1. 개요
알큐비에레 드라이브 (Alcubierre drive)상대성 이론을 포함해서 현재까지 알려진 모든 물리 법칙들에 위배되지 않는 워프 이론 중 가장 현실성이 있는 방안으로, 물체가 움직이는 방향으로 앞쪽 공간을 접고 뒤쪽 공간을 늘려서 이동하는 초광속 여행 방식이다. 1994년 멕시코의 이론 물리학자 미겔 알쿠비에레 박사가 처음 제안하였기 때문에 알큐비에레 드라이브라는 이름이 붙었다.
앞서 1966년부터 시작된 SF작품인 스타트렉에 나왔던 워프 드라이브라고 부르기도 한다.
2. 방식
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접힌 공간(warp bubble)의 크기를 조절하면 물체가 차지하는 공간 내부에서는 마치 자유 낙하를 하는 것처럼 아무런 힘을 받지 않고 가속해 움직인다는 것이 특이 사항이다. 언뜻 보면 기존 과학 이론에 위배될 거 같지만, 상대성 이론은 시공간을 '어떻게', 또 '얼마나' 휘게 할 것인가에 대한 제약은 없다. 쉽게 말해 우주공간에서 출발지에서 목적지를 향해 떨어진다고 생각하면 된다. 좀 더 정확히 말하자면 이동하고자 하는 물체(우주선 등)가 향하는 방향의 앞쪽 공간을 압축하고, 뒤쪽 공간을 팽창시켜서, 공간 자체를 이동시켜 초광속을 달성한다는 개념이다. 공간 자체가 이동하기 때문에 버블 안에서 보면 우주선은 제자리에 가만히 있는 상태로 있다.
예를 들어 2차원의 해수면을 공간이라고 하고, 배를 우주선이라고 하자. 배를 둘러싸는 원형의 필드를 가정하고, 그 필드에서 배가 나아가고자 하는 방향 앞쪽의 수면을 낮추고, 뒤쪽의 수면을 높인다면, 바닷물은 높아진 뒷쪽에서 낮아진 앞쪽으로 흘러가면서 원형의 필드(워프 버블)를 앞으로 밀게 될 것이다. 수면의 높낮이(공간의 압축/팽창 정도)를 크게 한다면 배가 해수면에서 상식적으로 낼 수 있는 최고속도(광속)를 초월한 이동이 가능하다. 큰 파도 앞에서 서핑보드를 타고있는 서퍼를 생각하면 이해가 쉽다. 그러나 배가 원형의 필드(워프버블)내에서 수면(워프버블 내 공간)에 대한 상대속도는 0이기 때문에, 질량이 있는 물질은 광속에 닿거나 넘을 수 없다는 상대성 이론을 위배하지 않는다. 따라서 이 주장이 신빙성을 더하고 있다.
원리를 이해하기 어렵다면 츄리닝 바지의 허리끈이나 후드티의 후드 부분 끈이 풀어져서 다시 집어넣는 것을 예시로 이해하면 쉽다.
끈을 옷핀이나 젓가락 등의 막대에 묶어 구멍 안에 넣고 바지나 후드티를 끈 앞쪽으로 끌어당겨 접은 뒤 뒤쪽으로 풀어내는 방법으로 끈을 전진시키는데 이게 원리가 동일하다. 다만 옷이 아니라 공간을 압축시켜야한다는 점이 난해할 뿐..
3. 문제점
아직은 시공간을 접는 데 천문학적인 에너지가 들어가고, 구체적으로 시공간을 어떻게 '휘게' 할 것이냐는 것도 큰 난제이다.동력 문제를 해결하더라도 알큐비에르 드라이브의 실현 가능성이 낮음을 암시하는 연구 결과들이 나왔는데, 예를 들어 시공간을 접어 이동할 경우 접힌 공간을 만들 때 투입된 에너지가 워프 종료와 함께 방출되어 투입된 에너지만큼의 천문학적인 대폭발을 일으킬 수도 있다는 연구 결과가 나왔다.
거기에다가 공간을 접는 데 에너지가 별로 들지 않더라도 워프 중 이동하는 공간의 우주 먼지와 각종 물체들이 접힌 공간 주위에 형성된 네거티브 에너지 밴드와 통로이동 병렬추진의 작용에 반응해 워프의 도착지점에 내뿜어지게 되는데 이것이 감마선 폭발급의 파괴력을 지니게 될 가능성이 있다고 한다. 간단히 말해 도착 지점을 설정해서 날아갔는데 도착하니 워프의 부작용으로 도착지점에 있는 것들이 폭발로 날려가버려 없어진다는 것이다.[1]
4. 역사
4.1. 2009년, 에너지 효율이 급증하다
2009년, NASA 존슨우주센터 내에 태스크포스 Eagleworks라 불리는 첨단추진기술연구단을 창립한다. 해롤드 화이트(Harold G. White) 박사가 단장을 맡는다.2011년, 기존의 알큐비에레 드라이브를 발전시켜 에너지 효율을 크게 높인 "Warp Field Mechanics 101" 보고서를 발표했다. #
- 화이트-주데이 워프장 간섭 측정기라는 장치를 이용해 공간 왜곡의 존재를 확인하는 실험을 진행한 결과, 고에너지 레이저를 이용하여 극미세 공간에서 시공간 왜곡을 검출하기는 했으나 이게 외부 간섭이나 측정오차에 의해 발생한 건지 실제로 시공간 왜곡현상이 일어난 건지는 확실치 않다(inconclusive)고 했다. 또한, 박사는 예전의 연구결과들과는 다르게 상술한 것과 같은 부작용은 충분히 피할 수 있다고 주장했다. 만일 이것이 만약 정말로 실현된다면 지구에서 4.37광년 떨어진 알파 센타우리계를 2주 만에 갈 수 있는 속도이다. 스타트렉 설정대로면 워프 4.5 정도의 속도다.
- 계산에 의하면 워프 버블의 특성을 각 우주선에 맞게 최적화할 수 있다면 예전에 추정되었던 것보다 훨씬 적은 에너지를 이용하여 반경 10m의 공간을 광속의 10배 정도의 실질 속도를 달성할 수 있을 것이라고 주장했다. 다만, 이를 위해서는 이종물질(Exotic Matter)[2] 500kg가 필요하다고 했다. 문제는 이 이종물질이라는 것이 음의 질량이면서 필요한 물질량이 양의 중량을 가져야 한다는건 둘째치고, 그저 수학적으로 설명한 것 만으로도 노벨 물리학상을 수상할 정도로 미지의 물질이라는 것.
2013년 6월 26일, 미국의 천체물리학자 에릭 데이비스(Eric Davis)는 워프는 더 이상 공상과학소설이 아니며, 워프 항법은 지구멸망에 대비하기 위해서라도 반드시 개발해야 하는 기술이라고 주장했다. #
4.2. 2013년, 작동 원리 논문
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워프 드라이브가 작동하는 원리를 그림으로 간단하게 설명할 수 있다. #
그림에 나와 있는 숫자는 각각 다음을 의미한다.
| 1) 도표에서 수직축은 알큐비에레 모델 상에서 시공간이 얼마나 팽창 혹은 수축했는지를 나타낸다. 양의 값(시공간의 팽창)은 그림에서 붉은색으로 나타난다. 시공간이 우주선 뒤에서 팽창하는 경우, 결과적으로 그 팽창된 공간 자체가 우주선을 앞으로 밀어내는 역할을 하게 된다.[3] 2) 워프 버블(접힌 공간) 안에 있는 통상적 공간(neutral space-time)이 우주선을 워프에 각각 앞의 수축공간과 뒤의 팽창공간과의 거리를 벌려서 우주선을 보호하는 역할을 한다. 이 덕분에 우주선 탑승자들은 실제로는 중력가속도(또는 관성)의 영향을 전혀 받지 않는 상태(zero-G environment)에 있게 된다. [4] 3) 음의 값(푸른색)은 시공간의 수축을 나타낸다. 이 수축은 붉은 색으로 표현되는 시공간 팽창과 균형을 이루어 결과적으로 우주선이 들어있는 워프 버블을 앞으로 끌어당기는 역할을 하게 된다. [5] |
이것이 어떻게 상대성 이론을 위배하지 않으면서도 우주선이 초광속 이동을 할 수 있는지, 실제 알큐비에레 드라이브 이론에서 사용하는 측지 텐서(metric tensor)로부터 알아보자.
만약 우주선이 시공간 속에서 [math(x)]축 방향으로 세계선 [math(x=x_s (t))]를 따라 움직인다고 하자. ([math(y, z)]좌표는 0으로 잡자.) 이때 우주선이 어떻게든 시공간을 휘게 할 수 있다면, 알큐비에레 드라이브에 의해 휘어진 시공간에서 두 사건 사이의 미소 고유 길이는 다음과 같이 나타난다. ([math(c=1)]인 자연 단위계를 사용하였다.)
[math(\displaystyle ds^2 = -dt^2 + \left[ dx - v_s (t) f(r_s ) dt \right]^2 + dy^2 + dz^2 )]
이때, [math( \displaystyle v_s (t) = \frac{dx_s}{dt})]로 정의되는 외부 관찰자가 본 우주선의 속도이고, [math(r_s)]는 우주선의 시공간 상의 한 점으로부터의 거리, 즉
[math(\displaystyle r_s = \sqrt{ (x-x_s (t))^2 + y^2 + z^2 } )]
이다. 또한 함수 [math(f)]는 [math(f(0)=1)]과 [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{f(x)}=0 )]을 만족하는 아무 감소함수나 가능하다. 주로 다음과 같은 특정한 함수를 사용하는 것이 일반적이다.
[math(\displaystyle f( r_s ) = \frac{\tanh{ \left( \sigma (r_s + R) \right)} - \tanh{\left(\sigma (r_s - R) \right)}}{2 \tanh{(\sigma R)}} )]
(여기서 [math(\sigma)]와 [math(R)]은 임의의 양의 상수이다.) 시공간의 휘어짐이 우주선의 위치에 따라 결정되는 함수라는 것은, 우주선이 시공간을 휘게 하는 주체라는 것을 암시한다.
한편, 상대성 이론에 따르면 시공간 상에서 빛은 고유 시간이나 고유 길이가 0이다. 즉, [math(t, x)]좌표만 고려한다면 다음 식이 성립한다.
[math(\displaystyle ds^2 = -dt^2 + \left[dx - v_s (t) f( r_s ) dt \right]^2 = 0 )]
이다. 이 식을 정리하면 [math(t-x)]평면 상에서 빛원뿔의 방정식이 다음 식을 만족해야 된다는 것을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{dx}{dt} = \pm 1 + v_s (t) f( r_s ) )]
이 식을 만족하는 우주선의 세계선과 빛원뿔들을 대략적으로 그리면 다음과 같다. [6]
(이때 그래프는 빛의 세계선의 기울기가 1이 되도록 그렸다.) 위 그림은 시간 [math(T)]동안 거리 [math(D)] 떨어진 우주 정거장 사이를 이동하는 우주선의 세계선을 나타낸 것이다. 이때, 자세히 보면 우주선의 세계선이 항상 빛원뿔 내부에 위치하기 때문에, 우주선 안의 관찰자 시점에서는 빛보다 빠르게 이동하지 않으므로 상대성 이론을 위반하지 않는다. 하지만 외부 관찰자가 보는 입장에서는 우주선이 광속을 넘어가는 것처럼 보일 수 있다. 이것은 평평한 시공간에서는 빛의 세계선의 기울기가 [math(\pm 1)]이지만, 우주선에 의해 휘어진 시공간에서 빛원뿔이 [math(v_s (t) f( r_s ) )]만큼 기울어지기 때문에 나타날 수 있는 현상이다. 특히, 우주선이 있는 곳은 [math(r_s=0)], 즉 [math(f(r_s)=1)]이므로, 우주선이 초광속이든 뭐든 속도 [math(v_s)]로 가도 빛원뿔의 기울기 [math(v_s \pm 1)] 안에 있기 때문에 문제가 되지 않는다. 사실 초광속 여행 문서에서 나타난 인과율 위반은 정확하게 말하자면 광원뿔 너머로 운동하는 (그리고 보통 물질과 상호작용하는) 물질이 존재하는 경우를 가정하고 설명한 것이다. 그런 경우에 좌표계를 뭘로 잡느냐에 따라 그 물질이 시간을 역행하는 운행을 할 수 있다는 것이 주요 골자이다. 하지만 모든 것이 여전히 빛원뿔 안에 있도록 하는 알큐비에레 드라이브는 이 문제를 야기하지 않기 때문에 과거로의 시간여행 같은 문제를 일으키지 않게 된다.
4.3. 2014년, 상상도
2014년 6월 13일, NASA의 해롤드 화이트 박사가 워프 드라이브로 추진하는 우주선의 컨셉을 발표했다. 컨셉아트에서 묘사된 우주선의 주위를 감싼 커다란 원통이 알큐비에레 워프 드라이브라고. 우주선의 이름은 스타트렉의 USS 엔터프라이즈에서 따온 'IXS 엔터프라이즈'로 붙였다고 한다.
4.4. 2016년, 상상도
2016년, 스페이스 엔진이라는 프로그램을 활용하여 육안으로 보일 상상도가 나왔다.
4.5. 2021년, 음의 에너지가 필요 없어지다
기존에는 알큐비에르 드라이브에서 요구되는 공간의 팽창을 만들어 내려면 음의 에너지 밀도(negative energy density)가 필요하며, 일부 물리학자들은 이에 대해서 에너지 조건(energy conditions)들을 무시하므로 존재할 수 없다는 비판이 제기되어 왔다. 실제로, 외부 관찰자가 봤을 때 아인슈타인 방정식(Einstein field equation)으로 계산한 알큐비에레 드라이브의 에너지 밀도 [math(u)]는 다음과 같으며, 명백히 음수라는 것을 쉽게 확인할 수 있다.[7][math(\displaystyle u = T^{00} = T_{\mu\nu} \hat{t}^{\mu} \hat{t}^{\nu} = - \frac{1}{8\pi} \frac{v_s^2 (y^2 + z^2)}{(2 r_s )^2 } \left( \frac{df}{dr_s} \right)^2 )]
| {{{#!folding [ 유도 과정 보기 ] | <table width=100%>먼저, 원리에서 소개한 미소 고유 길이 식을 전개하면 다음과 같다. [math(\displaystyle ds^2 = \left[-1 + \left( v_s f(r_s) \right)^2 \right]dt^2 - 2 v_s f(r_s) dt` dx + dx^2 + dy^2 + dz^2 )] 이때, 우주선이 속도 [math(v_s)]로 등속 직선 운동을 한다고 가정하자. 그러면, [math(x_s(t) = v_s t)]이고, [math(r_s = \sqrt{(x - v_s t)^2 + y^2 + z^2})]이다. 이것은 다음과 같이 대칭행렬의 형태로 쓸 수 있다. [math( \displaystyle ds^2 = \begin{pmatrix} dt & dx & dy & dz \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 + \left( v_s f(r_s) \right)^2 & - v_s f(r_s) & 0 & 0 \\ - v_s f(r_s) & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dt \\ dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} )] 이때, 가운데에 있는 [math(4 \times 4)] 행렬이 알큐비에레 시공간의 측지텐서 [math(g_{\mu\nu})]가 된다. 이것을 아인슈타인 방정식 [math( \displaystyle G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu} )] 에 대입하면,[8][9] 다음과 같이 아인슈타인 텐서 [math(G_{\mu\nu})]와 에너지-운동량 텐서 [math(\displaystyle T_{\mu\nu} = \frac{1}{8\pi} G_{\mu\nu})]를 얻을 수 있다. (엄청난 양의 계산이 요구되므로, 컴퓨터를 이용해야 한다.) 행렬로 쓰기에는 수식이 너무 길기 때문에 성분별로, 대칭행렬이므로 필요한 10개의 성분만 표시하였다. {{{#!wiki style="" | <table align=center><table width=70%> {{{#!folding [ 아인슈타인 텐서 성분 보기 ] {{{-3 | [math( \displaystyle G_{00} )] | [math( \displaystyle \frac{1}{4 r_s^3} \left(-v_s^2 \left(3 r_s v_s^2 f(r_s)^2 \left(y^2+z^2\right) f'(r_s)^2+r_s \left(y^2+z^2\right) f'(r_s)^2+4 f(r_s) \left(r_s \left(y^2+z^2\right) f''(r_s)+f'(r_s) \left(2 t^2 v_s^2-4 t v_s x+2 x^2+y^2+z^2\right)\right)\right) \right) )] |
| [math( \displaystyle G_{01} )] | [math( \displaystyle \frac{1}{4 r_s^3} \left(v_s \left(2 r_s \left(y^2+z^2\right) f''(r_s)+2 f'(r_s) \left(2 t^2 v_s^2-4 t v_s x+2 x^2+y^2+z^2\right)+3 r_s v_s^2 f(r_s) \left(y^2+z^2\right) f'(r_s)^2\right) \right) )] | |||
| [math( \displaystyle G_{02} )] | [math( \displaystyle \frac{1}{4 r_s^3} \left(2 v_s y (t v_s-x) \left(r_s \left(v_s^2 f(r_s)^2-v_s^2 f(r_s)+1\right) f''(r_s)+2 r_s v_s^2 f(r_s) f'(r_s)^2+\left(v_s^2 \left(-f(r_s)^2\right)+v_s^2 f(r_s)-1\right) f'(r_s)\right) \right) )] | |||
| [math( \displaystyle G_{03} )] | [math( \displaystyle \frac{1}{4 r_s^3} \left(2 v_s z (t v_s-x) \left(r_s \left(v_s^2 f(r_s)^2-v_s^2 f(r_s)+1\right) f''(r_s)+2 r_s v_s^2 f(r_s) f'(r_s)^2+\left(v_s^2 \left(-f(r_s)^2\right)+v_s^2 f(r_s)-1\right) f'(r_s)\right) \right) )] | |||
| [math( \displaystyle G_{11} )] | [math( \displaystyle \frac{1}{4 r_s^3} \left(-3 r_s v_s^2 \left(y^2+z^2\right) f'(r_s)^2 \right) )] | |||
| [math( \displaystyle G_{12} )] | [math( \displaystyle \frac{1}{4 r_s^3} \left(-2 v_s^2 y (t v_s-x) \left(r_s (f(r_s)-1) f''(r_s)+2 r_s f'(r_s)^2-(f(r_s)-1) f'(r_s)\right) \right) )] | |||
| [math( \displaystyle G_{13} )] | [math( \displaystyle \frac{1}{4 r_s^3} \left(-2 v_s^2 z (t v_s-x) \left(r_s (f(r_s)-1) f''(r_s)+2 r_s f'(r_s)^2-(f(r_s)-1) f'(r_s)\right) \right) )] | |||
| [math( \displaystyle G_{22} )] | [math( \displaystyle \frac{1}{4 r_s^3} \left(v_s^2 \left(-4 r_s (f(r_s)-1) f''(r_s) (x-t v_s)^2+r_s f'(r_s)^2 \left(-4 t^2 v_s^2+8 t v_s x-4 x^2+y^2-z^2\right)-4 (f(r_s)-1) \left(y^2+z^2\right) f'(r_s)\right) \right) )] | |||
| [math( \displaystyle G_{23} )] | [math( \displaystyle \frac{1}{4 r_s^3} \left(2 r_s v_s^2 y z f'(r_s)^2 \right) )] | |||
| [math( \displaystyle G_{33} )] | [math( \displaystyle \frac{1}{4 r_s^3} \left(v_s^2 \left(-4 r_s (f(r_s)-1) f''(r_s) (x-t v_s)^2+r_s f'(r_s)^2 \left(-4 t^2 v_s^2+8 t v_s x-4 x^2-y^2+z^2\right)-4 (f(r_s)-1) \left(y^2+z^2\right) f'(r_s)\right) \right) )] | }}} }}} | }}} 이때, 시간 방향의 사차원 단위벡터를 [math(\hat{t}_\mu=(1,0,0,0))]이라고 하면, 에너지 밀도는 에너지-운동량 텐서의 [math(t,t)] 성분(시간 방향으로 가해지는 압력)이므로, [math(\displaystyle T^{00} = T_{\mu\nu} \hat{t}^{\mu} \hat{t}^{\nu} = \frac{1}{8 \pi} G_{\mu\nu} \hat{t}^{\mu} \hat{t}^{\nu} )] 로 구할 수 있다. 이때 [math(\hat{t}^\mu = g^{\mu\nu} \hat{t}_\nu = g^{\mu 0})]이다. 여기서 [math(g^{\mu\nu})]는 측지 텐서 [math(g_{\mu\nu})]의 역행렬로, 다음과 같다. [math(\displaystyle \begin{pmatrix} -1 & - v_s f(r_s) & 0 & 0 \\ - v_s f(r_s) & 1 - \left( v_s f(r_s) \right)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} )] 따라서, [math(\displaystyle \hat{t}^\mu=(-1,- v_s f(r_s),0,0))]이다. 마지막으로 에너지 밀도를 구하면, [math(\displaystyle G_{\mu\nu} \hat{t}^{\mu} \hat{t}^{\nu} = -G_{00} -2 v_s f(r_s) G_{01} + (v_s f(r_s))^2 G_{11} = - \frac{v_s^2 (y^2 + z^2)}{4 r_s^2 } \left( \frac{df}{dr_s} \right)^2 )] 이것을 [math(8\pi)]로 나누면 원하는 결과를 얻는다. | }}} |
2021년 2월, 기존의 방정식을 수정하여서 음의 에너지가 없이도 초광속 이동이 가능하다는 논문이 나왔다. 다만 막대한 공간의 휘어짐은 여전히 필수이기 때문에, 우주선 앞에 블랙홀을 갖다두고 우주선이 사건의 지평선까지 근접해야 한다. 그래서 여전히 현재 과학기술로서는 실현이 어렵다.[10] 결과적으로 수정된 방정식은 음의 에너지는 필요없지만 블랙홀을 통로로 이용하는 웜홀 이론과 비슷해졌다.
4.6. 2022년, 해롤드 화이트의 은퇴
2021년 12월, DARPA가 실수로 최초의 워프 버블을 만드는 데에 성공했다. #2022년 5월 27일, NASA에서 2011년부터 알큐비에레 드라이브를 연구해왔던 해롤드 화이트의 팀과 스페이스X에서 알큐비에레 드라이브를 연구하던 연구원들 일부가 모여서 "무한한 우주 (Limitless Space Institute)" 회사를 설립한다. # #
5. 외계 감지 가능성
만약 직경 1km 워프 버블이 광속의 10%로 순항 중 붕괴한다면 약 3백만 광년[11] 거리에 떨어져 있어도 LIGO와 같이 현존하는 중력파 검출기의 감도로도 검출이 가능할 것으로 추정된다. 이는 우리은하를 넘어 안드로메다 은하 까지 포함하는 넓은 범위이다! 게다가 워프 버블의 순항속도가 더 빠르거나 더 클 경우 붕괴시 더욱 강력한 신호를 내뿜어 감지하기 쉬워진다. 물론 현재 인류의 중력파 검출기는 블랙홀이나 중성자별 충돌 등 거대한 질량을 가진 천체 관측에 집중되어 있어 감지 주파수 영역대가 낮다. 이를 더 높은 주파수 영역대로 튜닝한다면 어쩌면 우리 주변에 워프 기술을 가진 외계 문명의 존재 여부를 알 수 있을지도 모른다. 혹은 더 나아가 워프 버블을 관측하여 알큐비에레 드라이브를 역설계 할 수 있을지도 모른다.
[1] 반대로, 이는 에너지만 충분하다면, 수많은 항성계를 초토화시킬 수 있는 초광속 전략무기를 만들 수 있다는 뜻이기도 하다. 그 에너지가 천문학적이라 문제일 뿐이다.[2] 질량이 음수인 물질을 통틀어 말한다. 질량-에너지 등가에 의해 이종물질은 위에서 말한 음의 에너지 밀도와 같다.[3] 원문 - The vertical dimension represents how much a given volume of space-time expands or contracts in Alcubierre's model. Positive values (red) imply an expansion. When space-time expands behind a craft, it propels the ship forward.[4] 원문 Inside the warp bubble, neutral space-time would leave the ship undisturbed. Passengers would experience a gravitationally calm zero-G environment.[5] 원문 Negative values (blue) imply a contraction in space-time. The contraction balances the expansion of space-time as the bubble moves forward.[6] 그림은 과장된 표현을 위해 통상적으로 사용하는 함수 대신 [math(f(r) = \max(1 - r^4, 0))]을 사용하였다.[7] [math(c=G=1)]인 단위계를 사용하였으며, 아인슈타인 합 규약을 사용하였다.[8] 이때 [math(G_{\mu\nu})]는 아인슈타인 텐서로, 자세한 정의는 문서 참조.[9] [math(r_s)] 또한 [math(t,x,y,z)]에 대한 함수이므로, [math(f(r_s))]를 미분할 때 연쇄 법칙을 적용하여 [math((f(r_s))'=f'(r_s) {r_s}' (t,x,y,z))]와 같이 계산해야 한다.[10] 참고로 인류에게 알려진 블랙홀 중 가장 가까운 가이아 BH1은 지구로부터 약 1600광년 가까이 떨어져 있다(...)[11] 100만 파섹