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1. 개요
이 문서에서는 [math(\epsilon_{0})] 이상의 큰 가산서수를 설명하며 이보다 [math(\epsilon_{0})]보다 작은 가산서수에 대해서는 서수(수학) 문서 참고.2. ε₀ ~ ζ₀
[math(\epsilon_{0})]가 최초로 [math(\omega^\alpha=\alpha)]를 만족하는 서수인 것과 같이, [math(\epsilon_{1})]은 두 번째로 [math(\omega^\alpha=\alpha)]를 만족하는 서수이다. 이것을 정의하기 위해서는 또 다른 긴 과정이 필요하다. 0에서 [math(\epsilon_{0})]까지의 과정을 한 번 더 반복하면 [math(\epsilon_{0}2)]을 얻고, [math(\epsilon_{0})], [math(\epsilon_{0}2)], [math(\epsilon_{0}3)]의 극한으로 [math(\epsilon_{0}\omega)]을 얻는다. 그리고, [math(\epsilon_{0}=\omega^{\epsilon_{0}})]이므로 [math(\epsilon_{0}\omega=\omega^{\epsilon_{0}}\times\omega=\omega^{\epsilon_{0}+1})]이다!똑같이 지금까지의 과정을 반복해서 [math(\omega^{\omega^{\epsilon_{0}+1}})]을 정의할 수 있다. 이제 서수의 수열 [math(\{\epsilon_{0}+1, \omega^{\epsilon_{0}+1}, \omega^{\omega^{\epsilon_{0}+1}}, \cdots\})]을 생각해볼 수 있다. 이 수열의 극한은 [math(\epsilon_{0})]보다 큰 것이 자명하며, 또한 [math(\omega^\alpha=\alpha)]을 [math(\epsilon_{0})]보다 큰 서수들 중에서 최초로 만족한다. 따라서, 이 수열의 극서수가 [math(\epsilon_{1})]이다.
이렇게 [math(\epsilon_{1})]을 정의했으니, 같은 방식으로 [math(\epsilon_{2})], [math(\epsilon_{3})], 더 나아가서는 [math(\{\epsilon_{0}, \epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \cdots\})]의 극서수인 [math(\epsilon_{\omega})], 더욱 나아가서 [math(\epsilon_{\epsilon_{0}})]까지 정의할 수 있다.
그럼 이제 또 다시 서수의 수열 [math(\{0, \epsilon_{0}, \epsilon_{\epsilon_{0}}, \epsilon_{\epsilon_{\epsilon_{0}}}, \cdots\})]을 생각해 볼 수 있다. 이 수열의 극서수를 [math(\zeta_{0})]으로 표기한다. [math(\epsilon_{0})]가 최초로 [math(\omega^\alpha=\alpha)]를 만족하는 것과 비슷하게, [math(\zeta_{0})]은 최초로 [math(\epsilon_\alpha=\alpha)]를 만족하는 서수이다. 이 서수를 읽을 때는 칸토어의 서수 혹은 그냥 제타 서수라고 읽는다.
3. ζ₀ ~ Γ₀
맨 먼저 유의해야 하는 사실은, [math(\zeta_{0})] 역시 [math(\epsilon)] 서수들에 속하므로 [math(\zeta_{0}=\omega^{\zeta_{0}})]이라는 것이다.따라서, 위에서와 똑같이 [math(\zeta_{0}\omega=\omega^{\zeta_{0}}\times\omega=\omega^{\zeta_{0}+1})]가 성립하며, 위에서와 비슷하게 서수의 수열 [math(\{\zeta_{0}+1, \omega^{\zeta_{0}+1}, \omega^{\omega^{\zeta_{0}+1}}, \cdots\})]를 정의할 수 있다. 이 수열의 극서수는 [math(\zeta_{0}=\epsilon_{\zeta_{0}})] 바로 다음에 나타나는 [math(\epsilon)] 서수이므로 [math(\epsilon_{\zeta_{0}+1})]이다. 비슷한 방식으로 [math(\epsilon)] 서수들을 계속 정의할 수 있다.
이제 다음 단계로 서수 수열 [math(\zeta_{0}+1, \epsilon_{\zeta_{0}+1}, \epsilon_{\epsilon_{\zeta_{0}+1}}, \cdots)]의 극한서수를 생각해보자. [math(\epsilon_{1})]과 비슷하게, 이 수열의 극한서수는 [math(\zeta_{0})] 이후 최초로 [math(\epsilon_\alpha=\alpha)]을 만족하므로 [math(\zeta_{1})]이다.
[math(\epsilon)] 서수에서 했던 것과 비슷하게 위의 과정을 반복한다면 서수 수열 [math(\{0, \zeta_{0}, \zeta_{\zeta_{0}}, \zeta_{\zeta_{\zeta_{0}}}, \cdots\})]을 상상할 수 있다. 이 수열의 극서수는 자주 쓰이지는 않지만 그리스 문자 에타를 써서 [math(\eta_{0})]이라고 쓴다. 당연히, [math(\zeta_{\eta_{0}}=\eta_{0})]이며 이 서수는 [math(\zeta_{\alpha}=\alpha)]을 만족하는 최초의 서수다.
지금까지의 과정을 복습해보면, [math(\omega^\alpha=\alpha)]을 만족하는 서수들을 [math(\epsilon)]으로 나타냈으며, [math(\epsilon_\alpha=\alpha)] 을 만족하는 서수들을 [math(\zeta)]로 나타냈고, [math(\zeta_{\alpha}=\alpha)]을 만족하는 서수는 [math(\eta)]로 나타냈다. 수학자 오스왈드 베블런은 이렇게 함수의 부동점을 이용하여 정의된 서수들을 일반화하여 베블런 함수를 만들어냈다. 베블런 함수 [math(\varphi_\beta(\alpha))]는 인수 및 결과값으로 서수를 갖는 함수이며, 이렇게 재귀적으로 정의된다.
- [math(\varphi_0(\alpha)=\omega^\alpha)]
- [math(0<\beta)]이고 [math(\delta<\beta)]인 모든 [math(\delta)]에 대해 [math(\varphi_\delta(\alpha))]가 정의되었을 때, [math(\varphi_{\beta}(\gamma))]는 [math(\gamma)]"번째"로 그 모든 [math(\delta)]에 대해 [math(\varphi_\delta)]의 부동점이 되는, 즉 [math(\varphi_\delta(\alpha)=\alpha)]을 만족하는 서수[1]
4. 다변수 베블런 함수
편의를 위해 위의 베블런 함수 [math(\varphi_\beta(\alpha))]를 이제부터 [math(\varphi(\beta, \alpha))]로 쓰고, 특히 [math(\varphi_0(\alpha)=\omega^\alpha)]는 [math(\varphi(\alpha))]로 쓰도록 하자. 이제 [math(\varphi)]가 변수 한 개인 경우와 두 개인 경우에 대해 정의되었으므로, 변수 세 개인 경우에 대해서도 확장할 수 있다.- [math(\varphi(0, \beta, \alpha)=\varphi(\beta, \alpha))]
- [math(0<\rho)]이면 [math(\varphi(\rho, 0, \gamma))]는 [math(\delta<\rho)]인 모든 [math(\delta)]에 대해 [math(\varphi(\delta, \alpha, 0)=\alpha)]를 [math(\gamma)]"번째"로 만족하는 서수이다.[2]
- [math(0<\beta)]이면 [math(\varphi(\rho, \beta, \gamma))]는 [math(\delta<\beta)]인 모든 [math(\delta)]에 대해 [math(\varphi(\rho, \delta, \alpha)=\alpha)]를 [math(\gamma)]"번째"로 만족하는 서수이다. 이 정의는 [math(0=\rho)]인 경우에도 위의 정의들과 모순이 없다.
더욱 나아가, 서수들의 수열 [math(\{\varphi(1), \varphi(1, 0), \varphi(1, 0, 0), \varphi(1, 0, 0, 0), \cdots\})]을 생각할 수 있다. 이 수열의 극서수는 유한한 인수를 가진 베블런 함수로 나타낼 수 없는 최초의 서수다. 이 서수는 작은 베블런 서수(small Veblen ordinal)라고 부른다.
더욱 나아가, 초한 개의 인수를 가지는 베블런 함수도 생각할 수 있다. 작은 베블런 서수는 이 함수의 [math(\omega)]번째 인수가 1, 나머지 인수가 0인 경우의 함수값이 될 것이다. 하지만 이런 함수 한계에 부딪히게 되며, 초한 베블런 함수로 나타낼 수 없는 가장 작은 서수를 큰 베블런 서수(large Veblen ordinal)로 부른다.
5. 서수 붕괴 함수
이렇듯 큰 가산서수들의 정의는 복잡하기 때문에, 집합론 수학자들은 이 가산서수들을 더 편리하게 나타내 더욱 큰 서수를 나타낼 방법이 필요했는데, 이때 이용한 것이 바로 비가산 서수, 즉 [math(\aleph_1)] 이상의 기수를 가지는 서수들이었다.비가산 서수는 가산 서수와 달리 그보다 작은 가산 서수들의 극한으로 나타낼 수 없기 때문에, 일반적인 방법으로 비가산 서수를 이용하기는 쉽지 않다. 하지만 그 어떤 큰 가산 서수보다 비가산 서수가 크다는 점을 역으로 이용하여, 비가산 서수를 가산 서수로 "붕괴"시켜서 매우 큰 가산서수들을 표기할 수 있게 만들 수 있다.
아직 표기법이 통일되지 않았지만 (다양한 표기법이 정리된 문서), 주요하게 사용되는 서수 붕괴 함수의 기호는 프사이([math(\psi)])이다. 다만 함수의 기호만 통일되었다 뿐이지 그 함수는 다르기 때문에 서로 완전히 별개의 함수여도 같은 프사이 기호를 쓰는 경우가 워낙 많고, 대부분 잘못 정의된 경우가 매우 많기 때문에 프사이 기호를 쓰는 서수 붕괴 함수가 보인다면 그게 어떤 프사이 함수인지 분명히 확인해야 할 필요가 있다.
대표적인 프사이 함수로는 바흐만의 프사이 함수, 부흐흘츠의 프사이 함수 등이 있고, 프사이가 아닌 세타([math(\theta,\vartheta)])를 사용하는 함수도 존재한다.
5.1. 바흐만의 OCF
하인츠 바흐만(Heinz Bachmann)의 [math(\psi)] 함수는 최초의 서수 붕괴 함수로써, 가장 작은 비가산 서수인 [math(\omega_1)]을 붕괴시켜 가산 서수로 만드는 함수이다. [math(\omega _1)]은 서수 붕괴 함수에서 [math(\Omega)]라는 다른 표기를 사용한다.이 함수를 쓰면 지금까지 소개된 서수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
- [math(\zeta_{0})] 이하인 모든 서수 [math(\alpha)]에 대해, [math(\psi(\alpha)=\epsilon_\alpha)]
- [math(\psi(\Omega)=\zeta_{0})]
- [math(\psi(\Omega+1)=\epsilon_{\zeta_{0}+1})]
- [math(\psi(\Omega2)=\zeta_{1})]
- [math(\psi(\Omega^2)=\eta_{0})]
- [math(\psi(\Omega^\Omega)=\Gamma_{0})]
- [math(\psi(\Omega^{\Omega^2}))]는 아커만 서수
- [math(\psi(\Omega^{\Omega^\omega}))]는 작은 베블런 서수
- [math(\psi(\Omega^{\Omega^\Omega}))]는 큰 베블런 서수
5.1.1. 정의
- [math(C_0(\alpha)=\{0, 1, \omega, \Omega\})]
- [math(C_{n+1}(\alpha) = \{\gamma + \delta, \gamma\delta, \gamma^{\delta}, \psi(\eta) | \gamma, \delta, \eta \in C_n (\alpha)\land \eta < \alpha\} )]
- [math(C(\alpha) =\displaystyle \bigcup_{n < \omega} C_n (\alpha))]
- [math(\psi(\alpha) = \min\{\beta < \Omega|\beta \notin C(\alpha)\})]
5.1.2. 설명
집합 [math(C_0(\alpha)=\{0, 1, \omega, \Omega\})]를 준비한다.집합 [math(C(0))]은 [math(C_0(\alpha))]의 원소들과 덧셈, 곱셈, 지수를 유한 번 사용하여 만들 수 있는 모든 서수의 집합으로 정의한다. 그럼 [math(C(0))]에는 [math(0, 1, 2, 3, ...,\omega, \omega+1, \omega2, \omega^2, \omega^\omega, ..., \Omega, \Omega+1, \Omega+\omega, \Omega^\Omega)]과 같은 서수들이 포함되어 있다.
그런데 [math(C(0))]에는 [math(\epsilon_0)]이 포함되어 있지 않다. "유한 번" 사용해야 한다고 했으므로, [math(\omega)]가 무한 번 지수로 올려진 [math(\epsilon_0)]은 원소가 될 수 없는 것이다. 따라서 [math(\psi(0))]는 [math(C(0))]에 없는 가장 작은 서수인 [math(\epsilon_0)]로 정해진다.
그런 다음, [math(C(1))]을 [math(C(0))]의 원소들과 [math(\psi(0)=\epsilon_0)]을 유한 번 사용하여 만들 수 있는 모든 서수의 집합으로 정의한다. 아까와 마찬가지로, [math(\omega)]나 [math(\epsilon_0)][3]를 무한 번 써야하는 [math(\epsilon_1)]은 [math(C(1))]에 없다. 따라서 [math(\psi(1)=\epsilon_1)]이 된다.
같은 방법으로 [math(C(2))]를 [math(C(1))]의 원소들과 [math(\psi(1))]을 유한 번 사용해 만들 수 있는 서수의 집합으로 정의하고, [math(\psi(2)=\epsilon_2)]가 된다. 이쯤 되면 [math(\psi(\alpha)=\epsilon_\alpha)]임을 알 수 있다.
위의 식에서 [math(\psi(\epsilon_\alpha)=\epsilon_{\epsilon_\alpha}, \psi(\epsilon_{\epsilon_\alpha})=\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_\alpha}})] 등도 얻어낼 수 있지만, [math(\epsilon)]을 무한 번 사용해야 하는 [math(\zeta_0)]은 이전과 같은 방법으로 얻어낼 수 없다. 여기서 [math(\Omega)]가 등장한다.
[math(\psi(\zeta_0))]를 계산하면, [math(\epsilon_{\zeta_0}=\zeta_0)]가 된다. [math(\zeta_0)]보다 큰 어떤 가산서수를 넣어도 결과값으로 [math(\zeta_0)]이 나온다. 그런데 [math(\Omega)]가 [math(\zeta_0)]보다는 크기 때문에, [math(\psi(\Omega)=\zeta_0)]이 된다. [math(\zeta_0)]을 [math(\psi)]함수로 정의했으므로 이전까지 정의된 [math(\psi)]를 사용할 수 있다는 규칙에 의해 이제 [math(\zeta_0)] 이상을 정의할 수 있다.
계속해서 [math(C(\Omega+1))]은 [math(C(\Omega))]의 원소들과 [math(\psi(\Omega)=\zeta_0)]를 유한 번 사용해 만들 수 있는 모든 서수들의 집합이 되고, 여기에 없는 최초의 서수는 [math(\zeta_0)]의 바로 다음 [math(\epsilon)]인 [math(\epsilon_{\zeta_0+1})]이다. 따라서 [math(\psi(\Omega+1)=\epsilon_{\zeta_0+1})]이다. [math(\psi(\Omega+2))]는 그 다음 [math(\epsilon)]인 [math(\epsilon_{\zeta_0+2})]이다.
그럼 여기서 [math(\psi(\Omega+\alpha)=\epsilon_{\zeta_0+\alpha})]이라는 것을 알 수 있다. 그런데 앞에서도 그랬듯이 [math(\alpha)]가 [math(\zeta_1)]이상이면 성립하지 않는다. [math(\epsilon_{\zeta_0+\zeta_1}=\epsilon_{\zeta_1}=\zeta_1)]이기 때문이다.
[math(\Omega)]를 다시 사용해, [math(\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega2)=\zeta_1)]이 된다. 계속하면 [math(\psi(\Omega2+\alpha)=\epsilon_{\zeta_1+\alpha})], 초월하여 [math(\psi(\Omega3)=\zeta_2)]이다. 이를 통해 [math(\psi(\Omega×(1+\alpha))=\zeta_{\alpha})][4]라는 규칙을 알아낼 수 있다. 이 역시도 [math(\alpha)]가 [math(\zeta)]에 대해 부동점인 [math(\eta_0)] 이상이 되면 막히지만, [math(\psi(\Omega×\Omega)=\psi(\Omega^2)=\eta_0)]으로 도달한다.
계산을 반복하면 [math(\psi(\Omega^2+1)=\epsilon_{\eta_0+1}, \psi(\Omega^2+\Omega)=\zeta_{\eta_0+1}, \psi(\Omega^2+\Omega^2)=\psi(\Omega{^2}2)=\eta_1, \psi(\Omega^3)=\eta_{\eta_{._{._.}}}=\varphi_4(0))]임을 알 수 있다.
지금까지를 정리해보면 [math(\psi(\Omega)=\zeta_0=\varphi_2(0), \psi(\Omega^2)=\eta_0=\varphi_3(0), \psi(\Omega^3)=\varphi_4(0))]이다. 따라서 [math(\psi(\Omega^\alpha)=\varphi_{1+\alpha}(0))]이다.[5]
여기서 다시 초월하면 [math(\psi(\Omega^\Omega)=\varphi_{\varphi_{._{._.}}(0)}(0)=\Gamma_0=\varphi(1,0,0))]이고, [math(\psi(\Omega^{\Omega^\alpha})=\varphi(1,\underbrace{0,...,0}_{1+\alpha}))]이다. 따라서 [math(\psi(\Omega^{\Omega^\omega}))]는 작은 베블런 서수인 [math(\varphi(1,\underbrace{0,...,0}_\omega))]이고, 이를 초월한 [math(\psi(\Omega^{\Omega^\Omega}))]는 큰 베블런 서수가 되는 것이다!
여기서 멈추지 않고 [math(\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega+1}}), \psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}}))] 등도 생각해 볼 수 있다. 하지만 [math(\Omega)]가 무한히 올려진 [math(\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{.^{.^.}}}})=\psi(\epsilon_{\Omega+1}))][6]에는 주어진 정의만으로는 도달할 수가 없다.
5.2. 부흐흘츠의 OCF
부흐흘츠의 프사이 함수는 1986년 독일의 수학자 빌프리트 부흐흘츠(Wilfried Buchholz)가 정의한 서수 붕괴 함수이다. 이 함수는 첫번째 비가산 서수 [math(\omega_1)]을 초월하여 [math(\omega)]번째 비가산 서수 [math(\omega_\omega)]까지 붕괴시켜 더욱 큰 가산서수를 만들 수 있다. 마찬가지로 [math(\omega_\alpha)]는 [math(\Omega_\alpha)]와 같이 표기하며, [math(\Omega_0=1)]로 정의한다.5.2.1. 정의
- [math(C_\nu^0(\alpha) = \Omega_\nu)]
- [math(C_\nu^{n+1}(\alpha) = \{\beta+\gamma,\psi_\mu(\eta)|\beta, \gamma,\eta\in C_{\nu}^n(\alpha)\wedge\eta<\alpha \wedge \mu \leq \omega\})]
- [math(C_\nu(\alpha) =\displaystyle \bigcup_{n < \omega}C_\nu^n (\alpha))]
- [math(\psi_\nu(\alpha) = \min\{\gamma | \gamma \not\in C_\nu(\alpha)\})]
5.2.2. 설명
이 OCF은 바흐만의 OCF과는 달리 처음 집합이 [math(C^0_0(0)=\Omega_0=1)]로 주어진다. [math(1=\{0\})]이므로, 집합 [math(C^1_0(0))]는 0끼리 더하거나 0보다 작은 서수를 인수로 가지는 프사이 함수를 포함한다. 그런데 0끼리 더해봤자 0이고, 0보다 작은 서수는 존재하지 않으므로 그런 서수를 가지는 프사이 함수도 존재하지 않게 된다.따라서 [math(C^0_0(0),C^1_0(0),C^2_0(0),....)]의 합집합인 [math(C_0(0))]은 0만 포함하는 집합이 되고, 이 집합의 원소가 아닌 가장 작은 서수는 1이 되므로 [math(\psi_0(0)=1)]이다.
[math(C_0(1))]의 경우 [math(\psi_0(0))], 즉 1을 사용할 수 있으므로 1끼리 유한 번 더해서 만들 수 있는 수는 다 만들 수 있다. 다시 말해 [math(C_0(1))]는 모든 자연수를 포함하므로, [math(\psi_0(1))]은 가장 작은 초한서수 [math(\omega)]가 된다.
마찬가지로 [math(\psi_0(2)=\omega^2)], [math(\psi_0(3)=\omega^3)], [math(\psi(\omega)=\omega^\omega)]가 됨을 알 수 있다.
[math(C_0(\alpha))] 집합에 비가산 서수 [math(\Omega_1=\Omega)]를 넣는다면, [math(C_0(\Omega))]는 [math(\psi_0(0),\psi_0(\omega),\psi_0(\omega^\omega))]와 같은 지금까지 정의했던 [math(\epsilon_0)] 미만의 서수들을 모두 포함하게 된다. 따라서 [math(\psi_0(\Omega)=\epsilon_0)]이다. 같은 방식으로 [math(\psi_0(\Omega^2)=\zeta_0)], [math(\psi_0(\Omega^\Omega)=\Gamma_0)], [math(\psi_0(\Omega^{\Omega^\Omega})=)] [math(psi(Omega^{Omega^Omega}))]가 되어 위의 바흐만 OCF를 따라잡는다.
[math(\psi_1(0))]는 [math(C_1(0))]에 모든 가산서수가 포함되게 되므로, [math(\Omega)] 그 자체가 된다. 따라서 [math(C_1(1))]은 [math(\psi_1(0)=\Omega)]를 포함하므로 [math(\psi_1(1)=\Omega\omega=\omega^{\Omega+1})]이다. 다시 [math(\psi_1(\Omega)=\psi_1(\psi_1(0)))]는 [math(\Omega^2)]가 된다.
[math(\psi_2(0))]역시 위와 마찬가지로 [math(\Omega_2)]가 되며, [math(\psi_0(\Omega_2)=\psi_0(\psi_2(0)))]은 바흐만 OCF가 도달하지 못하는 [math(\psi_0(\epsilon_{\Omega+1}))]과 같다.
부흐흘츠의 OCF은 [math(\omega_\omega)]까지의 서수만 붕괴할 수 있게 정의되었으므로, 이 OCF의 한계점은 [math(\psi_0(\Omega_\omega ^{\Omega_\omega^{\Omega_\omega^{.^{.^{.}}}}})=\psi_0(\epsilon_{\Omega_\omega+1}))]이며 이 서수는 바흐만의 OCF의 한계였던 바흐만-하워드 서수의 사례와 마찬가지로 타케우티-페퍼만-부흐흘츠 서수(Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal, TFB)라는 별칭이 붙어있다.
그 이후엔 정의를 살짝 바꾼 부흐홀츠의 확장 ocf가 있다. 오메가 를 밑첨자로 끝없이 내린 수이다.omega fixed point 라고도 표현된다. 이후부턴 잘못된 정의가 많은데 omega fixed point는 Rathjen's Φ function 을 사용하여 Φ_1(0)정도로 표현된다. 익숙할 수도 있는데 그냥 배블런 함수가 (1,0)은 앱실론 제로이고 이는 오메가 최초의 부동점인 것과 비슷하다. 쉽게 말해 2번째 omega fixed point는 Φ_1(1)인것이다. googology 사이트 등에서는 omega fixed point가 접근 불가능 기수를 사용하는 것으로 잘못 알려져있는데 접근 불가능 기수는 앞서 말한 배블런 함수에서 감마 함수로 넘어가는 느낌이다. 아예 차원이 다르게 큰 수이다. 크기 표현이 심하게 잘못 측정된것 그 이후론 표기법이 상당히 복잡하고 번거롭다. 마지막에 stability 공리의 pto인 stegert psi가 밝혀진 가장 큰 가산 함수이다. 아직까지 완전한 2차산술의 pto에 근접한 OCF는 나온바가 없다.
6. 증명론적 서수
페아노 공리계로 증명할 수 없는 굿스타인 정리와 같이, 모든 공리계는 충분히 큰 서수를 정의할 수 없다. 한 공리계가 정의할 수 있는 서수의 상한을 증명론적 서수 (Proof-theoretic ordinal)이라고 한다.(보통 줄여서 PTO라고 부른다)수학자들은 비교적 단순한 공리계에 대해서는 정확한 증명론적 서수를 구했지만 ZFC와 같이 복잡한 공리계에 대해서는 아직 알아낸 것이 많지 않다. 완전한 2차산술의 증명론적 서수부터는 아직 밝혀진바가 없고 이는 미해결 문제이다.7. 비재귀적 서수
무한서수는 자연수의 집합에 순서를 준 것이라고 생각할 수 있다. 작은 무한서수에 대해서는 튜링 머신이 존재하여, 이 자연수의 집합에 준 순서를 계산할 수 있다. 이런 튜링 머신이 존재하는 서수를 재귀적 서수라고 부른다. 모든 재귀적으로 정의할 수 있는 서수의 상한을 생각할 수 있고, 이 서수를 처치-클레이니 서수 (Church-Kleene ordinal) [math(\omega_1^{CK})]라고 부른다. 그 정의 때문에 재귀적 서수를 어떻게 확장해도 [math(\omega_1^{CK})]에 도달할 수 없고, 이는 최초의 불가산 서수 [math(\omega_1)]와 비슷하다. [math(\omega_1^{CK}=\omega_1)]이라고 추측할 수도 있겠지만, 모든 튜링 머신의 집합은 가산이기 때문에 [math(\omega_1^{CK})]도 가산서수이다.[1] 따라서, [math(\varphi_1(\alpha)=\epsilon_\alpha)], [math(\varphi_2(\alpha)=\zeta_\alpha)], [math(\phi_3(\alpha)=\eta_\alpha)]이 된다![2] 따라서 [math(\varphi(1, 0, 0)=\Gamma_0)][3] [math(\epsilon_1)]은 [math(\epsilon_0^{\epsilon_0^{\epsilon_0^{.^{.^{.^{.}}}}}})]으로도 쓸 수 있다.[4] [math(\alpha)] 앞에 붙는 +1은 서수들이 [math(\zeta_0)]와 같이 밑첨자가 1이 아닌 0부터 시작하기 때문에 하나씩 당겨져서 붙는 것이다. 어차피 [math(\alpha)]가 [math(\omega)] 이상만 돼도 [math(1+\omega=\omega)]이기 때문에 무시해도 좋다.[5] 앞서 [math(\zeta)]에서도 설명했듯이, +1이 붙는 건 하나씩 밀려나서 붙은 것이며, [math(\alpha)]가 커지면 무시해도 된다.[6] 바흐만-하워드 서수(Bachmann-Howard Ordinal, BHO)라고 한다.