다항함수/공식/넓이

1. 개요

2. 이차함수

2.1. 1/6 공식

증명 [펼치기·접기]

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먼저, 그래프를 [math(x)]축의 방향으로 [math(-\alpha)]만큼 평행이동한다고 생각하면 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)\,{\rm d}x\right|=\left|\int_0^{\beta-\alpha}ax\{x-(\beta-\alpha)\}\,{\rm d}x\right|)]

이때, [math(t=x/(\beta-\alpha))]로 치환적분하자. 사실 치환적분 안해도 열심히 계산하면 나온다. 구하는 넓이를 [math(S)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}x&=(\beta-\alpha)t\\{\rm d}x&=(\beta-\alpha){\rm d}t\\x=0\quad&\rightarrow\quad t=0\\x=\beta-\alpha\quad&\rightarrow\quad t=1\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}\displaystyle\therefore S&=\left|\int_0^{\beta-\alpha}ax\{x-(\beta-\alpha)\}\,{\rm d}x\right|\\&=\left|\int_0^1a(\beta-\alpha)t\{(\beta-\alpha)(t-1)\}(\beta-\alpha)\,{\rm d}t\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^3\int_0^1t(t-1)\,{\rm d}t\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^3\int_0^1(t^2-t)\,{\rm d}t\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^3\times\left[\dfrac13t^3-\dfrac12t^2\right]_0^1\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^3\times\left(-\dfrac16\right)\right|\\&=\dfrac{|a|}6(\beta-\alpha)^3=\dfrac{|a|}{2\cdot3}(\beta-\alpha)^3\end{aligned})]

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파일:1991년 도호쿠대학 본고사 전기 문과 2번.jpg

1991년 도호쿠대학 본고사 전기 문과 2번

한국어 번역 [math(\alpha<\beta)]일 때 [math(\displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac16(\beta-\alpha)^3)]이 성립함을 증명하라.

위 문제는 이 사실 자체가 그대로 증명 문제로 출제된 사례이다. 앞서 설명한 대로 서술하면 정답이다. 이는 매우 널리 알려진 공식으로, 이외에도 여러 대학의 본고사에서 증명 문제로 출제되었다. 2022년 오사카대학 본고사 전기 문과 3번이 그 예이다.

또한 이 공식은 여러 넓이 공식 중에서 가장 많이 사용되는 공식으로, 이 공식을 활용할 수 있는 문제는 수도 없이 출제되었다. 그중에서 공식을 통해 풀이 시간을 크게 단축할 수 있는 문제를 소개한다.

2022학년도 10월 7번

색칠한 부분의 넓이를 구하면 된다. 편의를 위해 위 그림과 같이 [math(S_1)], [math(S_2)], [math(S_3)]의 세 영역으로 나누자.[1] 문제에서 제시된 함수식은 모두 이차식이므로 각 영역에 대하여 공식을 적용할 수 있다. 따라서 구하고자 하는 총 넓이 [math(\Sigma S)]는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}S_1&=\dfrac{|1|}6\times(2-0)^3\\S_2&=\dfrac{|1|}6\times(4-2)^3\\S_3&=\dfrac{|1|}6\times(4-0)^3\\\\\therefore \Sigma S&=\dfrac{|1|}6\times\left(2^3+2^3+4^3\right)=\dfrac{40}3\end{aligned})]

서울특별시교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 대칭성을 이용하여 문제를 한층 간단히 만들기는 했으나 결국 두 함수의 차와 그에 대한 정적분을 직접 계산해야 하므로 다소 번거롭다. 반면 공식을 사용하면 사실상 위 계산에서 마지막 줄만 계산하면 되므로 훨씬 간단하다.

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2023학년도 수능특강 수학Ⅱ 98쪽 3번

문제에 따라 [math(g(x))]를 구하여 그래프를 그리면 다음과 같다.


[math(g(x))]는 [math(f(x))]의 그래프를 대칭이동 및 평행이동을 시켰을 뿐이므로 최고차항의 계수는 [math(f(x))]와 부호만 반대가 되고 절댓값은 같다. 곧, [math(g(x))]의 최고차항의 계수는 [math(-1)]이다. 따라서 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}S&=\dfrac{1-(-1)}{2\cdot3}\times\{3-(-1)\}^3\\&=\dfrac26\times4^3=\dfrac{64}3\end{aligned})]

실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 직접 두 함수의 차와 그에 대한 정적분을 계산해야 하므로 다소 번거롭다.

2.1.1. 심화: 그래프 위의 점을 이은 다각형

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위의 내용을 종합하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}{\rm (B)}&=\dfrac{|a|}6(\gamma-\alpha)^3\\{\rm (C)}&=\dfrac{|a|}6(\beta-\alpha)^3\\{\rm (D)}&=\dfrac{|a|}6(\gamma-\beta)^3\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}{\rm (A)}&={\rm (B)-(C)-(D)}\\&=\dfrac{|a|}6\{(\gamma-\alpha)^3-(\beta-\alpha)^3-(\gamma-\beta)^3\}\\&=\dfrac{|a|}6\{(\gamma-\alpha)^3+(\alpha-\beta)^3+(\beta-\gamma)^3\}\;\cdots(1)\end{aligned})]

여기에서, 다음과 같이 치환하여 식 [math((1))]을 다시 쓰면 곱셈 공식에 의하여 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\gamma-\alpha&=P\\\alpha-\beta&=Q\\\beta-\gamma&=R\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}\dfrac{|a|}6(P^3+Q^3+R^3)&=\dfrac{|a|}6\{(P+Q+R)(P^2+Q^2+R^2-PQ-QR-RP)-3PQR\}\\&=\dfrac{|a|}6(-3PQR)\quad(\because P+Q+R=0)\\&=\dfrac{|a|}2\{-(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\gamma-\beta)\}\\&=\dfrac{|a|}2(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\end{aligned})]

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2015학년도 6월 고1 18번

공식에 따르면 [math(k=8)]이다. 그러나 이 문제는 정적분을 배우기 이전인 고1 수준의 문제이므로 삼각형의 넓이를 다각형의 넓이로만 접근했기 때문에 (가)와 (나)의 경우 공식과 관계없는 계산을 통하여 구해야 한다. 그렇게 (가)와 (나)에 들어갈 식을 구하고 나면 굳이 공식을 모르더라도 (다)를 어렵지 않게 구할 수 있다. 또한 정적분을 다루기 시작하는 고2부터는 다룰 필요가 없는 문제이므로 중요성은 떨어진다. 이 문제는 공식의 활용 가능성의 측면보다는 단순히 이러한 모양의 그래프가 출제된 적이 있다는 하나의 사실로만 받아들일 필요가 있다.

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2010학년도 10월 나형 16번

문제의 함수는 [math(y=x^2)]이므로 이차함수이다. 따라서 위 공식을 적용하여 [math(a_n)]의 일반항을 구해 보자. [math(a_n)]은 [math(-n)]부터 [math(n)]까지 정적분한 값 전체, 즉 구간의 길이가 [math(2n)]인 정적분의 값으로부터, 구간이 [math(1)]인 정적분을 [math(2n)]번 빼낸 값으로 해석할 수 있다. 이때 앞서 밝힌 넓이 공식에 의하여, 구간의 길이가 같으면 정적분의 값도 같기 때문이다. 즉, 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle a_n&=\dfrac{|1|}6\{n-(-n)\}^3-2n\times\dfrac{|1|}6\times(1-0)^3\\&=\dfrac43n^3-\dfrac13n\end{aligned})]

이에 따라 극한값은 다음과 같다.

[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{n^3}=\dfrac43)]

서울특별시교육청에서는 다음과 같이 사다리꼴의 넓이를 구하는 해설을 제시했다.


겉보기에는 간단해 보이지만 사실 번거로운 계산 과정이 생략되어 있다. 먼저 [math(a_n)]의 점화식을 구할 때 그림에 나오는 사다리꼴의 넓이를 구해야 하는데 일일이 좌표를 확인해 가며 계산해야 하므로 번거롭다. 또한 그 점화식을 바탕으로 일반항을 도출하는 과정에서 [math(a_1)]의 값을 구하는 것을 비롯하여 여러 번거로운 계산을 또 해야 한다. 반면 사다리꼴의 넓이가 아닌 이차함수의 정적분으로 접근하여 공식을 사용하면 몇 배 빠르게 문제를 풀 수 있다.

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증명 [펼치기·접기]

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계산을 단순화하기 위하여 [math(f(x)=x^2)]인 경우를 고려하자. 이차함수 문서에 설명되어 있듯이, 모든 이차함수의 그래프는 서로 닮음이므로, [math(f(x)=x^2)]인 경우 하나만을 계산하더라도 모든 이차함수에 대한 증명이 완료되는 것이다. 따라서 각 꼭짓점의 [math(x)]좌표는 [math((x_k,\,x_k^2))]의 꼴이 된다. 여기에서 신발끈 공식을 적용하면 다음의 형태가 된다.

[math(\begin{aligned}S_n&=\dfrac12\left\{\left(x_1x_2^2+x_2x_3^2+\cdots+x_{n-1}x_n^2+x_nx_1^2\right)-\left(x_2x_1^2+x_3x_2^2+\cdots+x_nx_{n-1}^2+x_1x_n^2\right)\right\}\\&=\dfrac12\left\{\left(x_1x_2^2-x_2x_1^2\right)+\left(x_2x_3^2-x_3x_2^2\right)+\cdots+\left(x_{n-1}x_n^2-x_nx_{n-1}^2\right)+\left(x_nx_1^2-x_1x_n^2\right)\right\}\\&=\dfrac12\left\{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left(x_kx_{k+1}^2-x_{k+1}x_k^2\right)+\left(x_nx_1^2-x_1x_n^2\right)\right\}\end{aligned})]

이제 이 식이 앞서 밝힌 공식

[math(\dfrac16\left\{(x_n-x_1)^3-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)^3\right\})]

과 같음을 보이자. [math(f(x)=x^2)]을 가정했으므로 최고차항의 계수는 [math(a=1)]이 된 것이다. 증명하고자 하는 결론을 긍정하여

[math(\dfrac12\left\{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left(x_kx_{k+1}^2-x_{k+1}x_k^2\right)+\left(x_nx_1^2-x_1x_n^2\right)\right\}=\dfrac16\left\{(x_n-x_1)^3-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)^3\right\})]

임을 가정한 뒤 모순이 없음을 보이자. 먼저 계산의 편의를 위하여 양변에 [math(6)]을 곱하면 다음과 같다.

[math(3\left\{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left(x_kx_{k+1}^2-x_{k+1}x_k^2\right)+\left(x_nx_1^2-x_1x_n^2\right)\right\}=(x_n-x_1)^3-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)^3\;\cdots\rm(a))]

여기에서 우변의 두 번째 항을 다음과 같이 분석할 수 있다.

[math(\begin{aligned}(x_2-x_1)^3&=\cancel{x_2^3}-3x_2^2x_1+3x_2x_1^2-x_1^3\\(x_3-x_2)^3&=\cancel{x_3^3}-3x_3^2x_2+3x_3x_2^2-\cancel{x_2^3}\\ &\quad \; \; \vdots\\+\quad(x_n-x_{n-1})^3&=x_n^3-3x_n^2x_{n-1}+3x_nx_{n-1}^2-\cancel{x_{n-1}^3}\\\hline \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)^3&=x_n^3-x_1^3-3\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left(x_kx_{k+1}^2-x_{k+1}x_k^2\right)\end{aligned})]

그러면 식 [math(\rm(a))]를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[math(3\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left(x_kx_{k+1}^2-x_{k+1}x_k^2\right)+3\left(x_nx_1^2-x_1x_n^2\right)=(x_n-x_1)^3-\left(x_n^3-x_1^3\right)+3\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left(x_kx_{k+1}^2-x_{k+1}x_k^2\right))]

양변의 완전히 동일한 항을 제거하고 나면 곱셈 공식에 의하여 다음이 성립한다.

[math(3\left(x_nx_1^2-x_1x_n^2\right)=(x_n-x_1)^3-\left(x_n^3-x_1^3\right))]

즉, 등식은 잘 성립하며 모순이 없다.

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추가 해설 [펼치기·접기]

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위에서는 [math(y=x^2)]인 경우로 단순화하여 증명했지만, 좀 더 엄밀하고 일반적인 차원에서 최고차항의 계수가 [math(a)]인 이차함수 [math(f(x))]에 대하여

[math(\begin{aligned}&\dfrac12\biggr|\left\{x_1f(x_2)+x_2f(x_3)+\cdots+x_{n-1}f(x_n)+x_nf(x_1)\right\}\\&-\left\{x_2f(x_1)+x_3f(x_2)+\cdots+x_nf(x_{n-1})+x_1f(x_n)\right\}\biggr|\\=\;&\dfrac{|a|}6\left\{(x_n-x_1)^3-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)^3\right\}\end{aligned})]

임을 증명해 보자. [math(f(x)=ax^2+bx+c)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}S_n=\;&\dfrac12\biggr[\left\{x_1f(x_2)+x_2f(x_3)+\cdots+x_{n-1}f(x_n)+x_nf(x_1)\right\}\\&-\left\{x_2f(x_1)+x_3f(x_2)+\cdots+x_nf(x_{n-1})+x_1f(x_n)\right\}\biggr]\\=\;&\dfrac12\Biggl|\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}ax_kx_{k+1}^2+\sum_{k=1}^{n-1}bx_kx_{k+1}+\sum_{k=1}^{n-1}cx_k+x_n(ax_1^2+bx_1+c)\\&-\left\{\sum_{k=1}^{n-1}ax_k^2x_{k+1}+\sum_{k=1}^{n-1}bx_kx_{k+1}+\sum_{k=2}^ncx_k+x_1(ax_n^2+bx_n+c)\right\}\Biggl|\\=\;&\dfrac12\Biggl|\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}ax_kx_{k+1}^2+\sum_{k=1}^{n-1}bx_kx_{k+1}+\sum_{k=1}^ncx_k+ax_nx_1^2\\&-\left\{\sum_{k=1}^{n-1}ax_k^2x_{k+1}+\sum_{k=1}^{n-1}bx_kx_{k+1}+\sum_{k=1}^ncx_k+ax_1x_n^2\right\}\Biggl|\\=\;&\dfrac12\left|\sum_{k=1}^{n-1}\left(ax_kx_{k+1}^2-ax_k^2x_{k+1}\right)-a\left(x_nx_1^2-x_1x_n^2\right)\right|\\=\;&\dfrac{|a|}2\left\{\sum_{k=1}^{n-1}\left(x_kx_{k+1}^2-x_k^2x_{k+1}\right)-\left(x_nx_1^2-x_1x_n^2\right)\right\}\\=\;&\dfrac{|a|}6\left\{(x_n-x_1)^3-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)^3\right\}\end{aligned})]

다시 말해서, 계산 결과는 일차항과 상수항의 영향을 받지 않으며, 오직 최고차항의 계수에만 정비례한다.[2] 마지막 등식은 물론 앞서 증명한 내용에 의하여 성립하는 것이다.

이제 신발끈 공식을 모든 차수의 다항함수에 대하여 일반화해 보자. 먼저, [math(D)]차함수 [math(f(x))]를

[math(f(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^Dd_jx^j)]

으로 쓰자. 이때 [math(d_j)]는 [math(j)]차항의 계수가 되며, 특별히 [math(d_0)]은 상수항이 된다. 여기에 신발끈 공식을 적용하면 [math(S_n)]은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}S_n=\;&\dfrac12\biggr|\left\{{\color{blue}x_1f(x_2)+x_2f(x_3)+\cdots+x_{n-1}f(x_n)}+{\color{red}x_nf(x_1)}\right\}\\&-\left\{{\color{LimeGreen}x_2f(x_1)+x_3f(x_2)+\cdots+x_nf(x_{n-1})}+{\color{red}x_1f(x_n)}\right\}\biggr|\\=\;&\dfrac12\biggr|\biggr[\left({\color{blue}x_1d_0+x_2d_0+\cdots+x_{n-1}d_0}+{\color{red}x_nd_0}\right)\\&-\left({\color{LimeGreen}x_2d_0+x_3d_0+\cdots+x_nd_0}+{\color{red}x_1d_0}\right)\biggr]\\&\,+\biggr[\left({\color{blue}x_1d_1x_2+x_2d_1x_3+\cdots+x_{n-1}d_1x_n}+{\color{red}x_nd_1x_1}\right)\\&-\left({\color{LimeGreen}x_2d_1x_1+x_3d_1x_2+\cdots+x_nd_1x_{n-1}}+{\color{red}x_1d_1x_n}\right)\biggr]\\&\,+\biggr[\left({\color{blue}x_1d_2x_2^2+x_2d_2x_3^2+\cdots+x_{n-1}d_2x_n^2}+{\color{red}x_nd_2x_1^2}\right)\\&-\left({\color{LimeGreen}x_2d_2x_1^2+x_3d_2x_2^2+\cdots+x_nd_2{x_{n-1}}^2}+{\color{red}x_1d_2x_n^2}\right)\biggr]\\&+\cdots\\&-\cdots\\&\,+\biggr[\left({\color{blue}x_1d_Dx_2^D+x_2d_Dx_3^D+\cdots+x_{n-1}d_Dx_n^D}+{\color{red}x_nd_Dx_1^D}\right)\\&-\left({\color{LimeGreen}x_2d_Dx_1^D+x_3d_Dx_2^D+\cdots+x_nd_D{x_{n-1}}^D}+{\color{red}x_1d_Dx_n^D}\right)\biggr]\biggr|\\=&\,\dfrac12\Biggl|{\color{blue}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}d_0x_k{x_{k+1}}^0+\cdots+\sum_{k=1}^{n-1}d_Dx_k{x_{k+1}}^D}\\&-\left({\color{LimeGreen}\sum_{k=1}^{n-1}d_0x_k^0x_{k+1}+\cdots+\sum_{k=1}^{n-1}d_Dx_k^Dx_{k+1}}\right)+{\color{red}\sum_{j=0}^Dd_j\left(x_nx_1^j-x_n^jx_1\right)}\Biggl|\\=&\dfrac12\Biggl|{\color{blue}\sum_{j=0}^D\sum_{k=1}^{n-1}d_jx_k{x_{k+1}}^j}-{\color{LimeGreen}\sum_{j=0}^D\sum_{k=1}^{n-1}d_jx_k^jx_{k+1}}+{\color{red}\sum_{j=0}^Dd_j\left(x_nx_1^j-x_n^jx_1\right)}\Biggl|\\=&\dfrac12\Biggl|\sum_{j=0}^D\sum_{k=1}^{n-1}d_j(x_k{x_{k+1}}^j+x_k^jx_{k+1})+{\color{red}\sum_{j=0}^Dd_j\left(x_nx_1^j-x_n^jx_1\right)}\Biggl|\end{aligned})]

곧, [math(f(x))]를 각 차수에 따라 [math((D+1))]개의 항으로 나누어 각 [math(d_jx^j)]들에 대하여 신발끈 공식을 계산한 다음 나중에 모두 더하는 것이다. 여기에서 논의의 편의를 위하여 [math(x_1<x_2<\cdots<x_n)]에 대하여[3]

[math(S(j)\equiv\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}d_j(x_k{x_{k+1}}^j-x_k^jx_{k+1})+d_j(x_nx_1^j-x_n^jx_1))]

로 정의하자. 다시 말해서 [math(S(j))]는 전체 [math(f(x))]의 식 중에서 [math(j)]차항 [math(d_jx^j)]만을 가지고 신발끈 공식을 계산한 값이다. 즉, 다음의 관계가 성립한다.

[math(S_n=\dfrac12\left|\displaystyle\sum_{j=0}^DS(j)\right|)]

이에 따라 먼저 [math(D=0)]이면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}S_n=\dfrac12|S(0)|=&\;\dfrac12|\left(x_1d_0+x_2d_0+\cdots+x_{n-1}d_0+x_nd_0\right)\\&-\left(x_2d_0+x_3d_0+\cdots+x_nd_0+x_1d_0\right)|=0\end{aligned})]

이며, 나아가 [math(D=1)]이면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}S_n=&\;\dfrac12\left|S(0)+S(1)\right|\\=&\;\dfrac12|0+\left(x_1d_1x_2+x_2d_1x_3+\cdots+x_{n-1}d_1x_n+x_nd_1x_1\right)\\&-\left(x_2d_1x_1+x_3d_1x_2+\cdots+x_nd_1x_{n-1}+x_1d_1x_n\right)|=0\end{aligned})]

이 사실과 앞서 [증명]에서 밝힌 사실을 종합하면 [math(D=2)]일 경우 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}S_n&=\dfrac12|S(0)+S(1)+S(2)|\\&=\dfrac12|0+0+\left(x_1d_2x_2^2+x_2d_2x_3^2+\cdots+x_{n-1}d_2x_n^2+x_nd_2x_1^2\right)\\&-\left(x_2d_2x_1^2+x_3d_2x_2^2+\cdots+x_nd_2{x_{n-1}}^2+x_1d_2x_n^2\right)|\\&=\dfrac{|d_2|}2\left\{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left(x_kx_{k+1}^2-x_k^2x_{k+1}\right)-\left(x_nx_1^2-x_1x_n^2\right)\right\}\quad(\because x_1<x_2<\cdots<x_n)\\&=\dfrac{|d_2|}6\left\{(x_n-x_1)^3-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)^3\right\}\end{aligned})]

이 식은 [math(f(x))]가 이차함수일 때뿐만 아니라 일차함수 및 상수함수일 때도 성립한다. 이 경우 [math(d_2=0)]이므로 위 식의 전체 값은 그냥 [math(0)]이 된다. 기하학적으로는 일차함수 및 상수함수의 그래프는 직선이므로, 직선 위의 점들을 연결해 보았자 일정한 넓이를 가진 다각형이 만들어지지는 않는다고 해석할 수 있다. 즉, 신발끈 공식의 값은 [math(0)]인 것이다. 반면 [math(D\geq3)]일 때부터는 일반적으로

[math(S_n=\dfrac{|d_2|}6\left\{(x_n-x_1)^3-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)^3\right\})]

이 더 이상 성립하지 않는다. [math(D\geq3)]이면

[math(\begin{aligned}S_n(D)&=\dfrac12\left|S(0)+S(1)+S(2)+\displaystyle\sum_{j=3}^DS(j)\right|\\&=\dfrac12|S(2)|+\dfrac12\left|\displaystyle\sum_{j=3}^DS(j)\right|\\&=\dfrac{|d_2|}6\left\{(x_n-x_1)^3-\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)^3\right\}+\dfrac12\left|\displaystyle\sum_{j=3}^DS(j)\right|\end{aligned})]

와 같이

[math(\dfrac12\left|\displaystyle\sum_{j=3}^DS(j)\right|)]

만큼의 오차가 발생하는 것이다. 만약 이 값이 [math(0)]이라면 [math(D\geq3)]일 때에도 해당 등식이 성립할 수는 있다. 이 경우

[math(\dfrac12\left|\displaystyle\sum_{j=3}^DS(j)\right|=\displaystyle\sum_{j=3}^DS(j)=0)]

이 성립하게 되며, 특히 [math(D=3)]일 때는 다음 식까지 성립하게 된다.

[math(\begin{aligned}\dfrac12\left|\displaystyle\sum_{j=3}^DS(j)\right|&=\displaystyle\sum_{j=3}^DS(j)=S(3)\\&=\sum_{k=1}^{n-1}d_3(x_k{x_{k+1}}^3-x_k^3x_{k+1})+d_3(x_nx_1^3-x_n^3x_1)\\&=\sum_{k=1}^{n-1}(x_k{x_{k+1}}^3-x_k^3x_{k+1})+(x_nx_1^3-x_n^3x_1)=0\;(\because d_3\neq0)\end{aligned})]

2.1.1.1. 최댓값

증명(고등학교 수준) [펼치기·접기]

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아이디어는 대학교 수준의 증명과 결국 다르지 않으나, 여기에서는 엄밀한 수학적 분석 대신 초등적이고 직관적인 설명을 다룬다.

[math(n)]각형의 넓이를 [math(S_n)]이라 하고, 각 꼭짓점들의 [math(x)]좌표를 작은 순서대로 [math(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)]이라 하자. 양 끝 점, 곧 [math((x_1,\,f(x_1)))]과 [math((x_n,\,f(x_n)))]이 고정되어 있을 때 나머지 [math((n-2))]개의 점이 어디에 있어야 [math(S_n)]이 최대가 되는지를 검토해 보자. 우선 가장 기본이 되는 삼각형의 넓이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(S_3(x_2)=\dfrac{|a|}2(\overline{x_1}-x_2)(x_2-\overline{x_3})(\overline{x_3}-\overline{x_1}))]

문자 위의 가로선은 값이 고정되어 있음을 의미한다. 곧, [math(S_3)]은 최고차항의 계수가 음수인 [math(x_2)]에 대한 이차함수이므로, [math(S_3(x_2))]의 형태로 쓸 수 있으며, 이 함수는 최댓값을 갖는다. 최대가 되도록 하는 조건을 구하기 위해 이를 [math(x_2)]에 대하여 미분하면

[math({S_3}'(x_2)=-\dfrac{|a|}2(\overline{x_3}-\overline{x_1})\left(x_2-\dfrac{\overline{x_1}+\overline{x_3}}2\right))]

곧, [math(S_3(x_2))]는 [math(x_2=(\overline{x_1}+\overline{x_3})/2)]일 때 최댓값을 갖는다. 다시 말해서 [math(\overline{x_1},\,x_2,\,\overline{x_3})]가 등차수열을 이루어야 한다는 것이다. 이제 이 논리를 확장해 보자.


위 그림과 같이 이차함수의 그래프 위의 점 여섯 개를 이은 육각형이 있다. [math(x_1)]과 [math(x_6)]의 값이 각각 [math(\overline{x_1})]와 [math(\overline{x_6})]로 고정되어 있을 때, 육각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 [math(x_2)], [math(x_3)], [math(x_4)], [math(x_5)]의 값을 결정해 보자.


논리를 확장하는 방법은 간단하다. 위 그림과 같이, 여섯 개의 점 중 이웃한 세 점을 이어 삼각형을 만들면 된다. 삼각형의 넓이를 [math(S_{\rm black})], 나머지 넓이를 [math(S_{\rm gray})]라 하면

[math(S_{\rm black}+S_{\rm gray}=S_6)]

이므로 [math(S_6)]이 최대가 되려면 [math(\boldsymbol{S_{\rm gray}})]에 대하여 [math(\boldsymbol{S_{\rm black}})]이 최대가 되어야 한다. 그런데 앞서 밝힌 원리에 따라 위 그림의 네 가지 경우에 대하여 각각 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}x_2&=\dfrac{\overline{x_1}+x_3}2,\;x_3=\dfrac{x_2+x_4}2,\\x_4&=\dfrac{x_3+x_5}2,\;x_5=\dfrac{x_4+\overline{x_6}}2\end{aligned})]

이를 모두 만족시키려면 여섯 개의 점의 [math(x)]좌표는 등차수열을 이루어야 한다. 이때, [math(x_1)]과 [math(x_6)]의 값이 각각 [math(\overline{x_1})]와 [math(\overline{x_6})]로 고정되어 있으므로 모든 점의 [math(x)]좌표를 유일하게 결정할 수 있으며, 이렇게 좌우 양 끝의 점이 고정되어 있지 않으면 모든 좌표를 결정할 수가 없다. 점이 몇 개이든지, 같은 논리를 적용할 수 있다.

사각형부터는 여러 점들이 동시에 움직일 수 있으므로 헷갈릴지 모르겠으나, 쉽게 말하면 양끝 점이 아닌 임의의 한 점은, 그밖의 점들이 어디에 위치하든지 간에 이웃한 두 점의 정가운데에 위치해야만 한다는 것이다. 다시 말해서 다른 점들을 어디에 고정시킨 뒤 계산을 하든 같은 결과가 나오므로, 이 결과는 다각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 확고한 필요조건이 된다. 이를 모두 종합하면 모든 점들의 [math(x)]좌표가 등차수열을 이루어야 한다는 결론이 도출된다.

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증명(대학교 수준) [펼치기·접기]

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아이디어는 고등학교 수준의 증명과 결국 다르지 않으나, 여기에서는 조금 더 수학적으로 엄밀한 분석을 하도록 하자. 편미분(partial derivative)을 이용하여 최적화 문제(optimization problem)를 풀어 보자. 최고차항의 계수가 [math(a)]인 이차함수와 [math(3)] 이상의 자연수 [math(n)]에 대하여, [math(S_n)]을 앞서 다음과 같이 정의한 바 있다.

[math(\displaystyle S_n=\frac{|a|}6\left\{(\alpha_n-\alpha_1)^3-\sum_{k=1}^{n-1}(\alpha_{k+1}-\alpha_k)^3\right\})]

이때, 각 [math(\alpha_i)]들의 정의상 [math(i<j)]이면 [math(\alpha_i<\alpha_j)]이어야 한다. 풀고자 하는 최적화 문제는 이 제약조건을 만족시키면서 [math(S_n)]을 극대화하는 [math(\alpha_2,\,\alpha_3,\,\cdots,\,\alpha_{n-1})]을 찾는 문제인 것이다. 앞서 밝혔듯이 양끝의 [math(x)]좌표인 [math(\alpha_1)]과 [math(\alpha_n)]의 값은 고정되어 있지 않으면 [math(S_n)]이 한없이 커지므로 문제 자체가 성립하지 않는다. 즉, [math(\alpha_1)]과 [math(\alpha_n)]은 선택변수가 아니며, 이에 따라 [math(S_n)]의 변수로도 간주하지 않기로 한다. 이상의 내용을 다시 기술하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle\max_{\alpha_2,\,\alpha_3,\,\cdots,\,\alpha_{n-1}}S_n\quad{\rm s.t.}\;\alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_n)]

즉, 목적함수(objective function)는 [math(S_n)]이고, 선택변수(choice variable)는 [math(\alpha_2,\,\alpha_3,\,\cdots,\,\alpha_{n-1})]로 총 [math((n-2))]개이며, 제약조건(constraint)은 [math(\alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_n)]이다.

목적함수를 극대화하기 위한 1계 조건(first-order condition; FOC)은 각 선택변수에 대한 목적함수의 편미분이 [math(0)]이 되는 것이다. 다시 말해서, 모든 [math(i\,(2\leq i\leq n-1))]에 대하여 다음이 성립해야 한다.

[math(\dfrac{\partial S_n}{\partial\alpha_i}=0)]

편미분을 계산하기 위하여 [math(S_n)]을 풀어 써 보자.

[math(S_n=\dfrac{|a|}6\{(\alpha_n-\alpha_1)^3-(\alpha_2-\alpha_1)^3-(\alpha_3-\alpha_2)^3-\cdots-(\alpha_n-\alpha_{n-1})^3\})]

즉, 이를 한 변수 [math(\alpha_i)]에 대해서만 편미분할 때는 결국 [math(-(\alpha_{i+1}-\alpha_i)^3)] 및 [math(-(\alpha_i-\alpha_{i-1})^3)] 이렇게 단 두 개의 항만이 중요하며 나머지 항은 모두 상수로 취급된다. 또한 편미분의 값이 [math(0)]이 되는 것이 1계 조건이므로 이를 풀 때는 [math(S_n)]에 곱해져 있는 상수 [math(|a|/6)] 역시 중요하지 않다. 따라서 1계 조건은 모든 [math(i)]에 대하여 다음이 성립하는 것이다.

[math(\begin{aligned}&\dfrac{\partial}{\partial\alpha_i}\left\{-(\alpha_{i+1}-\alpha_i)^3-(\alpha_i-\alpha_{i-1})^3\right\}\\=&\dfrac{\partial}{\partial\alpha_i}\left\{(\alpha_i-\alpha_{i+1})^3-(\alpha_i-\alpha_{i-1})^3\right\}=0\end{aligned})]

이를 [math(\alpha_i)]에 대하여 정리하면 다음과 같이 해가 나온다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{\partial}{\partial\alpha_i}\left\{(\alpha_i-\alpha_{i+1})^3-(\alpha_i-\alpha_{i-1})^3\right\}&=3(\alpha_i-\alpha_{i+1})^2-3(\alpha_i-\alpha_{i-1})^2\\&=0\\\therefore(\alpha_i-\alpha_{i+1})^2-(\alpha_i-\alpha_{i-1})^2&=0\end{aligned})] [math(\begin{aligned}\rightarrow(\alpha_i-\alpha_{i+1})^2-(\alpha_i-\alpha_{i-1})^2&=\{(\alpha_i-\alpha_{i+1})+(\alpha_i-\alpha_{i-1})\}\{(\alpha_i-\alpha_{i+1})-(\alpha_i-\alpha_{i-1})\}\\&=(2\alpha_i-\alpha_{i+1}-\alpha_{i-1})(\alpha_{i-1}-\alpha_{i+1})=0\\\rightarrow2\alpha_i-\alpha_{i+1}-\alpha_{i-1}&=0\quad(\because\alpha_{i-1}-\alpha_{i+1}<0)\\\therefore\alpha_i&=\dfrac{\alpha_{i+1}+\alpha_{i-1}}2\end{aligned})]

사실 제약조건을 고려하지 않고 최적화 문제를 풀었지만, 어차피 이 결과는 처음의 제약조건 [math(\alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_n)]을 만족시키므로 결국 아무 문제가 없다.

이제 2계 조건(second-order condition; SOC)을 검토하자. 2계 조건은 선택변수에 대한 이계 편미분이, 1계 조건으로 구한 해 근방에서 [math(0)]보다 작아야 한다는 조건이다. 다시 말해서, 모든 [math(i)]에 대하여 다음이 성립해야 한다.

[math(\dfrac{\partial^2S_n}{\partial^2\alpha_i}\biggr|_{\alpha_i=\frac{\alpha_{i+1}+\alpha_{i-1}}2}<0)]

1계 조건을 계산할 때와 유사한 이유로, 결국 앞서 1계 조건에서 계산했던 [math((\alpha_i-\alpha_{i+1})^2-(\alpha_i-\alpha_{i-1})^2)]을 다시 한 번 미분하여 [math(0)]보다 작은지를 확인하기만 하면 된다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{\partial}{\partial\alpha_i}\left\{(\alpha_i-\alpha_{i+1})^2-(\alpha_i-\alpha_{i-1})^2\right\}&=2(\alpha_i-\alpha_{i+1})+2(\alpha_{i-1}-\alpha_i)\\&=2(\alpha_{i-1}-\alpha_{i+1})<0\end{aligned})]

즉, 2계 조건을 만족시킨다. 1계 조건에서 구한 해에 의하여 [math(\alpha_{i-1}<\alpha_{i+1})]이 성립하기 때문에 2계 조건까지 충족되는 것이다. 이때, 이 식은 [math(\alpha_i)]에 의존하지 않기 때문에

[math(\dfrac{\partial^2S_n}{\partial^2\alpha_i}\biggr|_{\alpha_i=\frac{\alpha_{i+1}+\alpha_{i-1}}2}=\dfrac{\partial^2S_n}{\partial^2\alpha_i}<0)]

이 성립한다고 할 수 있다. 결론적으로 앞서 구했던 해

[math(x_i=\dfrac{x_{i-1}+x_{i+1}}2)]

를 모든 [math(i)]에 대하여 본 최적화 문제의 해로 인정할 수 있다. 모든 [math(i)]에 대하여 이 결과가 성립하면 [math(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_n)]은 등차수열을 이루므로, 이 경우에 [math(S_n)]이 극대화됨이 증명되었다.

또한 앞서 밝혔듯이 다각형 이외의 영역의 넓이를 극소화한다고 생각하더라도 문제가 없다. 이를 수학적으로 나타내 보자.

[math(\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^{n-1}(\alpha_{k+1}-\alpha_k)^3)]

으로 정의하면

[math(S_n+T_n=\dfrac{|a|}6(\alpha_n-\alpha_1)^3)]

이므로 [math(S_n)]을 극대화하는 것은 [math(T_n)]을 극소화하는 것과 동치이다. 따라서 위에서 풀었던 최적화 문제를 다음과 같이 바꾸어 쓸 수도 있다.

[math(\displaystyle\min_{\alpha_2,\,\alpha_3,\,\cdots,\,\alpha_{n-1}}T_n\quad{\rm s.t.}\;\alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_n)]

목적함수가 [math(S_n)]에서 [math(T_n)]으로 바뀌면서 극대화 문제가 극소화 문제로 바뀐 것이다. 물론 선택변수와 제약조건은 변하지 않는다. 이때 1계 조건은 목적함수가 [math(S_n)]일 때와 마찬가지로

[math(\dfrac{\partial T_n}{\partial\alpha_i}=0)]

이지만, 극대화 문제가 극소화 문제로 바뀌었으므로 2계 조건은 다음과 같이 정반대가 된다는 점에 유의해야 한다.

[math(\dfrac{\partial^2T_n}{\partial^2\alpha_i}\biggr|_{\alpha_i=\frac{\alpha_{i+1}+\alpha_{i-1}}2}>0)]

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예제(객관식) [펼치기·접기]

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2022학년도 EBS 수능완성 수학Ⅰ·수학Ⅱ·미적분 실전 모의고사 4회 19번

문제에서 주어진 함수를 [math(f(x))]라 하자. [math(f(x))]는 이차함수이므로, 사각형의 넓이가 최대가 되려면 네 점 [math(\rm O)], [math(\rm C)], [math(\rm B)], [math(\rm A)]의 [math(x)]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루면 된다. 점 [math(\rm O)]와 점 [math(\rm A)]의 [math(x)]좌표가 각각 [math(0)]과 [math(3)]이므로, 점 [math(\rm C)]와 점 [math(\rm B)]의 [math(x)]좌표는 각각 [math(1)]과 [math(2)]이다. 이를 [math(f(x))]에 대입하면 이 두 점의 [math(y)]좌표는 각각 [math(2)]와 [math(2)]가 되므로 정답은 다음과 같다.

[math(\alpha+\beta+\gamma+\delta=2+2+1+2=7)]

수능완성의 해설에는 다음과 같은 복잡한 풀이가 제시되어 있다.


위 증명 과정에서 설명한 아이디어, 즉 어느 한 점의 [math(x)]좌표가 정해지면 다른 한 점이 정가운데에 있어야 한다는 사실을 이용하고 있으나 상당히 미흡하다. 두 동점 중 오른쪽 점의 위치가 정해지면([math(t)]) 왼쪽 점은 항상 [math((0,\,0))]과 오른쪽 점의 정가운데([math(t/2)])에 있어야 한다는 사실은 정반대로도 잘 적용된다. 즉, 왼쪽 점의 위치가 정해지면 오른쪽 점의 위치 역시 왼쪽 점과 [math((3,\,0))]의 정가운데에 있어야 한다는 것이다. 여기까지 도출할 수 있다면

[math(t=\cfrac{\dfrac t2+3}2)]

에서 [math(t=2)]일 때 사각형의 넓이가 최대가 됨을 쉽게 알 수 있다. 그런데 위 풀이는 점 [math(\rm C)]와 점 [math(\rm B)]의 [math(x)]좌표를 각각 [math(t/2)], [math(t)]로 놓은 데서 그쳤다는 점에서 매우 미흡하다. 그런데 위 식과 같이 [math(t)]의 값을 구할 수 있더라도, 한 점이 이웃한 두 점의 정가운데에 있어야 한다는 사실을 일일이 도출해야 하므로 시간이 오래 걸린다. 그러나 이 사실을 공식으로서 미리 아는 상태에서 문제를 풀면 복잡한 계산 없이 문제가 훨씬 빠르게 해결됨을 실감할 수 있다.

2024 수능완성 미적분 실전 모의고사 5회 20번

이 문제는 앞 문제와 달리, 양끝 점을 제외한 나머지 두 점이 완전히 자유로이 배치될 수 있는 것이 아니라 이 두 점이 [math(y=a)]라는 한 직선 위에 있어야 한다는 제약, 즉 두 점의 [math(y)]좌표가 [math(a)]로 같아야 한다는 제약이 붙은 것이 특색이다.

아무런 제약이 없을 때에는 원점과 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)]의 [math(x)]좌표가 등차수열을 이루면 되는데, 그때의 점 [math(\rm A)]와 점 [math(\rm B)]의 [math(y)]좌표가 마침 같다면 그 경우가 이 문제에서 넓이가 최대가 되는 경우이며, 같지 않다면 다른 방법으로 최대가 되는 경우를 조사해야 한다. 그런데 이차함수의 대칭성에 의하여 다음 그림과 같이 두 점의 [math(y)]좌표가 같음을 직관적으로 쉽게 알 수 있다.


따라서 이 경우의 넓이 [math(S)]를 바로 공식을 사용하여 구하면

[math(\begin{aligned}S&=\dfrac{|1|}6\times\left\{2^3-3\times\left(\dfrac23\right)^3\right\}\\&=\dfrac16\times\left(8-\dfrac89\right)=\dfrac16\times\dfrac{64}9=\dfrac{32}{27}\end{aligned})]

이므로 정답은 [math(27S=32)]이다.

실제 수능완성에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 점 [math(\rm A)]의 [math(x)]좌표를 [math(t)]로 놓은 뒤 사각형의 넓이를 [math(t)]에 관한 식 [math(f(t))]로 나타내어 미분을 통해 최댓값을 구하는 일련의 과정이 너무 번거롭다. 반면 공식을 사용하면 문제를 훨씬 신속하게 풀어낼 수 있다.

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예제(논술) [펼치기·접기]

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파일:2022학년도 서울시립대학교 논술 자연계열Ⅰ 1번.jpg

2022학년도 서울시립대학교 논술 자연계열Ⅰ 1번

위에서 설명한 사실이 그대로 출제된 문제이다. 단 서울시립대학교에서는 다음과 같이 정적분 없이 삼각형의 넓이로만 문제에 접근하는 해설을 제시했다.

1972년 홋카이도대학 본고사 전기 문과 6번

한국어 번역 포물선 [math(y=x^2)] 위의 점 [math(A)], [math(B)]가 있다. [math(P)]는 포물선 위에서 [math(A)]와 [math(B)] 사이에 있는 점으로, 포물선과 현 [math(AP)]로 둘러싸인 도형의 면적 [math(S_1)]과 포물선과 현 [math(BP)]로 둘러싸인 도형의 면적 [math(S_2)]의 합이 최소가 되도록 하는 점이다. [math(S_1)]과 [math(S_2)]의 비를 구하라. 점 [math(P)]에서의 포물선의 접선에 수직인 직선과 [math(A)], [math(B)]를 지나는 직선이 이루는 각을 구하라.

이 문제는 다각형의 넓이의 최댓값이 아닌, 다각형을 제외한 나머지 부분의 넓이의 최솟값에 초점을 맞춘 문제이다.


위 그림은 문제의 상황을 그래프로 그린 것이다. [math(S_1+S_2)]가 최소가 된다는 것은 위 그림의 삼각형의 넓이가 최대가 된다는 것과 같다. 앞서 알아본 바와 같이 위 그림의 삼각형의 넓이가 최대가 되려면 [math(A)], [math(P)], [math(B)]의 [math(x)]좌표가 등차수열을 이루어야 하므로, [math(1/6)] 공식에 따라 [math(S_1=S_2)]여야 한다. 즉, [math(S_1:S_2=1:1)]이다.

두 번째 문제는 다항함수/공식 문서에서 해설하므로 그쪽을 참고하자.

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증명 [펼치기·접기]

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설명에 앞서, [math(S_n=S_n^*)]일 때 [math(\alpha_1,\,\cdots,\,\alpha_n)]의 값을 [math(\alpha_1^*,\,\cdots,\,\alpha_n^*)]로 쓰자.[5] 그러면 [math(\alpha_1^*=\alpha_1)], [math(\alpha_n^*=\alpha_n)]인 가운데 [math(\alpha_1^*,\,\cdots,\,\alpha_n^*)]는 공차가

[math(\dfrac{\alpha_n-\alpha_1}{n-1})]

인 등차수열을 이루므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n^*&=\lim_{n\to\infty}\frac{|a|}6\left[(\alpha_n^*-\alpha_1^*)^3-\left\{(\alpha_2^*-\alpha_1^*)^3+\cdots+(\alpha_n^*-\alpha_{n-1}^*)^3\right\}\right]\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{|a|}6\left[(\alpha_n^*-\alpha_1^*)^3-(n-1)\times\left(\dfrac{\alpha_n-\alpha_1}{n-1}\right)^3\right]\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{|a|}6(\alpha_n^*-\alpha_1^*)^3-\lim_{n\to\infty}\frac{|a|}6\cdot\dfrac{(\alpha_n-\alpha_1)^3}{(n-1)^2}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{|a|}6(\alpha_n-\alpha_1)^3\end{aligned})]

2.2. 3:2:1 공식: 접선과 삼각형

증명 [펼치기·접기]

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우선, 앞서 밝혔듯이

[math(S_1=\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3)]

이다. 한편 [math(S_1+S_2)]의 값은 삼각형의 넓이인데, 삼각형의 밑변의 길이는 [math(\beta-\alpha)]이며, 높이는 다항함수/공식/길이 문서에서 밝혔듯이

[math(\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^2)]

이므로 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

[math((\beta-\alpha)\times\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^2\times\dfrac12=\dfrac{|a|}4(\beta-\alpha)^3)]

[math(\begin{aligned}\therefore S_1:(S_1+S_2)&=\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3:\dfrac{|a|}4(\beta-\alpha)^3\\&=\dfrac16:\dfrac14=2:3\quad(\because\beta-\alpha\neq0)\\S_1:S_2&=S_1:(S_1+S_2-S_1)\\&=2:(3-2)=2:1\end{aligned})]

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예제 [펼치기·접기]

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2020학년도 3월 고3 가형 10번

두 함수의 그래프는 좌우 대칭인바 점 [math(\rm A)]와 점 [math(\rm B)]의 [math(y)]좌표가 같으므로 [math(\overline{\rm AB})]는 [math(y)]축과 직교한다. 따라서 복잡하게 계산할 것 없이 [math(\triangle\rm OAB)]의 넓이의 [math(1/3)]을 구하면 된다. 일련의 과정에 따라 값을 구하면 [math(a=1/2)]이고, [math(\triangle\rm OAB)]의 밑변 [math(\overline{\rm AB})]의 길이는 [math(4)], 높이는 [math(4)], [math(\triangle\rm OAB)]의 넓이는 [math(8)]이므로 색칠된 영역의 넓이는 그의 [math(1/3)]인 [math(8/3)]이다.

서울특별시교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 직접 정적분을 계산해야 하므로 공식을 써서 삼각형의 넓이의 [math(1/3)]을 구하는 것보다 번거롭다.


2016년 가천대 적성고사 33번에도 출제되었으며, 같은 원리로 답은 ③이다.

1984년 나고야대학 본고사 전기 문과 2번

한국어 번역 포물선 [math(y=b-ax^2\,(a>0,\,b<1))]이 꺾은선 [math(y=1-|x|)]에 접하기 위한 조건을 구하라. [math((1))]의 포물선과 꺾은선이 접할 때, 이들로 둘러싸인 부분의 넓이를 [math(a)]에 관하여 나타내라.

이곳에서 [math(a)]의 값을 [math(0.06\sim1)] 사이에서 조절해 가며 그래프의 개형을 파악할 수 있다.

먼저 첫 번째 문제를 보자. 포물선이 꺾은선에 접하는 경우 중 하나를 그래프로 그려 보면 다음과 같다.


위 그래프는 [math(x=0)]에 대하여 좌우 대칭이므로, [math(x>0)]인 영역에서 두 그래프가 접하면 [math(x<0)]인 영역에서도 동시에 접하게 된다. 따라서 [math(x>0)]일 때를 기준으로 하여 그래프가 접할 조건을 조사하자. [math(x>0)]일 때는 [math(y=1-|x|=1-x)]이다. 이 일차식의 그래프와 포물선이 접한다는 것은 대수적으로는 이차방정식

[math((1-x)-(b-ax^2)=ax^2-x+(1-b)=0)]

이 중근을 갖는다는 의미이므로, 이 방정식의 판별식은 [math(0)]이다. 곧, [math(1-4a(1-b)=0)]이 성립한다. 이것이 두 그래프가 접할 조건이다.

이제 이와 같이 두 그래프가 접할 때 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 [math(a)]에 관한 식으로 나타내 보자. 먼저 두 접점의 [math(x)]좌표의 절댓값을 [math(t)]라고 하여 다음과 같이 그림을 그리자.


그러면 [math(t)]는 위 이차방정식의 중근이므로 다음이 성립한다.

[math(t=-\dfrac{-1}{2a}=\dfrac1{2a})]

또한 위 그림에서 색칠한 영역의 넓이는 앞서 밝힌 공식에 따라 빨간색 삼각형의 넓이의 [math(1/3)]이므로 이를 이용하자. 삼각형의 밑변의 길이는 [math(t-(-t)=2t)]이고 높이는 [math(1-(1-t)=t)]이므로 넓이는 [math(t^2)]이다. 따라서 색칠한 영역의 넓이는 [math(t^2/3)]이다. 이때 [math(t=1/2a)]이므로 정답은 다음과 같다.

[math(\dfrac13t^2=\dfrac13\times\left(\dfrac1{2a}\right)^2=\dfrac1{12a^2})]

실제 논술 시험에서는 이와 같은 공식을 별도의 증명 없이 사용해서는 안 되므로 왜 [math(1/3)]이 되는지를 설명한 뒤 공식을 사용하거나 직접 정적분을 계산하는 수밖에 없는데, 후자가 더 편한 방식이므로 사실상 이 문제는 공식을 사용하기 어려운 문제이다. 이 문제는 공식의 활용 가능성의 측면보다는 단순히 이러한 모양의 그래프가 출제된 적이 있다는 하나의 사실로만 받아들일 필요가 있다. 다만 위에서 공식을 유도한 과정을 잘 숙지한다면 이 문제를 풀기가 보다 용이할 수 있다.

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예제 [펼치기·접기]

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2007학년도 10월 가형 10번

이차함수의 그래프 역시 포물선이므로, 이차함수의 넓이 공식을 이 문제에도 적용할 수 있다. 부채꼴 [math(\rm OAB)]의 중심각은 [math(360\degree/6=60\degree)]이므로 삼각형 [math(\rm OAB)]는 정삼각형이며, 그 넓이는 [math(2\times2\sqrt3/4=\sqrt3)]이다. 앞서 밝힌 비율 관계에 따라 구하고자 하는 부분의 넓이는 다음과 같다.

[math(\sqrt3\times\dfrac13\times6=2\sqrt3)]

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2.3. 대칭축의 이등분

예제 [펼치기·접기]

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2022학년도 수능 8번

곡선과 직선의 교점의 [math(x)]좌표는

[math(x^2-5x=x\quad\rightarrow\quad x^2-6x=x(x-6)=0)]

이므로 [math(x=0)] 그리고 [math(x=6)]이다. 따라서 주어진 도형의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식은

[math(x=\dfrac{0+6}2=3)]

이므로 [math(k=3)]이다. 문제를 그래프로 나타내면 다음과 같다.


2023학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 97쪽 6번에도 출제되었으며, 같은 원리로 답은 ①이다.

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3. 삼차함수

3.1. 1/12 공식: 접선과의 넓이

증명 [펼치기·접기]

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먼저, [math(f(x)=a(x-\alpha)^2(x-\beta))]인 경우를 계산해 보자. 그래프를 [math(x)]축의 방향으로 [math(-\alpha)]만큼 평행이동한다고 생각하면 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)^2(x-\beta)\,{\rm d}x\right|=\left|\int_0^{\beta-\alpha}ax^2\{x-(\beta-\alpha)\}\,{\rm d}x\right|)]

이때, [math(t=x/(\beta-\alpha))]로 치환적분하자. 구하는 넓이를 [math(S)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}x&=(\beta-\alpha)t\\{\rm d}x&=(\beta-\alpha){\rm d}t\\x=0\quad&\rightarrow\quad t=0\\x=\beta-\alpha\quad&\rightarrow\quad t=1\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}\displaystyle S&=\left|\int_0^{\beta-\alpha}ax^2\{x-(\beta-\alpha)\}\,{\rm d}x\right|\\&=\left|a\int_0^1\{(\beta-\alpha)t\}^2(\beta-\alpha)(t-1)(\beta-\alpha)\,{\rm d}t\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^4\int_0^1t^2(t-1)\,{\rm d}t\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^4\int_0^1(t^3-t^2)\,{\rm d}t\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^4\times\left[\dfrac14x^4-\dfrac13x^3\right]_0^1\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^4\times\left(-\dfrac1{12}\right)\right|\\&=\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4=\dfrac{|a|}{3\cdot4}(\beta-\alpha)^4\end{aligned})]

[math(f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)^3)]의 경우는 위 계산에서 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 자리를 바꾸기만 하면 된다. 그러면 최종 계산 결과 역시 다음과 같이 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 자리가 바뀐다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)^2(x-\beta)\,{\rm d}x\right|&=\left|\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^4\right|\\\rightarrow\left|\int_\beta^\alpha a(x-\alpha)(x-\beta)^2\,{\rm d}x\right|&=\left|\dfrac{a}{12}(\alpha-\beta)^4\right|\\&=\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)^2\,{\rm d}x\right|\end{aligned})]

정적분의 위끝과 아래끝이 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]로 결정되므로 두 변수의 자리를 바꾸면 구간까지 반대로 바뀌지만, 절댓값을 취하면 의미가 없음에 주목하자. [math((\alpha-\beta)^4=(\beta-\alpha)^4)]이므로 두 경우의 공식은 다음과 같이 일치한다.

[math(\begin{aligned}\left|\dfrac{a}{12}(\alpha-\beta)^4\right|&=\left|\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^4\right|\\&=\dfrac{|a|}{3\cdot4}(\beta-\alpha)^4\;\left(\because(\beta-\alpha)^4>0\right)\end{aligned})]

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예제 [펼치기·접기]

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이차함수의 [math(1/6)] 공식에 버금가는 중요성을 자랑하는 공식으로, 이 공식을 적용할 수 있는 문제는 수도 없이 출제되었다.

2013학년도 7월 A형 17번

먼저 도함수의 식을 인수분해하면 다음과 같다.

[math(f'(x)=3x^2-4x-4=(3x+2)(x-2))]

따라서 방정식 [math(f'(x)=0)]의 근은 [math(x=-2/3)] 또는 [math(x=2)]이므로 [math(f'(x))]와 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같다. [math(f(x))]의 그래프는 [math((2,\,0))]을 지나도록 그리면 된다.


다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 길이의 비율 관계에 따라 곡선 [math(f(x))]가 [math((2,\,0))]을 지나면 [math((-2,\,0))]도 지난다. 한편 [math(f'(x))]의 최고차항이 [math(3x^2)]이므로 [math(f(x))]의 최고차항은 [math(x^3)]이다. 따라서 색칠된 부분의 넓이는 다음의 공식으로 구할 수 있다.

[math(\dfrac{|1|}{3\cdot 4}\{2-(-2)\}^4=\dfrac{64}3)]

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예제 [펼치기·접기]

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1996년 도호쿠대학 본고사 후기 문과 1번

한국어 번역 두 곡선 [math(y=x^3-16x)]와 [math(y=-x^3-2x^2+a)]는 [math(x)]좌표가 음인 점을 공유하고, 그 점에서 공통 접선 [math(l)]을 갖는다고 하자. [math(a)]를 구하라. [math(l)]의 방정식을 구하라. 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라.

두 곡선이 [math(x)]좌표가 음인 점에서 교차하는데 그 점에서 접선까지 공유한다면 결국 두 곡선이 그 점에서 접하는 것이다. 따라서 이 점의 [math(x)]좌표를 [math(\alpha)]라 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\begin{aligned}x^3-16x-(-x^3-2x^2+a)&=2x^3+2x^2-16x-a\\&=2(x-\alpha)^2(x-\beta)\end{aligned})]

이때, 방정식 [math(2x^3+2x^2-16x-a=0)]의 세 근의 합은 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\alpha+\alpha+\beta=-\dfrac22=-1)]

따라서 [math(\beta=-2\alpha-1)]이다. 이를 대입하여 식을 전개하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}2(x-\alpha)^2(x-\beta)&=2(x-\alpha)^2(x+2\alpha+1)\\&=2(x^2-2\alpha x+\alpha^2)(x+2\alpha+1)\\&=2\{x^3+x^2-(3\alpha^2+2\alpha)x+2\alpha^3+\alpha^2\}\\(&=2x^3+2x^2-16x-a)\end{aligned})]

이때 계수비교법에 따라 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}-2(3\alpha^2+2\alpha)&=-16\;&\cdots(\rm a)\\2(2\alpha^3+\alpha^2)&=-a\;&\cdots(\rm b)\end{aligned})]

[math((\rm a))]를 풀면 [math(\alpha=-2)] 또는 [math(\alpha=4/3)]인데 문제에서는 [math(\alpha<0)]이므로 [math(\alpha=-2)]가 된다. 이에 따라 [math(\beta=3)]이며 [math((\rm b))]를 풀면 [math(a=24)]이다. 한편 함수 [math(y=x^3-16x)]의 [math(x=-2)]에서의 함숫값은 [math(-24)]이고 미분계수는 [math(-4)]이다. 따라서 [math(l)]의 방정식은 다음과 같다.

[math(y=-4(x+2)+24=-4x+16)]

이상의 사실을 그래프로 나타내면 다음과 같다.

파일:1996년 도호쿠대학 본고사 후기 문과 1번 해설.jpg
따라서 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 공식으로 계산하면 다음과 같다.

[math(\dfrac{|1-(-1)|}{12}\times\{3-(-2)\}^4=\dfrac{625}6)]

실제 논술 시험에서는 이와 같은 공식을 별도의 증명 없이 사용해서는 안 되므로, [math(\beta)]를 [math(\alpha)]에 관한 식으로 나타내는 부분만 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 간편하게 처리하고 정적분은 직접 계산하는 편이 나을 것이다.

3.2. 접선이 아닌 직선과의 넓이

증명 [펼치기·접기]

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식을 적당히 조작한 다음 2.2문단에서 설명한 [math(1/6)] 공식을 활용하여 알기 쉽게 증명할 수 있다. 우선 [math(S_1)]의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle S_1&=\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\,{\rm d}x\right|\\&=\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)\left\{{\color{#DA3832}\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)}+{\color{#48A0E2}\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\gamma\right)}\right\}\,{\rm d}x\right|\\&={\color{#DA3832}\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)(x-\beta)\,{\rm d}x\right|}+{\color{#48A0E2}\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\gamma\right)(x-\beta)\,{\rm d}x\right|}\\&={\color{#DA3832}0}+{\color{#48A0E2}\left(\gamma-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)\,{\rm d}x\right|}\quad\left(\because\gamma>\dfrac{\alpha+\beta}2\right)\\&=\dfrac{|a|}6(\beta-\alpha)^3\left|\gamma-\dfrac{\alpha+\beta}2\right|\end{aligned})]

또는 다음과 같이 [math(1/6)] 공식과 [math(1/12)] 공식을 모두 사용하여 계산하는 방법도 있다.

[math(\begin{aligned}S_1&=\displaystyle\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\,{\rm d}x\\&=\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)(x-\alpha+\alpha-\gamma)\,{\rm d}x\\&=\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(x-\beta)\,{\rm d}x+(\alpha-\gamma)\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,{\rm d}x\\&=-\dfrac1{12}(\beta-\alpha)^4-\dfrac{(\alpha-\gamma)}6(\beta-\alpha)^3\\&=-\dfrac1{12}(\beta-\alpha)^3\{(\beta-\alpha)+2(\alpha-\gamma)\}\\&=\dfrac1{12}(\beta-\alpha)^3(\alpha+\beta-2\gamma)\\&=\dfrac16(\beta-\alpha)^3\left|\dfrac{\alpha+\beta}2-\gamma\right|\quad\left(\because\dfrac{\alpha+\beta}2-\gamma<0\right)\end{aligned})]

이때 피적분함수의 식 [math(a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma))]는 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]에 대한 대칭식이므로, [math(S_2)]와 [math(S_3)]의 값은 [math(S_1)]의 값에서 문자만 그에 맞게 바꾸어 주면 쉽게 구할 수 있다.

편의상 [math(S_3)]를 먼저 구하자. [math(S_1)]의 값에서 [math(\beta)]와 [math(\gamma)]의 자리를 바꾸어 주기만 하면 된다.

[math(S_3=\left| \displaystyle\int_\alpha^\gamma f(x)\,{\rm d}x \right|=\dfrac{|a|}{6}(\gamma-\alpha)^{3} \left|\beta-\dfrac{\alpha+\gamma}2\right|)]

이제 이 [math(S_3)]의 값을 바탕으로 [math(S_2)]의 값을 구하자. [math(S_3)]의 값에서 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 자리를 바꾸어 주기만 하면 된다.

[math(S_2=\left| \displaystyle\int_\beta^\gamma f(x)\,{\rm d}x \right|=\dfrac{|a|}{6}(\gamma-\beta)^{3} \left|\alpha-\dfrac{\beta+\gamma}2\right|)]

참고로 [math(S_1)]과 [math(S_2)] 사이에는 [math(S_1)]의 값에서 [math(\alpha)]의 자리에 [math(\beta)]를, [math(\beta)]의 자리에 [math(\gamma)]를, [math(\gamma)]의 자리에 [math(\alpha)]를 넣으면 [math(S_2)]의 값이 되는 관계가 성립한다.

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예제 [펼치기·접기]

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2024학년도 6월 고3 10번

[math((A\textsf{\footnotesize의 넓이})-(B\textsf{\footnotesize의 넓이})=\displaystyle\int_0^3kx(x-2)(x-3)\,{\rm d}x=3)]

이므로 위에서 설명한 공식을 사용하면 [math(k)]의 값은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\dfrac k6(3-0)^3\left|2-\frac{0+3}2\right|&=\dfrac k6\times27\times\dfrac12=3\\\therefore k&=\dfrac43\end{aligned})]

EBSi에서는 다음과 같은 해설을 제시한 바 있다.[7] 공식을 사용하지 않으면 다음과 같이 [math(f(x))]를 전개하여 부정적분을 구한 다음 직접 [math(A)]와 [math(B)]에 대한 정적분을 모두 계산해야 하는데, [math(f(x))]가 삼차함수이므로 그 부정적분은 사차함수가 되어 계산이 다소 번거로워진다. 그러나 공식을 사용하면 [math(f(x))]를 전개할 필요조차 없으며 영점의 좌표만 가지고 공식을 계산하면 되므로 한결 편리해진다.

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예제 [펼치기·접기]

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2015학년도 7월 A형 10번

인천광역시교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했다. 정적분을 직접 계산해야 하기 때문에 다소 번거롭다.


그러나 공식을 사용하면 다음과 같이 보다 간편하게 답을 낼 수 있다.

[math(2\times\dfrac{|1|}4\times(3-0)^4=\dfrac{81}2)]

2020학년도 경찰대 수학 14번에도 이 내용이 출제되었는데, 같은 원리로 정답은 ①이다.

2025학년도 EBS 수능완성 실전모의고사 3회 10번

공식을 사용하면 더욱 시간을 단축할 수 있는 문제이다. 색칠된 부분의 넓이를 구하기 위하여 먼저 곡선 [math(y=x^3-x)]와 직선 [math(y=3x)]의 [math(1)]사분면상의 교점을 구하자.

[math(\begin{aligned}x^3-x-3x&=x^3-4x\\&=x(x+2)(x-2)=0\\\therefore x&=0\;\textsf{or}\;x\pm2\end{aligned})]

좌표를 구하고자 하는 교점은 [math(1)]사분면상에 있으므로, [math(x=2)]이다. 따라서 색칠된 부분의 넓이는 공식에 따라

[math(\dfrac{|1|}4(2-0)^4=4)]

이다. 이제 [math(x\geq0)]에서 곡선 [math(y=x^3-x)]와 직선 [math(y=mx)]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [math(2/3)]이 되도록 하는 [math(m)]의 값을 찾으면 된다. 이 역시 먼저 [math(1)]사분면상의 교점의 [math(x)]좌표를 찾자.

[math(\begin{aligned}x^3-x-mx&=x^3-(m+1)x\\&=x\left\{x^2-(m+1)\right\}\\&=x\left(x+\sqrt{m+1}\right)\left(x-\sqrt{m+1}\right)=0\\\therefore x&=0\;\textsf{or}\;x\pm\sqrt{m+1}\end{aligned})]

따라서 교점의 [math(x)]좌표는 [math(\sqrt{m+1})]이다. 이에 다시 공식을 사용하면 정답은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{|1|}4\left(\sqrt{m+1}-0\right)^4&=\dfrac14(m+1)^2=2\end{aligned})]

[math(\therefore(m+1)^2=8,\,m=2\sqrt2-1)]

실제 수능완성에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 복잡한 정적분을 두 번이나 계산해야 하므로 다소 번거롭다. 반면 공식을 사용하면 계산이 한 단순해진다.

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3.2.1. 1/12 공식과의 연계

3.2.2. 심화: 다각형의 넓이 도입

예제 [펼치기·접기]

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2018학년도 7월 나형 17번

문제의 조건에 따르면 [math(f(x)=(x-2)^2(x-5)+20)]으로서, 그 그래프는 다음과 같다.


문제의 답은 위 그림의 색칠한 영역의 넓이이며, 이러한 형태는 앞서 밝혔듯이 도형을 위와 같이 분할하여 넓이를 쉽게 구할 수 있다.

먼저 삼각형의 넓이를 구하자. 밑변의 길이는 [math(2-0=2)]이고 높이는 [math(f(2)=20)]이므로 삼각형의 넓이는 [math(20)]이다.

이제 색칠한 영역에서 삼각형을 제외한 부분의 넓이를 공식으로 구하자. 공식을 사용하기 위해서는 다음과 같이 위 그림의 점선을 연장할 때 나타나는 새로운 교점의 [math(x)]좌표를 구해야 한다.


위 그림과 같이 점선을 연장하여 직선으로 바꾼 것의 방정식을 [math(y=g(x))]라 하면 다항함수/공식 문서에서 밝힌 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 따른 성질에 의하여 두 삼차방정식

[math(f(x)-20=0,\,f(x)-g(x)=0)]

의 세 근의 합은 같다. 이때 위 그림으로부터 알 수 있듯이 방정식 [math(f(x)-20=0)]의 세 근의 합은 [math(2+2+5=9)]이므로, 새로운 교점의 [math(x)]좌표가 [math(7)]이어야 방정식 [math(f(x)-g(x)=0)]의 세 근의 합도 [math(0+2+7=9)]가 된다. 이제 공식을 사용하여 넓이를 구하자.

[math(\dfrac{|1|}6\times(2-0)^3\times\left(7-\dfrac{0+2}2\right)=8)]

따라서 색칠한 영역의 넓이는 [math(20+8=28)]이다.

인천광역시교육청에서는 다음과 같은 풀이를 제시했는데, [math(f(x))]를 일일이 전개한 다음 정적분을 계산하는 과정이 다소 번거롭다. 반면 공식을 사용하면 정적분 없이 간단한 계산만으로 정답을 도출할 수 있다.

3.3. 5:3:8:16 공식

증명 [펼치기·접기]

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먼저, 위 그림에서 [math(S_2+S_3+S_4)]의 넓이는 앞서 밝혔듯이 다음과 같다.

[math(\dfrac{|a|}{12}(\gamma-\alpha)^4)]

[math(\dfrac{|a|}{12}(\gamma-\alpha)^4)]

또한, [math(S_4)]의 넓이는 삼차함수의 그래프가 변곡점 대칭이라는 점을 이용하여 다음과 같이 직사각형의 넓이로 구할 수 있다.


이 직사각형의 밑변은 [math((\gamma-\beta)/2)], 높이는 [math(k)]이다. 이때 다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 공식에 따라 [math(k)]의 값은

[math(k=\dfrac{|a|}2(\gamma-\beta)^3)]

이므로 넓이는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}S_4&=\dfrac12k(\gamma-\beta)\\&=\dfrac12\cdot\dfrac{|a|}2(\gamma-\beta)^3(\gamma-\beta)\\&=\dfrac{|a|}4(\gamma-\beta)^4=\dfrac{|a|}4(\gamma-\alpha)^4\cdot\left(\dfrac23\right)^4\\&=\dfrac{4|a|}{81}(\gamma-\alpha)^4\end{aligned})]

한편, 위 그림에서 직선 [math(g(x))]는 [math(S_1+S_2+S_3)]을 나타내는 직사각형의 대각선으로 나타나므로, [math(S_3)]은 [math(S_1+S_2+S_3)]의 절반이다. 그런데 다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 비율 관계에 따라

[math(\beta-\alpha=\dfrac{\gamma-\beta}2)]

이므로 해당 직사각형은 위에서 [math(S_4)]를 변형한 직사각형과 합동이 된다. 곧, [math(S_1+S_2+S_3=S_4)]이므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\therefore S_3&=\dfrac12(S_1+S_2+S_3)=\dfrac12S_4\\&=\dfrac{2|a|}{81}(\gamma-\alpha)^4\end{aligned})]

따라서 [math(S_2)]의 넓이는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}S_2&=(S_2+S_3+S_4)-S_3-S_4\\&=\dfrac{|a|}{12}(\gamma-\alpha)^4-\dfrac{4|a|}{81}(\gamma-\alpha)^4-\dfrac{2|a|}{81}(\gamma-\alpha)^4\\&=\dfrac{27-16-8}{324}(\gamma-\alpha)^4\\&=\dfrac3{324}(\gamma-\alpha)^4\end{aligned})]

그런데 앞서 밝혔듯이 기하학적으로 [math(S_1+S_2=S_3)]이므로 [math(S_1)]은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}S_1&=S_3-S_2\\&=\dfrac{2|a|}{81}(\gamma-\alpha)^4-\dfrac3{324}(\gamma-\alpha)^4\\&=\dfrac5{324}(\gamma-\alpha)^4\end{aligned})]

[math(\gamma-\alpha\neq0)]이므로 다음의 비율 관계가 증명된다.

[math(\begin{aligned}S_1:S_2:S_3:S_4&=\dfrac5{324}:\dfrac3{324}:\dfrac2{81}:\dfrac4{81}\\&=\dfrac5{324}:\dfrac3{324}:\dfrac8{324}:\dfrac{16}{324}\\&=5:3:8:16\end{aligned})]

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참고: 접선이 아닌 직선과의 넓이 공식 [펼치기·접기]

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[math(S_2)]의 넓이는 3.2문단에서 설명한 공식을 통하여 구할 수도 있다.


위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 [math(x)]축과 한 번 교차하고 한 번 접할 때, 계산의 편의상 [math(x=0)]에서 교차하고 [math(x=\alpha(\alpha>0))]에서 접한다고 하자. 또한 원점과 곡선 [math(y=f(x))]의 극대점을 지나는 직선의 방정식을 [math(y=g(x))]라 하자. 이때, 먼저 위 그림에서 빨간색을 띠는 전체 영역의 넓이는 3.1문단에서 설명한 [math(1/12)] 공식에 의하여

[math(S_2+S_3+S_4=\dfrac{|a|}{12}(\alpha-0)^4=\dfrac{|a|}{12}\alpha^4)]

이다. 이제 그중에서도 어두운 부분의 넓이, 즉 [math(S_2)]를 3.2문단에서 설명한 공식으로 구하자. 해당 공식을 적용하기 위해서는 위 그림과 같이 빨간색 영역을 분할하는 직선 [math(y=g(x))]가 빨간색 영역 외부에서 곡선 [math(y=f(x))]와 만나는 점의 [math(x)]좌표를 알아야 한다. 다항함수/공식 문서에서 밝힌 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 따른 성질에 의하여

[math(f(x)=0,\,f(x)-g(x)=0)]

의 세 근의 합은 같다. 이때 위 그림으로부터 알 수 있듯이 방정식 [math(f(x)=0)]의 세 근의 합은 [math(0+\alpha+\alpha=2\alpha)]이므로, 빨간색 영역 외부의 교점의 [math(x)]좌표가 [math(5\alpha/3)]이어야 방정식 [math(f(x)-g(x)=0)]의 세 근의 합도 [math(0+\alpha/3+5\alpha/3=2\alpha)]가 된다. 이제 공식을 사용하여 넓이를 구하자.

[math(\begin{aligned}S_2&=\dfrac{|a|}6\times\left(\dfrac\alpha3-0\right)^3\times\left|\dfrac53\alpha-\dfrac{0+\alpha/3}2\right|\\&=\dfrac{|a|}6\times\left(\dfrac\alpha3\right)^3\times\dfrac32\alpha=\dfrac{|a|}{108}\alpha^4\end{aligned})]

따라서 위에서 설명한 비율 관계가 다음과 같이 증명된다.

[math(\begin{aligned}S_2:(S_2+S_3+S_4)&=\dfrac{|a|}{108}\alpha^4:\dfrac{|a|}{12}\alpha^4\\&=\dfrac1{108}:\dfrac1{12}=1:9\quad(\because\alpha\neq0)\\\therefore S_2:(S_3+S_4)&=S_2:\{(S_2+S_3+S_4)-S_2\}\\&=1:(9-1)=1:8\end{aligned})]

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예제 [펼치기·접기]

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2020학년도 EBS 수능완성 수학 나형 실전 모의고사 2회 26번

먼저, 다항함수/공식/길이 문서에서 설명한 길이 관계에 따라 [math(a=2)]이다. 또한 극댓값이 [math(4)]이므로, [math(\alpha=0)], [math(\beta=a=2)]라 하고 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(k)]라 하면 다항함수/공식/길이 문서에서 설명한 공식에 따라 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{|k|}2(\beta-\alpha)^3&=\dfrac{|k|}2(2-0)^3=4|k|=4\\\\\therefore k&=-1\quad(\because k<0)\end{aligned})]

그러면 색칠한 부분의 넓이 [math(S)]는 위에서 설명한 넓이 관계에 따라 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}S&=\dfrac{|-1|}{12}(3-0)^4\times\dfrac19=\dfrac34\\\\\therefore 40S&=30\end{aligned})]

수능완성의 해설에는 다음과 같은 복잡한 풀이가 제시되어 있는데, 공식을 사용하면 [math(f(x))]와 직선의 방정식을 구하거나 정적분을 계산하지 않고도 문제가 훨씬 빠르게 해결됨을 실감할 수 있다.

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3.3.1. 심화: 삼각형

예제 [펼치기·접기]

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2020학년도 EBS 수능완성 수학 나형 83쪽 18번

여러 계산은 생략한 채, 바로 위에서 밝힌 공식

[math(\dfrac{2|a|}{27}(\beta-\alpha)^4)]

으로 풀어 보자. 단, 이 문제에서 [math(\beta)]가 가리키는 점이 위에서 공식을 밝힐 때와 다름에 유의하자. 즉, 이 문제에서는 점 [math(\rm C)]가 아닌 점 [math(\rm B)]의 [math(x)]좌표를 [math(\beta)]로 두고 있다. 그러나 위 공식은 점 [math(\rm C)]의 [math(x)]좌표를 [math(\beta)]로 둔 결과이기 때문에 이를 조정해야 한다는 것이다. 따라서 우선 이 문제에서 점 [math(\rm C)]의 [math(x)]좌표를 [math(\gamma)]라고 하면

[math(\dfrac{2|a|}{27}(\gamma-\alpha)^4=12)]

인 것이다. 즉, 적어도 이 문제의 기준으로는 [math(\beta-\alpha)]가 아닌 [math(\gamma-\alpha)]의 값이 중요하다.

우선 곡선 [math(f(x))]의 두 극점의 [math(x)]좌표를 구하기 위하여 [math(f(x))]를 미분하면 다음과 같다.

[math(f'(x)=3ax^2-12a=3a(x+2)(x-2))]

따라서 [math(\alpha=-2)], [math(\beta=2)]이다. 그러면 길이 관계에 따라

[math(\gamma-\alpha=\dfrac32(\beta-\alpha)=\dfrac32\{2-(-2)\}=6)]

이고, 삼각형의 넓이가 [math(12)]로 주어졌으므로 다음과 같이 [math(a)]의 값을 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{2|a|}{27}\times6^4&=12\\\\\rightarrow |a|=a&=\dfrac{12\times27}{2\times6^4}=\dfrac18\quad(\because a>0)\\\\\therefore\dfrac1a&=8\end{aligned})]

수능완성에는 다음과 같은 풀이가 제시되어 있는데, 공식을 사용하면 문제가 훨씬 빠르게 해결됨을 실감할 수 있다.

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예제 [펼치기·접기]

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2024 수능완성 수학Ⅰ·수학Ⅱ·미적분 실전 모의고사 3회 10번

다항함수/공식 문서에서 설명한 내용에 따라, 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 점 [math(\rm B)]의 [math(x)]좌표가 [math(2)]임을 쉽게 알 수 있다. 또한 삼각형 [math(\rm APB)]에서 선분 [math(\overline{\rm AB})]는 고정되어 있으므로 이를 밑변으로 간주하면, 점 [math(\rm P)]와 선분 [math(\overline{\rm AB})]의 거리가 삼각형 [math(\rm APB)]의 높이가 될 것이다. 이때 높이가 최대가 되도록 하는 점 [math(\rm P)]는 닫힌구간 [math([-1,\,2])]에서 평균값 정리를 만족시키는 점이므로 다항함수/공식/길이 문서에서 설명한 비율 관계에 따라 그때의 점 [math(\rm P)]의 [math(x)]좌표는 [math(1)]이며 선분 [math(\overline{\rm AP})]는 곡선 [math(y=x^3-x-1)]의 변곡점 [math((0,-1))]을 지난다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.


이때, 앞서 밝힌 공식에 따르면 삼각형 [math(\rm APB)]의 넓이는 회색 도형의 [math(8/9)]이므로 그 값을 공식으로 구하면 다음과 같다.

[math(\dfrac{|1|}{12}\times\{2-(-1)\}^4\times\dfrac89=6)]

실제 수능완성에서는 다음과 같은 해설을 제시했다.


위 해설에서는 삼차방정식의 근과 계수의 관계 및 삼차함수의 비율 관계 등을 전혀 활용하지 않았을 뿐 아니라, 삼각형의 넓이를 구하기 위하여 점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하는 바람에 계산이 너무 복잡해졌다. 사실 우연히도 점 [math(\rm A)]와 점 [math(\rm P)]의 [math(y)]좌표가 같기에 선분 [math(\overline{\rm AP})]를 밑변으로 놓고 점 [math(\rm B)]의 [math(y)]좌표를 구하면 특별한 공식을 알지 못하더라도 삼각형의 넓이를 비교적 쉽게 구할 수 있었는데 이 점마저도 포착하지 못하고 복잡하게 선분 [math(\overline{\rm AB})]를 밑변으로 놓고 계산했으므로 매우 미흡하다. 여기에서 명심할 점은 점 [math(\rm A)]와 점 [math(\rm P)]의 [math(y)]좌표가 같은 것은 순전히 우연일 뿐이므로, [math(y)]좌표가 다를 경우에도 편리하게 계산할 수 있는 공식을 깨우칠 필요가 있다는 것이다.

3.4. 삼차함수와 직사각형

3.4.1. 심화

4. 사차함수

4.1. 1/20 공식: 좌우 대칭

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전자의 그래프는 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]에서 [math(x)]축과 만나면서 좌우 대칭이므로, 꼭짓점의 [math(x)]좌표는 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 평균인 [math((\alpha+\beta)/2)]이다. 그러므로 먼저 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(f(x)=a\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^4+k)]

이때 [math(f(\alpha)=f(\beta)=0)]임을 이용하여 [math(k)]의 값을 구하면 [math(k=-a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4)]이므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle \left|{\int_\alpha^\beta f(x) \,{\rm d}x}\right|&=\left|\int_\alpha^\beta a\left\{\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^4-\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4\right\}\,{\rm d}x\right|\\&=\left|a\left[\dfrac15\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^5-\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4x\right]_\alpha^\beta\right|\\&=\left|a\left[\left\{{\color{#DA3832}\dfrac15\left(\beta-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^5-\dfrac15\left(\alpha-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^5}\right\}-\left\{{\color{#3F48CC}\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4\beta-\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4\alpha}\right\}\right]\right|\\&=\left|a\left[\left\{{\color{#DA3832}\dfrac15\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^5+\dfrac15\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^5}\right\}-{\color{#3F48CC}2\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^5}\right]\right|\\&=\left|\dfrac85a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^5\right|=\left|\dfrac{a}{20}(\beta-\alpha)^5\right|\\&=\dfrac{|a|}{20}(\beta-\alpha)^5=\dfrac{|a|}{4\cdot5}(\beta-\alpha)^5\;\left(\because(\beta-\alpha)^5>0\right)\end{aligned})]

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이유 [펼치기·접기]

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위 그림의 [math((\rm b))]는 사차함수 [math(f(x))]의 그래프와 일차함수 [math(g(x))]의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 나타낸다. 먼저, 다음과 같이 쓰자.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x-p)^4+q\\g(x)&=mx+n\quad(am\neq 0)\end{aligned})]

두 함수의 그래프의 교점의 [math(x)]좌표를 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하면 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_\alpha^\beta\{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x&=\int_\alpha^\beta\{a(x-p)^4+q-(mx+n)\}\,{\rm d}x\\&=\int_\alpha^\beta\{a(x-p)^4-mx+(q-n)\}\,{\rm d}x\end{aligned})]

여기에서 [math(f(x)-g(x))]를 미분하여 그래프의 개형을 알아보자.

[math(\{f(x)-g(x)\}'=4a(x-p)^3-m)]

위 그림과 같이, [math(f(x)-g(x))]의 그래프는 극값이 하나이면서 비대칭인 개형이 된다. 곧, 처음 그림의 [math((\rm a))]처럼 좌우 대칭이 아니므로 같은 공식을 적용할 수 없다. 모든 이차함수의 그래프는 닮음이고, 최고차항의 계수가 같은 그래프끼리는 합동이므로, [math(f(x))]가 사차함수가 아닌 이차함수라면 [math(f(x))]의 그래프와 [math(f(x)-g(x))]의 그래프는 합동일 것이다. 다시 말해, [math(f(x))]와 만나는 직선의 기울기가 [math(0)]이든 아니든[12] 같은 공식을 적용할 수 있다. 이는 좌우 대칭이 가능한 짝수 차수 다항함수 중에서 이차함수만의 성질이다. 사차함수부터는 앞서 밝혔듯이 [math(f(x)-g(x))]의 그래프의 개형이 비대칭이 되어 버리므로 같은 공식을 적용할 수 없는 것이다. 요컨대, 짝수 차수 다항함수 [math(f(x))]에 대하여, [math(f(x))]의 차수에 관계없이 [math(f(x)-g(x))]가 좌우 대칭이 되려면 [math(m=0)]이어야만 하고 이는 [math(g(x))]가 [math(y)]축과 수직인 직선이어서 같은 공식을 적용할 수 있음을 의미한다.

[math(f(x)=\{a(x-p)^4+q\}+\{a'(x-p)^2+q'\})]

인 경우에도 [math(f(x)-g(x))]의 그래프는 비대칭이 됨을 같은 논법으로 증명할 수 있다.

4.2. 1/20 공식: 좌우 비대칭(변곡점에서의 접선과의 넓이)

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먼저, [math(f(x)=a(x-\alpha)^3(x-\beta))]인 경우를 계산해 보자. 그래프를 [math(x)]축의 방향으로 [math(-\alpha)]만큼 평행이동한다고 생각하면 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)^3(x-\beta)\,{\rm d}x\right|=\left|\int_0^{\beta-\alpha}ax^3\{x-(\beta-\alpha)\}\,{\rm d}x\right|)]

이때, [math(t=x/(\beta-\alpha))]로 치환적분하자. 구하는 넓이를 [math(S)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}x&=(\beta-\alpha)t\\{\rm d}x&=(\beta-\alpha){\rm d}t\\x=0\quad&\rightarrow\quad t=0\\x=\beta-\alpha\quad&\rightarrow\quad t=1\end{aligned})] [math(\begin{aligned}S&=\left|\int_0^{\beta-\alpha}ax^3\{x-(\beta-\alpha)\}\,{\rm d}x\right|\\&=\left|\int_0^1a\{(\beta-\alpha)t\}^3\{(\beta-\alpha)(t-1)\}(\beta-\alpha)\,{\rm d}t\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^5\int_0^1t^3(t-1)\,{\rm d}t\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^5\int_0^1(t^4-t^3)\,{\rm d}t\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^5\times\left[\dfrac15t^5-\dfrac14x^4\right]_0^1\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^5\times\left(-\dfrac1{20}\right)\right|\\&=\dfrac{|a|}{20}(\beta-\alpha)^5=\dfrac{|a|}{4\cdot5}(\beta-\alpha)^5\end{aligned})]

[math(f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)^3)]의 경우는 위 계산에서 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 자리를 바꾸기만 하면 된다. 그러면 최종 계산 결과 역시 다음과 같이 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 자리가 바뀐다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)^3(x-\beta)\,{\rm d}x\right|&=\left|\dfrac{a}{20}(\beta-\alpha)^5\right|\\\rightarrow\left|\int_\beta^\alpha a(x-\alpha)(x-\beta)^3\,{\rm d}x\right|&=\left|\dfrac{a}{20}(\alpha-\beta)^5\right|\\&=\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)^3\,{\rm d}x\right|\end{aligned})]

정적분의 위끝과 아래끝이 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]로 결정되므로 두 변수의 자리를 바꾸면 구간까지 반대로 바뀌지만, 절댓값을 취하면 의미가 없음에 주목하자. [math((\alpha-\beta)^5=-(\beta-\alpha)^5)]이므로 절댓값을 취하고 나면 두 경우의 공식은 다음과 같이 일치한다.

[math(\left|\dfrac{a}{20}(\alpha-\beta)^5\right|=\left|\dfrac{a}{20}(\beta-\alpha)^5\right|=\dfrac{|a|}{4\cdot5}(\beta-\alpha)^5\;\left(\because(\beta-\alpha)^5>0\right))]

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예제 [펼치기·접기]

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2010학년도 9월 고3 가형 7번

우선 위 그림과 같이 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)]를 서로 다른 색깔로 칠해진 각 세 영역의 넓이라 하면 [math(\rm(A+B)+C=2(B+C))]가 성립한다. 이때 다음과 같이 [math(1/6)] 공식과 [math(1/20)] 공식을 사용하여 빠르게 계산할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\rm{A+B}&=\displaystyle\int_0^1(-x^4+x)\,{\rm d}x=\dfrac3{10}\\{\rm B}&=\int_0^1ax(1-x)\,{\rm d}x&\\&=\dfrac a6\times1^3=\dfrac a6\\{\rm C}&=\left|\int_0^1(x^4-x^3)\,{\rm d}x\right|\\&=\left|\int_0^1x^3(x-1)\,{\rm d}x\right|\\&=\dfrac1{20}\times1^5=\dfrac1{20}\\\\\therefore\dfrac3{10}+\dfrac1{20}&=2\left(\dfrac a6+\dfrac1{20}\right),\,a=\dfrac34\end{aligned})]

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4.3. 1/30 공식: 이중접선과의 넓이

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먼저, 그래프를 [math(x)]축의 방향으로 [math(-\alpha)]만큼 평행이동한다고 생각하면 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\,{\rm d}x\right|=\left|\int_0^{\beta-\alpha}ax^2\{x-(\beta-\alpha)\}^2\,{\rm d}x\right|)]

이때, [math(t=x/(\beta-\alpha))]로 치환적분하자. 구하는 넓이를 [math(S)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}x&=(\beta-\alpha)t\\{\rm d}x&=(\beta-\alpha){\rm d}t\\x=0\quad&\rightarrow\quad t=0\\x=\beta-\alpha\quad&\rightarrow\quad t=1\end{aligned})] [math(\begin{aligned}S&=\left|\int_0^{\beta-\alpha}ax^2\{x-(\beta-\alpha)\}^2\,{\rm d}x\right|\\&=\left|\int_0^1a\{(\beta-\alpha)t\}^2\{(\beta-\alpha)(t-1)\}^2(\beta-\alpha)\,{\rm d}t\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^5\int_0^1t^2(t-1)^2\,{\rm d}t\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^5\int_0^1(t^4-2t^3+t^2)\,{\rm d}t\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^5\times\left[\dfrac15t^5-\dfrac12t^4+\dfrac13t^3\right]_0^1\right|\\&=\left|a(\beta-\alpha)^5\times\dfrac1{30}\right|\\&=\dfrac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5=\dfrac{|a|}{5\cdot6}(\beta-\alpha)^5\end{aligned})]

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예제 [펼치기·접기]

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2023학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 96쪽 1번

[math(x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2)^2)]이므로 구하고자 하는 값은 다음 그림의 색칠된 영역의 넓이이다.


따라서 공식을 사용하면 넓이는 다음과 같다.

[math(\dfrac{|1|}{30}\times(2-0)^5=\dfrac{16}{15})]

실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 직접 정적분을 계산해야 하므로 다소 번거롭다.

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예제 [펼치기·접기]

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2015학년도 경찰대 25번

직선 [math(\ell)]의 방정식을 [math(g(x))]라 하고 두 접점의 [math(x)]좌표를 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하면

[math(\begin{aligned}f(x)-g(x)&=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\\&=\{x-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}^2\end{aligned})]

[math(f(x))]에는 삼차항이 없고 [math(g(x))]는 직선의 방정식이므로 일차식이다. 따라서 [math(f(x)-g(x))]에서도 삼차항이 없어야 하므로 [math(\alpha+\beta=0)]이다. 즉

[math(f(x)-g(x)=(x-\alpha)^2(x+\beta)^2=\left(x^2-\alpha^2\right)^2)]

이며, 삼차항과 마찬가지로 [math(f(x))]의 이차항의 계수가 [math(-2)]이므로 [math(f(x)-g(x))] 역시 그러하다. 이를 위해서는 [math(\alpha=-1)], [math(\beta=1)]이어야 한다. 따라서 넓이 공식을 적용하면 정답은 다음과 같다.

[math(A=\dfrac{|1|}{30}\{1-(-1)\}^5=\dfrac{32}{30})]

[math(\therefore30A=32)]

공식을 사용하지 않고 직접 정적분을 계산하는 것보다 몇 배 빠르게 정답을 구할 수 있다. 공식을 적용할 때는 두 접점의 [math(x)]좌표와 사차함수의 최고차항의 계수만 알면 되므로 직접 정적분을 계산하는 것과 달리 굳이 [math(g(x))]의 방정식을 정확히 구할 필요가 없음에 주목하자.

참고로, [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 그래프는 다음과 같으며, 빨간색 영역의 넓이가 바로 [math(A)]이다.

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4.4. 5:2:3 공식: 접선과 삼각형

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우선, 앞서 밝혔듯이

[math(S_1=\dfrac{|a|}{20}(\beta-\alpha)^5)]

이다. 한편 [math(S_1+S_2)]의 값은 삼각형의 넓이인데, 삼각형의 밑변의 길이는 [math(\beta-\alpha)]이며, 높이는 다항함수/공식/길이 문서에서 밝혔듯이

[math(\dfrac{|a|}4(\beta-\alpha)^4)]

이므로 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

[math((\beta-\alpha)\times\dfrac{|a|}4(\beta-\alpha)^4\times\dfrac12=\dfrac{|a|}8(\beta-\alpha)^5)]

[math(\beta-\alpha\neq0)]이므로 다음의 비율 관계가 증명된다.

[math(\begin{aligned}\therefore S_1:(S_1+S_2)&=\dfrac{|a|}{20}(\beta-\alpha)^5:\dfrac{|a|}8(\beta-\alpha)^5\\&=\dfrac1{20}:\dfrac18=8:20=2:5\\S_1:S_2&=S_1:(S_1+S_2-S_1)\\&=2:(5-2)=2:3\end{aligned})]

4.5. 접선과 직사각형

예제 [펼치기·접기]

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2013학년도 사관학교 문과 20번

[math(f'(x)=4x^3-4x)]이므로 [math(f(x)=x^4-2x^2+C)]이다. 그래프를 그리면 다음과 같이 [math(f(x))]는 [math(x=0)]에서 극대이므로 [math(f(0)=C=k)]이다.


따라서 문제에서 구하고자 하는 빨간색 영역의 넓이 [math(S)]를 공식으로 구하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}S&=2\times\dfrac1{\sqrt2}\times\dfrac{|1|}{30}\{1-(-1)\}^5\\&=\dfrac{16\sqrt2}{15}\end{aligned})]

공식을 사용하면 정적분의 구간을 구하지 않고서도 정답을 빠르게 구할 수 있어 매우 편리하다. 그러나 직접 정적분을 계산하려면 다항함수/공식/길이 문서에서 설명한 비율 관계에 따라 [math(f(-\sqrt2)=f(0)=f(\sqrt2)=k)]임을 먼저 알아내야 하며, 사차함수를 부정적분해야 하므로 다소 번거롭다.

2023학년도 수능특강 수학Ⅱ 98쪽 1번에도 이러한 모양의 그래프가 등장하는데, 같은 원리로 정답은 ④이다.

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4.5.1. 참고: 7:8 공식

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다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 길이 공식과 넓이 공식을 이용한다. [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 [math(a)]라고 할 때, [math(S_1+S_2)]는 밑변의 길이가 [math((\beta-\alpha))]이고 높이가 [math(|a|(\beta-\alpha)^4)]인 직사각형의 넓이이므로 다음이 성립한다. 이때 [math(\beta-\alpha\neq0)]임은 물론이다.

[math(\begin{aligned}S_2&=\dfrac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\\S_1+S_2&=|a|(\beta-\alpha)\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^4\\&=\dfrac{|a|}{16}(\beta-\alpha)^5\\ \\ \therefore S_2:(S_1+S_2)&=\dfrac1{30}:\dfrac1{16}=16:30=8:15\\ \\ S_1:S_2&=(S_1+S_2-S_2):S_2\\&=(15-8):8=7:8\end{aligned})]

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4.6. 두 변곡점을 지나는 직선

증명 [펼치기·접기]

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다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 비율 관계에 따르면 위 그림에서 [math(\beta=\sqrt5\alpha)]이므로 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 방정식은 다음과 같다. 이때, 논의의 단순화를 위하여 [math(k=0)]으로 놓고 계산하자.

[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x+\alpha)(x+\beta)(x-\alpha)(x-\beta)\\&=a\left(x^2-\alpha^2\right)\left(x^2-\beta^2\right)\\&=a\left(x^2-\alpha^2\right)\left(x^2-5\alpha^2\right)\\&=a\left(x^4-6\alpha^2x^2+5\alpha^4\right)\end{aligned})]

곡선 [math(f(x))]는 [math(y)]축에 대하여 대칭이므로 [math(S_1=S_2=S_3=S_4)]임을 증명하려면 [math(S_3=S_4)]임을 증명하기만 하면 된다. 이때 [math(S_3)]은 직선 위의 영역이고 [math(S_4)]는 직선 아래의 영역이므로 구간 [math([0,\,\sqrt5\alpha])]의 정적분의 값이 [math(0)]이면 된다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^{\sqrt5\alpha}f(x)\,{\rm d}x&=\int_0^{\sqrt5\alpha}a\left(x^4-6\alpha^2x^2+5\alpha^4\right)\,{\rm d}x\\&=a\left[\dfrac15x^5-2\alpha^2x^3+5\alpha^4x\right]_0^{\sqrt5\alpha}\\&=a\left(5\sqrt5\alpha^5-10\sqrt5\alpha^5+5\sqrt5\alpha^5\right)\\&=0\end{aligned})]

따라서 [math(S_1=S_2=S_3=S_4)]임이 증명되었다.

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계산의 편의를 위하여, 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축에 두 번 접하면서 [math(y)]축 대칭이라고 하고, 이에 따라 두 극소점의 [math(x)]좌표를 작은 순서대로 [math(-\alpha)], [math(\alpha)]라 하자. 그러면 다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 공식에 의하여 극댓값은 [math(a\alpha^4)]이 되며, 또 다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 공식에 의하여 변곡점을 지나는 직선의 방정식은 [math(y=4a\alpha^4/9)]이고 변곡점의 [math(x)]좌표는 작은 순서대로 [math(-\alpha/\sqrt3)], [math(\alpha/\sqrt3)]이다. 이에 따라 색칠한 영역의 넓이는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^{\alpha/\sqrt3}\left\{f(x)-\frac49a\alpha^4\right\}\,{\rm d}x&=\int_0^{\alpha/\sqrt3}a\left\{(x+\alpha)^2(x-\alpha)^2-\frac49\alpha^4\right\}\,{\rm d}x\\&=\int_0^{\alpha/\sqrt3}a\left\{\left(x^2-\alpha^2\right)^2-\frac49\alpha^4\right\}\,{\rm d}x\\&=\int_0^{\alpha/\sqrt3}a\left(x^4-2\alpha^2x^2+\dfrac59\alpha^4\right)\,{\rm d}x\\&=a\left[\dfrac15x^5-\dfrac23\alpha^2x^3+\dfrac59\alpha^4x\right]_0^{\alpha/\sqrt3}\\&=|a|\times\left(\dfrac1{45\sqrt3}\alpha^5-\dfrac2{9\sqrt3}\alpha^5+\dfrac5{9\sqrt3}\alpha^5\right)\\&=|a|\times\dfrac{1-10+25}{45\sqrt3}\alpha^5=\dfrac{16a}{45\sqrt3}\alpha^5\end{aligned})]

이때, [math(a<0)]이면 기본적인 계산은 동일하되 정적분의 값은 음수가 되므로, 마지막에 절댓값을 취해 주기만 하면 색칠한 영역의 넓이가 된다. 또한 [math(\alpha)]는 곡선 [math(f(x))]의 극대점과 극소점의 [math(x)]좌표의 차로서, 앞서 소개한 형태의 공식에서는 정확히 [math(\beta-\alpha)]에 해당하므로, 최종적인 공식은 다음과 같음이 증명되었다.

[math(\dfrac{16|a|}{45\sqrt3}(\beta-\alpha)^5)]

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4.7. 사차함수와 직사각형

4.8. 이중접선과 그 외

5. 여러 차수

5.1. 교점 1개

5.2. 교점 2개

5.2.1. x축에 접할 수 있는 경우: 베타 함수 공식

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먼저, 그래프를 [math(x)]축의 방향으로 [math(-\alpha)]만큼 평행이동한다고 생각하여 구하고자 하는 정적분 [math(S)]를 다음과 같이 쓰자.

[math(\begin{aligned} \displaystyle
S &= \int_\alpha^\beta a(x-\alpha)^m (\beta-x)^n \,{\rm d}x \\
&= \int_0^{\beta-\alpha} ax^m \{(\beta-\alpha)-x\}^n \,{\rm d}x
\end{aligned})]

이때, [math(t=x/(\beta-\alpha))]로 치환적분하자.

[math(\begin{aligned} x = (\beta-\alpha)t \quad&\rightarrow\quad {\rm d}x = (\beta-\alpha) {\rm d}t \\ x=0 \quad&\rightarrow\quad t=0 \\ x = \beta-\alpha \quad&\rightarrow\quad t=1 \end{aligned})] [math(\begin{aligned} \therefore S &= \int_0^{\beta-\alpha} ax^m \{(\beta-\alpha)-x\}^n \,{\rm d}x \\ &= \int_0^1 a\{(\beta-\alpha)t\}^m \{(\beta-\alpha)(1-t)\}^n (\beta-\alpha) \,{\rm d}t \\ &= a(\beta-\alpha)^{m+n+1} \int_0^1 t^m(1-t)^n \,{\rm d}t \end{aligned})]

이제 부분적분을 이용하여 [math(\displaystyle\int_0^1 t^m(1-t)^n\,{\rm d}t)]의 값을 구하자.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^1 t^m(t-1)^n\,{\rm d}t&=\left[\dfrac{t^{m+1}}{m+1}(1-t)^n\right]_0^1+\int_0^1\dfrac{t^{m+1}}{m+1}\cdot n(1-t)^{n-1}\,{\rm d}t\\&=\dfrac{n}{m+1}\int_0^1t^{m+1}(1-t)^{n-1}\,{\rm d}t\end{aligned})]

이때, 식을 간단히 하기 위하여

[math(\displaystyle B(m,\,n)=\int_0^1x^m(1-x)^n\,{\rm d}x)]

로 정의하면 위 식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[math(B(m,\,n)=\dfrac{n}{m+1}B(m+1,\,n-1))]

이러한 귀납적 관계에 따라 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}B(m,\,n)&=\dfrac{n}{m+1}B(m+1,\,n-1)\\&=\dfrac{n}{m+1}\cdot\dfrac{n-1}{m+2}B(m+2,\,n-2)\\&=\dfrac{n}{m+1}\cdot\dfrac{n-1}{m+2}\cdot\dfrac{n-2}{m+3}B(m+3,\,n-3)\\&=\dfrac{n}{m+1}\cdot\dfrac{n-1}{m+2}\cdot\dfrac{n-2}{m+3}\cdot\,\cdots\,\cdot\dfrac1{m+n}B(m+n,\,0)\\&=\dfrac{n!}{_{m+n}{\rm P}_{n}}\int_0^1x^{m+n}\,{\rm d}x\\&=\dfrac{m!n!}{(m+n)!}\left[\dfrac1{m+n+1}x^{m+n+1}\right]_0^1\\&=\dfrac{m!n!}{(m+n)!}\cdot\dfrac1{m+n+1}=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}\end{aligned})]

여기에 정적분하는 함수의 최고차항의 계수 [math(a)]를 추가하면, 넓이는 음이 아니므로 [math(a)]에 절댓값을 취해야 한다. 따라서 최종적으로 다음 공식이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\left|\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)^m(x-\beta)^n\,{\rm d}x\right|&=\int_\alpha^\beta|a|(x-\alpha)^m(\beta-x)^n\,{\rm d}x\\&=|a|(\beta-\alpha)^{m+n+1}\int_0^1 t^m(1-t)^n\,{\rm d}t\\&=\dfrac{|a|(m!n!)}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}\end{aligned})]

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2015년 요코하마시립대 본고사 이과 1번

한국어 번역 음이 아닌 정수 [math(m)], [math(n)]에 대하여 [math(B(m,\,n)=\displaystyle\int_0^1x^m(1-x)^n\,{\rm d}x)] 를 정의한다. 이때, 다음 물음에 답하여라. [math((1))] [math(B(3,\,2))]를 구하여라. [math((2))] [math(B(m,\,n))]을 [math(B(m+1,\,n-1))]을 사용하여 나타내어라(단, [math(n\geq1)]로 한다). [math((3))] [math(B(m,\,n))]을 구하여라. [math((4))] [math(a)], [math(b)]를 서로 다른 실수라 하자. 이때, [math(\displaystyle\int_a^b(x-a)^m(x-b)^n\,{\rm d}x)] 를 구하여라.

먼저 [math((1))]을 보자. 논술 시험이므로 문제에서 주어졌거나 교육과정 내에서 배운 공식이 아닌 것은 사용하면 안 되기 때문에 다음과 같이 직접 계산해야 한다.

[math(\begin{aligned}B(3,\,2)&=\displaystyle\int_0^1x^3(1-x)^2\,{\rm d}x\\&=\displaystyle\int_0^1\left(x^5-2x^4+x^3\right)\,{\rm d}x\\&=\left[\dfrac16x^6-\dfrac25x^5+\dfrac14x^4\right]_0^1\\&=\dfrac16-\dfrac25+\dfrac14=\dfrac1{60}\end{aligned})]

참고로 공식에 따르면 다음과 같이 동일한 결과를 얻는다.

[math(\begin{aligned}B(3,\,2)&=\dfrac{3!2!}{(3+2+1)!}(1-0)^{3+2+1}\\&=\dfrac{12}{720}\cdot1^6=\dfrac1{60}\end{aligned})]

다음으로 [math((2))]를 보자. 이제부터 공식을 유도하게 된다. 앞서 [증명]에서 밝혔듯이 부분적분을 통하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\begin{aligned}B(m,\,n)&=\displaystyle\int_0^1x^m(1-x)^n\,{\rm d}x\\&=\left[\dfrac1{m+1}x^{m+1}(1-x)^n\right]_0^1-\int_0^1\dfrac1{m+1}x^{m+1}\cdot n(1-x)^{n-1}\cdot(-1)\,{\rm d}x\\&=\dfrac{n}{m+1}\int_0^1x^{m+1}(1-x)^{n-1}\,{\rm d}x=\dfrac{n}{m+1}B(m+1,\,n-1)\end{aligned})]

[math((3))]을 보자. 이 역시 앞서 [증명]에서 밝힌 대로 [math((2))]에서 구한 귀납적 관계를 연쇄적으로 적용하면 다음의 공식을 도출할 수 있다.

[math(B(m,\,n)=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!})]

[math((4))]를 보자. 위 [증명]에서는 함수 자체에 절댓값을 취하여 정적분의 값이 음수가 될 수 없도록 형태를 조정했지만, 이 문제에서는 절댓값이 포함되어 있지 않다. 따라서 다음과 같은 과정을 거쳐 공식이 약간 변형된다. 우선

[math((x-a)^m(x-b)^n=(x-a)^m(b-x)^n\cdot(-1)^n)]

과 같이 나타낼 수 있고, 앞서 [증명]에서

[math(\displaystyle\int_\alpha^\beta|a|(x-\alpha)^m(\beta-x)^n\,{\rm d}x=\dfrac{|a|\cdot m!\cdot n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1})]

임을 보였으므로 결국 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\int_a^b(x-a)^m(x-b)^n\,{\rm d}x&=(-1)^n\int_a^b(x-a)^m(b-x)^n\,{\rm d}x\\&=(-1)^n\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}\end{aligned})]

이외에도 이와 매우 유사한 베타 함수 문제들이 2018년 오차노미즈여자대학 이과 1번, 2007년 리츠메이칸대학 이과 1번 등 여러 일본 대학의 본고사에서 많이 출제되었다. 혹은 문제를 푸는 단서로서 베타 함수 공식이 주어지기도 하였는데, 2022년 게이오기주쿠대학 환경정보학부 수학Ⅲ 1번이 그 예이다.

5.2.1.1. 정적분 빠르게 계산하기

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[1] 삼차함수: 접선이 아닌 직선과의 넓이 공식
앞서 3.2문단에서 밝힌 공식의 증명에서 이 방법이 사용되었는데, 여기에서 자세히 설명한다.

[math(\begin{aligned}&\displaystyle\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\,{\rm d}x\\=&\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\alpha+\alpha-\gamma)\,{\rm d}x\quad{\color{red}\cdots\,(1)}\\=&\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)^2(x-\beta)\,{\rm d}x+(\alpha-\gamma)\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)\,{\rm d}x\quad{\color{red}\cdots\,(2)}\\=&-\dfrac a{12}(\beta-\alpha)^4-\dfrac{a(\alpha-\gamma)}6(\beta-\alpha)^3\quad{\color{red}\cdots\,(3)}\\=&-\dfrac a{12}(\beta-\alpha)^3\{(\beta-\alpha)+2(\alpha-\gamma)\}\\=&-\dfrac a{12}(\beta-\alpha)^3(\alpha+\beta-2\gamma)\\=&\dfrac a6(\beta-\alpha)^3\left|\dfrac{\alpha+\beta}2-\gamma\right|\quad\left(\because\dfrac{\alpha+\beta}2-\gamma<0\right)\end{aligned})]

처음 식을 보면 적분의 구간이 [math([\alpha,\,\beta])]이며 피적분함수 역시 구간의 양끝에서 함숫값 [math(0)]을 가지므로 위 방법을 적용할 수 있다. 처음 식에서 [math(Q(x)=x-\gamma)]인 것이다. 이 경우 [math(Q(x))]의 식이 지극히 간단하므로 굳이 평행 이동을 생각하지 않는 편이 오히려 더 편하다. [math(\color{red}(1))]은 적분의 구간을 평행이동시키지 않은 채로 위 방법을 적용하기 위하여 [math(Q(x)=(x-\alpha)+(\alpha-\gamma))]로 식을 조작한 것이다.[16] [math(\color{red}(2))]에서 분배 법칙을 적용한 뒤 [math(\color{red}(3))]에서 베타 함수 공식을 적용하면 된다.

[2] 사차함수: 3:2 공식
다항함수/공식 문서의 6.3문단에서 밝힌 공식의 증명에서도 이 방법이 사용되었다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^\gamma ax^2(x-\beta)(x-\gamma)\,{\rm d}x&=\int_0^\gamma ax^3(x-\gamma)\,{\rm d}x-\int_0^\gamma a\beta x^2(x-\gamma)\,{\rm d}x\\&=a\left(-\dfrac1{20}\gamma^5+\dfrac1{12}\beta\gamma^4\right)\end{aligned})]

이 식 역시 피적분함수가 적분 구간의 양끝에서 함숫값 [math(0)]을 가지며, 이에 따라 [math(Q(x)=x-\beta)]가 된다. 같은 방법을 적용해 보면 각각 [math(1/20)] 공식과 [math(1/12)] 공식이 사용된다.

간단한 문제를 두 개만 풀어보자. 한 가지 주의할 점은 [math(m)]과 [math(n)]의 값에 따라서 [math(B(m,\,n))]의 부호가 달라진다는 것이다. 바로 위 문단의 그림을 참고하자. 대수적으로 접근해도 좋으나 그래프를 잠깐만 그려보면 적분의 구간에서 그래프가 [math(x)]축보다 위에 있는지 아래에 있는지를 금방 판단할 수 있을 것이다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^1x^2(x-1)(x-2)\,{\rm d}x&=\int_0^1x^3(x-1)\,{\rm d}x-2\int_0^2x^2(x-1)\,{\rm d}x\\&=-\dfrac{1^5}{20}-2\times\left(-\dfrac{1^4}{12}\right)=-\dfrac7{60}\\\\\int_1^2(x-1)(x-2)(x^2+x+1)\,{\rm d}x&=\int_0^1x(x-1)\{(x+1)^2+(x+1)+1\}\,{\rm d}x\\&=\int_0^1x(x-1)(x^3+3x+3)\,{\rm d}x\\&=\int_0^1x^3(x-1)\,{\rm d}x+3\int_0^1x^2(x-1)\,{\rm d}x+3\int_0^1x(x-1)\,{\rm d}x\\&=\dfrac{1^5}{20}-\dfrac{3\times1^4}{12}-\dfrac{3\times1^3}6=-\dfrac45\end{aligned})]

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1990년 오사카대학 본고사 전기 문과 3번

한국어 번역 [math(a)]를 [math(-1<a<1)]을 만족시키는 상수라 하고 [math(f(x)=(x^2-1)(x-a)^2)]이라 하자. 함수 [math(y=f(x))]의 그래프와 [math(x)]축으로 둘러싸인 도형 중에서, [math(x\leq a)]의 범위에 있는 부분의 넓이를 [math(S_1(a))], [math(x\geq a)]의 범위에 있는 부분의 넓이를 [math(S_2(a))]라 하자. [math(S_1(a)+S_2(a))]를 구하라. 다음을 보라. [math(-1<a<0)]일 때 [math(S_1(a)<S_2(a))] [math(a=0)]일 때 [math(S_1(a)=S_2(a))] [math(0<a<1)]일 때 [math(S_1(a)>S_2(a))]

그래프가 [math(x)]축과 두 번 교차하고 한 번 접하는 사차함수의 정적분을 다루는 문제이다. 두 번째 문제의 명제들은 그래프를 잠깐만 그려보면 너무나 당연하게 느껴지는 사실들이지만, 이를 제대로 증명하기에는 식이 복잡하여 의외로 쉽지 않다. 어떻게 식을 간단히 정리하여 계산할 것인지가 관건이다.

[math(f(x)=(x+1)(x-1)(x-a)^2)]으로 인수분해되므로, [math(f(x))]의 그래프는 [math(x=-1)]과 [math(x=1)]에서 교차하고 [math(x=a)]에서 접한다. [math(-1<a<1)]이므로 그래프의 개형은 다음과 같다.


따라서 [math(S_1(a))]와 [math(S_2(a))]는 다음과 같이 정의된다.

[math(\begin{aligned}S_1(a)&=-\displaystyle\int_{-1}^a f(x)\,{\rm d}x\\S_2(a)&=-\int_a^1f(x)\,{\rm d}x\end{aligned})]

따라서 [math(S_1(a)+S_2(a))]는 앞서 밝힌 방법을 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

[math(\begin{aligned}S_1(a)+S_2(a)&=-\displaystyle\int_{-1}^1f(x)\,{\rm d}x\\&=-\int_{-1}^1(x+1)(x-1)(x-a)^2\,{\rm d}x\\&=-\int_0^2x(x-2)\{(x-(a+1)\}^2\,{\rm d}x\\&=-\int_0^2x(x-2)\{x^2-2(a+1)x+(a+1)^2\}\,{\rm d}x\\&=-\int_0^2x^3(x-2)\,{\rm d}x+2(a+1)\int_0^2x^2(x-2)\,{\rm d}x-(a+1)^2\int_0^2x(x-2)\,{\rm d}x\\&=\dfrac1{20}\times2^5-\dfrac{2(a+1)}{12}\times2^4+\dfrac{(a+1)^2}6\times2^3=\dfrac{32}{20}-\dfrac{32(a+1)}{12}+\dfrac{8(a+1)^2}6\\&=\dfrac{80(a+1)^2-160(a+1)+96}{60}=\dfrac4{15}(5a^2+1)\end{aligned})]

이제 [math(S_1(a))]와 [math(S_2(a))]를 각각 계산하여 범위에 따른 대소를 조사하자.

[math(\begin{aligned}S_1(a)&=-\displaystyle\int_{-1}^a(x+1)(x-a)^2(x-1)\,{\rm d}x\\&=-\int_0^{a+1}x(x-a-1)^2(x-2)\,{\rm d}x\\&=-\int_0^{a+1}x^2(x-a-1)^2\,{\rm d}x+2\int_0^{a+1}x(x-a-1)^2\,{\rm d}x\\&=-\dfrac1{30}(a+1)^5+\dfrac2{12}(a+1)^4\\&=-\dfrac1{30}(a+1)^4\{(a+1)-5\}=-\dfrac1{30}(a+1)^4(a-4)\\S_2(a)&=-\displaystyle\int_a^1(x-a)^2(x-1)(x+1)\,{\rm d}x\\&=\displaystyle\int_1^a(x-a)^2(x-1)(x+1)\,{\rm d}x\\&=\int_0^{a-1}x\{x-(a-1)\}^2(x+2)\,{\rm d}x\\&=\int_0^{a-1}x^2\{x-(a-1)\}^2\,{\rm d}x+2\int_0^{a-1}x\{x-(a-1)\}^2\,{\rm d}x\\&=\dfrac1{30}(a-1)^5+\dfrac2{12}(a-1)^4\\&=\dfrac1{30}(a-1)^4\{(a-1)+5\}=\dfrac1{30}(a-1)^4(a+4)\end{aligned})]

이제 [math(y=S_2(a)-S_1(a))]의 식을 세우고 그래프를 그려 보자. 계산의 편의를 위하여 [math(30\{S_2(a)-S_1(a)\})]를 조사하자.

[math(\begin{aligned}30\{S_2(a)-S_1(a)\}&=(a-1)^4(a+4)+(a+1)^4(a-4)\\&=a\{(a-1)^4+(a+1)^4\}+4\{(a-1)^4-(a+1)^4\}\end{aligned})]

이때 이항정리를 적용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. 파스칼의 삼각형의 다섯째 줄의 수가 [math(1)], [math(4)], [math(6)], [math(4)], [math(1)]임을 상기하자.

[math(\begin{aligned}(a-1)^4&=a^4-4a^3+6a^2-4a+1\\(a+1)^4&=a^4+4a^3+6a^2+4a+1\end{aligned})]

즉, 이 두 식의 합에서는 홀수 차수 항이 상쇄되고 차에서는 짝수 차수 항과 상수항이 상쇄된다. 이를 이용하여 다시 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}S_2(a)-S_1(a)&=2a(a^4+6x^2+1)-8(4a^3+4a)\\&=2a^5-20a^3-30a\end{aligned})]

[math(y=S_2(a)-S_1(a))]의 그래프를 그리기 위하여 영점과 극점을 찾자. 영점은 [math(y=0)]이 되는 점이므로 이 방정식의 실근을 구하자.

[math(\begin{aligned}S_2(a)-S_1(a)&=2a^5-20a^3-30a\\&=2a(a^4-10a^2-15)=0\end{aligned})]

[math(a^4-10a^2-15)]는 복이차식이므로 [math(a^2=t)]로 치환하여 다음과 같이 이차방정식으로 만들 수 있다.

[math(t^2-10t^2-15=0)]

이차방정식의 근의 공식을 사용하면

[math(t=5\pm2\sqrt{10})]

이고 이 두 근 중에서 [math(5+2\sqrt{10})]만이 양수이므로 실수인 [math(a)]의 값은 다음과 같이 두 개이다.

[math(a=\pm\sqrt{5+2\sqrt{10}})]

이제 극점을 찾자. 극점은 [math(y'=0)]이 되는 점이므로 이 방정식의 실근을 구하자.

[math(\begin{aligned}{S_2}'(a)-{S_1}'(a)&=10a^4-60a^2-30\\&=10(a^4-6a^2-3)=0\end{aligned})]

이 또한 복이차식이므로 [math(a^2=t)]로 치환하면 [math(t^2-4t-3=0)]에서

[math(t=3\pm2\sqrt3)]

이다. 이는 모두 단일근이므로 이 점들 좌우에서 [math(S_2'(a)-S_1'(a))]의 부호가 바뀐다. 곧, [math(t=3\pm2\sqrt3)]에서 [math(y=S_2(a)-S_1(a))]의 그래프의 극점이 발생한다. 따라서 [math(y=S_2(a)-S_1(a))]의 그래프는 [math(a)]축과 세 번 만나고 극점을 두 개 갖는다. 이상의 사실을 종합하여 그래프로 그리면 다음과 같다.


보다시피 [math(y=S_2(a)-S_1(a))]의 그래프는 [math(-\sqrt{5+2\sqrt{10}}<a<0)]에서 [math(a)]축보다 위에 있고, [math(a=0)]에서 [math(a)]축과 만나며, [math(0<a<\sqrt{5+2\sqrt{10}})]에서 [math(a)]축보다 아래에 있다. 이때

[math(\begin{aligned}&11=5+\sqrt{36}\\<\,&5+2\sqrt{10}=5+\sqrt{40}\\<\,&5+\sqrt{49}=12\end{aligned})]

이므로 다음이 성립한다.

[math(3=\sqrt9<\sqrt{5+2\sqrt{10}}=\sqrt{11.\times\!\times\times}<\sqrt{16}=4)]

결국 [math(1<\sqrt{5+2\sqrt{10}})]이므로 [math(-1<a<0)]에서 [math(S_1(a)<S_2(a))], [math(a=0)]에서 [math(S_1(a)=S_2(a))], [math(0<a<1)]에서 [math(S_1(a)>S_2(a))]임이 증명되었다. 실제 시험에서는 일반화된 베타 함수 공식을 먼저 증명한 뒤 공식을 사용해야 한다.

1996년 오사카대학 본고사 문과 전기 3번

한국어 번역 곡선 [math(x(x-a)(x-b)(x-c)\;(0<a<b<c))]과 [math(x)]축의 교점을 왼쪽부터 차례대로 [math(O)], [math(A)], [math(B)], [math(C)]라 하고, 선분 [math(OA)], [math(AB)], [math(BC)]와 이 곡선으로 둘러싸인 도형을 각각 [math(S)], [math(T)], [math(U)]라 하자. 다음 물음에 답하라. [math(S)]와 [math(T)]의 넓이가 같아지기 위한 필요충분조건은 [math(3b^2-5(a+c)b+10ac=0)]임을 보이라. 위 곡선을 [math(y)]축에 대하여 대칭이동한 뒤 [math(x)]축의 방향으로 [math(c)]만큼 평행이동한 곡선의 방정식을 구하라. [math(S)], [math(T)], [math(U)]의 넓이가 모두 같을 때, [math(b)], [math(c)]를 [math(a)]에 관하여 나타내라.

그래프가 [math(x)]축과 접하지 않고 네 번 교차하는 사차함수의 정적분을 다루는 문제이다. 피적분함수를 전개하여 정적분을 직접 계산하는 것은 매우 복잡하므로 보다 간단한 방식을 찾는 것이 이 문제의 관건이다. 여기에서도 위에서 설명한 방법을 도입해야 한다.

첫 번째 문제를 보자. 먼저 문제의 상황을 그림으로 나타내면 다음과 같다.


따라서 [math(S)]와 [math(T)]의 넓이가 같다는 것은 다음이 성립함을 뜻한다.

[math(\displaystyle\int_0^bx(x-a)(x-b)(x-c)\,{\rm d}x=0)]

위 정적분은 다음과 같이 계산할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^bx(x-a)(x-b)(x-c)\,{\rm d}x&=\int_0^bx(x-b)\{x^2-(a+c)x+ac\}\,{\rm d}x\\&=\int_0^bx^3(x-b)\,{\rm d}x-(a+c)\int_0^bx^2(x-b)\,{\rm d}x+ac\int_0^bx(x-b)\,{\rm d}x\\&=-\dfrac1{20}b^5+\dfrac{a+c}{12}b^4-\dfrac{ac}6b^3=0\end{aligned})]

양변에 [math(-60/b^3)]을 곱하면 다음과 같이 문제가 해결된다.

[math(3b^2-5(a+c)b+10ac=0)]

두 번째 문제는 이 문단에서 다루는 주제와 무관하므로 해설을 생략하고, 세 번째 문제를 보자.

첫 번째 문제에서 밝힌 [math(S)]와 [math(T)]의 넓이가 같기 위한 필요충분조건에, [math(T)]와 [math(U)]의 넓이가 같기 위한 필요충분조건을 구하여 접목하자. 위 그림에 따라 [math(T)]와 [math(U)]의 넓이가 같다는 것은 다음이 성립함을 뜻한다.

[math(\displaystyle\int_a^cx(x-a)(x-b)(x-c)\,{\rm d}x=0)]

위 정적분은 다음과 같이 계산할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_a^cx(x-a)(x-b)(x-c)\,{\rm d}x&=\int_0^{c-a}(x+a)x(x+a-b)(x+a-c)\,{\rm d}x\\&=\int_0^{c-a}x\{x-(c-a)\}(x+a)(x+a-b)\,{\rm d}x\\&=\int_0^{c-a}x\{x-(c-a)\}\{x^2+(2a-b)x+a^2-ab\}\,{\rm d}x\\&=\int_0^{c-a}x^3\{x-(c-a)\}\,{\rm d}x+(2a-b)\int_0^{c-a}x^2\{x-(c-a)\}\,{\rm d}x+(a^2-ab)\int_0^{c-a}x\{x-(c-a)\}\,{\rm d}x\\&=-\dfrac1{20}(c-a)^5+\dfrac{2a-b}{12}(c-a)^4-\dfrac{a^2-ab}6(c-a)^3=0\end{aligned})]

양변에 [math(-60/(c-a)^3)]을 곱하면 다음이 성립한다.

[math(3(c-a)^2+5(2a-b)(c-a)+10(a^2-ab)=0\quad\cdots(\rm a))]

좌변을 전개하여 정리하면 다음이 성립한다.

[math(3a^2+4ac-5(c+a)b+3c^2=0)]

이것이 [math(T)]와 [math(U)]의 넓이가 같기 위한 필요충분조건이다. 이제 이를 앞서 구한 식 [math((\rm a))]와 접목하면 다음이 성립한다.

[math(3a^2+4ac-\cancel{5(c+a)b}+3c^2=3b^2-\cancel{5(a+c)b}+10ac)]

이를 더욱 간단히 하면 다음의 관계식을 얻는다.

[math(\begin{aligned}3a^2-6ac+3c^2&=3b^2\\3(c-a)^2&=3b^2\\\therefore c-a&=b\quad(\because 0<a<b<c)\end{aligned})]

이를 [math((\rm a))]에 대입하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}3b^2+5(2a-b)b+10(a^2-ab)&=3b^2+10ab-5b^2+10a^2-10ab\\&=10a^2-2b^2=0\\\therefore 5a^2&=b^2,\,\sqrt5a=b\quad(\because 0<a<b)\end{aligned})]

이것이 바로 [math(a)]와 [math(b)]의 관계식이며, 이를 이용하면 다음과 같이 [math(a)]와 [math(c)]의 관계식까지 도출된다.

[math(c=a+b=a+\sqrt5a=(1+\sqrt5)a)]

이 문제 역시, 실제 시험에서는 일반화된 베타 함수 공식을 먼저 증명한 뒤 공식을 사용해야 한다.

5.2.2. x축에 접할 수 없는 경우

증명 [펼치기·접기]

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[math(\begin{aligned}\left|\displaystyle\int_\alpha^\beta a\left[\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^n-\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^n\right]\,{\rm d}x\right|&=\left|a\left[\dfrac1{n+1}\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^{n+1}-\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^nx\right]_\alpha^\beta\right|\\&=|a|\times\left|\dfrac1{n+1}\left[\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^{n+1}-\left(\dfrac{\alpha-\beta}2\right)^{n+1}\right]-\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^n(\beta-\alpha)\right|\\&=|a|\times\left|\dfrac2{n+1}\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^{n+1}-2\times\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^{n+1}\right|\\&=|a|\times\left|-\dfrac{2n}{n+1}\times\dfrac1{2^{n+1}}\times(\beta-\alpha)^{n+1}\right|\\&=|a|\times\left|\dfrac{2n}{(n+1)2^{n+1}}(\beta-\alpha)^{n+1}\right|\\&=\dfrac{2n|a|}{(n+1)2^{n+1}}(\beta-\alpha)^{n+1}\;(\because n>0,\,\beta-\alpha>0)\end{aligned})]

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증명 [펼치기·접기]

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삼각형의 넓이, 즉 [math(S_1+S_2)]의 값을 구하자. 먼저 밑변을 [math(x)]축 위의 선분이라 하면 그 길이는 [math(\beta-\alpha)]이다. 그러면 높이는 두 접선의 교점의 [math(y)]좌표의 절댓값이 될 것이다. 이는 다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 공식에 따라

[math(|a|n\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^n)]

이므로 삼각형의 넓이는

[math(\dfrac12\times(\beta-\alpha)\times|a|n\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^n=|a|n\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^{n+1})]

이다. 앞서 밝힌 [math(S_1)]의 값과 종합하면 다음의 비율 관계가 증명된다.

[math(\begin{aligned}S_1:(S_1+S_2)&=\dfrac{2n|a|}{(n+1)2^{n+1}}(\beta-\alpha)^{n+1}:|a|n\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^{n+1}\\&=\dfrac2{n+1}:1=2:(n+1)\\\\\therefore S_1:S_2&=S_1:\{(S_1+S_2)-S_1\}\\&=2:\{(n+1)-2\}=2:(n-1)\end{aligned})]

---

6. 여담

• [math(1/n)] 형태의 공식 중에서, [math(1/6)] 공식밖에 없는 이차함수나 [math(1/12)] 공식밖에 없는 삼차함수와 달리 사차함수는 [math(1/20)] 공식과 [math(1/30)] 공식을 혼동하기 쉬운데, 그래프의 개형이 [math(\color{red}3)]을 돌려놓은 듯한 모양인 경우가 [math(1/{\color{red}3}0)] 공식이라고 암기하면 편하다.
  

7. 관련 문서

• 다항함수
• 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수
• 신발끈 공식
• 극값
• 미분, 도함수
• 등차수열
• 방정식
• 변곡점
• 접선

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