음과 같다.

위 그림과 같이 앞서 밝힌 논리를 사용하면 [math(A<(\alpha+\beta)/2)]임을 증명할 수 있다.

1989년 나고야대학 본고사 전기 문과 1번

한국어 번역

함수 [math(f(x))]는 [math(x)]에 관한 삼차식이며 [math(x=0)]에서 극댓값 [math(3)]을 갖고, [math(x=1)]에서 극솟값 [math(-1)]을 갖는다고 하자.

[math(f(x))]를 구하여, 그 그래프의 개형을 구하라.
[math(f(x)=0)]의 음의 해를 [math(x=-\alpha)], 양의 해를 [math(x=\beta,\,\gamma\,(\beta<\gamma))]라 할 때, [math(\alpha<\beta)]임을 증명하라.

먼저 첫 번째 문제를 보자. [math(f(x))]가 [math(x=0)] 및 [math(x=1)]에서 극값을 가지므로 [math(f'(0)=f'(1)=0)]이다. 또한 [math(x=0)]에서 극대이고 [math(x=1)]에서 극소이므로 도함수 [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 양수이며, [math(f(x))] 역시 그러하다.

먼저 [math(f(x))]의 최고차항의 계수 [math(a)]의 값을 구하자. 다항함수/공식/길이 문서에서 설명한 길이 공식을 사용할 수도 있으나, 논술 시험에서 이러한 공식은 별도의 증명을 먼저 해 주지 않으면 마음대로 사용해서는 안 되므로 직접 함숫값들을 계산하여 구하자.

먼저 [math(f(x))]는 삼차식이므로 이를 미분한 [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(3a)]이고, [math(f'(0)=f'(1)=0)] 및 [math(f(0)=3)]이므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f'(x)&=3ax(x-1)=3ax^2-3ax\\\therefore f(x)&=ax^3-\dfrac32ax^2+3\end{aligned})]

이때 [math(f(1)=-1)]을 이용하면 [math(a=8)]을 구할 수 있다. 참고로 길이 공식을 사용하면 다음과 같이 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{|a|}2(1-0)^3&=3-(-1)=4\\\therefore |a|&=a=8\;(\because a>0)\end{aligned})]

따라서 [math(f(x)=8x^3-12x^2+3)]이며, 이를 그래프로 그리면 다음과 같다.

이제 두 번째 문제를 풀자. 이는 앞서 설명한 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 따른 논리가 그대로 적용되는 문제이다. 두 번째 문제의 상황은 다음과 같다.

[math(\alpha<\beta)]라는 것은 초록색 선분이 빨간색 선분보다 더 길다는 뜻이며, 앞서 설명한 논리에 따라 이를 증명할 수 있다.

5.4.3. 사차함수

위 그림과 같이 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프와 그 접선이 주어질 때, 교점의 [math(x)]좌표를 사차방정식의 근과 계수의 관계로 쉽게 구할 수 있다.

[math(f(x)=ax^4+bx^3+\cdots\;(a\neq0))]

으로 주어져 있으면 방정식 [math(f(x)=0)]은 삼중근 [math(x=\beta)] 및 단일근 [math(x=\delta)]를 갖고, 방정식 [math(f(x)-g(x)=0)]은 두 중근 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\gamma)]를 가진다. 또한 사차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 네 근의 합은 [math(-b/a)]이므로 다음이 성립한다.

[math(2\alpha+2\gamma=3\beta+\delta=-\dfrac ba)]

이를 이용하면 두 교점의 [math(x)]좌표 중 어느 하나가 알려져 있으면 다른 하나를 쉽게 구할 수 있다.

그밖에도 사차함수의 그래프와 직선이 그려진 다양한 모양에 대하여 얼마든지 이러한 원리를 적용할 수 있다.

예제 [펼치기·접기]

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2021년 홋카이도대학 본고사 후기 이과 1번

한국어 번역

[math(f(x)=4x^3+18x^2-48x)]라 하여, 곡선 [math(C:\,y=f(x))]를 생각하자.

[math(C)]의 변곡점을 모두 구하라.
[math(C)]의 변곡점 중 [math(x)]좌표가 최대인 것을 [math(P)]라 하자. 점 [math(P)]에서 그은 [math(C)]의 접선 [math(l)]의 방정식을 구하라.
[math(C)]와 (2)의 접선 [math(l)]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하라.

[math(f(x)=0)]이고 그 점 좌우에서 [math(f(x))]의 부호가 반대이면 변곡점이 되므로, 이를 계산하자. 방정식

[math(\begin{aligned}f''(x)&=12x^2+36x-48\\&=12(x+4)(x-1)=0\end{aligned})]

의 실근은 [math(x=-4)] 또는 [math(x=1)]이고 이 좌우에서 [math(f''(x))]의 부호가 반대이므로 여기에서 변곡점이 발생한다. [math(f(-4)=-256)]이고 [math(f(1)=-17)]이므로 변곡점은 [math((-4,\,-256))]과 [math((1,\,-17))] 두 개이다. 따라서 [math(P)]의 [math(x)]좌표는 [math(1)]이며, [math(l)]의 방정식은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f'(1)(x-1)+f(1)&=-26(x-1)+17\\&=-26x+9\end{aligned})]

[math(C)]와 [math(l)]로 둘러싸인 부분은 다음과 같다.

이때 위 그림과 같이 [math(C)]의 [math(l)]의 교점 중에서 접점이 아닌 것의 [math(x)]좌표는 [math(-9)]이다. [math(C)]의 방정식과 [math(l)]의 방정식을 각각 [math(f(x))], [math(g(x))]라 하면 사차방정식 [math(f(x)-g(x)=0)]의 네 근의 합은 [math(-(6/1)=-6)]이며, 삼중근 [math(1)]과 단일근의 합이 [math(-6)]이 되기 위해서는 단일근이 [math(-9)]여야 하기 때문이다. 따라서 문제에서 구하고자 하는, 위 그림에서 색칠된 영역의 넓이는 다항함수/공식/넓이 문서에서 설명한 [math(1/20)] 공식에 따라 다음과 같다.

[math(\dfrac{|-1|}{20}\times\{1-(-9)\}^4=\dfrac{10000}{20}=500)]

여기에서는 두 번째 소문제에서 직선의 방정식까지 직접 구했지만, 직선의 방정식을 모르더라도 세 번째 소문제에서 영역의 넓이는 정확히 구할 수 있음은 물론이다.

위 그림과 같이 이중접선이 존재하는 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프에 대하여, 이중접선의 두 접점의 [math(x)]좌표를 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\gamma)]라 하고, 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]에서 그은 또 다른 접선의 접점의 [math(x)]좌표를 [math(\beta)], 교차점의 [math(x)]좌표 중 [math(\alpha)]가 아닌 것을 [math(\delta)]라 하자. 이때 다음의 비율 관계가 성립한다.

[math((\beta-\alpha):(\gamma-\beta):(\delta-\gamma)=1:2:1)]

증명 [펼치기·접기]

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사차방정식의 근과 계수의 관계로 증명할 수 있다. 앞서 보았던 그림에서 곡선 [math(y=f(x))]의 이중접선의 방정식을 [math(y=g_1(x))], 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]에서 그은 또 다른 접선의 방정식을 [math(y=g_2(x))]라 하자. 그러면 [math(g_1(x))]와 [math(g_2(x))]는 모두 일차 이하의 다항식이므로 두 사차방정식

[math(f(x)-g_1(x)=0,\,f(x)-g_2(x)=0)]

의 사차항, 삼차항, 이차항의 계수는 동일하다. 따라서 사차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 방정식의 네 근의 합은 동일하며, 두 근끼리의 곱의 합 역시 동일하다. 이때 [math(g_1(x))]와 [math(g_2(x))]의 정의상 방정식 [math(f(x)-g_1(x)=0)]은 중근 [math(x=\alpha)] 또는 중근 [math(x=\gamma)]를 갖고 방정식 [math(f(x)-g_2(x)=0)]은 단일근 [math(x=\alpha)] 또는 중근 [math(x=\beta)] 또는 단일근 [math(x=\delta)]를 갖는다. 이때 두 방정식의 사차항의 계수를 [math(a)], 삼차항의 계수를 [math(b)], 이차항의 계수를 [math(c)]라 하고, 이상의 사실들을 종합하여 사차방정식의 근과 계수의 관계로 나타내면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}-\dfrac ba&=\alpha+\alpha+\gamma+\gamma\\&=\alpha+\beta+\beta+\delta\\\dfrac ca&=\alpha^2+\alpha\gamma+\alpha\gamma+\alpha\gamma+\alpha\gamma+\gamma^2\\&=\alpha\beta+\alpha\beta+\alpha\delta+\beta^2+\beta\delta+\beta\delta\end{aligned})]

위 식을 정리하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\alpha+2\gamma&=2\beta+\delta&\cdots{\rm (a)}\\\alpha^2+4\alpha\gamma+\gamma^2&=2\alpha\beta+\alpha\delta+\beta^2+2\beta\delta\;&\cdots{\rm (b)}\end{aligned})]

그러면 위 두 식 중 네 근의 합 측면에서는 [math(\rm (a))], 두 근끼리의 곱의 합 측면에서는 [math(\rm (b))]가 성립하는 것이다. 이제 이 두 식이 성립할 때

[math((\beta-\alpha):(\gamma-\beta):(\delta-\gamma)=1:2:1)]

이 성립함을 보이면 된다. 먼저 [math(\rm (a))]의 양변을 [math(3)]으로 나누어

[math(\dfrac{\alpha+2\gamma}3=\dfrac{2\beta+\delta}3)]

의 꼴로 고치면, 좌변은 [math(\gamma)]에 [math(\alpha)]의 [math(2)]배, 우변은 [math(\beta)]에 [math(\delta)]의 [math(2)]배의 가중치를 부여한 가중 평균이 된다. 이에 가중 평균의 값을 [math(m)]으로 놓고 양수 [math(k)], [math(l)]에 대하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}\alpha&=m-2k\\\beta&=m-l\\\gamma&=m+k\\\delta&=m+2l\end{aligned})]

이때 증명하고자 하는 [math(1:2:1)]의 비율 관계가 성립하기 위해서는 [math(k=l)]이어야 한다. 위 식들을 다음과 같이 [math(\rm (b))]에 대입하여 [math(k=l)]임을 보이자.

[math(\begin{aligned}&(m-2k)^2+4(m-2k)(m+k)+(m+k)^2\\=\,&2(m-2k)(m-l)+(m-2k)(m+2l)+(m-l)^2+2(m-l)(m+2l)\end{aligned})]

양변을 전개하여 정리하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}6m^2-6mk-3k^2&=6m^2-6mk-3l^2\\\therefore k^2&=l^2\end{aligned})]

이때 [math(k=-l)]이면 [math(\alpha=\delta)]가 되고 [math(\beta=\gamma)]가 되어 버리는데 [math(\alpha<\beta<\gamma<\delta)]라는 사실에 위배되므로 모순이다.[3] 따라서 [math(k=l)]이며, [math(1:2:1)]의 비율 관계가 증명되었다.

예제 [펼치기·접기]

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9.2.2문단에서 동일한 비율 관계를 다른 방식으로 접근하여 설명하므로 9.2.2문단을 참고하자. 단, 여기에서는 그중 한 문제를 공식을 적용하지 않고 사차방정식의 근과 계수의 관계로 풀어보자.

2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 94쪽 4번

문제의 조건을 모두 만족시키는 사차함수 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같다.

곡선 [math(f(x))]의 이중접선의 방정식을 [math(y=g(x))]라 하면, 두 사차방정식

[math(f(x)=0,\,f(x)-g(x)=0)]

은 네 근의 합이 같고 두 근끼리의 곱의 합도 같다. 먼저 네 근의 합 측면에서는

[math(\begin{aligned}\alpha+0+0+1&=\beta+\beta+1+1\\\therefore\alpha&=2\beta+1\end{aligned})]

이 도출되며, 두 근끼리의 곱의 합의 측면에서는

[math(\alpha=\beta^2+\beta+\beta+\beta+\beta+1=\beta^2+4\beta+1)]

이 도출된다. 이때 두 근끼리의 곱의 합에서는 네 근 중 [math(0)]이 아닌 것끼리의 곱만이 의미가 있으므로, 사차방정식 [math(f(x)=0)]의 네 근 [math(a)], [math(0)], [math(0)], [math(1)]에서 [math(0)]이 아닌 것은 [math(a)]와 [math(1)]뿐이므로 이 둘의 곱인 [math(a)]가 두 근끼리의 곱의 합인 것이다. 이제 위 두 식을 연립하면

[math((\beta^2+4\beta+1)-(2\beta+1)=\beta^2+2\beta=0)]

에서 [math(\beta<0)]이므로 [math(\beta=-2)]이다. 따라서 구하고자 하는 위 그림의 색칠된 부분의 넓이는 다항함수/공식/넓이 문서의 4.3문단에서 밝힌 [math(1/30)] 공식에 따라 다음과 같다.

[math(\dfrac{|1|}{30}\times\{1-(-2)\}^5=\dfrac{81}{10})]

참고로 [math(\alpha=2\beta+1=-3)]인데, 넓이 공식을 알고 있으면 [math(\alpha)]의 값을 구하지 않고도 정답을 알아낼 수 있는 것이다. 또한 문제의 보기 중 분자가 거듭제곱수인 것은 ①밖에 없으므로, 문제를 풀기도 전에 ①이 정답임을 짐작할 수 있다.

실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 그래프의 개형을 추론하기보다 지나치게 대수적으로만 접근하여 복잡한 계산을 피할 수 없게 된 점과, [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 값 및 사차함수의 정적분을 모두 공식 없이 계산한 점이 매우 미흡하다. 이 방법으로는 [math(\beta)]의 값을 구하기 이전에 [math(\alpha)]의 값을 반드시 구해야만 한다. 반면 공식을 사용하면 [math(\alpha)]의 값을 굳이 구하지 않고서도 [math(\beta)]의 값과 영역의 넓이를 단숨에 구할 수 있다.

5.4.4. 총정리

위에서 밝혔듯이 [math(n)]차방정식 [math(f(x)=0)]의 모든 근의 합은 [math(f(x))]의 [math(n)]차항 및 [math((n-1))]차항의 계수에만 의존한다. 따라서 [math(n=2)]일 때만 일차항의 계수가 중요하며, [math(n\geq3)]이면 일차항의 계수는 모든 근의 합에 아무런 영향을 미치지 못한다. 바로 그렇기 때문에 유독 이차함수의 경우에만 직선의 기울기를 동일하게 유지시켜야만 했던 것이다. 이와 달리 삼차 이상의 경우에는 직선의 기울기를 마구 바꾸더라도 세 근의 합을 얼마든지 동일하게 유지할 수 있다는 것이 결정적인 차이점이다. 나아가 같은 원리에 의하여 삼차방정식은 두 근끼리의 곱의 합이 삼차항 및 일차항의 계수에 의존하는 반면, 사차방정식은 사차항 및 이차항의 계수에 의존하므로 사차방정식은 삼차방정식과 달리 직선의 기울기를 마구 바꾸더라도 두 근끼리의 곱의 합이 유지되어 이를 증명에서 단서로 활용할 수 있다.

5.5. 부분분수분해: 영점에서의 함숫값의 역수의 합

자세한 내용은 부분분수분해 문서

#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를

#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[부분분수분해#s-3.1|3.1]]번 문단을

#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[부분분수분해#|]][[부분분수분해#|]] 부분을

참고하십시오.
이는 Heaviside cover-up method와 깊은 관련이 있다. 공식과 그에 대한 증명과 예제는 부분분수분해 문서를 참고하자. 이 공식은 본 문서의 4.3.1 문단에서도 증명에 활용된다.

6. 길이와 넓이의 관계

이 문단의 일부에서는 다항함수/공식/길이 문서와 다항함수/공식/넓이 문서에서 설명한 길이 공식과 넓이 공식의 관계를 설명하므로 해당 내용들을 먼저 참고하라.

6.1. 이차함수·삼차함수

그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 [math(y=f(x))]와 그 도함수 [math(y=f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하고, [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면, [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(3a)]이므로 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]와 [math(y=f(x))]의 극댓값과 극솟값의 차 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac{|3a|}{2\cdot 3}(\beta-\alpha)^{3}=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^{3} \\ l&=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^{3}\\ \therefore S&=l \end{aligned} )]

이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 [math(x)]축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned} S&=-\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\beta)-f(\alpha)\}\\&=f(\alpha)-f(\beta)\\&=l \end{aligned})]

개형이 위의 그림과 같은 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프의 극점을 위쪽부터 [math(\rm A)], [math(\rm B)]라 하고, 이 두 점의 접선이 삼차함수의 그래프와 교차하는 점을 위쪽부터 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]라 하면 위의 성질에 따라 다음이 성립한다.

[math(S_{1}=S_{2}=S_{3})]

예제 [펼치기·접기]

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2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 86쪽 예제 3번

이 사실 그대로가 출제된 문제이다. 공식에 따르면 [math(a_n=3n/2)]이므로 정답은 다음과 같다.

[math(\displaystyle\sum_{n=1}^8a_n=\sum_{n=1}^8\dfrac32n=\dfrac32\times\dfrac{8\times9}2=54)]

수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 공식을 모르는 상태에서 [math(a_n)]의 일반항을 유도하는 것은 상당히 번거롭다. 반면 공식을 알고 있다면 아주 빠르게 문제를 해결할 수 있다.

2023학년도 수능특강 수학Ⅱ 93쪽 예제 3번

먼저 함수 [math(y=3x^2-6x)]의 그래프와 [math(x)]축과의 교점의 [math(x)]좌표를 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자.

함수 [math(y=3x^2-6x)]는 이차함수이므로, [math(A=B)]이려면

[math((\beta-\alpha):(k-\beta)=2:1)]

이어야 한다. 방정식 [math(3x^2-6x=0)]을 풀면 [math(x=0)] 또는 [math(x=2)]이므로 [math(\alpha=0)], [math(\beta=2)]이다. 따라서 [math(k=3)]이다.

수능특강 본문에서는 위와 같은 해설을 제시했는데, 직접 정적분을 계산해야 하므로 다소 번거롭다. 반면 공식을 알고 있다면 간단한 암산을 거쳐 사실상 눈으로도 풀 수 있게 된다.

2024학년도 수능특강 수학Ⅱ 97쪽 5번에도 출제되었으며, 같은 원리로 정답은 ③이다.

6.2. 삼차함수·사차함수

그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]와 도함수 [math(f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자. 한편 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면 [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(4a)]이므로, 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]와 접선의 기울기가 [math(0)]인 [math(f(x))]의 그래프 위의 점들의 [math(y)]좌표 간 거리 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned} S&=\dfrac{|4a|}{3\cdot 4}(\beta-\alpha)^{4}=\dfrac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^{4} \\ l&=\dfrac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^{4}\\ \therefore S&=l \end{aligned} )]

이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 [math(x)]축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned} S&=-\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\beta)-f(\alpha)\}\\&=f(\alpha)-f(\beta)\\&=l \end{aligned})]

그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]와 도함수 [math(f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(0)], [math(3\alpha)]라 하자. 이때 위 그림에서 색칠된 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]에 대하여, 다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 길이 관계에 따라서 [math(f(-\alpha)=f(3\alpha))]이기 때문에 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}S_1&=\left|\displaystyle\int_{-\alpha}^0f'(x)\;{\rm d}x\right|\\&=|f(0)-f(-\alpha)|=f(-\alpha)-f(0)\\=S_2&=\int_0^{3\alpha}f'(x)\;{\rm d}x=f(3\alpha)-f(0)\end{aligned})]

나아가 위 그림과 같이 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프에 접점이 변곡점이 아닌 임의의 접선 [math(y=g(x))]를 그었을 때, 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(g(x))]가 [math(x=\beta)]에서 교차하고 [math(x=\gamma)]에서 접한다고 하자. 이때, 각기 다른 색으로 표시된 두 영역은 다음과 같이 정의되며 위 그림과 같이 [math(\boldsymbol{\gamma-\beta=3(\beta-\alpha)})]일 때 마찬가지의 넓이 관계가 성립한다.

[math(\begin{aligned}{\color{#DA3832}S_1}&={\color{#DA3832}\displaystyle\int_\alpha^\beta\{g(x)-f(x)\}\;{\rm d}x}\\{\color{#55AE58}S_2}&={\color{#55AE58}\displaystyle\int_\beta^\gamma\{f(x)-g(x)\}\;{\rm d}x}\end{aligned})]

나아가 위 그림과 같이 삼차함수의 그래프와 이차함수의 그래프가 왼쪽 점에서 접하고 오른쪽 점에서 교차할 때, 두 점의 [math(x)]좌표를 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하면 [math(\boldsymbol{\gamma-\beta=3(\beta-\alpha)})]일 때 마찬가지의 넓이 관계가 성립한다.

예제 [펼치기·접기]

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파일:2022 수능완성 수학Ⅰ·수학Ⅱ·미적분Ⅰ 실전 모의고사 2회 19번.png

2022학년도 수능완성 수학Ⅰ·수학Ⅱ·미적분Ⅰ 실전 모의고사 2회 19번

먼저 점 [math(A_p)]의 [math(x)]좌표를 구하자. 방정식 [math(x^3=px^2)]을 풀면 [math(x=0)] 또는 [math(x=p)]이고, 점 [math(A_p)]는 제1사분면 위의 점이므로 [math(x)]좌표는 [math(p)]이다. 삼차함수의 그래프와 이차함수의 그래프가 [math(x=0)]에서 접하고 점 [math(A_p)]에서 교차하며 [math(S_p=T_p)]라면 위에서 밝힌 비율 관계에 따라 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}(p-0):(a_p-p)&=3:1\\\rightarrow a_p&=\dfrac43p\\\\\therefore\displaystyle\lim_{p\to\infty}\dfrac{6a_p}{p+1}&=\cfrac{6\times\dfrac43}1=8\end{aligned})]

실제 수능완성에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 일일이 정적분을 계산해야 하므로 공식의 편리함을 실감할 수 있다.

파일:2022 수능완성 수학Ⅰ·수학Ⅱ·미적분Ⅰ 실전 모의고사 2회 19번 정식 해설.png

그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]와 도함수 [math(f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하자. 이때, [math(\beta)]는 [math(\alpha)]와 [math(\gamma)]의 평균으로서 점 [math((\beta,\,f'(\beta)))]는 곡선 [math(f'(x))]의 변곡점이다. 한편 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면 [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(4a)]이므로, 색칠된 부분의 넓이 [math(S_1)] 및 [math(S_2)]와 접선의 기울기가 0인 [math(f(x))]의 그래프 위의 점들의 [math(y)]좌표 간 거리 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned} S_1=S_2&=\dfrac{|4a|}4(\beta-\alpha)^{4}=|a|(\beta-\alpha)^{4}\\&=\dfrac{|4a|}4(\gamma-\beta)^{4}=|a|(\gamma-\beta)^{4} \\ l&=|a|(\beta-\alpha)^{4}\\ \therefore S&=l \end{aligned} )]

이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분 중 [math(S_1)]은 [math(x)]축보다 위에, [math(S_2)]는 아래에 있으므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned} S_1&=\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=f(\beta)-f(\alpha)\\=S_2&=-\displaystyle\int_\beta^\gamma f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\gamma)-f(\beta)\}\\&=f(\beta)-f(\gamma)\\&=l\end{aligned})]

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6.3. 사차함수(3:2 공식)

위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 [math(x=\alpha)]에서 [math(x)]축과 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 곡선 [math(f(x))]와 [math(x)]축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의된다.

[math(\begin{aligned}S_1&=\left|\displaystyle\int_\alpha^\beta f(x)\,{\rm d}x\right|\\S_2&=\left|\displaystyle\int_\beta^\gamma f(x)\,{\rm d}x\right|\end{aligned})]

그러면 [math(\boldsymbol{S_1=S_2})]이기 위한 필요충분조건은 [math(\boldsymbol{(\beta-\alpha):(\gamma-\beta)}=3:2)]이다. 또한 이때의 [math(S_1=S_2)]의 값은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}S_1&=\dfrac{4|a|}{45}(\beta-\alpha)^5\\=S_2&=\dfrac{27|a|}{40}(\gamma-\beta)^5\end{aligned})]

[math(f(x)=a(x-\alpha)^2(x-\beta)(x-\gamma))]

증명(정적분 공식) [펼치기·접기]

----
계산의 편의를 위하여 위 그림에서 [math(\alpha=0)]이라 하여

[math(f(x)=ax^2(x-\beta)(x-\gamma))]

라 하자. 그러면 [math((\beta-\alpha):(\gamma-\beta)=3:2)]이기 위해서는 [math(5\beta=3\gamma)]이면 되므로 이를 증명하자. 식을 적당히 조작한 다음 다항함수/공식/넓이 문서의 3.1문단에서 설명한 [math(1/12)] 공식과 다항함수/공식/넓이 문서의 4.2문단에서 설명한 [math(1/20)] 공식을 활용하여 알기 쉽게 증명할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^\gamma ax^2(x-\beta)(x-\gamma)\,{\rm d}x&=\int_0^\gamma ax^3(x-\gamma)\,{\rm d}x-\int_0^\gamma a\beta x^2(x-\gamma)\,{\rm d}x\\&=a\left(-\dfrac1{20}\gamma^5+\dfrac1{12}\beta\gamma^4\right)=0\\\therefore\dfrac1{12}\beta\gamma^4&=\dfrac1{20}\gamma^5,\;5\beta=3\gamma\end{aligned})]

이제 이때의 [math(S_1=S_2)]의 값을 구해 보자. 계산의 편의를 위하여 [math(S_1)]을 계산하자. 이때 양수 [math(k)]에 대하여 [math(\beta-\alpha=3k)]로 놓으면 다음이 성립한다. 이때에도 [math(1/12)] 공식과 [math(1/20)] 공식을 활용하면 된다.

[math(\begin{aligned}S_1&=\left|\displaystyle\int_0^{3k}ax^2(x-3k)(x-5k)\,{\rm d}x\right|\\&=\left|\displaystyle\int_0^{3k}ax^3(x-3k)\,{\rm d}x-5k\displaystyle\int_0^{3k}ax^2(x-3k)\,{\rm d}x\right|\\&=\left|-\dfrac a{20}(3k)^5+5k\times\dfrac a{12}(3k)^4\right|\\&=|a|\times(3k)^4\times\left

이를 [math(k)]가 아닌 [math((\beta-\alpha))] 및 [math((\gamma-\beta))]에 관한 식으로 고치면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{108|a|}5k^5&=\dfrac{108|a|}5\times\left(\dfrac{\beta-\alpha}3\right)^5=\dfrac{4|a|}{45}(\beta-\alpha)^5\\&=\dfrac{108|a|}5\times\left(\dfrac{\gamma-\beta}2\right)^5=\dfrac{27|a|}{40}(\gamma-\beta)^5\end{aligned})]

증명(길이 공식) [펼치기·접기]: ----

위 그림은 위에서 언급한 [math(f(x)=a(x-\alpha)^2(x-\beta)(x-\gamma))]와 그 부정적분 [math(y=F(x))]의 그래프를 나타낸 것이다. 먼저, 미적분학의 기본정리에 의하여 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}S_1&=\displaystyle\int_\alpha^\beta f(x)\,{\rm d}x\\&=F(\beta)-F(\alpha)\\S_2&=-\displaystyle\int_\beta^\gamma f(x)\,{\rm d}x\\&=F(\beta)-F(\gamma)\end{aligned})]

따라서 [math(S_1=S_2)]이기 위한 필요충분조건은 [math(F(\alpha)=F(\gamma))]이며, 이를 위해서는 곡선 [math(F(x))]가 위 그림과 같은 형태를 띠어야 한다. 이때 [math(F(x))]의 식은 그 개형상

[math(F(x)=\dfrac15a(x-\alpha)^3(x-\gamma)^2+C)]

이므로, 다항함수/공식/길이 문서의 6.1문단에서 밝힌 원리에 따라 길이의 비는 지수의 비와 일치하므로 결국 다음의 결론을 얻는다.

[math((\beta-\alpha):(\gamma-\beta)=3:2)]

예제 [펼치기·접기]

----

2024학년도 수능특강 수학Ⅱ 99쪽 5번

[math(\begin{aligned}f(x)&=x^4-(1+a)x^3+ax^2\\&=x^2\left\{x^2-(1+a)x+a\right\}\\&=x^2(x-a)(x-1)\end{aligned})]

이고 [math(a)]는 [math(1)]이 아닌 양수이므로 [math(f(x))]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

비율 관계에 따라, [math(S_1=S_2)]이기 위해서는 [math(a<1)]이면 [math(a=3/5)], [math(a>1)]이면 [math(a=5/3)]이므로 정답은 [math(3/5+5/3=34/15)]이다.

실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, [math(a<1)]인 경우와 [math(a>1)]인 경우로 나누어 사차함수의 정적분을 두 번이나 계산해야 하므로 매우 번거롭다. 그러나 공식을 사용하는 경우 [math(f(x))]를 인수분해하기만 하면 간단하게 답을 구할 수 있다.

파일:2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 99쪽 5번 수특 해설.jpg

2023학년도 수능특강 수학Ⅱ 97쪽 5번에도 출제되었으며, 같은 원리로 답은 ②이다.

나아가 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 일차함수 [math(g(x))]의 그래프와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(g(x))]로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의되며 마찬가지의 관계가 성립한다.

[math(\begin{aligned}S_1&=\left|\displaystyle\int_\alpha^\beta\{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x\right|\\S_2&=\left|\displaystyle\int_\beta^\gamma\{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x\right|\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}f(x)-g(x)&=a(x-\alpha)^2(x-\beta)(x-\gamma)\\g(x)&=mx+n\end{aligned})]

예제 [펼치기·접기]

----

2024학년도 5월 12번

[math(S_1=S_2)]이므로 점 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]의 [math(x)]좌표를 각각 [math(a)], [math(b)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(a:(b-a)=3:2)]

이때 [math(\overline{\rm AB}=\sqrt5)]이고 점 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]가 기울기가 [math(1/2)]인 직선 위에 있으므로 피타고라스의 정리를 사용하면

[math((b-a)^2+\left\{\dfrac12(b-a)\right\}^2=\sqrt5^2=5)]

에서 [math(b-a=2)]가 간단히 도출되며, 따라서 [math(a=3,\,b=5)]임을 빠르게 알 수 있다. 최종적으로 정답은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=x^2(x-3)(x-5)+\dfrac12x\\\therefore f(1)&=\dfrac{17}2\end{aligned})]

경기도교육청에서는 위와 같은 해설을 제시했는데, 직접 정적분을 계산하여 [math(a)]와 [math(b)]의 값을 구하는 계산이 너무 번거롭다. 반면 공식을 사용하면 정적분을 계산하지 않고도 [math(a)]와 [math(b)]의 값을 사실상 암산만으로도 순식간에 구할 수 있다.

나아가 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 이차함수 [math(g(x))]의 그래프와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 두 곡선 [math(f(x))]와 [math(g(x))]로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의되며 마찬가지의 관계가 성립한다.

[math(\begin{aligned}S_1&=\left|\displaystyle\int_\alpha^\beta\{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x\right|\\S_2&=\left|\displaystyle\int_\beta^\gamma\{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x\right|\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}f(x)-g(x)&=a(x-\alpha)^2(x-\beta)(x-\gamma)\\g(x)&=mx^2+\cdots\end{aligned})]

나아가 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 삼차함수 [math(g(x))]의 그래프와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 두 곡선 [math(f(x))]와 [math(g(x))]로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의되며 마찬가지의 관계가 성립한다.

[math(\begin{aligned}S_1&=\left|\displaystyle\int_\alpha^\beta\{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x\right|\\S_2&=\left|\displaystyle\int_\beta^\gamma\{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x\right|\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}f(x)-g(x)&=a(x-\alpha)^2(x-\beta)(x-\gamma)\\g(x)&=mx^3+\cdots\end{aligned})]

나아가 위 그림과 같이 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 두 사차함수 [math(f(x))] 및 [math(g(x))]의 그래프가 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 두 곡선 [math(f(x))]와 [math(g(x))]로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의된다.

[math(\begin{aligned}S_1&=\left|\displaystyle\int_\alpha^\beta\{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x\right|\\S_2&=\left|\displaystyle\int_\beta^\gamma\{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x\right|\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}f(x)-g(x)&=(a-a')(x-\alpha)^2(x-\beta)(x-\gamma)\\f(x)-g(x)&=ax^4+\cdots,\,g(x)=a'x^4+\cdots\end{aligned})]

이때, [math(S_1=S_2)]의 값은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}S_1&=\dfrac{4|a-a'|}{45}(\beta-\alpha)^5\\=S_2&=\dfrac{27|a-a'|}{40}(\gamma-\beta)^5\end{aligned})]

7. 길이와 기울기의 관계

이 문단에서는 다항함수/공식/길이 문서에서 설명한 길이 공식과 위에서 설명한 기울기 공식의 관계를 설명하므로 해당 내용들을 먼저 참고하라.

7.1. 이차함수

다항함수/공식/길이 문서에서 밝혔듯이, 위 그림에서 색이 같은 선분끼리는 길이가 같다고 했다. 곧, 곡선 [math(f(x))] 위의 세 점의 [math(x)]좌표는 등차수열을 이룬다. 또한, 위 그림에서 직선 [math(y=g_1(x))]와 [math(y=g_2(x))]는 평행하다고 했다. 다시 말해서 이차함수의 그래프 위의 임의의 두 점을 지나는 직선의 기울기는, 이 두 점의 [math(x)]좌표의 평균을 [math(x)]좌표로 하는 곡선 [math(f(x))] 위의 점에서의 접선의 기울기와 같다. 또한, 곡선 [math(f(x))] 위의 세 점의 [math(x)]좌표가 등차수열을 이루면 각 접선의 기울기 역시 등차수열을 이룬다고 했으므로, 최종적으로는 이차함수의 그래프 위의 임의의 두 점을 지나는 직선의 기울기가 두 점에서의 접선의 기울기의 평균과 같음이 여기에서도 확인된 셈이다.

다항함수/공식/길이 문서에서 밝혔듯이, [math(f(x))]가 이차함수이면 [math(\overline{\rm BD}=\overline{\rm DE})]라고 했다. 또한 [math(\overline{\rm AD})]의 기울기와 [math(\overline{\rm AE})]의 기울기의 비는 [math(1:2)]라고 했다. 이 두 공식은 다음과 같이 연계할 수 있다.

[math(\left(\overline{\rm AD}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)=-\dfrac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm AB}},\,\left(\overline{\rm AE}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)=-\dfrac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm AB}})]

[math(\begin{aligned}\therefore\left(\overline{\rm AD}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right):\left(\overline{\rm AE}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)&=-\dfrac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm AB}}:-\dfrac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm AB}}\\&=\overline{\rm BD}:\overline{\rm BE}=1:2\end{aligned})]

[math(\left(\overline{\rm CD}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)=\dfrac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm BC}},\,\left(\overline{\rm CE}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)=\dfrac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm BC}})]

[math(\begin{aligned}\therefore\left(\overline{\rm CD}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right):\left(\overline{\rm CE}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)&=\dfrac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm BC}}:\dfrac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm BC}}\\&=\overline{\rm BD}:\overline{\rm BE}=1:2\end{aligned})]

8. 넓이와 기울기의 관계

이 문단에서는 다항함수/공식/넓이 문서에서 설명한 넓이 공식과 위에서 설명한 기울기 공식의 관계를 설명하므로 해당 내용들을 먼저 참고하라.

8.1. 이차함수

상수 [math(\alpha)], [math(\beta)]와 [math(a<t<b)]인 실수 [math(t)]에 대하여, 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 이차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 세 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))], [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((t,\,f(t)))] 즉 [math(\rm A)], [math(\rm T)], [math(\rm B)]를 이은 삼각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 [math(t)]의 값은 다항함수/공식/넓이 문서에서 밝혔듯이 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 평균, 곧 [math((\alpha+\beta)/2)]이다. 이번에는 기하학적인 방법으로 구해 보자.

삼각형의 넓이는 결국, 선분 [math(\overline{\rm AB})]의 길이에, [math(\overline{\rm AB})]와 점 [math(\rm T)]의 거리를 곱한 뒤 [math(2)]로 나눈 값이다. 이때, 선분 [math(\overline{\rm AB})]의 길이는 정해져 있으므로 결국 삼각형의 넓이는 해당 선분과 점의 거리에 의존한다. 곧, 선분 [math(\overline{\rm AB})]와의 거리가 최대가 되는 점 [math(\rm T)]를 찾으면 되는 것이다. 거리가 최대가 되기 위해서는 기하학적으로 이 점 [math(\rm T)]에서의 곡선 [math(f(x))]에 대한 접선의 기울기가 다음 그림과 같이 선분 [math(\overline{\rm AB})]와 같아야 한다.

위에서 밝혔듯이 두 선이 평행하기 위해서는 점 [math(\rm T)]의 [math(x)]좌표가 나머지 두 점의 [math(x)]좌표의 평균이어야 하므로, 대수적으로 구할 때와 마찬가지로 구하는 [math(t)]의 값은 다음과 같다.

[math(t=\dfrac{\alpha+\beta}2)]

예제 [펼치기·접기]

----

1972년 홋카이도대학 본고사 전기 문과 6번

한국어 번역

포물선 [math(y=x^2)] 위의 점 [math(A)], [math(B)]가 있다. [math(P)]는 포물선 위에서 [math(A)]와 [math(B)] 사이에 있는 점으로, 포물선과 현 [math(AP)]로 둘러싸인 도형의 면적 [math(S_1)]과 포물선과 현 [math(BP)]로 둘러싸인 도형의 면적 [math(S_2)]의 합이 최소가 되도록 하는 점이다.

[math(S_1)]과 [math(S_2)]의 비를 구하라.
점 [math(P)]에서의 포물선의 접선에 수직인 직선과 [math(A)], [math(B)]를 지나는 직선이 이루는 각을 구하라.

첫 번째 문제는 다항함수/공식/넓이 문서에서 해설하므로 그쪽을 참고하자. 여기에서는 두 번째 문제만을 해설한다.

위 그림은 문제의 상황을 그래프로 그린 것이다. 다항함수/공식/넓이 문서에서 해설했듯이 [math(A)], [math(P)], [math(B)]의 [math(x)]좌표는 등차수열을 이루어야 하며, 앞서 알아본 논리에 따라 이 경우 점 [math(P)]에서의 접선은 선분 [math(AB)]와 평행하다. 따라서 점 [math(P)]에서의 접선에 수직인 직선은 선분 [math(AB)]에 대해서도 수직이므로, 두 선이 이루는 각은 [math(90\degree)]이다.

9. 기울기와 방정식의 관계

9.1. 이차함수

앞서 밝혔듯이 이차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 서로 다른 임의의 세 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))], [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((\gamma,\,f(\gamma)))]에 대하여 다음이 성립한다.

[math(\dfrac{\alpha+\gamma}2=\beta\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{f(\gamma)-f(\alpha)}{\gamma-\alpha}=f'(\beta))]

그런데 이는 사실 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해서도 증명된다.

위 그림과 같이 직선의 기울기가 일정하면 이차방정식의 두 근의 합도 일정하므로, 직선이 접하여 그에 따른 이차방정식이 중근을 가질 때는 두 근의 평균을 중근으로 가져야 두 근의 합이 일정하게 유지된다는 것을 앞서 알아본 바 있다.

이와 같이 이차함수는 임의의 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 점이 항상 해당 구간의 정중앙에 존재한다는 사실은 근과 계수의 관계를 통해 이해하는 편이 더욱 직관적이고 유용하다. 그뿐만 아니라 단순히 직접 평균변화율과 순간변화율을 계산하여 두 값이 같음을 보이는 것은 추가적인 통찰이나 응용의 여지를 가져다주기가 어렵기도 하다. 반면 근과 계수의 관계의 테크닉은 삼차함수나 사차함수에 그대로 적용할 경우 요긴한 공식이 많이 도출된다.

9.2. 기울기 함수

다항함수 [math(y=f(x))]에서 [math(x)]의 값이 실수 [math(a)]에서 [math(t)]까지(또는 [math(t)]에서 [math(a)]까지) 변할 때의 평균변화율을 [math(g(t))]라는 새로운 함수로 정의하여, 앞서 알아본 여러 다항함수의 성질들을 또 다른 시각에서, 때로는 더욱 편리하게 분석할 수 있다. 분석이 편리해질 수 있는 이유는 [math(g(t))]가

[math(g(t)=\dfrac{f(t)-f(a)}{t-a}\quad(t\neq a))]

로 정의되므로, 인수정리에 의하여 분모와 분자가 모두 [math((t-a))]를 인수로 가짐으로써 이를 약분하면 [math(g(t))]의 차수가 [math(f(x))]보다 하나 낮아지기 때문이다. 이는 삼차함수나 사차함수를 보다 단순한 이차함수와 삼차함수로서 분석할 수 있게 해 주는 것이다. [math(g(t))]는 결국 곡선 [math(y=f(x))] 위의 두 점 [math((a,\,f(a)))]와 [math((t,\,f(t)))]를 이은 선분의 기울기라는 기하학적 의미를 갖는다. 이 기울기의 증감을 조사하는 것이 다항방정식의 근과 계수의 관계를 이용하는 것과는 또 다른 훌륭한 접근법이 될 수 있다. 이 내용을 '기울기와 방정식의 관계' 문단에서 설명하는 것은 그 때문이다. 앞으로 이 문단에서 위와 같이 정의되는 함수 [math(g(t))]를 기울기 함수라고 부르기로 하자.

9.2.1. 이차함수·삼차함수

위 그림과 같이 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프에서 변곡점이 아닌 점에서 접하는 직선에 대하여, 그 접점에서 또 다른 접선을 그을 때 발생하는 또 다른 접점의 [math(x)]좌표는 먼저 그은 접선과 곡선 [math(y=f(x))]의 두 교점의 [math(x)]좌표의 평균임을 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 통해 앞서 증명한 바 있다. 이번에는 위 그래프에 대하여 기울기 함수를 사용하여 증명해 보자. 먼저 다음의 기울기 함수를 정의하자.

[math(g(t)=\dfrac{f(t)-f(\beta)}{t-\beta}\quad(t\neq\beta))]

이는 기하학적으로 곡선 [math(y=f(x))] 위의 두 점 [math((\beta,\,f(\beta)))]와 [math((t,\,f(t)))]를 이은 선분의 기울기가 된다. 이제 [math(t)]의 변화에 따라 선분의 기울기가 어떻게 변화하는지 조사하자. 우선 위 그래프의 개형상 [math(f(x))]의 방정식은 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면

[math(f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)^2)]

이 된다. 이때 [math(f(\beta)=0)]임은 물론이다. 따라서 [math(g(t))]는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}g(t)&=\dfrac{f(t)-f(\beta)}{t-\beta}\\&=\dfrac{a(t-\alpha)(t-\beta)^2-0}{t-\beta}\\&=a(t-\alpha)(t-\beta)\quad(t\neq\beta)\end{aligned})]

즉, [math(t\neq\beta)]인 실수 전체의 집합에서 정의되는 이차함수가 된다. 이를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

위 그림과 같이 [math(g(t))]는 [math(t=(\alpha+\beta)/2)]에서 극소임을 쉽게 알 수 있다.

실제로 위 그림과 같이 선분의 기울기는 계속 감소하다가 [math(t=(\alpha+\beta)/2)]에서 선분이 곡선 [math(y=f(x))]에 접하면서 극솟값 [math(f'((\alpha+\beta)/2))]를 가지며, 그 이후로는 계속 증가한다. 선분의 기울기가 극소가 되는 지점에서는 기하학적으로 선분이 곡선 [math(y=f(x))]에 접해야 하므로, 이 접선이 [math(x=(\alpha+\beta)/2)]에서 접함이 증명된 것이다.

9.2.2. 삼차함수·사차함수

위 그림과 같이 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프에서 이중접선이 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\gamma)]에서 접하고, 점 [math(\alpha,\,f(\alpha))]에서 그은 또 다른 접선이 [math(x=\beta)]에서 곡선 [math(y=f(x))]에 접하고 점 [math((\delta,\,f(\delta)))]에서 곡선 [math(y=f(x))]와 교차할 때

[math((\beta-\alpha):(\gamma-\beta):(\delta-\gamma)=1:2:1)]

의 비율 관계가 성립함을 사차방정식의 근과 계수의 관계를 통해 5.4.3문단에서 증명한 바 있다. 이번에는 위 그래프에 대하여 기울기 함수를 사용하여 증명해 보자. 먼저 다음의 기울기 함수를 정의하자.

[math(g(t)=\dfrac{f(t)-f(\alpha)}{t-\alpha}\quad(t\neq\alpha))]

이는 기하학적으로 곡선 [math(y=f(x))] 위의 두 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((t,\,f(t)))]를 이은 선분의 기울기가 된다. 이제 [math(t)]의 변화에 따라 선분의 기울기가 어떻게 변화하는지 조사하자. 우선 위 그래프의 개형상 [math(f(x))]의 방정식은 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면

[math(f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)^2(x-\delta))]

가 된다. 이때 [math(f(\alpha)=0)]임은 물론이다. 따라서 [math(g(t))]는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}g(t)&=\dfrac{f(t)-f(\alpha)}{t-\alpha}\\&=\dfrac{a(t-\alpha)(t-\beta)^2(t-\delta)-0}{t-\alpha}\\&=a(t-\beta)^2(t-\delta)\quad(t\neq\alpha)\end{aligned})]

즉, [math(t\neq\alpha)]인 실수 전체의 집합에서 정의되는 삼차함수가 된다. 이를 그래프로 정확히 나타내기 위해서 먼저 기울기의 증감을 조사하자.

위 그림과 같이 선분의 기울기는 [math(t<\beta)]일 때는 계속 증가하여[4] [math(t=\beta)]일 때 선분이 곡선 [math(y=f(x))]에 접하면서 극댓값 [math(0)]을 가지며, [math(\beta<t<\gamma)]일 때는 기울기가 다시 감소하여 [math(t=\gamma)]일 때 선분이 곡선 [math(y=f(x))]에 접하면서 극솟값 [math(f'(\gamma))]를 갖는다. 이후 [math(t>\gamma)]일 때부터는 기울기가 계속 증가한다. 단, [math(t=\delta)]일 때 기울기가 [math(0)]이 된다. 즉, [math(g(\beta)=g(\delta)=0)]인 것이다. 선분의 기울기가 극대 또는 극소가 되는 지점에서는 기하학적으로 선분이 곡선 [math(y=f(x))]에 접해야 하므로, 함수 [math(g(t))]가 [math(x=\beta)]와 [math(x=\gamma)]에서 극값을 가짐이 증명된 것이다.

한편, 마지막으로 [math(\displaystyle\lim_{t\to\alpha}g(t)=g(\gamma))]임을 증명하자. 미분계수의 정의에 따라

[math(\displaystyle\lim_{t\to\alpha}g(t)=\displaystyle\lim_{t\to\alpha}\dfrac{f(t)-f(\alpha)}{t-\alpha}=f'(\alpha))]

이고, 앞서 기하학적으로 살펴본 바와 같이 다음이 성립한다.

[math(g(\gamma)=f'(\gamma))]

이때 곡선 [math(y=f(x))]의 이중접선의 두 접점의 [math(x)]좌표가 다름 아닌 [math(\alpha)]와 [math(\gamma)]이므로 [math(f'(\alpha)=f'(\gamma))]가 성립한다.

이상의 사실을 바탕으로 [math(g(t))]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

따라서 그래프의 개형상 다항함수/공식/길이 문서에서 설명한 삼차함수의 비율 관계에 따라 다음이 증명되었다.

[math((\beta-\alpha):(\gamma-\beta):(\delta-\gamma)=1:2:1)]

보다시피 위 5.4.3문단처럼 사차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식을 정리하기도 까다로운 복잡한 계산을 진행하는 대수적인 방식보다, 삼차식으로 나타내어지는 기울기 함수를 정의하여 기울기의 증감을 기하학적으로 판단하는 편이 더욱 편리함을 알 수 있다.

예제(기본) [펼치기·접기]

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2026학년도 수능특강 수학Ⅱ 94쪽 4번

문제의 조건을 모두 만족시키는 사차함수 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같다.

이는 앞서 밝힌 공식이 정확히 적용되는 모양으로서,

[math((\beta-\alpha):(0-\beta):(1-0)=1:2:1)]

이므로 [math(\beta=-2)]이다. 따라서 구하고자 하는 위 그림의 색칠된 부분의 넓이는 다항함수/공식/넓이 문서의 4.3문단에서 밝힌 [math(1/30)] 공식에 따라 다음과 같다.

[math(\dfrac{|1|}{30}\times\{1-(-2)\}^5=\dfrac{81}{10})]

참고로 [math(\alpha=-3)]인데, 넓이 공식을 알고 있으면 [math(\alpha)]의 값을 구하지 않고도 정답을 알아낼 수 있는 것이다. 또한 문제의 보기 중 분자가 거듭제곱수인 것은 ①밖에 없으므로, 문제를 풀기도 전에 ①이 정답임을 짐작할 수 있다.

실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 그래프의 개형을 추론하기보다 지나치게 대수적으로만 접근하여 복잡한 계산을 피할 수 없게 된 점과, [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 값 및 사차함수의 정적분을 모두 공식 없이 계산한 점이 매우 미흡하다. 이 방법으로는 [math(\beta)]의 값을 구하기 이전에 [math(\alpha)]의 값을 반드시 구해야만 한다. 반면 공식을 사용하면 [math(\alpha)]의 값을 굳이 구하지 않고서도 [math(\beta)]의 값과 영역의 넓이를 단숨에 구할 수 있다.

예제(심화) [펼치기·접기]

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2017학년도 11월 고2 가형 30번

여기에서 설명하는 직관적 풀이가 이해가 되지 않으면 대수적으로 엄밀히 분석하는 아래의 예제 별해를 참고하자.

평균변화율의 정의에 따라 [math(g(t))]는 다음과 같다.

[math(g(t)=\dfrac{f(t)-f(1)}{t-1}\;(t>1))]

이때 문제에 따르면 [math(g(2)=0)]이므로 [math(f(1)=f(2))]임을 알 수 있다. 또한 앞서 기하학적으로 분석해 보았듯이, [math(t=2)]에서 [math(g(t))]가 극대라는 것은 점 [math((1,f(1)))]과 점 [math((2,f(2)))]를 이은 선분이 곡선 [math(y=f(x))]에 접한다는 뜻이 된다. 이때 이 두 점을 지나는 선분은 [math(g(2)=0)]이므로 기울기가 [math(0)]이다. 즉, [math(f'(2)=0)]이다.

위 그림은 점 [math((2,f(2)))]가 어떤 점인지에 따라 [math(g(t))]가 [math(t=2)]에서 어떤 형태를 띠는지를 나타낸 것이다. [math(f(x))]가 [math(x=2)]에서 극대도 극소도 아닌 경우 [math(g(t))]는 [math(t=2)] 근방에서 계속 증가하기만 하며, [math(f(x))]가 [math(x=2)]에서 극소이면 [math(g(t))]도 [math(t=2)]에서 극소가 된다. 반면 [math(f(x))]가 [math(x=2)]에서 극대이면 [math(g(t))]도 [math(t=2)]에서 극대가 된다. 따라서 문제의 조건을 만족시키기 위해서는 [math(f(x))]가 [math(x=2)]에서 극대여야 한다. 따라서 가능한 곡선 [math(f(x))]의 개형은 다음과 같다.

이때 [math(g(t))]의 최솟값이 존재하려면 [math(t=1)] 근방에서보다 더욱 기울기가 작은 선분을 [math(2<t<\alpha)]에서 그을 수 있어야 한다. 그래프의 개형에 따라 그 여부를 조사해 보자.

위 그림에서 초록색 점선은 [math(x=1)]에서의 곡선 [math(f(x))]의 접선을, 빨간색 실선은 [math(2<t<\alpha)]에서 그을 수 있는 선분 중 기울기가 최소인 것을 나타낸다. 빨간색 실선은 기하학적으로 곡선 [math(y=f(x))]의 접선이 됨은 물론이다.

왼쪽 경우는 빨간색 실선이 기울기가 더 작으므로 [math(g(t))]의 최솟값은 이 빨간색 실선의 기울기가 된다.

가운데 경우는 초록색 점선이 기울기가 더 작아서 [math(g(t))]의 최솟값이 존재하지 않는다. [math(1<t<2)]일 때는 [math(t)]가 [math(1)]에 수렴할수록 선분의 기울기, 즉 [math(g(t))]의 값이 작아지면서 [math(f'(1))]에 수렴한다. 따라서 빨간색 실선의 기울기가 [math(f'(1))]보다 크면 빨간색 실선보다 기울기가 작은 선분[5]을 [math(1<t<2)]에서 적어도 하나 그을 수가 있는 것이다. 그러나 [math(g(t))]의 정의역이 [math(t>1)]로서 열린 집합이기에 [math(g(t))]의 최솟값은 존재하지 않는다.

오른쪽 경우는 빨간색 실선의 기울기가 정확히 [math(f'(1))]과 일치하는 경우이다. 이 경우에는 [math(g(t))]의 최솟값이 정확히 [math(f'(1))]이 된다.

최종적으로 [math(g(t))]의 최솟값이 존재하는 경우는 왼쪽 경우와 오른쪽 경우이다. 이때 방정식 [math(f(x)=f(1))]의 서로 다른 실근의 합이 최소가 되려면 결국 [math(\alpha)]의 값이 최소가 되어야 한다. [math(\alpha)]의 값이 크면 클수록 빨간색 실선의 기울기는 작아진다. 따라서 빨간색 실선의 기울기가 최대가 될 때 [math(\alpha)]의 값은 최소가 된다. 이에 해당하는 경우는 다름 아닌 위 그림의 오른쪽 경우이다. 이 경우에는 빨간색 실선이 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 이중접선이 된다. 이 형태는 정확히 앞서 알아본 비율 관계를 적용할 수 있는 형태이다. 즉, 그래프를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

결국 [math(1:2:1)]의 비율 관계에 따라 [math(a=4)], [math(\alpha=5)]이며 방정식 [math(f(x)=f(1))]의 서로 다른 실근의 합은 [math(1+2+5=8)]이다.

경기도교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 비율 관계를 미리 알고 있다면 [math(g(t))]의 그래프를 그리거나 복잡한 계산을 진행할 필요가 없다. 나아가 다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 삼차함수의 비율 관계를 이용하지 않고 복잡한 계산을 통하여 [math(\alpha)]의 값을 구했다는 점 역시 매우 미흡하다.

예제(심화) 별해 [펼치기·접기]

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위 풀이에서 가능한 곡선 [math(f(x))]의 개형은 다음과 같음을 알아 보았다.

따라서 우선 다음과 같이 [math(f(x))]와 [math(g(t))]의 식을 세울 수 있다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=k(x-1)(x-2)^2(x-\alpha)+f(1)\quad(k>0,\,\alpha>2)\\\\\therefore g(t)&=\dfrac{f(t)-f(1)}{t-1}=\dfrac{k(t-1)(t-2)^2(t-\alpha)}{t-1}\\&=k(t-2)^2(t-\alpha)\quad(t>1)\end{aligned})]

위 그림에서 두 극소점 중 왼쪽 그래프는 왼쪽 극소점이, 오른쪽 그래프는 오른쪽 극소점이 더 아래에 있으며, 가운데 그래프는 좌우 대칭이다. 이 세 가지 개형 중 어느 것이 [math(f(x))]의 개형이 될 수 있는지를 판별해야 한다. 이때 사용할 수 있는 조건이 바로 함수 [math(g(t))]의 최솟값이 존재한다는 조건이다. 먼저 [math(g(t))]의 그래프는 다음과 같이 크게 세 가지 개형이 가능하다.

위 그림과 같이 [math(\displaystyle\lim_{t\to1+}g(t)\geq g(a))]일 때 [math(g(t))]의 최솟값이 존재한다. 이제 방정식 [math(f(x)=f(1))]의 서로 다른 실근의 합이 최소가 되도록 하는 [math(\alpha)]의 값을 찾자.

[math(f(x)=k(x-1)(x-2)^2(x-\alpha)+f(1))]

이므로 방정식 [math(f(x)=f(1))]의 서로 다른 실근의 합은 [math(1+2+\alpha)]이다. 따라서 [math(\displaystyle\lim_{t\to1+}g(t)\geq g(a))]가 되도록 하는 [math(\alpha)]의 최솟값을 구하면 된다.

[math(g(t)=k(t-2)^2(t-\alpha)\quad(t>1))]

이므로 [math(\alpha)]의 값이 작을수록 [math(g(a))]의 값이 크다. 따라서 [math(\alpha)]의 최솟값은 위 그림의 가운데 경우처럼 [math(\displaystyle\lim_{t\to1+}g(t)=g(a))]가 되도록 하는 값으로서, 다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 삼차함수의 비율 관계에 따라 [math(a=4)], [math(\alpha=5)]가 된다. 따라서 정답은 [math(1+2+5=8)]이다. 보다시피 정답에 해당하는 경우는 앞서 비율 관계를 증명할 때 사용했던 기울기 함수의 형태와 일치한다.

9.3. 인수 나누기

등식의 양변을 [math(0)]이 아닌 동일한 식으로 나누어도 등식은 그대로 성립한다. 다시 말해서 [math(x\neq k)]일 때 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}(x-k)Q_1(x)&=(x-k)Q_2(x)\\\Rightarrow Q_1(x)&=Q_2(x)\end{aligned})]

이러한 등식의 성질을 이용하여 여러 다항함수 문제를 쉽고 빠르게 해결할 수 있다. 이 테크닉은 양변의 다항식이 공통 인수를 가질 때 그 인수를 나눔으로써 사용하는데, 이는 다름 아닌 앞 문단에서 알아본 기울기 함수와 원리가 같다. 위 식을 살펴 보자.

[math(\begin{aligned}(x-k)Q_1(x)&=f_1(x)\\(x-k)Q_2(x)&=f_2(x)\end{aligned})]

라 하면 [math(f_1(k)=f_2(k)=0)]이므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}Q_1(x)&=\dfrac{f_1(x)}{x-k}=\dfrac{f_1(x)-f_1(k)}{x-k}\\Q_2(x)&=\dfrac{f_2(x)}{x-k}=\dfrac{f_2(x)-f_2(k)}{x-k}\end{aligned})]

따라서 양변의 두 함수 [math(f_1(x))]와 [math(f_2(x))]의 공통 인수 [math((x-k))]를 나누는 것은 닫힌 구간 [math([k,\,x])](또는 [math([x,\,k])])에서의 그 두 함수의 평균변화율을 구하는 것과 같다. 이 접근법을 인수 나누기라고 부르기로 하자. 인수 나누기 역시 기울기 함수와 마찬가지로 다루고자 하는 함수의 차수를 하나 낮춤으로써 문제를 단순화하는 효과가 있으며, 다항함수의 그래프에 그은 접선에 관한 문제를 풀 때 특히 요긴하게 적용할 수 있다. 이는 두 개 이상의 다항함수의 그래프가 만나는 상황에 매우 다양하게 응용할 수 있는데, 여기에서 그 모든 상황을 서술할 수는 없으므로 어느 정도의 예시만을 드는 것으로 그치고자 한다. 그에 따라 이 예시들을 굳이 공식처럼 암기하는 것보다는 단지 인수 나누기라는 테크닉을 이해하고 숙달하기 위한 수단으로 여기고 이 문단에서 일일이 설명하지 못하는 또 다른 상황들에도 인수 나누기를 적용할 수 있는 근본적인 실력을 갖추고자 함이 바람직하다.

9.3.1. 인수 1번 나누기

점 [math((k,0))]을 지나는 곡선 [math(y=f(x))] 및 [math(y=g(x))]에 대하여, 다항식 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 공통 인수 [math((x-k))]를 나눔으로써 여러 가지 결과들을 쉽게 도출할 수 있다.

9.3.1.1. 이차함수

위 그림과 같이 이차함수 [math(y=f(x))]가 [math(f(x)=(x-k)Q(x))]의 꼴로 인수분해되어 그 그래프가 [math(x=k)]에서 [math(x)]축과 만나며, 기울기가 각각 [math(m)]과 [math(n)]으로 서로 다른 두 직선 [math(g_1(x))] 및 [math(g_2(x))] 역시 [math(x=k)]에서 [math(x)]축과 만난다고 하자. 또한 곡선 [math(f(x))]는 직선 [math(g_1(x))]와 [math(x=\alpha)]에서, 직선 [math(g_2(x))]와 [math(x=\beta)]에서 만난다고 하자. 그러면 다항식 [math(f(x))], [math(g_1(x))], [math(g_2(x))]는 모두 [math((x-k))]를 인수로 갖는다. 이 공통 인수 [math((x-k))]를 세 다항식에서 각각 나누면 이차함수 [math(f(x))]는 일차함수, [math(g_1(x))] 및 [math(g_2(x))]는 상수함수가 되며, 그래프들의 교점의 [math(x)]좌표는 [math(\alpha)] 및 [math(\beta)]로 동일하게 유지된다.

이는 두 방정식 [math(f(x)=m(x-k))] 및 [math(f(x)=n(x-k))]의 양변을 [math((x-k))]로 나누어 각각 [math(Q(x)=m)] 및 [math(Q(x)=n)]으로 해석한 그래프를 새로 그린 것이다.

9.3.1.2. 삼차함수

이는 방정식 [math(f(x)=g(x))]의 양변을 [math((x-k))]로 나누어 [math(Q(x)=m)]으로 해석한 그래프를 새로 그린 것이다. [math(Q(x))]는 이차함수이므로, [math(\beta)]는 [math(\alpha)]와 [math(\gamma)]의 평균임을 금방 알 수 있는데, 5.4.2문단에서 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용했을 때와 결론이 동일하다. 그러나 근과 계수의 관계를 이용해서는 [math(\beta)]의 값은 금방 구할 수 있으나 [math(\boldsymbol m)]의 값을 구하기는 어렵다. 반면 인수 나누기의 시각에서는 [math(m)]이 다름 아닌 [math(Q(x))]의 최솟값임을 이용하여 간편하게 [math(m)]의 값까지 구할 수 있다. [math(f(x))] 및 [math(Q(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면 다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 공식에 따라 그 값은 다음과 같다.

[math(m=Q(\beta)=\dfrac{|a|}4(\gamma-\alpha)^2)]

예제 [펼치기·접기]

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1968년 홋카이도대학 본고사 전기 문과 5번

한국어 번역

[math(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma))]가 있다. 단 [math(\alpha<\beta<\gamma)]라 하자.

방정식 [math(f(x)=m(x-\alpha))]가 [math(\alpha)]가 아닌 중근을 가질 때, [math(m)]의 값과 그 중근을 구하라.
방정식 [math(f'(x)=0)]은 서로 다른 두 실근을 가짐을 보이라.
방정식 [math(f'(x)=0)]의 두 근을 [math(A)], [math(B)] [math((A<B))]라 할 때, [math(\dfrac12(\alpha+\beta))]와 [math(A)]의 대소를 비교하라.

첫 번째 문제의 상황을 인수 나누기로 해석하여 그래프로 그리면 다음과 같다.

중근은 당연히 [math((\beta+\gamma)/2)]이며, [math(m)]의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

[math(\begin{aligned}m&=Q\left(\dfrac{\beta+\gamma}2\right)\\&=\left(\dfrac{\beta+\gamma}2-\beta\right)\left(\dfrac{\beta+\gamma}2-\gamma\right)\\&=-\dfrac14(\gamma-\beta)^2\end{aligned})]

두 번째 문제의 해설은 생략하고, 세 번째 문제의 해설은 5.4.2문단을 참고하자.

9.3.1.3. 사차함수

이 형태는 다름 아닌 5.4.3문단과 9.2.2문단에서 다루었던 형태로, 이미 다음이 성립함을 알아보았다.

[math((\alpha-k):(\beta-\alpha):(\gamma-\beta)=1:2:1)]

이는 방정식 [math(f(x)=g(x))]의 양변을 [math((x-k))]로 나누어 [math(Q(x)=m)]으로 해석한 그래프를 새로 그린 것이다. 보다시피 9.2.2문단에서의 기울기 함수를 분석한 것과 다를 바 없는 결과이다. [math(Q(x))]는 삼차함수이므로, 삼차함수의 비율 관계에 따라 [math(1:2:1)]이 성립함을 알 수 있다. 그러나 기울기 함수로는 [math(m)]의 값을 구하기 어려운 반면, 인수 나누기의 시각에서는 [math(m)]의 값이 다름 아닌 [math(Q(x))]의 극댓값임을 이용하여 간편하게 [math(m)]의 값까지 구할 수 있다. [math(f(x))] 및 [math(Q(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면 다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 공식에 따라 그 값은 다음과 같다.

[math(m=Q(\alpha)=\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^3)]

예제 [펼치기·접기]

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2012학년도 3월 고3 가형 30번

곡선 [math(f(x))]가 [math(0\leq x\leq2)]에서 이 곡선 위의 점 [math((t,\,f(t)))]에서의 접선보다 위에 있지 않아야 하므로, [math(p)]와 [math(q)]의 값은 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.

따라서 앞서 밝힌 사실에 따라 [math((p-0):(2-p)=1:2)]에서 [math(p=2/3)]이고, 함수 [math(f(x))]의 대칭성에 의하여 [math(q=4/3)]가 된다. 따라서 정답은 [math(36pq=32)]이다.

서울특별시교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, [math(p)]의 값을 구하기 위하여 직접 접선의 방정식을 세워 계산하는 과정이 매우 번거롭다. 반면 인수 나누기와 삼차함수의 비율 관계를 사용하면 매우 빠르게 정답을 구할 수 있다.

2025학년도 경찰대 1차 20번에서도 정확히 같은 형태의 문항이 출제되었으며, 같은 원리로 정답은 ②이다.

그밖에도 사차함수의 그래프와 직선이 그려진 다양한 모양에 대하여 얼마든지 이러한 원리를 적용할 수 있다.

예제 [펼치기·접기]

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2019학년도 7월 나형 20번

[math(f(x))]는 홀수 차수 항을 갖지 않으므로 우함수이며, (가)에 의하여 그 그래프가 [math(x)]축과 세 번 만난다. 따라서 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 [math(f(0)=c=0)]이며, 이때 (나)를 이용하면 [math(a=1/4)], [math(b=-1)]이므로 [math(\alpha=-2)], [math(\gamma=2)]가 구해진다. 이제 ㄷ을 보자.

위 그림과 같이 ㄷ의 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 [math(3)]이 되려면 점 [math((-2,\,0))]을 지나는 직선이 빨간색 영역 안에 들어와야 한다. 이제 [math(m)]의 값을 구하자.

다항함수/공식/길이 문서의 4.1문단에서 밝힌 비율 관계에 따라 극소점의 [math(x)]좌표는 [math(4/3)]이므로 [math(m)]의 값은 다음과 같다.

[math(m=\dfrac{|-1/4|}2\times\left\{\dfrac43-0\right\}^3=\dfrac8{27})]

따라서 ㄷ은 참이다.

인천광역시교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 직접 접선의 방정식을 세워서 접점의 [math(x)]좌표와 기울기를 계산하는 과정이 너무 번거롭다. 반면 인수 나누기와 삼차함수의 비율 관계를 사용하면 훨씬 간단하게 [math(m)]의 값을 구할 수 있다.

9.3.2. 인수 2번 나누기

이는 서로 다른 인수를 한 번씩 나누는 경우로서, 방정식 [math(f(x)=g(x))]의 양변을 [math((x-k_1)(x-k_2))]로 나누어 [math(Q(x)=m)]으로 해석한 그래프를 새로 그린 것이다. 즉, [math(f(x))] 혹은 [math(Q(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(a=\dfrac m{\beta-\alpha})]

이는 같은 인수를 두 번 나누는 경우로서, 방정식 [math(f(x)=g(x))]의 양변을 [math((x-k)^2)]으로 나누어 [math((x-k)Q(x)=m)]으로 해석한 그래프를 새로 그린 것이다. 따라서 이차함수의 대칭성에 의하여 다음이 성립한다.

[math(\alpha=\dfrac{k+\beta}2)]

그밖에도 다항함수의 그래프의 다양한 개형에 대하여 같은 논리를 적용할 수 있다.

10. 여담

최중철 2025학년도 대학수학능력시험 출제위원장은 "수학 영역은 지나치게 복잡한 계산이나 반복 훈련으로 얻을 수 있는 기술적 요소나 공식을 단순하게 적용해 해결할 수 있는 문항을 지양하고, 교육과정에서 다루는 기본 개념에 대한 충실한 이해와 종합적인 사고력을 필요로 하는 문항을 출제했다"라고 밝힌 바 있다.# 반면 그보다 단 3년 전에 출제되었던 2022학년도 수능 22번만 보더라도 다항함수/공식/길이 문서의 4.1문단에서 설명한 삼차함수의 비율 관계 [math(1:2:1)]을 아는 사람이 모르는 사람보다 유리했다. 이에 대해서는 삼차함수 문서의 4.6.1문단의 해설을 참고하자. 이와 같이 한국교육과정평가원에서 출제하는 대학수학능력시험과 그 모의평가의 경우 공식을 쓰지 않을 때보다 쓸 때 훨씬 풀이가 간편해지는 문제는 갈수록 출제를 피하는 추세이다. 그러나 다음 예제와 같이 2025학년도 대학수학능력시험에서도 공식을 적용하는 것이 아예 불가능하지는 않았는데, 공식을 적용하는 것이 오히려 눈치채기 어려운 복잡한 발상을 요하는 등 과유불급인 감이 있는 것이 사실이다. 출제위원장은 어디까지나 '공식을 단순하게 적용'할 수 있는 문항을 배제한다고 했으므로 예제에 공식을 쓸 수 있다고 해서 말과 행동이 다르다고 볼 일은 아니다.
{{{#!folding 예제 [펼치기·접기]

2025학년도 수능 13번

주어진 조건에 따라 [math(f(x))]를 구하면 [math(f(x)=x^3-7x+6)]이다. 이에 대해서는 다항함수/추론 문서의 5문단을 참고하자.

위 그림과 같이 곡선 [math(y=f(x))]와 [math(y)]축의 교점 [math((0,\,6))]을 [math(\rm R)]이라 하여, 보조선 [math(\overline{\rm PR})]을 긋는 방법이 있다. 선분 [math(\overline{\rm PQ})] 및 [math(\overline{\rm PR})]과 곡선 [math(y=f(x))]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [math(C)]라 하면 문제에서 구하는 [math(B-A)]의 값은 [math((B+C)-(A+C))]로 구할 수 있다. 이때 [math(f(x))]는 이차항이 없는 삼차함수이므로 [math(y)]축 위에 있는 점 [math(\rm R)]은 곡선 [math(y=f(x))]의 변곡점이다.[6] 따라서 [math(B+C)]의 값은 다항함수/공식/넓이 문서의 3.2.1문단에서 밝힌 [math(1/4)] 공식으로, [math(A+C)]의 값은 삼각형의 넓이 공식으로 구할 수 있다. 이를 계산하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}B-A&=(B+C)-(A+C)\\&=\dfrac14\times(3-0)^4-\dfrac12\times6\times3\\&=\dfrac{81}4-9=\dfrac{45}4\end{aligned})]

직선 [math(\overline{\rm OP})]의 방정식은 [math(y=4x)]이므로, 공식 없이 푼다면

[math(\displaystyle\int_0^3\{4x-(x^3-7x+6)\}\,{\rm d}x)]

를 계산해야 한다. 위와 같은 발상을 쉽게 해낼 수만 있다면 정적분을 직접 계산하는 것보다 공식을 사용하는 편이 더 간단하기는 하나, 얼른 떠올리기는 쉽지 않은 풀이 방법이므로 공식을 적용하기 위하여 애쓰기보다 곧장 정적분을 계산하는 것이 실제 시험에서 시간을 절약하는 길일 수도 있다.

}}}

평가원 출제 시험에서 갈수록 다항함수 공식들의 쓰임새가 줄어드는 데에 비하여, EBS 수능 대비 교재나 다른 시험에서는 이러한 풍조가 아직까지 잔존해 있다. 예를 들어 2024학년도 수능특강 수학Ⅱ 99쪽 5번 [7]이나 2025학년도 수능완성 실전모의고사 3회 10번 [8]과 같이 수능특강이나 수능완성에는 아직까지 공식을 요긴하게 적용할 만한 문제가 종종 수록되고 있으며, 2024학년도 5월 12번 [9]과 같이 교육청에서 출제하는 전국연합학력평가에서도 이러한 문제가 없지는 않다. 위 9.3.1.3문단에서 소개했듯이, 2012학년도 3월 고3 가형 30번에서 출제된 소재가 2025학년도 경찰대 1차 20번에 그대로 출제되기도 했다. 이 문제들은 각 시험에서 30번, 20번으로 출제되었기 때문에 꽤 높은 난도를 상정하고 출제한 것으로 볼 수 있는데, '인수 나누기'와 삼차함수의 비율 관계를 적용하면 매우 쉽게 풀 수 있는 문제였다. 수능에서 경계하고 있는 유형의 문제가 경찰대 문제에서는 아직까지도 출제되고 있는 것이다.
또한 일반 교사가 출제하는 학교 시험의 객관식 및 단답형 문제[10]에서 공식을 활용할 여지가 있는데, 이는 내신에 도움이 될 수 있다. 특히 고3 때는 수능특강 등으로 수업을 하고 수능특강 문제를 숫자만 바꾸거나 약간만 변형해서 연계 출제하는 경우가 많으므로 이 경우 도움이 될 수 있다.
대학별로 실시하는 논술전형에서도 도움이 될 수 있다. 단 논술 시험인 만큼 공식을 적용하여 답만 내면 되는 시험이 아니며, 풀이 과정을 정확히 적어야 한다. 교육과정에 명시적으로 언급되지 않는 여러 공식들을 사용하기 위해서는 왜 그 공식이 성립하는지까지 설명해야 하므로 일견 논술 시험에서는 공식을 학습하는 것이 무의미하게 보일 수 있으나, 논술 시험에서는 공식 그 자체보다 공식의 유도 과정을 숙지하는 것이 도움이 된다. 2022학년도 서울시립대학교 논술 자연계열Ⅰ 1번 [11], 2010학년도 고려대학교 자연계 논술 (가)[12], 2018학년도 한양대학교 자연계열 오전 2-1번 [13] 등이 그 예이다.

11. 관련 문서

[1] [math(x=x_i)]에서 접점이 발생한다는 것은, 방정식 [math(f(x)-t=0)]이 [math(x=x_i)]를 중근으로 갖는다는 의미이므로, 앞으로 전개할 논리로는 포괄하지 못하는 경우가 되고 만다.[2] 뒤에서 보겠지만 사실 상수식일 수는 없으며 무조건 일차식이 된다. 그러나 이 사실이 증명되기 전이므로 우선 '일차 이하의 다항식'이라고만 하자.[3] 혹은 처음에 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)], [math(\delta)]를 [math(m)], [math(k)], [math(l)]에 관한 식으로 나타낼 때 이미 이 대소 관계를 반영하여 [math(k)]와 [math(l)]을 모두 양수로 두었음을 생각해도 [math(k=-l)]일 수는 없음을 알 수 있다.[4] [math(t=\alpha)]와 매우 가까운 부분에서는 선분의 기울기가 정말로 계속 증가하기만 하는 것이 맞는지 식별하기 어려울 수 있으나, [math(g(t)=a(t-\beta)^2(t-\delta)\quad(t\neq\alpha))]인 것을 생각하면 [math(t<\beta)]일 때 [math(g(t))]는 증가함을 알 수 있다. 아래에서 그래프의 개형을 먼저 참고해도 좋다. 그래프의 개형 자체를 먼저 그릴 수도 있으나, '이차함수·삼차함수' 문단과 달리 그렇게 하지 않고 기울기의 증감을 먼저 조사하는 것은 [math(g(t))]의 그래프에 좌표들을 정확히 표시하기 위한 근거를 얻고자 함이다.[5] 즉, 최종적으로 [math(g(t))]의 최솟값이 존재하지 않게 하기 위한 충분히 기울기가 작은 선분[6] 본 문서 5.4.2문단에서 밝혔듯이 곡선 [math(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\;(a\neq0))]의 변곡점의 [math(x)]좌표는 [math(-b/3a)]이므로, [math(b=0)]이면 [math(a)]의 값에 관계없이 변곡점이 [math(y)]축 위에 있게 된다.[7] 본 문서의 6.3문단에서 해설했다.[8] 다항함수/공식/넓이 문서의 3.2문단에서 해설했다.[9] 본 문서의 6.3문단에서 해설했다.[10] 서술형에서는 교육과정에서 명시적으로 배우지 않은 공식을 증명 없이 사용해서는 안 된다. 정 사용하려면 증명을 먼저 서술해야 하는데, 이는 배보다 배꼽이 더 크다고 할 수 있다.[11] 다항함수/공식/넓이 문서의 2.1.1.1문단에서 해설했다.[12] 다항함수/공식/넓이 문서의 2.2문단에서 해설했다.[13] 본 문서의 4.3문단에서 해설했다.

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초등함수 Elementary Functions
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다항함수/공식

1. 개요

2. 길이·거리

3. 넓이

4. 기울기

4.1. 이차함수

4.2. 삼차함수

4.3. 여러 차수: 영점에서의 기울기

4.3.1. 역수의 합

5. 방정식

5.1. 이차함수: 행렬 대각화

5.2. 삼차함수: 두 극점을 지나는 직선

5.3. 사차함수

5.3.1. 세 극점을 지나는 포물선

5.3.2. 두 변곡점을 지나는 직선

5.4. 근과 계수의 관계

5.4.1. 이차함수

5.4.2. 삼차함수

5.4.3. 사차함수

5.4.4. 총정리

5.5. 부분분수분해: 영점에서의 함숫값의 역수의 합

6. 길이와 넓이의 관계

6.1. 이차함수·삼차함수

6.2. 삼차함수·사차함수

6.3. 사차함수(3:2 공식)

7. 길이와 기울기의 관계

7.1. 이차함수

8. 넓이와 기울기의 관계

8.1. 이차함수

9. 기울기와 방정식의 관계

9.1. 이차함수

9.2. 기울기 함수

9.2.1. 이차함수·삼차함수

9.2.2. 삼차함수·사차함수

9.3. 인수 나누기

9.3.1. 인수 1번 나누기

9.3.1.1. 이차함수

9.3.1.2. 삼차함수

9.3.1.3. 사차함수

9.3.2. 인수 2번 나누기

10. 여담

11. 관련 문서

분류