Euler 推論 / Euler's conjecture
1. 개요
[math(\displaystyle{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n=b^n})] (단, [math(\displaystyle{n>k\geq2})]이고 [math(\displaystyle{a_1, a_2, ..., a_k, b\neq0})])스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 제기한 추론. 오일러는 위 방정식을 만족시키는 정수해가 존재하지 않는다고 주장했다. 한마디로 임의의 n제곱수를 n제곱수들의 합으로 표기하기 위해서는 최소한 n개의 n제곱수가 필요하다는 것이었다. 그러나 본인이 확실히 증명하지는 못하고 세상을 떠났다.
말하자면 페르마의 마지막 정리의 일반화 버전으로 페르마의 마지막 정리는 여기에서 [math(n\geq 3, k=2)]일 때이다.
2. 반증
시간이 아무리 지나도 이 추측의 반례(즉, 해당 방정식을 만족하는 정수해)가 발견되지 않자 점점 오일러 추론이 참일 거라는 분위기가 생겨났다. 그러다가 세월이 한참 흐르고 컴퓨터가 발명되어 수학자들은 컴퓨터로 위 방정식을 만족시키는 정수해를 찾으려 했고 1966년, L. J. Lander와 T. R. Parkin이 CDC 6600을 통해 [math(\displaystyle{n=5, k=4})]일 때의 다음과 같은 반증을 발견하면서 오일러 추론은 깨지게 되었다.[math(\displaystyle{27^5+84^5+110^5+133^5=144^5})]
이후 1988년에 미국의 수학자이자 하버드 대학교 수학대학 학장 노암 엘키스(Noam Elkies, 1966~)가 20대 초반에 [math(\displaystyle{n=4, k=3})]일 때 다음과 같은 반증을 찾아내 버렸다.
[math(\displaystyle{2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4})]
따라서 오일러 추론이 제기된 지 200여 년 만에 오일러 추론은 거짓으로 입증되었다. 노암 엘키스는 단순히 반증을 하나 찾아내고 끝낸 것이 아니라, 아예 위 방정식을 만족시키는 정수해가 무수히 많다는 사실을 증명해 버렸다. 그러니까 오일러가 자신의 추론을 증명하지 못하고 죽은 것은 오일러의 능력이 부족해서가 아니라 오일러의 추론이 원래 거짓이라는 데에서 야기된 필연적 결과였던 것이다.
나머지 [math(n, k)]에 대해서 반례가 존재하는지에 대해서는 아직 알려지지 않았다.