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1. 개요
레인-엠든 방정식(Lane-Emden equation)은 천체물리학에서 구형 대칭을 가진 다양한 천체의 구조를 기술하는 미분방정식이다. 1870년 태양의 열역학을 처음 연구한 미국인 천문학자 및 발명가 조너선 호머 레인(Jonathan Homer Lane, 1819~1880)[1]과 1907년 해당 방정식을 처음 발표한 스위스인 천문학자 및 기상학자 로베르트 엠덴(Robert Emden, 1862~1940)[2]에게서 이름을 따왔다.2. 상세
자체적인 중력을 가진 구형 천체에서 압력 [math(P)]와 밀도 [math(\rho)]는 다음과 같은 관계를 갖는다.[math(\displaystyle P=K\rho^{1+1/n})]
이를 지수 [math(\boldsymbol n)]의 다방체(polytrope of index n)이라고 부른다.
- 여기에서 지수 [math(n)]은 천체의 유형에 따라 달라지는데 해당 천체 내에서 온도 [math(T)]가 일정하면(isothermal) [math(n=\infty)], 엔트로피가 일정하면(isentropic) 비열의 비 [math(\gamma \equiv \frac{C_P}{C_V})]에 대해 [math(n=\frac{1}{\gamma-1})]으로 주어진다.[3][4]
- 비례상수 [math(K)]는 주어진 온도에서는 압력과 밀도에 대해 일정하지만, 그 외의 경우에 대해서는 일정하다는 보장이 없다.
온도가 일정한 경우를 제외한(즉 지수 [math(n)]이 [math(\infty)]가 아닌) 다방체에 대해서 정유체 평형을 가정하고 오일러 방정식[A]과 푸아송 방정식을 풀면 아래와 같은 이계 상미분방정식을 얻는데, 이것이 바로 레인-엠든 방정식이다. 온도가 일정한 경우에는 엠든-찬드라세카르 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0)]
[math(\begin{aligned}\displaystyle \theta(0) &= 1\\\displaystyle \theta'(0) &= 0\end{aligned})]
- [math(\theta)]는 밀도 및 압력과 유관한 무차원 변수인데, 중심 밀도 [math(\rho_c)]에 대해 [math(\rho=\rho_c \theta^n)]이 성립한다.
- [math(\xi)]는 0보다 같거나 큰 무차원 거리변수로, [math(r)]가 중심으로부터의 거리일 때 [math(\xi \equiv r \sqrt{\frac{4\pi G}{(n+1)K\rho^{1/n-1}_c}})]로 정의된다. 해당 천체의 반지름 [math(R)]는 [math(\theta=0)]을 만족시키는 가장 작은 [math(r)]의 값으로 정의된다.
이때 [math(n=0)]인 경우의 해는 [math(\theta=1-\xi^2/6)]으로 비압축성 천체(예: 지구형 행성)를 기술하고, [math(n=1)]인 경우의 해는 [math(\theta=\frac{\sin{\xi}}{\xi})]이다. [math(n=5)]의 경우인 [math(\theta=1/\sqrt{1+\xi^2/3})]은 아래의 플러머 퍼텐셜(Plummer potential) [math(\Phi)]에 대한 해로, 구상성단이나 왜소은하를 질량은 유한하지만 반지름이 무한하다는 가정하에 기술하는 데에 쓰인다.
[math(\displaystyle \Phi = -\frac{GM_o}{\sqrt{r^2+a^2}})]
여기에서 [math(M_o)]는 질량 차원의 상수, [math(a)]는 거리 차원의 상수다. 이외의 경우에서는 해석적인 해가 없기 때문에 수치적으로 풀어야 한다.
3. 유도
유체역학에서 비점성 유체에 대한 뉴턴의 운동법칙은 아래 오일러 방정식으로 주어진다.[A][math(\displaystyle \rho\left[\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t } + \left(\mathbf{u} \cdot \nabla\right) \mathbf{u}\right] = -\nabla P + \rho\mathbf{g})]
여기에서 [math(\mathbf{u})]는 유체의 속도, [math(\mathbf{g})]는 외부 중력장이다. 정유체 평형([math(\mathbf{u}=\mathbf{0})]과 [math(\frac{ \partial }{ \partial t }=0)])을 가정하고 어떤 중력 퍼텐셜 [math(\Phi)]에 대해 [math(\mathbf{g}=-\nabla\Phi)]라고 할 때 아래 식을 얻는다.
[math(\displaystyle \nabla P = - \rho\nabla\Phi)]
여기에서 구형 대칭을 적용하면 다소 복잡한 연쇄 법칙에 의해 아래 식을 얻는다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle \frac{d\Phi}{dr}& = - \frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr} = - \frac{1}{\rho}\frac{d}{dr}(K\rho^{1+1/n}) \\&= -(n+1)K\left[\frac{1}{n+1}\left(\rho^\frac{n+1}{n}\right)^{(\frac{1}{n+1}-1)}\frac{d}{dr}\left(\rho^{\frac{n+1}{n}}\right)\right] \\&= -(n+1)K\frac{d}{dr}\left[\left(\rho^{\frac{n+1}{n}}\right)^{\frac{1}{n+1}}\right] \\&= -(n+1)K\frac{d}{dr}(\rho^{1/n})\end{aligned})]
양변을 [math(r)]에 대해 적분하면 아래 식을 얻는다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle \Phi &= -(n+1)K\rho^{1/n}+\Phi_T\\ \Rightarrow \rho&= \left[\frac{\Phi_T-\Phi}{(n+1)K}\right]^n\end{aligned})]
여기에서 적분상수 [math(\Phi_T)]는 표면([math(\rho=0)])에서의 [math(\Phi)]값이다. 천체의 중심([math(r=0)])에서 [math(\rho=\rho_c)], [math(\Phi=\Phi_c)]라고 할 때,
[math(\displaystyle \rho_c = \left[\frac{\Phi_T-\Phi_c}{(n+1)K}\right]^n)]
이므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \rho = \rho_c\biggl(\frac{\Phi_T-\Phi}{\Phi_T-\Phi_c}\biggr)^n)]
한편 푸아송 방정식은 아래와 같다.
[math(\displaystyle \nabla^{2} \Phi=4 \pi G \rho )]
여기에 구형 대칭을 적용하면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2\frac{d\Phi}{dr}\biggr) = 4\pi G \rho_c\biggl(\frac{\Phi_T-\Phi}{\Phi_T-\Phi_c}\biggr)^n)]
[math(\displaystyle \Rightarrow -(\Phi_T-\Phi_c)\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2\frac{d\theta}{dr}\biggr) = 4\pi G \rho_c\theta^n)]
여기에서 [math(\theta \equiv \frac{\Phi_T-\Phi}{\Phi_T-\Phi_c})]는 무차원 변수로, [math(\theta_c=1)], [math(\theta_T=0)], [math(\frac{d\theta}{dr}|_c \propto g_c=0)]이다. 이에 거리변수 [math(r)]도 무차원의 [math(\xi \equiv r\sqrt{\frac{4\pi G \rho_c}{\Phi_T-\Phi_c}})]로 치환하면 아래 식들을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0)]
[math(\begin{aligned}\displaystyle \theta(0) &= 1\\ \theta'(0) &= 0\end{aligned})]
4. 질량-반지름 관계
같은 다방체 지수 [math(n)]을 가진 천체는 같은 [math(\theta(\xi))]를 가지지만 다른 [math(\rho_c)]에 의해 [math(\theta)]와 [math(\xi)]가 스케일된다. [math(\xi\propto K^{-1/2}\rho^{\frac{1}{2}(1-1/n)}_c r)]이므로 천체의 질량 [math(M)]은| [math(\begin{aligned}\displaystyle M& = \int_0^R 4\pi r^2\rho(r)\,{\rm d}r \propto K^{3/2}\rho^{-\frac{3}{2}(1-1/n)}_c \int_0^{\xi_{max}} \xi^2\rho_c\theta^n\,{\rm d}\xi \\&= K^{3/2}\rho^{\frac{1}{2}(3/n-1)}_c \int_0^{\xi_{max}} \theta^n\xi^2\,{\rm d}\xi \propto K^{3/2}\rho^{\frac{1}{2}(3/n-1)}_c\end{aligned})] |
4.1. 백색왜성과 초신성
초신성은 크게 Ia형 초신성과 핵붕괴형 초신성으로 나눌 수 있는데, 이 둘 모두 다방체의 관점에서 이해할 수 있다.질량 [math(M)]이 태양 질량 [math(M_\odot)]의 8배 미만인 주계열성은 생을 마감하고 행성상성운과 백색왜성이 된다. 찬드라세카르 한계 [math(M_{max}\approx 1.44M_\odot)]보다 질량이 작은([math(M<M_{max})]) 백색왜성은 파울리 배타 원리에 의한 비상대론적 전자의 축퇴압으로 지탱된다. 이 때 축퇴압 [math(P)]는 간단한 양자론적 통계역학으로부터 다음과 같이 유도할 수 있다.
[math(\displaystyle P = \frac{(3\pi^2)^{2/3}}{5}\frac{\hbar^2}{m_e}\left[\left(\frac{Z}{A}\right)\frac{\rho}{m_H}\right]^{5/3})]
여기에서 [math(\hbar)]은 디랙 상수, [math(m_e)]은 전자의 질량, [math(m_H)]는 수소의 질량, [math(Z)]는 백색왜성의 평균 원자 번호, [math(A)]는 백색왜성의 평균 질량수이다. 대부분의 백색왜성은 대부분 산소와 탄소로 돼있기 때문에 [math(Z/A \approx 0.5)]이다. 따라서 모든 질량이 작은 백색왜성은 같은 [math(K)]를 가진(즉 등엔트로피의) 지수 [math(n=3/2)]의 다방체이며, [math(M \propto R^{\frac{3/n-1}{1/n-1}}=R^{-3})]를 가진다. 즉 질량이 클수록 반지름이 작아지는데, 백색왜성의 질량이 늘어나서 찬드라세카르 한계에 가까워질수록 상대론적으로 변하여 이 관계에서 벗어나다가 찬드라세카르 한계에 비로소 다다르면 반지름이 0이 되어 별이 붕괴한다. 상대론적인 전자의 축퇴압 [math(P)] 역시 다음과 같이 유도할 수 있다.
[math(\displaystyle P = \frac{(3\pi^2)^{1/3}}{4}\hbar c\left[\left(\frac{Z}{A}\right)\frac{\rho}{m_H}\right]^{4/3})]
여기에서 [math(c)]는 광속이다. 이로부터 찬드라세카르 한계에 다다른 백색왜성은 지수 [math(n=3)]의 다방체로, [math(M \propto R^{\frac{3/n-1}{1/n-1}}=R^{0})]라는 사실을 알 수 있다. 즉 반지름 [math(R)]이 질량 [math(M)]과 무관하다는 결과를 얻는데, 더 계산을 해보면 반지름이 0이고 작은 섭동에 대해 불안정함이 드러난다. 따라서 백색왜성이 질량을 흡수하여 찬드라세카르 한계에 다다르면 별이 붕괴하여 폭발하는데, 이를 Ia형 초신성이라고 한다. Ia형 초신성의 특징은 수소 흡수선이 없지만 규소-II선이 있다는 것으로, 같은 한계질량 [math(M_{max}\approx 1.44M_\odot)]에서 일어나기 때문에 밝기가 거의 같다. 이는 거리의 사다리에서 가장 밝은 표준 광원(standard candle) 중 하나이기 때문에 외부은하, 우주 거대 구조, 우주론의 연구에서 중요하게 사용된다.
한편 질량이 태양의 8배 이상인 주계열성은 삶의 막바지에 중심에서 철을 핵융합하게 된다. 그런데 철보다 가벼운 원소는 핵융합 반응에서 에너지를 방출하지만, 철부터는 핵융합 반응에서 에너지를 흡수한다. 따라서 이 때부터 항성핵이 핵융합 반응열 대신 축퇴압으로 지탱되는데, 항성핵의 질량이 찬드라세카르 한계를 넘어서고 나면 별 전체가 붕괴하여 폭발한다. 이를 핵붕괴형 초신성이라고 한다. 핵붕괴형 초신성은 만약 해당 별이 평범한 초거성이었으면 수소 흡수선이 있는 II형 초신성, 외피의 수소층이 날아가버린 볼프-레이에별이면 수소 흡수선, 규소-II 흡수선은 없지만 헬륨-I 흡수선은 있는 Ib형 초신성, 외피의 헬륨층까지 날아가버린 볼프-레이에별이면 수소, 규소-II, 헬륨-I 흡수선이 모두 없는 Ic형 초신성이 된다.
4.2. 주계열성
주계열성은 질량에 따라 엔트로피가 다르고, 이에 따라 상수 [math(K)]의 값이 다르기 때문에 위의 관계식이 성립하지 않는다. 대신 주계열성의 중심 온도는 서로 비슷한데, 이는 주계열성의 핵에서 일어나는 수소 핵융합 반응이 온도 [math(T)]의 4제곱~17제곱에 비례할 정도로 온도에 민감하기 때문이다. 이때 주계열성을 이루는 기체가 이상 기체에 가깝다고 가정하고 아래 형태의 이상 기체 법칙을 사용한다.[math(\displaystyle P = \frac{\rho k_B T}{\mu m_u})]
여기에서 [math(k_B)]는 볼츠만 상수, [math(\mu)]는 평균 분자량, [math(m_u)]는 통일 원자 질량 단위다. 이로부터
[math(\displaystyle K \propto P_c\rho^{-1-1/n}_c = \frac{\rho_c k_B T_c}{\mu m_u}\rho^{-1-1/n}_c \propto \rho^{-1/n}_c)]
을 얻으므로 [math(M \propto \rho^{-1/2}_c)]이고 [math(R \propto \rho^{-1/2}_c)]이다. 따라서 [math(M \propto R)]로 근사할 수 있다.
[1] 예일 대학교 출신으로, 미국 특허청에서 일했다.[2] 스트라스부르크 대학교 출신으로, 뮌헨 공과대학교와 바이에른 문리과대학에서 일했다.[3] 엔트로피가 일정하려면 단열되어 있고(adiabatic), 느리게 변화하고(quasistatic), 가역인(reversible) 과정에 의해 변화하는 천체여야 하는데, 천체물리학적인 상황에서는 이 중 두번째와 세번째 조건은 보통 무시한다.[4] 등엔트로피의 경우 자유도 [math(f)]의 이상 기체는 [math(n=f/2)]를 갖는다. 단원자 기체의 경우 3차원 방향 3가지에 의해 [math(f=3)], 표준 상태에서 이원자 기체의 경우 회전 방향 2가지가 더해져 [math(f=5)]다. 이원자 기체의 진동 방향 2가지는 에너지의 양자화에 의해 고온에서만 활성화되기 때문. 같은 이유로 저온에서는 이원자 기체도 [math(f=3)]이다.[5] 찬드라세카르 한계 미만일 때는 전자가 비상대론적이기 때문에 [math(n=\frac{3}{2})], 찬드라세카르 한계에 다다렀을 때는 전자가 상대론적이기 때문에 [math(n=3)]이다.[6] 모든 주계열성은 중심 온도가 비슷하다고 근사할 수 있는데, 이는 주계열성의 핵에서 일어나는 수소 핵융합 반응은 온도의 4제곱~17제곱에 비례할 정도로 온도에 민감하기 때문이다.[A] 더 일반적인 나비에-스토크스 방정식에서 출발하더라도 정유체 평형을 가정하고 나면 같은 식을 얻는다.[A]