2009 개정 교육과정/수학과/고등학교/수학Ⅰ

1. 개요

2. 상세

2.1. 교과 내용

2.1.1. Ⅰ. 다항식

• 다항식의 연산: 아주 기초적인 내용으로 중학교 때 배우던 곱셈공식을 다시 한 번 다루고, 그에 더 심화된 학습 위주로 배운다. 다항식의 사칙연산을 배우며 처음으로 다항식의 나눗셈에 대해 배운다. 기본적인 곱셈공식의 원리를 이해해 인수 분해와 항등식 파트에 용이하게 활용할 수 있을 정도로 익혀둔다. 인수분해, 항등식, 나머지정리, 인수정리, 약수와 배수 부분이 주로 출제된다. 한 가지 팁을 주자면 이 단원에서 어려운 문제는 대부분 a³+b³+c³-3abc의 인수분해 식과 관련이 있다. 만약 문제에서 a³+b³+c³=3abc라고 주어진다면, a+b+c=0 이거나, a=b=c이다.[3] '서로 다른 세 실수 a,b,c에 대해서~'라고 주어진다면 전자가 성립하고, '양수 a,b,c에 대해서~'라고 말한다면 후자가 성립한다. 허수인 경우에는 둘 다 성립하지 않을 수도 있다.

• 항등식과 나머지정리와 인수분해: 앞서 말하지만 이 중단원 자체는 중요하다. 고등학교 맨 처음 중간고사의 최종보스급 단원이다. 이때 배우는 조립제법이 인수분해할 때와 삼차방정식을 풀 때 나오므로 잘 익혀 두자. 여기서의 고난도 유형을 짚자면 삼차식으로 나눈 몫과 나머지정도이다. 전국연합학력평가에 가끔 나온 적은 있으나 수능에서 간접 출제된 적은 없다. 이 유형은 나머지가 나누는 식의 차수 -1을 최고 차항으로 가져야 하는데, 몫을 (x+α)Q(x)나 (x+β)²Q(x)라고 보면 이 나머지가 덜 나누어진 것이 되므로, (x+α)와 (x+β)²으로 한 두번 나눠주고 검산식으로 식을 두 개 다시 써주면 다항식 R(x)의 미정계수의 사칙연산이 어떤 값을 갖는지 나오는데,이 둘을 연립하여 풀면 R(x)를 구할 수 있다. 여기서 인수분해의 기본기를 잘 익혀두면 나중에 미적분Ⅰ에서 x→a일때 f(x)의 극한값(0/0꼴로 나타내어지는 f(x))을 구하라는 문제를 풀 때 쏠쏠히 써먹을 수 있다. 물론 여기서 설렁설렁 넘어간다고 해도 그때 가서 "f(x)=(x²+ax+b)/(x-1)에서 x가 1로 수렴할 때의 극한값이 4라고 할때 a²+b²=?"과 같은 문제를 풀때 크게 불편을 겪진 않지만, 알아두면 문제 풀이 시간을 단축시키는데 의외로 큰 도움이 된다. 그리고 이건 시중의 미적분Ⅱ 문제집에서도 가끔 튀어나와서 사람을 골때리게 하므로 소홀히 하고 넘어가지 않는 것도 중요하다.

2.1.2. Ⅱ. 방정식과 부등식

• 복소수와 이차방정식: 실수의 여집합 개념인 허수와 복소수가 등장한다. 이 때, 허수 단위 [math(i)]의 주기성에 대해 유의한다. 음수의 제곱근 부분은 제대로 공부하자. 나중에 수학Ⅱ나, 다른 과정에서도 미지수 [math(a)]와 [math(b)]의 부호를 음수의 제곱근 성질로 인해 정하는 경우가 많다. 이 중 허수는 나중에 대학 가면 은근히 골 때리는 문제가 되지만 예비 고3이 겨울 방학때 간단하게 수학Ⅰ을 정리한다고 할 때는 이 부분은 수능에 잘 나오지 않아 잘 정리하지 않는 경향이 있는데 과거 본 수능에는 수열과 연계되어 출제되곤 했었다. 전반적인 개념과 그것과 연계되어 나온 기출은 풀어보도록 하자. 그래도 최근 수능에선 출제 빈도가 낮으므로 너무 집어들진 마라. 다만 과학고등학교는 고급 수학Ⅱ에서 복소평면과 극형식을 배우므로 열심히 해야 한다. 이전에는 복소수 체계를 군론의 일부로 배웠으나 이제는 이차방정식과 연계해서 다룬다. 만약 전자공학을 전공할 예정인 학생의 경우 회로이론에서 교류 전원에 대한 RLC회로를 분석하거나 페이저를 사용할 때 복소수 개념을 십분 활용하게 되므로 여기서 똑바로 해 놔야 나중에 얼타지 않는다.

• 이차방정식과 이차함수: 절댓값이나 가우스 기호가 추가된 것 외엔 중학교에서 배운 방정식과는 별 다를 게 없다. 간혹 도형 문제를 보면 III단원을 배우지 않고서 쉽게 풀 수 없는 것들이 꽤 많다. 그럴만 한 게 이전 교육과정에서는 도형의 방정식 뒤에 이차함수가 있었다. 위에서 실수를 확장시켜 복소수라는 개념을 배웠으니 판별식 [math(D=b²-4ac)]으로 부터 근의 개수를 알아낼 수 있다. 한마디로 굉장히 중요한 단원이다. 여기서 한 가지 유의해야 할 점은 이차함수가 두 실근을 가질 조건을 물어볼 때, '두 실근'이라는 말 앞에 서로 다른이라는 수식어가 있는지 없는지를 꼼꼼하게 읽어봐야 한다는 것이다. 만일 '서로 다른 두 실근'이라는 전제가 없다면, 그 이차함수가 서로 같은 두 실근, 즉 중근을 가질 가능성을 내포하기 때문이다. 이때 발문을 대충 읽고 아무 생각없이 [math(D>0)]이라고 등호를 빠뜨리고 쓴다면, 개수세기나 모든 [math(x)]값의 합을 구하는 문제 등을 틀릴 수 있으니 이 점 유념하자. 이차 함수 부분은 중학교 3학년 과정과 비슷하지만, 여기서는 제한변역이 있을 때 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제가 추가된다. 이차함수 그래프의 꼭지점이 제한변역 안에 있는지 밖에 있는지 꼭 확인할 수 있다. 여담으로 이 부분은 문이과 통합 교육 과정에서 중학교 과정으로 내려간다고 한다고 알려져 있었으나, 실제로는 오히려 제한번역이 없는 전구간에서의 최대최소까지 고등학교 과정으로 끌어올려서 통합했다.

• 여러 가지 방정식: 연립방정식 및 방정식의 이론에 대해서 배우며, 고1 범위에서 인수분해가 가능한 삼차방정식[4]과 사차방정식,[5] 대칭 사차방정식과 대칭 오차방정식이 새로 나온다. 이차함수와 이차방정식의 연장선이니 스루하게 넘어갈 수 있다. 대신 치환하는 문제에서는 정확히 '치환'의 개념이 무엇인지 짚고 넘어간다. 연립방정식 응용문제(대표적으로 소금물 농도 문제)는 대기업 인적성검사 등에도 나오는 유형이니 잘 학습하도록 하자. 여기서 음함수를 던져줘놓고 2x+y, x²+2y²과 같은 값을 구하라고 하는데 판별식을 이용하거나 그래프를 그리면 풀 수 있지만 그래프를 그리는 건 기하와 벡터를 배워야 할 수 있으므로 판별식으로 풀길 권장한다. 참고로 이 유형은 조건식을 이용하는 데 주력해야 한다.

• 여러 가지 부등식: 이차부등식과 연립부등식 위주로 배운다. 헬게이트 유형을 꼽아내자면 이차부등식에서의 미정계수 결정이다. 이 부분은 상위권마저 간혹 개념을 제대로 하지 않고 술렁 넘어가는 경우가 있다. x를 구하는 게 아니라 어떤 정해지지 않는 상수의 범위를 구하는 것이라 수직선을 다르게 놓고 보아야 한다. 과거 이과용 방정식·부등식에서도 이 점을 간과한 학생들이 모의고사에서 자주 틀리곤 했다. 참고로 수학Ⅱ에서 배우게 될 부등식의 증명 부분에서는 코시-슈바르츠 부등식과 산술-기하-조화평균이 새로 나온다. 특히 문과의 경우 이 부분과 관련 지어 수능에 출제될 가능성이 높으므로 주의하자. 경우에 따라서는 등호 성립 조건이 다를 수 있으니 함부로 쓰지 말고 잘 따져보고 사용하자. 무작정 외워서 쓰면 안된다. 산술평균과 기하평균의 관계는 나중에 수능형 문제 중 a²+b²의 최솟값을 구하라고 하는 스타일의 문제에서 가끔가다 쏠쏠하게 쓰일 수 있다. 근의 분리라는 심화 유형도 있는데, 이 단원의 진정한 헬게이트는 근의 분리다. 내신에서 선생이 맘 먹고 꼬아버리면 정답률이 1~2%를 기어다니는 문제를 만들어낼 수 있다. 원칙적으로 함숫값, 판별식, 대칭축의 조건을 다 따져야 하며(이를 속칭 '함판대'라고 부르며, 일부는 그걸 따질 필요 없음) 이렇게 풀리지 않으면 평행이동을 사용해 보는것도 나쁘지 않다. 미적분Ⅱ을 공부할 이과생의 경우, 지수방정식과 로그방정식과 연계될 수 있으므로 공부해두는 게 좋다.[6]

2.1.3. Ⅲ. 도형의 방정식

• 평면좌표: 앞으로 배울 해석기하학(좌표계를 이용하여 도형을 연구하는 학문)의 기초를 배운다. 처음에는 평면 좌표를 중심으로 두 점 사이의 거리, 선분의 내분점과 외분점의 좌표, 삼각형의 무게중심의 좌표 등이 나온다. 물론 이때 나오는 공식들은 모두 외워야 한다. 특히 선분의 내분점은 기하와 벡터의 위치 벡터 문제에서 용이하게 쓰인다. 사실 전혀 별 거 없지 않다. 이 단원과 직선의 방정식이 합쳐지면 중2~중3의 도형과정에서 나오는 초 심화유형 (ex 에이급 수학, 하이레벨)이 다시 부활하게 된다. 굳이 심화 유형이 아니더라도 피타고라스 정리를 이용한 점과 점 사이의 거리를 다루는 문제는 시중의 중 3 문제집에서도 꽤 많이 나오므로 그 시절을 추억하며 공부할 수 있다(?). 도형문제들을 어려워하는 학생은 이 단원부터 수학 1이 끝날 때까지는 계속 헬 게이트일 것이다.

• 직선의 방정식: 직선의 방정식은 중학교 2학년 수학의 일차함수와 비슷하면서도 미묘하게 다르다. 직선의 방정식을 구하는 법에 대해서는 그냥 중학교 때 썼던 방법으로 구해도 무방하지만, 이 단원에서 새로 등장하는 점과 직선 사이의 거리 공식은 꼭 외워야 한다. 이것은 기하와 벡터 단원에 나오는 3차원 상의 점과 평면 사이의 거리와도 연결된다. 미적분Ⅰ이나 미적분Ⅱ에서 좌표를 활용한 그래프 문제에서도 자주 쓰인다. 이 단원에서 다들 소홀히 하는게 두 직선의 교점을 지나는 직선 구하기 이다. 나중에 기하와 벡터에서 구와 연계하여 사용하니 기억해 둘 것.

• 원의 방정식: 원의 방정식은 간단하다. 하지만 이 단원의 심화 문제들은 전혀 간단하지 않다. 그냥 중심이 (a,b), 반지름이 r인 원의 방정식은 (x-a)²+(y-b)²=r², 앞에서 배웠던 두 점 사이의 거리 공식만 제대로 알고 있으면 된다. 하지만 원과 직선의 위치 관계를 다룰 때 점과 직선 사이의 거리 공식을 제대로 알지 못하면 곤란하다. 원의 중심과 한 직선 사이의 거리로 원과 직선의 교점이 몇 개인가를 알아야 하기 때문. 기본 문제집을 보면 원의 방정식은 타 단원에 비할 거 없이 쉽지만, 쎈의 C단계 정도 난이도가 되는 순간 이 단원은 괴물로 변한다. 일품이나 블랙라벨, 수학의정석 실력편 연습문제 등의 심화 문제집에서는 정말 손도 못 댈 정도로 어려운 문제들이 나온다. 그전에 저 세 문제집이 욕 나오게 어렵잖아 특히 자취를 구하는 문제들은 상당히 까다롭긴하지만 수학적 직관이 좋다면 수월하다. 실제로 몇몇 문제는 감이 좋으면 복잡한 수식 하나 없이 답을 구할 수 있다. 그렇지 않더라도 문제의 조건을 잘 활용하면 답은 어렵지 않게 구할 수 있다.

• 도형의 이동: x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동을 할때 점의 이동과 도형의 이동에서 +, - 부호를 헷갈리지 않도록 하자. 점은 x->x+a, y->y+b이고, 도형은 x->x-a, y->y-b이다. 대칭이동은 x축 대칭, y축 대칭, 원점 대칭, y=x 대칭이 나오는데, 좌표축 대칭이동 시에, x축 대칭이면 y좌표, y축 대칭이면 x좌표처럼 축과 반대되는 좌표의 부호가 바뀐다. 사실 2022 개정 교육과정에서 행렬이 추가된다고 했으나, 축대칭, y=x 대칭이동 등 선형변환으로서의 행렬을 소개할 수 있었으나 그렇지 못했고 단순히 2×2 행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈만 다루게 되었다.

• 부등식의 영역: 수학Ⅰ의 최종 보스. 가장 심오하고 아름다운 단원으로, 새내기 15-16살 학생에게는 다소 어려울 수 있어 수학Ⅰ의 고비(헬게이트)를 장식한다. 하지만 내용이 뻔하기 때문에 상위권 학생들은 이 단원을 수학Ⅰ에서 가장 재미있는 파트로 꼽는다. 직선의 경우는 y=f(x)꼴이면 >로 연결되었을때 위쪽, <로 연결되었을때 아래쪽이 구하는 영역이 된다. 원 또한 부등호가 >방향이면 원의 외부, <방향이면 원의 내부이다. 물론 x²+y²=r²처럼 양변이 양수일 때를 말한다. 만약 원의 방정식이 -x²-y²=-r²로 되었을때 이것을 써먹으면 여지없이 틀린다. 먼저 x²+y²=r² 또는 (x-a)²+(y-b)²=r²꼴로 고칠 것을 당부한다. 부등호에 등호가 포함되느냐 제외되느냐에 따라 경계의 포함, 제외 여부도 따져야 한다. 또한 f(x,y)g(x,y)>0 꼴은 부호를 두가지로 나눠서 할때 헷갈리지 않도록 주의하자. 부등식의 영역으로 주어진 식의 최대, 최소를 구할 때는 십중팔구 곡선에 접하는 점이나, 두 곡선(혹은 직선)의 교점이 구하는 최소점 혹은 최대점이 된다. 단, 직선일 때는 기울기를 꼭 따지자. 그냥 교점 대입하면 틀리게 내는 쌤도 계신다. 두 점이 직선의 방정식을 기준으로 다른 영역에 있다는 문제는 푸는 방법이 특이하므로 주의하자. 예를 들어 직선의 방정식: ax+by+c=0, 두 점 P(m.n), Q(p,q)를 제공한 문제는, (am+bn+c)(ap+bq+c)<0으로, 즉, 각각의 점을 직선의 방정식에 대입했을 때 나온 식들의 곱이 0보다 작다 라고 식을 세워서 풀면된다. 근데 이것도 사실 그다지 특이한건 아니다. 어떤 점이 그래프를 기준으로 어디에 위치해 있는지, 그리고 그때 y와 f(x)의 값의 관계는 어떻게 되는지를 생각해보면 간단히 유추 가능하다. 참고로 응용문제 중 경영학(특히 생산관리 과목)에서 등장하는 선형계획법과 관련 있는 유형도 존재한다. 2015 개정 교육과정에서는 경제 수학으로 이동한다.

2.2. 대학수학능력시험 수학 영역

• 불수능으로 출제될 때마다 수학Ⅰ과 중학 수학을 연계하는 정도는 매우 짙었다. 그렇기에 고득점을 위해서는 간단한 복습을 해두어야 한다. 한국교육과정평가원(수능 출제자)을 정 믿을 수 없거나 안정적인 1등급을 확보하기 위해서는 수학Ⅰ을 결코 소홀히 해서는 안 된다. 2017학년도 대학수학능력시험 수학 가형에서 다항식을 정리해서 풀 수 있는 벡터 문제(선분 길이 비교 문항)가 출제된 바가 있다. 수학 나형의 경우 수학Ⅱ의 집합과 명제는 그냥 사실상의 수학Ⅰ문제를 내버릴 수 있는 아주 유용한 꼼수로 사용된다(!). 문제 제시법만 집합과 명제지 명제를 자세히 보면 그냥 수학Ⅰ 문제다.
  
• 문·이과 공통으로 개념이 들어간 간접 출제인 수능과 달리, 수학Ⅰ(당시 고1 수학 1학기) 전체가 직접 출제 범위인 것이다.
• 2015학년도 수능 이후 최근 다항식 파트를 연계하는 문제가 30번에 주로 출제되고 있다. 2017학년도 수능에서도 정답률 1% 미만을 기록한 문제가 이를 활용한 문제였다. 이처럼 조금이라도 센스가 떨어지면 못 풀게끔 출제한다.
• 다항식 파트를 잘 익혀두면, 전국연합학력평가나 대학수학능력시험 모의평가 2,3점으로 출제되는 문제들의 풀이 시간을 20 ~ 30초는 아낄 수 있다. 이를테면, "$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2-ax+b}{x-1}=4$일 때 a²+b²=?"과 같은 문제가 있다 하자. 여기서 인수분해를 익혔다면 분자를 (x-1)(x-b)로 인수분해된 식으로 놓은 다음 1-b=4라고 놓고 b=-3이라 구한 뒤 인수분해식 전개하여 a=-2를 구할 수 있다. 그러나 여기서 완벽히 기본기를 다지지 못한 학생은 그 문제가 나오면 x=1을 분자에 대입해서 1+a+b=0이라고 생각한 뒤 b=-a-1을 대입한 뒤에나 인수분해를 하게 되어 시간을 잡아먹는 불상사를 맞게 될 수 있다. 그냥 조립제법으로 풀면 된다어차피 그게 그거 아니냐고 대수롭지 않게 여길 수도 있지만 실제로 수능 수학 풀이에 있어 시간은 소중한 것이다.[7]
• 2017학년도 모의평가에서 이차함수 파트가 미적분Ⅰ에서 간접적으로 출제되었다.

2.3. 경찰대학 시험

2.4. 여담

2.4.1. 교과명과 로마 숫자 Ⅰ, Ⅱ

• 7차 교육 과정: 지수와 로그, 행렬, 수열, 수열의 극한, 지수함수와 로그함수, 순열과 조합, 확률, 통계
• 2007 개정 교육 과정: 행렬과 그래프, 지수함수와 로그함수(지수와 로그 포함), 수열, 수열의 극한
• 2009 개정 교육 과정: 다항식, 방정식과 부등식, 도형의 방정식

2.4.2. 기타

• 고등수학(現 수학Ⅰ, 수학Ⅱ)은 인생에 큰 도움이 되는 것들이다. 고졸로 공부를 끝내고 바로 생산 전선이나 아르바이트에 종사하지 않는 한, 4년제를 가든 전문대를 가든 의학계열, 자연과학계열, 공학계열은 물론이고 상경계열, 사회과학계열마저도 반드시 필요하다. 필요하지 않다는 인식이 팽배한 인문계열, 어문계열도 대기업 인적성검사를 대비하기 위해서는 반드시 필요하다.
• 2009 개정 교육과정 수학 계열 과목에서 기초 수학과 고급 수학을 제외하면 유일하게 수능 출제 범위가 아니다.