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1. 매개 변수
완전 유체 혹은 이상 유체(perfect fluid)에 대한 정지계(rest frame)에서 정의되어, 유체의 상태를 표현 또는 결정하는 매개변수(스칼라)는 다음과 같다.- [math(n)] : 개수 밀도(number density) - 단위 3차원 부피에 담긴 입자(baryon)의 개수
- [math(\rho)] : 에너지 밀도(energy density) - 단위 3차원 부피 담긴 총 질량 - 에너지(정지 질량, 열에너지 등)
- [math(p)] : 압력(pressure)
- [math(T)] : 온도(Temperature)
- [math(s)] : 입자 당 엔트로피(entropy)
- [math(\mu)] : 입자의 화학 퍼텐셜(chemical potential)
2. 개수 밀도 및 플럭스
이러한 지표들을 정지계에 한정해 정하는 이유는, 유체가 움직일 경우 측정되는 각 지표가 달라지기 때문이다. 예를 들어, 특정 좌표계에서 정의된 부피 [math(V = \Delta x\Delta y\Delta z)]에 [math(N)] 개의 유체 입자가 정지해 있다고 가정하자. 이 때 [math(n = N/V)]가 된다. 그런데 이 입자들이(즉, 부피가) [math(x)]축 방향으로 [math(v)]의 일정한 속력으로 움직이고 있다면, 길이 수축에 의해 [math(\displaystyle V' = \left(\frac{1}{\gamma}\Delta x\right)\Delta y\Delta z)]로 바뀌므로[math(n' = N/V' = \gamma N/V = \gamma n)]
이 된다. 유체의 4-벡터 [math(\vec{U})]에 대하여
[math(\vec{n} = n\vec{U})]
라 정의하자. 이것을 개수 플럭스(Number flux) 벡터라 한다. 좌표계 [math(O)]에 대하여 유체가 정지해 있다면 이 벡터의 성분은
[math(n^{\alpha} = (n, 0, 0, 0))]
이다. 좌표계 [math(\bar{O})]에서 유체가 [math(\vec{v} = (v_x, v_y, y_z))]의 일정한 3차원 속도를 갖는다면,
[math(n^{\bar{\alpha}} = (\gamma n, n\gamma v_x, n\gamma v_y, n\gamma v_z))]
가 된다. 이 때 개수 플럭스 [math(\vec{n})]의 [math(\bar{0})] 성분은 좌표계 [math(\bar{O})]에서 계산한 유체의 개수 밀도임을 알 수 있다. 일반적으로, 어느 좌표계에서나 [math(\vec{n})]의 시간 성분은 그 좌표계에서 측정한 유체의 개수 밀도를 알려준다. 그러나 질량을 정지 질량으로 고정하여 불변량으로 보듯이, 개수 밀도 역시 정지 개수 밀도만을 생각하여 불변량으로 다룬다. 실제 측정 과정이 알려주듯, 벡터의 특정 성분은 좌표계에 의존하는 양이다. 정지 개수 밀도 [math(n)] 그 자체나, 개수 플럭스 벡터 [math(\vec{n})] 전체가 보다 물리적으로 의미있는 양이라고 할 수 있다.
한편 좌표계 [math(\bar{O})] 에서 이 유체의 [math(x)] 방향의 플럭스는, [math(x)]축 방향으로 나란히 놓인 평면을 정의하는 [math(\mathrm{d} \bar{x}_{\bar{\alpha}} = (0, 1, 0, 0))]에 대하여
[math(\left<\mathrm{d}\bar{x}, \vec n\right> = \mathrm{d}\bar{x}(\vec n) = (\mathrm{d}\bar{x})_{\alpha}n^{\alpha} = n^{\bar{x}} = n\gamma v^x)]
가 된다. 고전적으로 측정한 플럭스인 [math(n v^x)]와 약간 다른 것은, 개수 밀도가 [math(n\gamma)]로 바뀌었기 때문이다. [math(t)] 방향의 플럭스는 좌표계 기준 개수 밀도의 측정값이다. 일반적으로, 개수 플럭스가 [math(\vec{n})]인 유체의 [math(\tilde{\omega} = \omega_{\alpha}\mathrm{d}x^{\alpha})] 방향 평면으로의 플럭스는
[math(\displaystyle \left<\tilde{\omega}, \vec n\right> = \left<\omega_{\alpha}\mathrm{d}x^{\alpha}, n^{\alpha}\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}\right> = \omega_{\alpha}n^{\alpha})]
이다. 마지막으로 개수 플럭스 벡터에 대하여 다음 항등식이 성립한다.
[math(\vec{n}\cdot\vec{n} = -n^2, \quad n = -(\vec{n}\cdot\vec{n})^{1/2})]
3. 열역학
여기에서 다루는 유체의 화학적 조성은 근본적으로 개수 밀도 [math(n)]과 입자당 엔트로피 [math(s)]에 의해 결정된다고 가정할 수 있다. 이러한 단순 유체(simple fluid)는 화학적 반응이 매우 느린 경우(초거성), 혹은 너무 빨라서 밀도나 엔트로피에 상관없이 평형이 유지될 수 있는 경우(중성자별) 나타난다.유체가 시공간 상에서 움직이는 동안, 입자의 총량 [math(N)]은 변하지 않는다. 유체의 4-속도를 [math(\displaystyle U^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau})]라 하면 그 관계식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \frac{d}{d\tau}(N = nV) = 0)]
이 때 부피의 변화는, 이웃한 입자가 멀어지거나 가까워지는 흐름에 의해 결정된다.
[math(\displaystyle \frac{dV}{d\tau} = (\nabla_{\mu}U^{\mu})V)]
이로부터, 입자 보존 법칙(baryon conservation)을 다음과 같이 정리할 수 있다.
| [math(\displaystyle \frac{dn}{d\tau} = -\frac{n}{V}\frac{dV}{d\tau} = -n\nabla_{\mu}U^{\mu})] |
한편 열역학 제 1법칙(에너지 보존 법칙)은 다음과 같다.
[math(\mathrm{d}(\rho N/n) = -p\,\mathrm{d}(N/n) + T\mathrm{d}(Ns))]
좌변은 [math(N)] 개의 입자를 담고 있는 부피([math(V = N/n)])의 에너지를 나타낸다. 이로부터 다음을 얻는다.
| [math(\displaystyle \mathrm{d}\rho = \frac{\rho + p}{n}\mathrm{d}n + nT\mathrm{d}s)] |
[math(n)]과 [math(s)]로부터 정의된 [math(\rho)]는 가장 기본이 되는 매개변수로써, 다른 지표들을 일괄적으로 유도할 수 있다. 가장 먼저
[math(\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial n} = \frac{\rho + p}{n}, \quad \frac{\partial \rho}{\partial s} = nT)]
| [math(\displaystyle p(n, s) = n\frac{\partial \rho}{\partial n}(n, s) - \rho, \quad T(n, s) = \frac{1}{n}\frac{\partial \rho}{\partial s}(n, s))] |
를 얻는다. 한편, [math(p)]와 [math(T)]는
[math(\displaystyle \frac{\partial p}{\partial s} = n\frac{\partial^2\rho}{\partial s\partial n} - nT, \quad \frac{\partial T}{\partial n} = -\frac{1}{n}T + \frac{1}{n}\frac{\partial^2\rho}{\partial n\partial s})]
에서 편미분 교환법칙을 이용하면
[math(\displaystyle \frac{\partial p}{\partial s} = n^2 \frac{\partial T}{\partial n})]
의 관계를 갖는다.
한편 화학 퍼텐셜 [math(\mu)]는 다음과 같이 결정된다. 열역학적 상태([math(n, s)])가 고정된 특정 유체를 준비한 뒤, [math(\delta N)] 개의 입자를 담고 있는 작은 유체 샘플을 (동일한 상태의) 또다른 유체 샘플에 주입한다고 가정하자. 이 때, 유체 샘플은 충분히 커서 부피가 변하지 않는다고 가정한다. 이 과정동안 주입된 질량-에너지 [math(\delta M)]과 일 [math(\delta W)]는 다음과 같다.
[math(\delta M = \rho \times \delta V = \rho(\delta N/n))]
[math(\delta W = p \times \delta V = p(\delta N/n))]
[math(\delta W = p \times \delta V = p(\delta N/n))]
이로부터 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \mu \delta N = \delta M + \delta W = \frac{\rho + p}{n}\delta N)]
| [math(\displaystyle \mu(n, s) = \frac{\rho + p}{n} = \frac{\partial \rho}{\partial n})] |
4. 유체 역학
이상 유체의 스트레스 에너지 텐서는 다음과 같다.[math(T^{\mu\nu} = (\rho + p)U^{\mu}U^{\nu} + pg^{\mu\nu})]
이 때 에너지 보존 법칙 [math(\nabla_{\mu}T^{\mu\nu} = 0)]은 다음과 같이 정리된다.
[math(\displaystyle U^{\mu}\frac{d\rho}{d x^{\mu}} = \frac{d\rho}{d\tau} = -(\rho + p)\nabla_{\mu}U^{\mu})]
입자 보존 법칙을 활용하면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{d\rho}{d\tau} = \frac{\rho + p}{n}\frac{dn}{d\tau})]