, 이 학문을 기반으로 수학을 가르치는 사람에 대한 내용은 수학교사 문서
참고하십시오.1. 개요
수학교육학은 수학의 교수·학습을 개선하는 데에 주요 목적을 둔 학문으로서, 순수수학 및 일반교육학을 비롯하여 수학인식론, 수리철학, 수학사, 심리학, 응용수학 등 관련 분야의 연구 결과를 종합해야 하는 응용학문이다.2. 수학교육학의 성격
수학교육은 내용적, 설명적, 교육적 관점에서 이해될 수 있으며, 이를 통해 '수학을 왜 배워야 하는가'와 같은 질문에 실마리를 얻을 수 있다.- 내용적 이해: 수학 그 자체
- 설명적 이해: 수학사, 수학기초론, 수리철학, 수리논리학, 수학사상사
- 교육적 이해: 수학교육과정론, 수학교재론, 수학 교수·학습론, 수학교육평가, 수학 문제해결, 수학교육공학
3. 수학교육의 필요성 및 목적
수학교육은 정신도야성, 실용성, 문화적 가치 및 심미성 등에 그 목적을 두고 있다. 정신도야성은 학생들의 논리적 추론 등의 정신적 능력을 배양하는 데에 도움이 된다는 것을 의미하며, 수학의 엄밀성, 간결성, 논리성, 일반성 등에 근거하고 있다. 실용성은 넓은 의미로 해석해야 하는 것으로, 비단 학교 밖 주변에서의 실용성뿐 아니라, 상품을 구입하기 위해 자료를 조사하고, 가격을 비교하며, 구매 조건을 분석하여 최선의 선택을 하는 상황도 실용성의 범주에 포함할 수 있다. 또한 수학은 과학기술의 토대가 되며, 학생의 장래 직업 선택에 도움이 될 수 있도록 여러 방향의 가능성을 열어 두는 교육이 필요하다는 측면에서도 수학교육의 의미를 찾을 수 있다. 문화적 가치 및 심미성은 수학을 통해 아름다움을 느낄 수 있게 하기 위한다는 것을 의미한다. 주변의 사물이나 우주의 질서로부터, 또한 수학 그 자체에서 아름다움을 찾을 수 있다.(황혜정 외, 2019a: 42-49)4. 수학교육 철학
수리철학은 수학의 본질에 대하여 성찰하고 설명하는 것을 과제로 삼는 반면, 수학교육 철학은 수학교수의 활동 또는 실행에 대한 목적이나 이유를 고민한다. 가령, 수리철학에서는 '수학의 본질은 무엇이며 무엇이 수학적 진리를 특징짓는가?' 등을 살펴보며, 수학교육 철학에서는 '수학의 교수와 학습의 목적이 무엇이며, 어떻게 하면 어려운 수학을 학생들에게 잘 가르칠 수 있을까?' 등을 다룬다. 수학교육 철학의 고민들은 수리철학에 대한 고민 없이는 대답하기 어려우며, 두 철학은 서로 밀접한 관계에 있다.(강옥기 외, 2012: 21) 대표적인 수리철학 몇 가지를 살펴보면 아래와 같다.- 절대주의 수리철학
- 플라톤주의
- 논리주의
- 직관주의
- 형식주의
- 상대주의 수리철학
- 준경험주의
- 구성주의
5. 딘즈(디너스)의 수학 학습 이론
(1) 수학적 개념 형성딘즈(Dienes)는 수학 학습을 "놀이를 통한 구성적 활동"이라고 보고, 수학적 개념 형성 과정의 3단계를 제시하였다. 이 단계는 예비 놀이 단계 → 구조화된 놀이 단계 → 실습 놀이 단계이며, 이러한 단계를 거치며 형성된 수학적 개념은 닫힌 상태(폐)가 되지만, 분석과 적용의 과정에서 열린 상태(개)로 변해 보다 수준 높고 객관적인 재구성이 이루어진다는 것이다. 이와 같은 개념 형성의 사이클을 개폐연속체라고 하였다.(김남희, 2021: 104-105)
(2) 개념 학습 과정
딘즈는 수학 학습에서 구체적인 자료를 사용할 것을 중시하였으며, 다양한 교구를 조작하는 활동으로부터 개념이 발달되고 세련된다고 보았다. 딘즈는 놀이를 통한 수학적 개념의 학습 과정을 다음과 같은 6단계로 설명하고 있다. (김남희, 2021: 105-106)
- 1단계: 자유놀이 단계
- 2단계: 규칙놀이(게임) 단계
- 3단계: 공통성 탐구 단계
- 4단계: 표현 단계
- 5단계: 기호화 단계
- 6단계: 형식화 단계
(3) 수학 학습 원리
딘즈는 자신의 학습 이론을 구현하기 위한 효과적인 학습 원리를 4가지로 제시하고 있는데, 이는 다음과 같다.(황혜정 외, 2019a: 252-253; 김남희, 2021: 107-111)
- 역동적 원리: 바람직한 수학 학습을 위해서는 역동적인 학습 활동이 전제되어야 한다.
- 구성적 원리: 아동에게 제시하는 수학적 상황은 분석보다 (직관적인) 구성을 요구하는 것이 우선되어야 한다.
- 지각적 다양성의 원리: 근본적으로 동일하지만 다르게 보이는 과제를 제시하여 지각적 표현을 변화시킨다.
- 수학적 다양성의 원리: 개념은 변하지 않게 유지하면서 가능한 한 많은 변인을 변화시킨다.
6. 수학화 교수·학습론
프로이덴탈(Hans Freudenthal)은 수학적 개념, 구조, 아이디어 등의 본질이 물리적, 사회적, 정신적 세계의 현상을 조직하기 위한 수단으로 발견되어 왔다고 주장하며, 이 주장을 교수학적 현상학으로 체계화하였다. 프로이덴탈은 현상을 본질로 조직하는 과정을 수학화로 명명하였다. 가령 자연 현상이나 경제 현상을 함수 관계로 파악하고 기술하는 것은 현실 세계를 수학화하는 것이며, 기하를 대수적 방법으로 다루는 것은 기하를 수학화하는 것이다. 프로이덴탈은 수학을 가르칠 때 연역적인 체계만을 중시하여 지도하는 것을 반교수학적 전도라고 비난하고, 수학의 연역적인 체계만을 중시하는 수학교육 현대화 운동을 비판하였다. 학생들이 스스로의 활동을 통해 수학화 과정을 직접 경험해 봄으로써, 수학의 본질적 측면을 체험시키는 것이어야 함을 주장한 것이다. (황혜정 외, 2019a: 279-281; 강옥기 외, 2012: 223).7. 수학 학습 수준 이론
반 힐레(van Hiele)는 기하 학습에 다섯 수준이 존재하며, 기하 교수에서의 주된 문제는 교사가 학생에게 '기대하는 수준과 학생들의 수준의 차이로부터 발생한다. 이 이론은 많은 학생들이 기하 수업에서, 특히 형식적인 증명에서 어려움을 겪는 이유를 잘 설명해 준다. 아울러 기하 학습 수준의 상승을 위한 교수·학습 단계 이론을 제시하였다.(황혜정 외, 2019a: 301-310; 강옥기 외, 2012: 248)- 기하 학습 수준 이론
- 제1수준: 시각적 인식 수준
- 제2수준: 기술적/분석적 인식 수준
- 제3수준: 관계적/추상적 인식 수준
- 제4수준: 형식적 연역 수준
- 제5수준: 엄밀한 수학적 수준
- 교수·학습 단계 이론
- 1단계: 탐색 단계
- 2단계: 안내된 탐구 단계
- 3단계: 명료화 단계
- 4단계: 자유 탐구 단계
- 5단계: 통합 단계
8. 수학과 평가
평가는 교수·학습의 결과이자 과정으로서의 역할을 한다. 학생의 성취 수준 판단이나 진학 기준 등으로 사용되기도 하며, 학생들의 어려움을 파악하고 차후 수업 계획 및 교수 방법을 수정 및 보완하기 위해 사용되기도 한다.(강옥기 외, 2012: 441) 수업에서의 평가는 학생들의 성장과 발달을 돕기 위한 목적에서, 학습 상태를 점검하고 교사의 수업을 개선하기 위해 활용되어야 한다.(황혜정 외, 2019b: 289) 이러한 평가는 다양한 기준으로 분류할 수 있는데, 대표적인 것을 열거하면 다음과 같다.- 평가 목적에 따른 분류
- 진단평가
- 형성평가
- 총괄평가
- 평가 방법에 따른 분류
- 서술형 평가
- 프로젝트
- 관찰 및 면담
- 포트폴리오 평가
한편, 2022 개정 수학과 교육과정에서는 다음과 같은 평가 방향 및 방법을 안내하고 있다.(교육부, 2022: 47-49)
{{{#!folding 펼치기·접기
(1) 평가의 방향(가) 학생의 수학 학습에 대한 정보를 수집⋅활용하여 학생의 주도적 학습과 성장을 지원하고 교사의 수업 개선을 돕도록 지속적으로 평가를 실시한다.
(나) 수학과 교육과정에 제시된 성격, 목표, 내용 체계, 성취기준, 교수⋅학습과 일관성을 가지도록 평가를 실시한다.
(다) 학생의 수학 학습을 돕기 위해 수업과 평가를 통합하여 과정을 중시하는 평가를 실시한다.
(라) 수학 내용 체계의 지식⋅이해, 과정⋅기능, 가치⋅태도를 학습 결과뿐 아니라 학습 과정에서 균형 있게 평가한다.
(마) 학생이 평가 과정에 적극적으로 참여하고 스스로 설정한 수학 학습 목표에 대한 달성 여부를 점검할 수 있게 한다.
(바) 학생의 사회⋅문화적 배경, 신체 특성 등이 불리하게 작용하지 않도록 평가를 실시하고, 학생의 사전 지식, 수학에 대한 흥미, 학습 유형, 학습 수준을 고려하여 평가 목적, 교수⋅학습 내용 및 방법에 따라 다양한 평가 방법을 적용한다.
(사) 진단평가, 형성평가, 총괄평가 등을 적절히 활용하여 수학 학습 과정과 결과에 대한 구체적인 정보를 바탕으로 학생의 특성과 학습 결손을 파악하고 개별적 지원 방안을 마련한다.
(아) 온라인 수학 수업에서 평가를 할 때 학습 환경 등의 외적 요소가 수학 학습 과정과 평가 결과에 영향을 미치지 않도록 한다.
(자) 평가 절차를 개방적이고 공정하게 시행하고 학생의 수학 학습에 대한 의미 있는 정보를 학생, 학부모에게 제공한다.
(2) 평가 방법
(가) 수학 수업과 연계하여 과정을 중시하는 평가를 실시할 때는 다음 사항을 고려한다.
① 성취기준을 중심으로 지식⋅이해, 과정⋅기능, 가치⋅태도 범주를 평가 요소로 구체화한다.
② 교수⋅학습과 연계하여 적절한 평가 도구와 준거를 개발하고 평가를 실시한다.
③ 평가 결과에 기반하여 학생의 학습 정보 및 수행 과정을 학생과 학부모에게 환류한다.
(나) 수학 교과 역량을 평가할 때는 다음 사항을 고려한다.
① 문제해결 역량의 평가는 수학의 개념, 원리, 법칙을 문제 상황에 적절히 활용하는지, 주어진 조건과 정보를 분석하고 적절한 해결 전략을 탐색하여 해결하는지, 문제해결 과정을 돌아보며 절차에 따라 타당하게 결과를 얻어내고 이를 반성하는지, 적극적이고 자신감 있게 문제해결에 참여하는지, 적절한 방법을 찾기 위해 끈기 있게 도전하는지 등을 고려한다.
② 추론 역량의 평가는 수학의 개념, 원리, 법칙을 이해하는지, 논리적으로 절차를 수행하는지, 수학적 지식을 다양한 방법으로 탐구하는지, 관찰에 근거하여 추측하고 일반화를 할 수 있는지, 추측의 근거를 제시하는지, 타당한 정당화를 하는지, 수학에 대한 흥미와 관심을 갖는지, 체계적으로 사고하려는 성향이 있는지, 수학적 증거와 논리적 근거를 바탕으로 비판적으로 사고하는 태도를 갖는지 등을 고려한다.
③ 의사소통 역량의 평가는 수학 용어, 기호, 표, 그래프 등 수학적 표현을 이해하고 정확하게 사용하는지, 적절한 수학적 표현을 선택할 수 있는지, 수학적 표현 간에 변환을 할 수 있는지, 수학적 아이디어나 수학 학습 과정 및 결과에 대해 표현하고 다른 사람의 견해를 이해하는지, 수학적 표현의 편리함을 인식하는지, 타인을 배려하고 의견을 존중하는지 등을 고려한다.
④ 연결 역량의 평가는 영역이나 학년(군) 내용 사이에서 개념, 원리, 법칙을 적절하게 관련지어 이해하는지, 수학의 개념, 원리, 법칙을 연계하여 새로운 지식을 생성할 수 있는지, 수학을 실생활이나 타 교과의 지식, 기능, 경험에 적용할 수 있는지, 실생활이나 타 교과의 지식, 기능, 경험을 수학적으로 해석할 수 있는지, 수학을 바탕으로 창의적으로 관련성을 찾을 수 있는지, 수학의 유용성을 인식하는지 등을 고려한다.
⑤ 정보처리 역량의 평가는 자료와 정보를 목적에 맞게 수집하고 변환하고 정리하는지, 자료를 바탕으로 도출한 결론이 적절한지, 교구나 공학 도구를 적절하게 활용하는지, 수학적 근거를 바탕으로 합리적으로 의사 결정하는 태도를 갖는지 등을 고려한다.
(다) 학생의 수학 학습 과정과 결과는 다양한 평가 방안을 사용하여 양적 또는 질적으로 평가한다.
① 지필평가는 수학 내용 체계의 지식⋅이해, 과정⋅기능을 평가하는 데 활용할 수 있고, 선택형, 단답형, 서⋅논술형 등의 다양한 문항 유형을 사용할 수 있다.
② 프로젝트 평가는 학생 스스로 특정 주제나 과제를 탐구하고 해결하기 위해 계획을 수립하고 수행하는 과정과 그 결과물을 평가하는 방안으로, 수학 내용 체계의 세 범주를 종합적으로 평가할 때 활용할 수 있다.
③ 포트폴리오 평가는 학생의 성장에 대한 정보를 얻기 위해 수학 학습 수행과 그 결과물을 일정 기간 수집하여 평가하는 방안으로, 수학 교과 역량의 발달을 종합적으로 평가할 때 활용할 수 있다.
④ 관찰 평가, 면담 평가, 구술 평가는 학생 개인 및 소집단을 관찰, 학생과의 질의응답, 학생의 발표를 통해 평가하는 방안으로, 학생의 사고 방법, 수행 과정, 수학 내용 체계의 가치⋅태도 등을 평가할 때 활용할 수 있다.
⑤ 자기 평가는 학생 스스로 자신의 학습 과정과 결과를 평가하는 방안으로, 수학 내용의 이해와 수행 과정, 문제해결과 추론 과정의 반성, 자신의 생각 표현, 수학 내용 체계의 가치⋅태도 등을 평가할 때 활용할 수 있다.
⑥ 동료 평가는 동료 학생들이 상대방을 서로 평가하는 방안으로, 협력 학습 상황에서 학생 개개인의 역할 수행이나 집단 활동의 기여를 평가할 때 활용할 수 있다.
(라) 교구나 공학 도구를 활용하여 평가할 때는 다음 사항을 고려한다.
① 성취기준의 도달 여부를 판단하는 데 교구나 공학 도구의 사용이 효과적인 경우 이를 활용한 평가를 실시할 수 있다.
② 교구나 공학 도구를 활용하여 평가할 때는 교구나 공학 도구의 기능 및 조작이 아닌 수학 내용의 탐구 과정을 평가한다.
(마) 온라인 수학 교수⋅학습 환경에서 평가할 때는 다음 사항을 고려한다.
① 온라인 수학 학습에서는 학생의 활동에 근거한 구체적인 자료를 사용하여 평가한다.
② 온라인 학습 플랫폼이나 학습 관리 시스템을 이용하여 학생의 수행 과정을 관찰하고 개별 맞춤형으로 환류할 수 있다.
③ 학생의 접속 환경 미비로 인한 불참 시 기회 부여 등에 대해 방안을 마련하고 형평성의 문제가 제기되지 않도록 사전에 안내한다.}}}
9. 참고문헌
- 강옥기, 강윤수, 고상숙, 고호경, 권나영, 김구연, 김래영, 김민경, 김응환, 김익표, 노선숙, 서보억, 신재홍, 이수진, 이중권, 정인철, 한인기, 허혜자, 황우형(2012). 수학교육학 신서. 서울: 교우사.
- 김남희(2021). 문제를 해결하며 학습하는 수학교육학. 서울: 경문사.
- 교육부(2022). 수학과 교육과정. 교육부고시 제2022-33호 [별책 8].
- 황혜정, 나귀수, 최승현, 박경미, 임재훈, 서동엽(2019a). 수학교육학신론 1. 경기: 문음사.
- 황혜정, 최승현, 조성민, 박지현(2019b). 수학교육학신론 2. 경기: 문음사.