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1. 개요
슈바르츠실트 계량(Schwarzschild metric) 혹은 슈바르츠실트 해(Schwarzschild solution)는 아인슈타인 방정식의 엄밀해(exact solution) 중 하나로 구형 대칭이고 전하와 각운동량이 없다고 가정한 천체의 바깥 시공간을 나타낸다. 이 수학적 모델은 일반 상대성 이론에서 상대적으로 느리게 회전하는, 그리고 대전되지 않은 천체의 중력 작용을 파악할 때 유용한 근사를 제공한다.2. 명칭
슈바르츠실트는 1915년 말 이 해를 처음 발견한 독일 천문학자 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild)의 이름을 딴 것이다. 다음은 슈바르츠실트 계량을 지칭하는 세 가지 용어이다.1. 슈바르츠실트 계량(metric) : 시공간(중력장)을 수학적으로 표현하는 메트릭 텐서(의 각 성분)를 지칭
2. 슈바르츠실트 해(solution) : 메트릭 텐서의 아인슈타인 방정식의 해로서의 의미를 강조
3. 슈바르츠실트 시공간(spacetime) : 메트릭 텐서로부터 재구성되어 여러 관련 현상을 일으키는 물리적 시공간 자체를 의미
이 세 가지는 사실상 같은 의미이지만, 이와 같은 뉘앙스의 차이가 있다.
3. 역사
슈바르츠실트 해는 일반 상대성 이론을 기반으로 중심 천체가 만드는 정적 중력장에서의 일체 문제를 해결하기 위한 과정에서 도입되었다. 알베르트 아인슈타인이 1915년 11월 18일에 오랜 난제였던 수성의 근일점 세차 운동 문제를 일반 상대성 이론을 통해 해결한 것[Einstein(1915)]이 일반 상대론 기반 일체 문제의 시초라고 할 수 있지만, 근거로 삼은 중력장 해가 직교 좌표계 기반이었으며 근사적 풀이였다.일체 문제를 다루는 중력장에 대한 최초의 엄밀한 해는 1915년 12월 독일 물리학자 카를 슈바르츠실트(1873~1916)가 제시하였다.[Schwarzschild(1916)] 러시아 전선에서 복무중이었던 그는 자신의 풀이와 논문을 아인슈타인에게 전달하고 아인슈타인이 1916년 1월 대신 프로이센 학회에 제출해주었다. 이것이 지금의 슈바르츠실트 해이며, 해의 명칭도 그의 이름을 딴 것이다. 다만, 슈바르츠실트는 아인슈타인이 초기에 제시했던 좌표 제한에 따른 방정식을 풀어서 지금의 해와 약간 다르며, 특히 슈바르츠실트 반지름을 좌표 설정으로 [math(r=0)]에 두었다는 차이가 있다.
이후 완성된 (좌표 조건이 제거된) 방정식을 기반으로 수학자 요하네스 드로스테(Johannes Droste, 1886~1963)[Droste(1917)][4], 다비드 힐베르트(David Hilbert, 1862~1943)[Hilbert(1916)][6], 헤르만 바일(Hermann Weyl, 1885~1955)[Weyl(1919)] 등이 차례로 여러 좌표 설정을 통해 동등한 해를 제시하였다. 아인슈타인은 헤르만 바일의 풀이를 선호하여 1921년 프린스턴 강의에서 인용하였다.[8][9] 1922년 발견된 버코프 정리(Birkhoff Theorem)에 의해, 이들이 발견한 해는 모두 동치이며 좌표 변환으로 서로 유도된다는 것이 증명되었다.
===# 카를 슈바르츠실트의 계산식(1916) #===
다음은 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 1916년에 발표한 아인슈타인 방정식의 크리스토펠 기호 행렬(표기는 편미분)이다.[10][가]
[math( \Gamma _{11}^{1}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}},\quad \Gamma _{22}^{1}=+{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}{\dfrac {1}{1-x_{2}^{2}}}, \Gamma _{33}^{1}=+{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\left(1-x_{2}^{2}\right),\quad \Gamma _{44}^{1}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}},)]
[math( \Gamma _{21}^{2}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{2}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}},\quad \Gamma _{22}^{2}=-{\dfrac {x_{2}}{1-x_{2}^{2}}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-x_{2}\left(1-x_{2}^{2}\right),)]
[math( \Gamma _{31}^{3}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{2}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}},\quad \Gamma _{32}^{3}=+{\dfrac {x_{2}}{1-x_{2}^{2}}},)]
[math( \Gamma _{41}^{4}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{4}}}{\dfrac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}})]
4. 슈바르츠실트 해
| [math(\displaystyle \begin{aligned} ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2r} \right)c^2dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2r} \right)^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2 \end{aligned})] |
| |
| Flamm's paraboloid 슈바르츠실트 외부 해(exterior solution)의 공간 성분 도식화[12] |
슈바르츠실트 계량은 다음 조건으로 구성되어 있다.
(1) 시공간은 구형대칭(sphericall symmetric)이며 정적이다(static).
(2) 점근적으로 평평하다(Asymtotically flat).
(3) 우주 상수 [math(\Lambda)]는 [math(0)]이다.
(1), (2)는 슈바르츠실트 좌표계(2) 점근적으로 평평하다(Asymtotically flat).
(3) 우주 상수 [math(\Lambda)]는 [math(0)]이다.
[math(ds^2 = -e^{2\Phi(r)}\mathrm{d}t^2 + e^{2\Lambda(r)}\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\Omega^2)]
를 도입할 수 있도록 해준다. (이 좌표계에 대한 자세한 내용은 슈바르츠실트 좌표계 문서 참고.) 다음으로 천체가 좌표계에 대하여 정지한 완전 유체(perfect fluid)로 이루어져 있다고 가정하여 스트레스 에너지 텐서를 구한 다음, 좌표계에 대한 아인슈타인 방정식을 풀면 된다. (좁은 의미에서 슈바르츠실트 계량이라 불리는) 외부해, 즉 진공해는 스트레스 에너지 텐서가 0일 때 얻는다.
외부해와 달리 내부해는 별의 상태에 관한 몇 가지 조건(밀도, 압력)에 있어서 보다 신중한 접근을 통해 물리적으로 가능성 있는 모델을 세워나가야 한다. 가령 슈바르츠실트는 유체의 밀도가 항상 일정하다는 조건을 걸어서 내부해를 완성하였다.
4.1. 별의 상태 방정식
이 문서에서는 특별한 언급이 없는 한 기하단위계 [math(G = c = 1)]을 사용한다. 먼저, 별의 내부 구조를 결정하는 몇 가지 매개변수가 필요하다. 별은 완전 유체(Perfect fluid)로 구성되어 있다고 가정하자. 이로부터 다음과 같이 관련 매개변수를 도입할 수 있다. 이들은 모두 유체의 국소적 정지계(rest frame)에서 정의되었으며, [math(r)]에만 의존한다고 가정할 수 있다. (유체에 관한 자세한 설명은 상대론적 유체 참고.)- [math(\rho(r))] : 에너지 밀도(energy density)
- [math(p(r))] : 압력(pressure)
- [math(n(r))] : 입자의 개수 밀도(number density)
- [math(U(r))] : 유체의 4-속도
- [math(T_{\mu\nu} = (\rho + p)U_{\mu}U_{\nu} + pg_{\mu\nu})] : 유체의 스트레스 에너지 텐서
첫번째로 스트레스 에너지 텐서를 계산해보자. 이를 위해서는 유체의 4-속도를 먼저 결정해야 한다. 별은 (좌표계에 대해) 정지한 상태이므로, [math(U^r = U^{\theta} = U^{\phi} = 0)]으로 설정할 수 있다. 이 때
[math(\vec{U}\cdot\vec{U} = g_{\mu\nu}U^{\mu}U^{\nu} = -e^{2\Phi}(U^0)^2 = -1)]
이므로,
[math(U^0 = e^{-\Phi}, \quad U_0 = -e^{\Phi})]
를 얻는다. 따라서, [math(T_{\mu\nu})]의 각 성분은 다음과 같이 계산된다. 비대각 성분은 모두 [math(0)]이다.
[math(T_{00} = \rho e^{2\Phi}, \quad T_{rr} = pe^{2\Lambda})]
[math(T_{\theta\theta} = r^2p, \quad T_{\phi\phi} = r^2p\sin^2\theta)]
[math(T_{\theta\theta} = r^2p, \quad T_{\phi\phi} = r^2p\sin^2\theta)]
이제, 논의를 단순하게 만들기 위해 유체의 압력 [math(p)]와 밀도 [math(\rho)]가 개수 밀도 [math(n)]에만 의존한다고 가정할 수 있다. 일반적으로는 본래 온도 [math(T)]나 엔트로피 [math(s)]를 추가로 알아야 하나, 상대론이 중요해지는 천체들은 모두 엔트로피를 [math(r)]에 의존하지 않는 상수로 근사시킬 수 있다. (자세한 논의는 MTW gravitation (1973) p.599를 참고할 수 있다.) 이렇게 정의된 다음 방정식을 별의 상태 방정식(equations of state)이라 부른다.
[math(p(n, s) = p(n), \quad \rho(n, s) = \rho(n))]
4.2. 별의 구조 방정식
별의 상태에 의해 결정되고, 외부의 시공간 구조를 결정하는 [math(\Phi(r))]과 [math(\Lambda(r))]를 일반적으로 구조 방정식(equations of structure)이라 부른다. 아인슈타인 방정식에 본격적으로 대입하기 전에 에너지-운동량 보존법칙[math(T^{\mu\nu}_{\quad;\nu} = 0)]
을 살펴볼 수 있다. (일반적으로, 10개의 아인슈타인 방정식을 바로 푸는 것보다 에너지 보존법칙으로 4개를 먼저 해결하는 것이 훨씬 수월하다.) 대칭성에 의해, 이 항등식은 다음 [math(\mu = r)] 성분만이 남는다.
[math(\displaystyle (\rho + p)\frac{d\Phi}{dr} = -\frac{dp}{dr})]
이제, 아인슈타인 방정식을 풀 차례이다. 아인슈타인 텐서의 [math(00)] 성분을 살펴보면 (각종 수치는 슈바르츠실트 좌표계 문서 참고.)
[math(\displaystyle G_{00} = \frac{1}{r^2}e^{2\Phi}\frac{d}{dr}\left[r(1-e^{-2\Lambda})\right])]
에서, 편의상
[math(\displaystyle m(r) = \frac{1}{2}r(1 - e^{-2\Lambda}))]
라 설정한다. 그러면
[math(\displaystyle g_{rr} = e^{2\Lambda} = \left(1-\frac{2m(r)}{r}\right)^{-1})]
이 되며, 아인슈타인 방정식 [math(G_{00} = 8\pi T_{00})] 및 [math(G_{rr} = 8\pi T_{rr})]은 다음과 같다.
[math(\displaystyle 00 \,\rightarrow\, \frac{dm(r)}{dr} = 4\pi r^2\rho)] [math(\displaystyle rr \,\rightarrow\, \frac{d\Phi}{dr} = \frac{m(r) + 4\pi r^3p}{r\left[r-2m(r)\right]})] |
으로 정리된다. 두번째 식은 [math((\rho + p)d\Phi/dr = -dp/dr)]로부터
[math(\displaystyle \frac{dp}{dr} = -\frac{(\rho + p)(m + 4\pi r^3p)}{r(r-2m)})]
으로 바꿀 수 있는데, 이를 톨만-오펜하이머-볼코프(Tolman–Oppenheimer–Volkoff) 방정식 혹은 TOV 방정식이라 한다. 이 방정식에 대한 자세한 내용은 문서를 참고한다.
- 일반상대론적 천체 모델과 고전역학적 천체 모델
| 일반 상대성 이론 | 고전 역학 |
| [math(\displaystyle (\rho + p)\frac{d\Phi}{dr} = -\frac{dp}{dr})] | [math(\displaystyle \rho\frac{d\Phi}{dr} = -\frac{dp}{dr})] |
| [math(\displaystyle \frac{dp}{dr} = -\frac{(\rho + p)(m + 4\pi r^3p)}{r(r-2m)})] | [math(\displaystyle \frac{dp}{dr} = -\frac{\rho m}{r^2})] |
두번째 식은 다음과 같이 [math(r)]을 고유 거리로 계산해야 정확히 비교할 수 있다.
일반 상대론 : [math(\displaystyle \frac{dp}{d(\text{proper radial distance})} = \frac{dp}{e^{\Lambda}dr})][13][math(\displaystyle = -\frac{(\rho + p)(m + 4\pi r^3p)}{r^2(1-2m/r)^{1/2}})] 고전 역학 : [math(\displaystyle \frac{dp}{d(\text{proper radial distance})} = \frac{dp}{dr} = -\frac{\rho m}{r^2})] |
이로부터 알 수 있는 가장 중요한 사실은 기본적으로 일반 상대론에서 예측하는 압력의 증가율이 더 크다는 것이다. 이 압력은 기본적으로 별의 자체 중력을 견디기 위한(혹은 좌표계에 대하여 가만히 있기 위해 바깥으로 가속하는[14]) 것이므로, 일반 상대성 이론이 예측하는 중력은 고전 역학이 예측하는 중력보다 더 크다고 압축 설명할 수 있다. 뿐만 아니라, 우변에 [math(p)]가 들어가 있기 때문에 압력을 더 크게 증가시킬수록 더 깊은 곳에서는 훨씬 빠르게 압력을 증가시켜야 한다(self-regenerating 또는 self-defeated).
4.3. 외부해
별의 바깥으로 나가면, [math(\rho = p = 0)]이 된다. 따라서,[math(\displaystyle \frac{dm}{dr} = 0, \quad \frac{d\Phi}{dr} = \frac{m}{r(r-2m)})]
이 된다. 즉,
[math(\displaystyle m(r) = M, \quad g_{00} = e^{2\Phi} = 1-\frac{2M}{r})]
을 얻는다. 여기에서 [math(M)]은 상수이며 두번째 식은 [math(r \rightarrow \infty)]일 때 [math(\Phi \rightarrow 0)]임을 이용한 것이다. (이들은 사실 진공 방정식 [math(G_{00} = 0, G_{rr} = 0)]을 푼 것이다.) 이로부터, 다음 슈바르츠실트 계량(Schwarzschild metric)
[math(\displaystyle ds^2 = -\biggl(1 - \frac{2M}{r} \biggr)dt^2 + \biggl(1 - \frac{2M}{r} \biggr)^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2)]
을 얻는다. [math(r)]이 충분히 클 때, 슈바르츠실트 계량의 [math(M)]은 뉴턴 역학에서 별의 총 질량과 대응되며 더 나아가 이 시공간은 민코프스키 공간에 수렴한다. 여기서 흔히 [math(r_{s} = 2M)]이라 두어,
[math(\displaystyle ds^2 = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) dt^2 + \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right)^{-1} dr^2 + r^2\Omega^2)]
라고 표기한다. 이 [math(r_{s})]를 슈바르츠실트 반경(Schwarzschild radius)이라고 한다. 여기서는 [math(G=c=1)]이라 두었으므로 단위를 살리면 [math(\displaystyle r_s = \frac{2GM}{c^2})]이다.
4.4. 내부해
[math(\displaystyle \frac{dm}{dr} = 4\pi r^2\rho)] [math(\displaystyle \frac{dp}{dr} = -\frac{(\rho + p)(m + 4\pi r^3p)}{r(r-2m)} \quad)] (TOV 방정식) [math(\displaystyle \frac{d\Phi}{dr} = \frac{m + 4\pi r^3p}{r(r-2m)})] |
을 각각 [math(r)]에 대하여 적분함으로써 [math(m(r))], [math(p(r))], [math(\Phi(r))]을 구할 수 있다. 이들 적분값을 하나로 정하기 위해서는 공통적으로 [math(r = 0)]에서의 초기조건이 필요하다. 먼저, 일반적인 경우 [math(m(0) = 0)]이라 둘 수 있다. 한편, [math(p_c := p(0))]은 별의 중심 압력(central pressure)으로써 TOV 방정식의 초기 조건이 되며, 압력은 바깥으로 갈수록 단조 감소하다 별의 경계에서 [math(0)]이 된다. 내부해와 외부해의 연속성을 보장하기 위해, [math(p(R) = 0)]이 되는 [math(r=R)]을 별의 반지름으로 설정한다. 이 때, 별의 총 질량은
[math(\displaystyle M:= m(R) = \int_0^R4\pi r^2\rho \,\mathrm{d}r)]
이 된다. 마지막으로
[math(\displaystyle g_{00}(R) = -\left(1-\frac{2M}{R}\right))]
을 적분 상수로 두면 세 가지 방정식에 대한 해가 모두 완성된다. 하지만 내부해를 결정하기 위해서는 별의 상태 방정식 [math(\rho(r), \,\, p(r))]이 먼저 주어져야 하는데, 이에 대한 모델이 다음에 제시되어 있다.
4.4.1. 슈바르츠실트 내부해(1916)
처음 진공해를 제시한 슈바르츠실트는 얼마 지나지 않아 내부해 또한 제시하였는데, 그는 별의 에너지 밀도 [math(\rho)]가 언제나 일정하다고 가정하였다. 이는 지나치게 단순화된 모델이긴 하나, 중성자별의 경우 실제로 내부 밀도는 거의 일정하며, 다른 모델을 살펴볼 때에도 참고가 될 수 있다.이 경우, [math(m(r))]은 즉각 다음과 같이 결정된다. ([math(R)]은 별의 반지름이다.)
[math(\displaystyle m(r) = \frac{4\pi\rho\,r^3}{3} \quad (r \leq R))]
[math(r \geq R)]에서 [math(\rho = 0)]이므로
[math(\displaystyle m(r) = \frac{4\pi\rho\,R^3}{3} =: M \quad (r \geq R))]
이 된다. 이것은 이 모델에서 별의 총 질량을 나타내며, 슈바르츠실트 질량(Schwarzschild Mass)이라고도 한다.
한편, TOV 방정식은
[math(\displaystyle \frac{dp}{dr} = -\frac{4\pi r}{3}\frac{(\rho + p)(m + 3p)}{1 - 8\pi r^2\rho/3})]
이므로, 중심 압력 [math(p_c)]로부터 다음과 같이 적분할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{\rho + 3p}{\rho + p} = \frac{\rho + 3p_c}{\rho + p_c}\left(1 - \frac{2m}{r}\right)^{1/2})]
이로부터, 다음 관계식들을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle R^2 = \frac{3}{8\pi\rho}\left[1-\frac{(\rho + p_c)^2}{(\rho + 3p_c)^2}\right])]
[math(\displaystyle p_c = \rho\frac{1 - (2M/R)^{1/2}}{3(1-2M/R)^{1/2} - 1})]
[math(\displaystyle p_c = \rho\frac{(1 - 2Mr^2/R^3)^{1/2} - (1 - 2M/R)^{1/2}}{3(1-2M/R)^{1/2} - (1 - 2Mr^2/R^3)^{1/2}})]
[math(\displaystyle p_c = \rho\frac{1 - (2M/R)^{1/2}}{3(1-2M/R)^{1/2} - 1})]
[math(\displaystyle p_c = \rho\frac{(1 - 2Mr^2/R^3)^{1/2} - (1 - 2M/R)^{1/2}}{3(1-2M/R)^{1/2} - (1 - 2Mr^2/R^3)^{1/2}})]
만약 [math(M/R \rightarrow 4/9)]이면 [math(p_c)]는 무한대로 발산함을 알 수 있다. 마지막으로, [math(g_{00}(R) = -(1-2M/R))]이라 두면
[math(\displaystyle e^{\Phi} = \frac{3}{2}\left(1-\frac{2M}{R}\right)^{1/2} - \frac{1}{2}\left(1 - \frac{2Mr^2}{R^3}\right)^{1/2}, \quad (r \leq R))]
를 얻는다.
5. 슈바르츠실트 측지선
측지선은 아인슈타인 방정식의 각각의 특수해를 깊이 이해하기 위한 가장 핵심적인 도구이다. 측지선에 속하는 것은 빛(광자), 입자, 작은 행성 등이 있으며, 이들은 다양한 조건의 천체 주위에서 특징적인 궤도를 그린다. 슈바르츠실트 시공간은 매우 느리게 회전하는 구형 대칭 천체 주위의 공간을 나타내며, 적색 편이, 근일점 세차운동, 빛의 굴절 등 고전 역학이 예측하지 못하는 다양한 현상을 가장 단순하고도 선명하게 보여준다. 이러한 비고전적 효과는 천문학계의 다양한 노력으로 검증이 이루어졌고, 반대로 이러한 현상을 활용하여 천체(펄사 등)의 보다 정확한 질량을 예측하는 등의 활용도 동시에 이루어지고 있다.5.1. 운동 상수
일반 상대성 이론에서는 아무런 힘을 받지 않는 측지선도 다음 항등식[math(g_{\mu\nu}p^{\mu}p^{\nu} = -m^2)]
즉 [math(g_{\mu\nu})]의 변동에 의해 4-운동량 [math(p^{\mu})]의 성분이 보존되지 않는다. 이는 고전 역학의 중력 작용에 대응된다. 비슷하게 어떤 벡터장을 따라 시공간의 점들을 옮겼을 때 시공간이 정확히 똑같은 형태이면, 즉 [math(g_{\mu\nu})]가 벡터장을 따라 보존되면 입자는 이 벡터장을 따라서는 힘(중력)을 받지 않으며 4-운동량의 해당 성분이 보존된다. 이는 그 자체로 측지선을 따라 보존되는 양, 즉 운동 상수(constants of motion)를 제공한다. 이러한 [math(g_{\mu\nu})]의 대칭성이 많을수록 운동 상수는 많아지고 4-운동량의 표현은 간단해진다. 따라서, 효율적으로 측지선을 분석하는 데 있어서 운동 상수를 찾는 것은 최우선순위가 된다. 일반적인 경우에 이렇게 얻는 운동 상수는 사실 고전 물리학의 에너지, 운동량, 각운동량과 대응된다.
일반 상대성 이론에서 운동 상수를 찾는 가장 일반화된 과정은 킬링 벡터장(Killing vector field)이란 것이 제공한다.[15] 간단하게만 언급하자면 킬링 벡터장이란, [math(g_{\mu\nu})]의 리미분(Lie Derivatives)이 0인 벡터장을 말한다.[16] 다시 말해 킬링 벡터장 [math(\xi^{\mu})]는 [math(\mathcal{L}_{\xi} g_{\mu\nu} = 0)]을 만족시키며, 이를 풀면 다음 킬링 방정식(killing equation)을 얻는다.
[math(\nabla_{\mu}\xi_{\nu} + \nabla_{\nu}\xi_{\mu} = 0)]
따라서, 측지선 [math(x^{\mu}(\lambda))]에 접하는 벡터(4-속도 혹은 4-운동량) [math(\displaystyle p^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\lambda})]을 정의하면 이는 다음을 만족시킨다.
[math(\displaystyle \frac{d}{d\lambda}\left(\xi_{\mu}\,p^{\mu}\right) = p^{\sigma}\nabla_{\sigma}\left(\xi_{\mu}\,p^{\mu}\right) = p^{\sigma}p^{\mu}\left(\nabla_{\sigma}\xi_{\mu}\right) + \xi_{\mu}\left(p^{\sigma}\nabla_{\sigma}p^{\mu}\right) = 0)]
첫 항은 [math(\sigma, \mu)]에 관한 대칭성과 킬링 방정식 때문에, 그리고 두번째 항은 측지선 방정식 때문에 사라진다. 따라서 [math(\xi_{\mu}\,p^{\mu})], 즉 [math(p^{\mu})]의 [math(\xi)] 성분은 측지선을 따라 보존되는 양이다. 이것은 킬링 벡터장의 방향에 따라 고전 역학에 잘 대응되는 운동 상수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 시간 방향 킬링 벡터장은 에너지를, 회전 방향 킬링 벡터장은 각 운동량을 정의한다.
만약 킬링 벡터장이 특정 좌표계의 한 기저 벡터장 [math(\vec{e}_{\alpha})]와 일치할 경우,
[math(\displaystyle \xi_{\mu}\,p^{\mu} = (\vec{e}_{\alpha})^{\nu}g_{\mu\nu}p^{\mu} = p_{\alpha})]
이므로 다음과 같이 표현할 수도 있다.
[math(\displaystyle \frac{dp_{\alpha}}{d\lambda} = 0)]
즉, "공변" 4-속도 혹은 4-운동량의 해당 성분이 측지선을 따라 보존된다고 말할 수 있다.[17] ([math(p_{\mu})]의 보존은 보다 초보적인 방법으로 증명할 수 있다. 다음을 살펴보자.)
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[math(\displaystyle p^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\lambda})]가 정의하는 측지선 방정식[math(\displaystyle p^{\alpha}p^{\mu}_{\,\,\,;\alpha} = 0)]
[math(\displaystyle p^{\alpha}p_{\mu;\alpha} = 0)]
에서[math(\displaystyle \begin{aligned}p^{\alpha}p_{\mu,\alpha} &= p^{\alpha}\Gamma^{\beta}_{\mu\alpha}p_{\beta} = \frac{1}{2}p^{\alpha}g^{\beta\sigma}(g_{\sigma\mu, \alpha} + g_{\sigma\alpha, \mu} - g_{\mu\alpha, \sigma})p_{\beta} \\&= \frac{1}{2}(g_{\sigma\mu, \alpha} + g_{\sigma\alpha, \mu} - g_{\mu\alpha, \sigma})p^{\alpha}p^{\sigma} \end{aligned})]
이다. 그런데 [math(p^{\alpha}p^{\sigma})]는 [math(\alpha, \sigma)]에 대하여 대칭이고, [math(g_{\sigma\mu, \alpha} - g_{\mu\alpha, \sigma})]는 반대칭이므로 그 곱은 사라진다. 즉,[math(\displaystyle p^{\alpha}p_{\mu,\alpha} = \frac{dp_{\mu}}{d\lambda} = \frac{1}{2}g_{\sigma\alpha, \mu}p^{\alpha}p^{\sigma})]
를 얻는다. 즉, 메트릭 텐서의 성분 [math(g_{\mu\nu})]가 [math(x^{\alpha})] 방향에 대하여 변화하지 않으면, [math(p_{\alpha})]는 측지선 [math(x^{\mu}(\lambda))] 위에서 보존된다.
이제 본론으로 돌아오면, 슈바르츠실트 해에는 4개의 킬링 벡터장이 있다. 하나는 시간 대칭을, 세 개는 회전 대칭을 나타낸다. 고전역학에서 시간 대칭성을 나타내는 킬링 벡터장은 에너지(스칼라)의 보존, 회전 대칭성을 띠는 킬링 벡터장은 각운동량(3-벡터)의 보존과 대응된다. 이 때, 각운동량의 보존은 크기의 보존과 방향의 보존으로 나눌 수 있는데, 방향의 보존은 입자 또는 광자가 (원점을 지나는) 정해진 평면에서만 운동한다는 것으로 해석할 수 있다.
시간 대칭을 표현하는 킬링 벡터장은 [math(\vec{\xi}_t = \vec{e}_{t} = (1, 0, 0, 0))], 회전 대칭을 표현하는 킬링 벡터장은 측지선이 놓이는 평면을 [math(\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2})]로 고정시켰을 때 [math(\vec{\xi}_\phi = \vec{e}_{\phi} = (0, 0, 0, 1))]로 정할 수 있다. 이처럼 킬링 벡터장이 어떤 좌표 기저 벡터장과 일치하므로, 운동 상수는 공변 4-운동량의 성분으로 표현할 수 있다. 이제, 각각에 대응하는 운동 상수를 다음과 같이 정의한다.
[math(\displaystyle E := -p_{0} = -g_{00}p^0 = \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\frac{dt}{d\lambda})]
[math(\displaystyle L := p_{\phi} = g_{\phi\phi}p^{\phi} = r^2\sin^2\theta\frac{d\phi}{d\lambda} = r^2\frac{d\phi}{d\lambda})]
[math(\displaystyle L := p_{\phi} = g_{\phi\phi}p^{\phi} = r^2\sin^2\theta\frac{d\phi}{d\lambda} = r^2\frac{d\phi}{d\lambda})]
5.2. 적색 편이
슈바르츠실트 좌표계 [math((r, \theta, \phi))]에 대하여 정지한, 즉 순간적인 4-속도 [math(\vec{U})]가 [math(\vec{e}_0)]과 나란한 관찰자를 생각하자. 관찰자는 4-운동량이 [math(\vec{p})] 인 신호(빛)을 방출하거나, 수신한다고 가정했을 때 빛의 에너지는 다음과 같이 계산할 수 있다.[math(E_{\text{observer}} = h\nu_{\text{observer}} = -\vec{p}\cdot\vec{U})]
이 때, [math(\vec{U}\cdot\vec{U} = g_{00}(U^0)^2 = -1)]임을 이용하면
[math(\displaystyle U^0 = \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1})]
가 된다. 한편, [math(p_0 = g_{00}(\vec{e}_0)^0p^0 = -E)]라 두면, 이는 빛의 측지선 상에서 보존된다.
[math(\displaystyle E_{\text{observer}} = h\nu_{\text{observer}} = -p_0U^0 = \frac{E}{\displaystyle \sqrt{1-\frac{r_s}{r}}})] |
를 얻는다. [math(r \rightarrow \infty)]일 때 [math(E_{\text{observer}} = E)]이므로, [math(E)]는 무한히 멀리 떨어진 곳에 있는 관찰자가 받아들인 빛의 에너지임을 알 수 있다.
[math(r = r_1)]에 놓인 관찰자 1과 [math(r = r_2)]에 놓인 관찰자 2가 동일한 빛을 공유했을 때, 이들이 받아들이는 진동수의 비율은
[math(\displaystyle \frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\sqrt{1-r_s/r_1}}{\sqrt{1-r_s/r_2}})]
가 된다. 반대로 적색편이의 값은
[math(\displaystyle 1+z =\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\sqrt{1-r_s/r_2}}{\sqrt{1-r_s/r_1}})]
이 된다. [math(r_s)]는 매우 작으므로, 이는
[math(\displaystyle \begin{aligned} 1+z \approx &\left(1-\frac{r_s}{2r_2}\right)\left(1+\frac{r_s}{2r_1}\right) \approx 1-\frac{r_s}{2r_2} + \frac{r_s}{2r_1} \\= &1 - \frac{GM}{c^2r_2} + \frac{GM}{c^2r_1} \end{aligned})]
과 같다.
5.3. 궤도 방정식
일반 상대성 이론에 따른 주변 천체나, 빛의 궤도는 측지선을 통해 파악할 수 있다. 먼저, 슈바르츠실트 해는 정적이고 회전 대칭성을 띠므로 [math(p_0)]과 [math(p_{\phi})]가 보존된다. 각각에 대하여 입자의 질량 당 에너지 [math(\tilde E)]와 각운동량 [math(\tilde L)]을 다음과 같이 정의한다. 광자는 질량이 없으므로 그냥 에너지([math(E)])와 각운동량([math(L)])에 대응된다.입자 : [math(- p_0/m = \tilde E,\quad p_{\phi}/m = \tilde L)]
광자 : [math(- p_0 = E,\quad p_{\phi} = L)]
광자 : [math(- p_0 = E,\quad p_{\phi} = L)]
한편, 슈바르츠실트 해는 구형 대칭이므로 입자와 광자는 곡면 [math(\theta = \pi/2)] 위에서 운동한다고 가정할 수 있다. 이 때, [math(g_{\phi\phi} = r^2)]이다. 이제, 입자의 운동량 성분을 다음과 같이 구할 수 있다. 광자는 에너지와 각운동량의 물결표를 제거하고 [math(\tau)]가 정의되지 않으므로 어떤 아핀 매개변수(affine parameter)인 [math(\lambda)]로 바꾸면 동일한 식을 얻는다.
[math(\quad\displaystyle \begin{aligned} &p^0 = m\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} = g^{\mu 0}p_{\mu} = g^{00}p_0 = m\frac{\tilde E}{1-r_s/r} \\ &p^r = m\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau} \\ &p^\phi = m\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\tau} = g^{\phi \phi}p_{\phi} = m\frac{\tilde L}{r^2}, \quad p^{\theta} = 0 \end{aligned})]
여기서 결정되지 않은 것은 시간에 대한 [math(r)]의 변화, 즉 [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau})]이다. 운동량의 크기가 항상 [math(p^{\mu}p_{\mu} = -m^2)](광자는 [math(m = 0)])임을 이용하면 다음을 얻는다.
| 입자[math(\,\,)] | [math(\,\,\displaystyle \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right)^2 = \tilde E^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(1+ \frac{\tilde L^2}{r^2}\right))] |
| 광자[math(\,\,)] | [math(\,\,\displaystyle \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2 = E^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\frac{L^2}{r^2})] |
이것이 슈바르츠실트의 측지선(운동 방정식)을 분석하는 가장 기본적인 방정식이다. 여기에서, 유효 퍼텐셜(effective potential) [math(\tilde V^2(r))] (제곱이 아니다.)을 다음과 같이 정의한다.
| 입자[math(\,\,)] | [math(\,\,\displaystyle \tilde V^2(r) = \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(1+ \frac{\tilde L^2}{r^2}\right))] |
| 광자[math(\,\,)] | [math(\,\,\displaystyle V^2(r) = \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\frac{L^2}{r^2})] |
유효 펴텐셜은 공통적으로 [math(\displaystyle \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right)^2 = \tilde E^2 - \tilde V^2)]을 만족시킨다. 좌변은 입자(광자)의 운동 에너지, 우변은 총 에너지와 퍼텐셜의 차이에 대응된다. 유효 퍼텐셜은 총 에너지보다 클 수 없으며, [math(r)] 방향의 속도(운동 에너지)는 유효 퍼텐셜이 작아질수록 커지고 유효 퍼텐셜이 커질수록 작아진다. 실제로 이 식의 양변을 미분하여 비교해보면
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}\tau^2} = - \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\tilde V^2}{\mathrm{d}r})]
으로, [math(r)] 방향 가속도(힘)은 유효 퍼텐셜의 [math(r)] 방향 미분의 음수에 대응되며, 이러한 논의는 고전 역학과 잘 대응된다. (현재 정의의 절반을 유효 퍼텐셜로 정의한다면 더 잘 맞는다.)
한편, 유효 퍼텐셜의 각 항을 다음과 같이 분석할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{1}{2}\tilde V^2 = \frac{1}{2} - \frac{r_s}{2r} + \frac{\tilde L^2}{2r^2} - \frac{r_s\tilde L^2}{2r^3})]
첫번째는 상수(정지 에너지), 두번째는 고전적 중력 퍼텐셜, 세번째는 구심력에 대응된다. 마지막은 일반 상대성 이론에서 추가되는 보정항으로, 뉴턴의 중력에 추가되는 힘(상대론적 효과)이라고 볼 수 있다. 혹은,
[math(\displaystyle \tilde U^2 = - \frac{r_s}{2r} - \frac{r_s\tilde L^2}{2r^3})]
로 정리하여 일반 상대성 이론의 중력 퍼텐셜로 보고, 뉴턴 중력은 첫번째 항만을 설명하는 근사 법칙으로 볼 수도 있다.
5.3.1. 입자의 궤도
슈바르츠실트 측지선을 통해 입자 및 광자의 궤도를 분석하는 방법은 고전 역학에서 중심력을 다루는 방법과 크게 다르지 않다. 다만 3차 항이 추가되면서 그래프의 모양 및 극점의 위치가 조금 변화했을 뿐이다. 마찬가지로, 입자의 운동은 주어진 [math(\tilde L)]로 [math(\tilde V^2(r))]의 그래프가 결정된 후 [math(\tilde E^2)]의 크기에 따라 정해지며, 예를 들어, 그림의 상황에서 입자의 궤도는 다음 세 가지 유형을 살펴볼 수 있다. 출발한 [math(r)]의 값과도 연관이 있으나, 같은 방식으로 분석할 수 있다. 주의할 점은, 이것은 [math(\phi)] 방향을 생략한 그림이라는 것이다. 실제로 [math(\tilde L)]을 갖는 입자(광자)는 회전하면서 이러한 그래프를 그리게 된다.
(1) [math(\tilde E^2 > \tilde E_A^2)] : 입자가 멀리서 중심 별을 향해 떨어졌다고 하면, [math(\tilde V^2 = \tilde E^2_B)]에서 (방사선 상의) 속력이 극대가 되며, 그 다음 [math(\tilde V^2 = \tilde E^2_A)]에서 다시 속력이 극소가 되는 과정을 거친 후 장벽을 허물고 결국 중심 천체로 빨려들어간다.
(2) [math(\tilde E_B^2 < \tilde E^2 < \tilde E_A^2)] : 입자는 멀리서 중심 별을 향해 떨어지다, [math(\tilde V^2 = \tilde E^2_A)]의 벽을 넘지 못하고 다시 빠져 나간다. [math(\tilde E^2 > 1)]에서 출발한 경우가 아니라면, 입자는 바깥에서 다시 속력을 잃고 안쪽으로 돌아오는 것을 반복하면서 하나의 궤도를 형성할 것이다.
(3) [math(\tilde E^2 < \tilde E_B^2)] : 입자는 극대점 안쪽에만 놓일 수 있으며, 큰 변수 없이 중심 별을 향해 떨어지게 된다.
일반적으로 입자는 가속도가 [math(0)]인, 즉 [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}\tilde V^2}{\mathrm{d}r} = 0)]인 곳에서 [math(r)]이 고정된 궤도(즉, 원궤도)를 갖게 되는데, 그림에서는 [math(\tilde V^2 = \tilde E^2_A)]와 [math(\tilde V^2 = \tilde E^2_B)]가 그러하다. 그러나 [math(\tilde V^2 = \tilde E^2_A)]의 경우 양쪽으로 조금만 움직여도 가속도 방향이 바깥쪽을 향하므로 불안정한 궤도이다. 반면 [math(\tilde V^2 = \tilde E^2_B)]의 경우 양쪽에서 가속도 방향이 안쪽을 향하므로, 안정적인 궤도가 된다. (따라서, 원궤도로부터의 약간의 오차는 [math(r)]의 진동을 만들어 타원 궤도와 유사한 형태가 나타난다.) 이것을 만족시키는 반지름의 해를 구하려면 다음 방정식을 풀면 된다.(2) [math(\tilde E_B^2 < \tilde E^2 < \tilde E_A^2)] : 입자는 멀리서 중심 별을 향해 떨어지다, [math(\tilde V^2 = \tilde E^2_A)]의 벽을 넘지 못하고 다시 빠져 나간다. [math(\tilde E^2 > 1)]에서 출발한 경우가 아니라면, 입자는 바깥에서 다시 속력을 잃고 안쪽으로 돌아오는 것을 반복하면서 하나의 궤도를 형성할 것이다.
(3) [math(\tilde E^2 < \tilde E_B^2)] : 입자는 극대점 안쪽에만 놓일 수 있으며, 큰 변수 없이 중심 별을 향해 떨어지게 된다.
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}\tilde V^2}{\mathrm{d}r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left[\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(1+ \frac{\tilde L^2}{r^2}\right)\right] = 0)]
다음은 각 [math(\tilde L)]에 대한 [math(\tilde V^2(r))]의 그래프를 나타낸 것이며, 아래에서부터 차례대로 [math((\tilde L/r_s)^2 = 1, 2, 3, 4, 5)]에 해당하는 그래프이다. 점선은 각 그래프 위의 극점을 표시한 것으로 위 방정식의 해를 나타내며, 안정적이거나 불안정한 원궤도의 반지름과 같다. 표와 같이 세 가지 경우가 있다.
| | [math(\tilde L > \sqrt{3}r_s)] | [math(\displaystyle r = \frac{\tilde L^2 \pm \sqrt{\tilde L^4 - 3r_s^2\tilde L^2}}{r_s})] | 큰 값은 안정적 궤도 작은 값은 불안정한 궤도 |
| | [math(\tilde L = \sqrt{3}r_s)] | [math(\displaystyle r = \frac{\tilde L^2}{r_s} = 3r_s)] | 불안정한 궤도[18] |
| | [math(\tilde L < \sqrt{3}r_s)] | – | 궤도 없음 |
그림에서 살펴볼 수 있듯이, [math(\tilde L)]이 클수록 원심력 효과로 가능한 궤도의 선택폭이 넓어진다. [math(\tilde L < \sqrt{3}r_s)]부터는 입자가 궤도를 유지할 수 없고 언제나 중심 별로 빨려 들어간다.
마지막으로, 입자의 각운동량 [math(\tilde L)]과 (불)안정적 궤도 [math(r)]의 관계를 나타낸 그래프를 통해 고전 역학과 일반 상대성 이론을 비교해보자. 고전 역학에서는 어느 각운동량에서나 안정적 궤도가 하나 존재하며, 궤도의 반지름은 임의적이다. 그러나 일반 상대성 이론에서는 어느 이상의 각운동량이 확보되지 않으면 궤도는 존재하지 않으며, 그 이상부터는 안정적 궤도(큰 값), 불안정 궤도(작은 값) 두 개가 존재하게 된다. 그리고 그 경계에서는 불안정한 궤도 [math(r = 3r_s)]가 하나 존재한다. 이로부터, 일반 상대성 이론에서 입자가 가질 수 있는 최소의 안정적 궤도 반지름은 [math(r = 3r_s)]임을 알 수 있다.
5.3.2. 광자의 궤도
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d} V^2}{\mathrm{d}r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left[\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\frac{L^2}{r^2}\right] = 0)]
을 풀면, 다음과 같이 단 하나의 경우만 남는다.
[math(r=3r_s/2)]
이는 불안정한 궤도이나, 빛이 하나의 궤도를 이루는 해를 가진다는 점은 주목할 만하다. 블랙홀의 빛 구 개념은 여기에서 온 것이다.
5.4. 근일점 세차운동
뉴턴 역학에서 행성의 궤도는 한바퀴, 즉 [math(\Delta \phi = 2\pi)]마다 주기가 완료되며, 닫힌 타원이다. 따라서 [math(r)]도 [math(2\pi)]라는 주기를 갖는다. 일반 상대성 이론에서는 보정항 때문에 [math(r)]의 주기가 약간 길어지며, 근일점(perihelion)[19]도 약간 회전한다. 이 때 [math(r)]이 최소가 되는 점을 근일점이라 하므로, 근일점이 얼마나 회전하는지 알려면 [math(r(\phi))]의 주기를 구하면 된다. 운동 방정식으로부터 [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi} = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}/\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\tau})]를 계산하고, 이를 정리하면 [math(1/r)]이 [math(k\phi)]에 대한 삼각함수로 정리된다. 따라서 [math(2 \pi/k - 2\pi)]가 근일점의 주기 당 이동량이 된다.먼저
[math(\begin{cases} \displaystyle \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right)^2 = \tilde E^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(1+ \frac{\tilde L^2}{r^2}\right) \\ \,\,\displaystyle \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\tilde{L}}{r^2} \end{cases})]
에서
[math(\displaystyle \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi}\right)^2 = \frac{\tilde E^2 - \left(1-r_s/r\right)\left(1+ \tilde L^2/r^2\right)}{\tilde{L}^2/r^4})]
이고, 여기서 [math(u=1/r)]이라 두면
[math(\displaystyle \left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\phi}\right)^2 = \frac{\tilde E^2}{\tilde L^2} - (1-r_su)\left(u^2 + \frac{1}{\tilde L^2}\right))]
을 얻는다. 먼저, 뉴턴 중력은 [math(u^3)] 항을 무시했을 때 얻게 된다. [math(u)]가 상수인 원형 궤도를 가정했을 때 [math(u = r_s/2\tilde L^2)]이므로, 이로부터의 오차를 표현하기 위해 [math(\displaystyle s = u - \frac{r_s}{2\tilde L^2})]이라 둔다. 그러면,
[math(\displaystyle \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\phi}\right)^2 = \frac{\tilde E^2 - 1}{\tilde L^2} + \frac{r_s^2}{4\tilde L^4} - s^2)]
을 얻는다. [math(s^2 + (\mathrm{d}s/\mathrm{d}\phi)^2 = A^2)] 꼴이므로, [math(s)]는 명백히 삼각함수(주기함수)이다. 이로부터
[math(\begin{cases} \displaystyle s = A\cos(\phi + B) \\ \displaystyle A = \sqrt{\frac{\tilde{E}^2 + r_s^2/4\tilde{L}^2 -1}{\tilde L^2}} \end{cases})]
이고, [math(\displaystyle r = \frac{1}{s + r_s/2\tilde L^2})]이므로 이 곡선은 명백히 타원이다. 이 때 근일점을 [math(r_{\mathrm P} = a(1-e))], 원일점을 [math(r_{\mathrm A} = a(1+e))]라 하면[20], 이들은
[math(\displaystyle \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\phi}\right)^2 = \frac{\tilde E^2 - 1}{\tilde L^2} + \frac{r_s^2}{4\tilde L^4} - \left(\frac{1}{r} - \frac{r_s}{2\tilde L^2}\right)^2 = 0)]
의 두 해이다. 이로부터 [math(\displaystyle \frac{1}{r_{\mathrm P}} + \frac{1}{r_{\mathrm A}} = \frac{2}{a(1-e^2)} = \frac{r_s}{\tilde L^2})]을 얻을 수 있다.
[math(u^3)]을 무시하지 않았을 때, 식은 좀 더 복잡해져서 (모두 전개한 뒤 [math(s^3)]을 무시하면)
[math(\displaystyle \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\phi}\right)^2 = \frac{\tilde E^2 + r_s^2/4\tilde L^2 - 1}{\tilde L^2} + \frac{r_s^4}{8\tilde L^6} + \frac{3r_s^3}{4\tilde L^4}s - \left(1 - \frac{3r_s^2}{2\tilde L^2}\right)s^2)]
을 얻는다. 하지만 이 역시, 삼각함수의 주기를 조금 조정하면 적합한 해를 얻을 수 있다.
[math(\begin{cases} \displaystyle s = A\cos(k\phi + B) + C \\ \displaystyle k = \sqrt{1 - \frac{3r_s^2}{2\tilde L^2}} \end{cases})]
여기에서 주기 당 근일점의 이동량을 알기 위해 상수 [math(A, B, C, k)] 중 가장 중요한 건 [math(k)]이다. 이는 [math(\Delta \phi = 2\pi/k)] 당 [math(r)]의 한 주기가 끝남을 의미하며, 따라서 [math(r)]이 최소가 되는 근일점에서 근일점으로 돌아옴을 의미한다. 따라서, [math(2\pi/k - 2\pi)]가 주기 당 근일점의 회전 각도를 의미하게 되며, 이는 약
[math(\displaystyle 2\pi\left(1 - \frac{3r_s^2}{2\tilde L^2}\right)^{-1/2} - 2\pi \approx 2\pi \times \frac{3r_s^2}{4\tilde L^2} = \frac{3\pi r_s^2}{2\tilde L^2})]
이다. 행성의 궤도가 타원과 유사하다면, 근일점 [math(r_{\mathrm P})]와 원일점 [math(r_{\mathrm A})]의 공식을 그대로 사용할 수 있다. 이 때, [math(\displaystyle \tilde L^2 \approx r_sa(1-e^2)/2)]이므로
[math(\displaystyle \Delta \phi \approx \frac{3\pi r_s}{a(1-e^2)} \left(= \frac{6\pi GM}{ac^2(1-e^2)}\right))]
을 얻는다.
역사적으로, 수성의 근일점 세차운동은 1915년 11월 18일 아인슈타인이 처음으로 관련 계산을 해냄으로써 일반 상대성 이론이 뉴턴 이론에 대한 실험적 강점을 증명한 첫번째 증거였다. 태양계의 행성들에 대한 관련 계산 및 관측이 이루어졌으며, 그 결과는 다음과 같다.
| 행성 | 이론값(일반 상대성 이론) | 관측값 |
| 수성(☿) | <colbgcolor=#FFFFFF,#1D1E23> [math(43.03)] | <colbgcolor=#FFFFFF,#1D1E23> [math(43.11 \pm 0.45)] |
| 금성(♀) | [math(8.6)] | [math(8.4 \pm 4.8)] |
| 지구(🜨) | [math(3.8)] | [math(5.0 \pm 1.2)] |
행성이 태양에서 멀수록 상대 오차가 커지는 것은 이심률이 작고, 공전 주기가 길어지면서 관측값 자체가 매우 작아지기 때문이다. (이들은 모두 "100년 동안" 누적된 효과를 나타낸 것이다.) 또한 이러한 값은 실제 천구 상에서 관측되는 세차운동 값에서 뉴턴 이론이 예측하는 세차운동 값을 모두 뺀 후의 값이다. 여기에서 뉴턴 이론이 예측하는 것은, (이곳에서 유도한) 궤도 자체가 갖는 세차운동이 아니라 지구가 회전하면서 이루어지는 관측 기준계의 회전, 기타 행성에 의한 영향을 나타낸 것이다. 예를 들어, 실제로 관측된 수성의 세차운동은
[math(\displaystyle \Delta \phi_{\text{observation}} = 5600.73 \pm 0.41'')]
인데, 이 중 지구 자전에 의한 [math(5025)] 및 뉴턴 섭동 이론에서 계산된 다른 행성에 의한 영향 [math(532)]를 합한
[math(\displaystyle \Delta \phi_{\text{newton}} = 5557.62 \pm 0.20'')]
를 제외한 것이 일반 상대성 이론이 순수하게 예측하는 값이 된다. 일반 상대성 이론 기반 섭동 이론(포스트 뉴턴 근사)에 의한 수치는 매우 작기 때문에([math(\sim 10^{-4}\,)][math('')]) 이는 고려하지 않아도 된다. (Weinberg, Gravitation and Cosmology, 1972; 198 ff. 참고)
한편으로, 태양계의 행성들은 일반 상대성 이론에 의한 보정 효과를 충분히 검증하기에 좋은 환경이 아니다. Hulse-Taylor 펄사 쌍성계로 알려진 PSR B1913+16 은 서로 비교할만한 질량을 가진 두 천체로 이루어져 있으며 비록 (슈바르츠실트) 측지선의 형태는 아니지만, 그만큼 더 큰 세차운동이 일어난다. 두 쌍성 사이의 거리는 [math(1.2 \times 10^9 \text{km})]이며, [math(M = 1.4M_☉ = 2.04 \text{km})]이다. 이를 상단에 제시된 공식에 대입하면 1년에 [math(2°.1)]을 얻는다. 실제로 적절한 포스트 뉴턴 근사를 적용하면, 실제 예측 효과는 무려 1년에 [math(4°.2)]이다. 실제 관측값은 [math(4.2261°\pm 0.0007)]로, 계산된 질량을 기반으로 한 이론값과 대체로 잘 일치한다. 그러나 이를 거꾸로 이용하면 근일점 세차운동은 천체의 질량 계산 및 검증의 한 가지 도구로 활용될 수 있다. 이외에 같이 활용되는 상대론적 효과에는 평행 도플러 효과, 중력 적색 편이 등이 있다. (Schutz, "First Course in General Relativity (2nd edition)", 2009; 291)
5.5. 빛의 굴절
입자(행성) 궤도의 상대론적 효과(Post-Newtonian effect라고 부른다.)에 근일점 세차운동이 있다면, 광자 궤도의 상대론적 효과에는 대표적으로 굴절 현상이 있다. 광자의 운동 방정식은[math(\begin{cases} \displaystyle \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2 = E^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\frac{L^2}{r^2} \\ \,\,\displaystyle \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\lambda} = \frac{L}{r^2} \end{cases})]
이므로, 입자와 반대로 계산해주면
[math(\displaystyle \frac{d\phi}{dr} = \pm \frac{1}{r^2}\left[\left(\frac{E}{L}\right)^2 - \frac{1}{r^2}\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\right]^{-1/2})]
를 얻는다. 여기에서
[math(\displaystyle b := \frac{L}{E})]
를 충격 매개변수(impact parameter)라고 부르는데[21], 이는 사실 뉴턴 중력에서 무조건 직선 궤도를 그리는 광자가 태양에 가장 가까이 접근했을 때 [math(r)]의 값이다. 만약 [math(r_s = 0)] (즉 [math(M = 0)])이면, 시공간은 평평하며 광자의 운동 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \frac{d\phi}{dr} = \pm \frac{1}{r^2}\left(\frac{1}{b^2} - \frac{1}{r^2} \right)^{-1/2})]
이고 [math(u=1/r)]이라 두면
[math(\displaystyle \frac{du}{d\phi} = \pm \sqrt{\frac{1}{b^2} - u^2})]
를 얻는다. 정리하면
[math(\displaystyle r\sin(\phi - \phi_0) = b)]
를 얻으며, 이는 [math(r = b)]를 최솟값으로 갖는 직선의 방정식이다. (공간이 휘어있으면 [math(r)]을 원점으로부터의 거리로 해석할 수 없다.)
한편 [math(r_s ≠ 0)]이면
[math(\displaystyle \frac{d\phi}{du} = \pm \left(\frac{1}{b^2} - u^2 + r_s u^3 \right)^{-1/2})]
이고, 기본적으로는 [math(r = \infty)]에서 다가오는 광자가 [math(d\phi/du =0)]인 [math(r=\beta)]를 지날 때가 전체 궤도의 절반이므로, 각도의 변화는
와 같다. 한편 [math(r \gg r_s)]라 하면
이는 물론 태양에 가까운 곳을 통과할수록 각 이동량이 증가함을 나타낸다. 태양의 경우, 빛이 접근할 수 있는 최대 거리는 태양 반지름인 [math(R_☉ = 6.96 \times 10^5 \text{km})]가 된다. 이것과 태양 질량 [math(M_☉)]을 대입하면 약 [math(1.75'')]를 얻게 된다.
6. 슈바르츠실트 블랙홀
슈바르츠실트 해를 비롯한, 아인슈타인 방정식의 각 점근적 평탄해(Asymptotically Flat Solution)로부터는 특유의 블랙홀 해가 도출된다. (이 때문에 블랙홀 해라고도 부른다.) 일반 상대성 이론에서 블랙홀이란 (아인슈타인 방정식의 해로 특정되는) 각 시공간의 (원점이 아닌) 좌표 특이점으로 이루어진 표면의 내부를 말한다. 이를테면, 슈바르츠실트 해는[math(\displaystyle ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2)]
에서 [math(r = 0)]과 [math(r = r_s)]에서 메트릭 텐서의 성분이 발산한다는 것을 알 수 있다. 이곳에서는 적어도 슈바르츠실트 좌표계로는 적절한 물리적 해석을 적용할 수 없게 된다. 이 중 슈바르츠실트 반지름 [math(r = r_s)]가 만드는 구형 표면을 사건의 지평선이라고 부르며, 일반적으로 슈바르츠실트 블랙홀이라고 부르는 천체의 경계가 된다.
참고로 태양이 그 질량 그대로 블랙홀이 된다면 그 반지름은 3 km 가량의 블랙홀이 되고 지구라면 반경이 8.8 밀리미터 정도의 왕구슬이되고 달은 0.1 mm 정도의 가는 모래 입자 크기로 줄어들어 초미니 블랙홀이 된다.
6.1. 크루스칼 좌표계
슈바르츠실트 좌표계의 성질을 [math(r=r_s)]의 경계와 그 너머에서 직관적으로 확인하기 위해서는 광원뿔(light cone)을 그려보는 것이 좋다. 예를 들어, [math(\mathrm{d}\theta = \mathrm{d}\phi = 0)]에 한정하여 [math(t-r)] 그래프 상에서 광원뿔을 그려보면 다음과 같다.[math(ds^2 = -(1-r_s/r)\mathrm{d}t^2 + (1-r_s/r)^{-1}\mathrm{d}r^2 = 0)] [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}r} = \pm\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1})] |
| |
[math(r = r_s)] 너머의 시공간을 잘 기술하는 좌표계는 지금까지 여럿 발견되었는데, 가장 대표적인 것은 크루스칼 좌표계(Kruskal - Szekeres Coordinates)이다. 이 작업은 1960년대 말에서야 이루어질 정도로 쉽지 않았다. 이 좌표는 다음과 같이 정의된다.
| [math(r>r_s)] | [math(r<r_s)] |
| [math(\displaystyle \quad u = \left(\frac{r}{r_s} - 1\right)^{1/2}e^{r/2r_s}\cosh\frac{t}{2r_s}\quad)] [math(\quad \displaystyle v = \left(\frac{r}{r_s}-1\right)^{1/2}e^{r/2r_s}\sinh\frac{t}{2r_s}\quad)] | [math(\quad\displaystyle u = \left(1 - \frac{r}{r_s}\right)^{1/2}e^{r/2r_s}\sinh\frac{t}{2r_s}\quad)] [math(\quad\displaystyle v = \left(1 - \frac{r}{r_s}\right)^{1/2}e^{r/2r_s}\cosh\frac{t}{2r_s}\quad)] |
크루스칼 좌표계에서의 메트릭 텐서는 다음과 같다.
[math(\displaystyle ds^2 = -\frac{4r_s^3}{r}e^{-r/r_s}(\mathrm{d}v^2 - \mathrm{d}u^2) + r^2\mathrm{d}\Omega^2)] |
이 때, [math(r)]은 [math(\displaystyle \left(\frac{r}{r_s} - 1\right)e^{r/r_s} = u^2 - v^2)]으로 정의된다. 가장 중요한 점은, [math(\mathrm{d}\Omega = 0)]일 때 광원뿔이
[math(\displaystyle ds^2 = -\frac{4r_s^3}{r}e^{-r/r_s}(\mathrm{d}v^2 - \mathrm{d}u^2) = 0)] [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v} = \pm 1)] |
로, 기울기가 고정된다는 것이다. 즉, 크루스칼 좌표계를 통해 광원뿔이 실제로는 닫히지 않는다는 사실을 알 수 있다.
| |
[math((u, v))] 상에서 그래프를 그리면 이와 같다. [math((\theta, \phi))]를 생략했으므로, 각각의 점은 실제로는 2차원 구를 형성한다. 즉, 각각의 직선 [math(t=\text{const})]는 전체 3차원 공간을 나타낸다. 붉은 선은 [math(r=0)], 즉 특이점을 나타내며 그 너머는 의미가 없다. 또한, 지평선([math(r=r_s)])는 네 영역([math(\text{I, II, III, IV})])의 경계가 된다. 각 영역의 의미는 대략적으로 다음과 같다. 먼저, 영역 [math(\text{I})]은 명백하게 지평선 외부 [math(r>r_s)]를, 영역 [math(\text{II})]는 지평선 내부 [math(r<r_s)]를 나타낸다. 영역 [math(\text{III, IV})]의 경우, 일반적으로 천체물리학에서는 무시할 수 있다. 왜냐하면 (질량이 유지된 채) 별이 중력붕괴를 하면 별의 표면은 [math(\text{I})]에서 [math(\text{II})]로 자유 낙하를 하게 되는데, 그 궤적의 오른쪽, 즉 외부만이 측지선 계산에 필요한 슈바르츠실트 외부해를 나타내며, 그 왼쪽, 즉 내부는 별의 내부가 된다. 이 왼쪽에는 [math(\text{III, IV})]도 포함된다. 간단히 의미를 부여하면 [math(\text{III})]는 평행 세계의 외부, [math(\text{IV})]는 화이트홀 내부로 볼 수 있다.
한편 각 점에서 광원뿔은 기울기가 [math(45\degree)]이다. 물체는 지평선까지 가는 동안 모든 [math(t = \text{const})]의 직선을 통과해 지평선에서는 [math(t = \infty)]가 되는데, 이는 슈바르츠실트 좌표계에서 이미 분석한 결과이다. 떨어지는 물체는 유한한 고유 시간동안 지평선을 통과할 수 있지만, 외부에서는 그 과정을 보기 위해 무한한 시간([math(t)] 좌표)이 소요된다. 또한 지평선([math(r=r_s)])는 그 자체로 광원뿔의 경계를 형성한다. 그 때문에, 지평선을 통과하는 순간의 물체는 지평선 바깥으로는 나아갈 수 없으며 오로지 안쪽([math(\text{I} \rightarrow \text{II})])으로만 나아갈 수 있게 된다. 지평선을 넘어가면, [math(r)]이 증가하는 방향의 기울기가 [math(45\degree)]보다 작아지면서 물체의 궤적은 언제나 [math(r)]이 감소하는 방향으로 고정된다.
7. 버코프 정리
버코프 정리(Birkhoff's theorem, 1923)에 의하면, 아인슈타인 방정식의 진공 + 구형 대칭 해는 슈바르츠실트 해를 유일한 해로 갖는다. 즉, 정지 시공간이다. 참고로 라이스너-노르드스트룀 해는 주변 공간에 전기장이 퍼져있기 때문에 진공해가 아니다. 아인슈타인 방정식은 전자기장도 중력원으로 삼는다. 하지만, 이 경우 역시 비슷한 증명 과정을 통해 라이스너-노르드스트룀 해가 유일한 대전 + 구형 대칭 해임을 보일 수 있다.중요한 것은 (진공) 구형 대칭 시공간이 "정적"(static)이라는 것으로, 별이 중력 붕괴를 하든, 요동치든(초거성) 그 변화가 구형 대칭을 보인다면 그 외부해는 슈바르츠실트 해로 주변 중력장(시공간)은 정적이다. 별이 움직이는 것과 중력장이 움직이는 것은 다르다는 것은 주의해야 한다. 따라서, 이러한 조건에서 중력파의 방출은 전혀 일어나지 않는다. 이는 전자기파 역시 전자 하나(홀극; monopole)로는 방출되지 않는 것과 같다. 많은 별의 죽음이 이러한 조건을 만족시키는 것으로 알려져 있다.
증명은 어렵지 않은데, [math(\Phi(r))]과 [math(\Lambda(r))]을 [math(\Phi(t, r))]과 [math(\Lambda(t, r))]로 다시 놓고 계산을 진행하면 된다. (구형 대칭 조건만으로는 [math(\mathrm{d}t\mathrm{d}r)] 항을 없애지 못하나, 적절한 좌표 선택을 통해 이 항을 없앨 수 있다.)
- [증명]
구형 대칭 메트릭[math(ds^2 = -e^{2\Phi}dt^2 + e^{2\Lambda}dr^2 + r^2d\Omega^2)]
에서, [math(\Phi = \Phi(t, r), \Lambda = \Lambda(t, r))]이라 하자. 아인슈타인 텐서에 이 메트릭을 대입하면[math(\begin{aligned} &G_{\hat{t}\hat{t}} = r^{-2}(1 - e^{-2\Lambda}) + 2(\partial_r\Lambda/r)e^{-2\Lambda} = 0 \\ &G_{\hat{t}\hat{r}} = G_{\hat{r}\hat{t}} = 2(\partial_t\Lambda/r)e^{-(\Lambda + \Phi)} = 0 \\ & G_{\hat{r}\hat{r}} = 2(\partial_r\Lambda/r)e^{-2\Lambda} + r^{-2}(e^{-2\Lambda} - 1) \\ & G_{\hat{\theta}\hat{\theta}} = G_{\hat{\phi}\hat{\phi}} = +(\partial^2_r\Phi + (\partial_r\Phi)^2 - \partial_r \Phi \, \partial_r \Lambda + \partial_r\Phi /r - \partial_r\Lambda /r)e^{-2\Lambda} \end{aligned})]
[math(-(\partial^2_t \Lambda + (\partial_t \Lambda)^2 - \partial_t\Lambda \, \partial_t\Phi)e^{-2\Phi}\quad\quad)]
이다. 두번째 식으로부터 [math(\Lambda)]가 [math(r)]만의 함수임을 알 수 있고, 첫번째 식으로부터 [math(\Lambda)]가[math(\displaystyle \Lambda = -\frac{1}{2}\ln \biggl|1-\frac{2GM}{c^2r}\biggr|)]
와 같은 형태임을 알 수 있다. 이제, 비앙키 항등식([math(\nabla_{\mu}G^{\mu\nu} = 0)])에 의해 마지막 두 식은 [math(\Phi(t, r))]에 관한 두 동등한 식이며 그 해는[math(\displaystyle \Phi = \frac{1}{2}\ln \biggl|1-\frac{2GM}{c^2r}\biggr| + f(t))]
와 같다. ([math(f)]는 임의적인 함수이다.) 이제 [math(\Lambda, \Phi)]에 관한 식을 처음의 메트릭에 대입하면[math(\displaystyle ds^2 = -e^{2f(t)}\biggl(1-\frac{2GM}{c^2r}\biggr)dt^2 + \biggl(1-\frac{2GM}{c^2r}\biggr)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2)]
를 얻는다. 이제, [math(\displaystyle t \rightarrow t' = \int e^{f(t)}dt)]라 두면[math(\displaystyle ds^2 = -\biggl(1-\frac{2GM}{c^2r}\biggr)dt'^2 + \biggl(1-\frac{2GM}{c^2r}\biggr)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2)]
를 얻는다. 이로부터, 슈바르츠실트 해가 유일한 아인슈타인 방정식의 진공 구형 대칭 해임을 알 수 있다.[22]
[Einstein(1915)] Albert Einstein, "Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie". Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften. 831–839.[Schwarzschild(1916)] Karl Schwarzschild (1916). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie". Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften. Berlin: 189–196.[Droste(1917)] Johannes Droste,“The field of a single centre in Einstein’s theory of gravitation, and the motion of a particle in that field”. In: Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings Series B Physical Sciences 19 (Jan. 1917; Communicated in may 27, 1916), pp. 197–215 #[4] 드로스테는 이 논문으로 박사학위를 받았다. 1913년 아인슈타인이 Entwurf 이론을 연구할 때부터 그의 방정식을 연구하였으며, 슈바르츠실트와 거의 동시기에 독립적으로 해를 유도하였고, 논문 심사 과정에서 지도교수 H.A.로런츠가 알려주기 전까지는 슈바르츠실트의 논문을 모르고 있었다. 그럼에도 그간 인지도가 전혀 없었는데 라이스너-노르드스트룀 해의 예를 들어 슈바르츠실트-드로스테 해라는 용어를 제안하는 학자도 있다.#[Hilbert(1916)] David Hilbert, 1916, “Die Grundlagen der Physik. (Zweite Mitteilung)” in Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft zu Göttingen. Math.-phys. Klasse. 1917, p. 53–76.영문 pdf[6] 힐베르트는 [math(r = r_s, r = 0)]에서 좌표계가 잘 작동하지 않는다고(Well-behaved) 지적하였다.[Weyl(1919)] Hermann Weyl, 1919, "Raum. Zeit. Materie. Vorlesungen über allgemeine Relativitätstheorie", Berlin : J. Springer pp.217 archive[8] 1918년 7월 3일 편지에서 바일에게 "진정한 계산의 마법사"(ein wahrer Hexenmeister der Rechnung)라 칭찬하였다.[9] 아인슈타인의 1921년 프린스턴 강의에서 "(...) H.바일의 책 "공간-시간-물질(Raum-Zeit-Materie)"에서 제시한 유도법이 특별히 우아하다."라 하고 그의 변분법 기반 유도방법을 인용하였다. [Einstein(1922)][10] (영역 Lluís Bel) Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstenschen Theorie ,Karl Schwarzschild https://doi.org/10.48550/arXiv.0709.2257[가] 아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서 (Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie) Royal Prussian Academy of Science (Reimer, Berlin 1916, pp. 189-196) 저자: 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild)https://ko.wikisource.org/wiki/%EC%95%84%EC%9D%B8%EC%8A%88%ED%83%80%EC%9D%B8%EC%9D%98_%EC%9D%B4%EB%A1%A0%EC%97%90_%EB%94%B0%EB%A5%B8_%EC%A7%88%EB%9F%89_%EC%A0%90%EC%9D%98_%EC%A4%91%EB%A0%A5%EC%9E%A5%EC%97%90_%EB%8C%80%ED%95%B4%EC%84%9C[12] 실제로는, 시간 성분 역시 휘어 있으며 공간 성분만으로는 중력을 설명할 수 없다. 물체는 공간의 곡률을 따라 움직이는 게 아니라 시간축과 공간축의 관계를 고려하여 경로가 결정된다. 하지만 이 도형은 (슈바르츠실트) 공간의 곡률 자체를 설명하는 데에는 유용하다.[13] [math(ds^2 = e^{2\Lambda}dr^2)]으로부터 얻는다.[14] 일반 상대성 이론에서는 정지 상태와 측지선(관성 운동)이 서로 다르다.[15] 물리학의 입장에서는 뇌터 정리의 일종으로, 여러 동치 접근법이 있으며 예를 들어 라그랑지언을 통해 동일한 결과를 얻을 수 있다.[16] 리미분은 벡터장에만 의존하는 미분이며, 접속 구조에 의존하지 않는다.[17] 광자는 4-속도가 정의되지 않으므로 4-운동량이 보다 일반적인 논의이다.[18] 입자가 이론적으로 가질 수 있는 가장 작은 안정적 궤도.[19] 일반적인 항성에 대해서는 근성점(periastron)이라 한다.[20] [math(a)]와 [math(e)]는 각각 타원의 장반경과 이심률.[21] 원자핵과 관련한 [math(\alpha)]입자 산란실험으로 유명한 러더퍼드가 핵물리학에 도입하였고, 뜻은 동일하다.[22] Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973), "Gravitation", W. H. Freeman, Princeton University Press; 843ff.
[Einstein(1922)] A. Einstein, 1922, "Vier Vorlesungen über Relativitätstheorie gehalten im Mai 1921 an der Universität Princeton", Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn Akt.-Ges. Braunschweig pp.60 #