1. 소개
純正律 / Just intonation음들 사이의 주파수 비율(또는 음정)이 간단한 정수비인 음률(음계)을 말한다.
음 사이의 비율이 정수비이므로 몇몇 협화음은 말 그대로 완벽하지만, 수학적 이유로 필연적으로 발생하는 불협화음이나 튜닝에 있어서의 난점 등으로 현재는 평균율에 표준의 자리를 내줬다. 하지만 국악의 음률을 비롯해 전통음악, 평균율 이전의 음악, 건반악기가 끼지 않는 클래식 음악에서는 자주 쓰였다.
2. 기초
서양 음악사에서 순정률의 기초를 닦은 것은 피타고라스이다. 피타고라스는 수학자이면서도 음악에 관심을 가져서, 음높이의 비율이 음정의 기본이 된다는 것을 밝혀냈다. [1] 그리고 그 비율이 간단할수록 더 듣기 좋은, 더 조화로운 화음이 된다는 것을 깨달았다. 물론 피타고라스가 주파수를 직접 잴 수는 없었을테니, 아래 나오는 내용들은 현 길이의 비율이나 관 길이의 비율로 생각해도 좋다.가장 간단한 음정은 완전1도(Unison), 즉 높이가 같은 두 음이다. 주파수 비율은 당연하게도 1:1이다. 완벽히 일치하므로 듣기에 좋고 말고할 것도 없다.
그 다음으로 간단한 음정은 완전8도(Octave), 음높이가 한 옥타브만큼 차이가 나는 두 음이다. 주파수 비율은 1:2이며, 일반적인 악기에서 첫 번째로 발생하는(2차) 배음이기도 하다. 사람이 듣기에는 너무 잘 맞아서 민감하지 않다면 1옥타브 차이나는 음을 같은 음으로 듣기도 한다. 단순한 숫자인 1과 2의 비율인 만큼 모든 음악의 근간이 된다.
2:3의 주파수 비율에 해당하는 것은 완전5도 (Perfect 5th). C와 G 사이의 음정이다. 또한 두 번째로 발생하는(3차) 배음[2]이다.
3:4은 완전4도 (Perfect 4th). C-F다. 완전 4도는 중요한 음정이기는 하지만, 옥타브와 완전5도만 가지고 만들 수 있기 때문에[3] 완전5도만 잘 맞춰도 완전4도도 마찬가지로 잘 맞는다.
이상을 완전 음정이라고 한다. 보면 작은 정수들로 이루어진 비율이라는 것을 알 수 있다.
4:5는 보통의 장3도에 해당하며, 5차 배음이므로 완전음정 다음으로 중요하게 취급된다. 많은 순정률 음계가 장3도를 5:4로 맞춘다.
이외에도 여러 음정들이 있으며, 모두 다 정확히 맞추는 것은 불가능하기 때문에 적절히 타협하여, 몇몇 음정만 정확히 맞도록 하거나 여러 음정을 조금씩 틀리게 맞출 수 있는데, 이 중 전자의 방법을 택한 것을 순정률이라고 부른다.
3. 피타고라스 음률
(당연하게 여겨지는 옥타브를 제외하고) 가장 간단한 비율인 3:2, 또는 완전5도만을 이용해 음계를 만들어내는 방식이 피타고라스 음률(Pythagorean temperament)이다. 가장 큰 장점은 (대부분의) 완전5도가 정확한(just) 완전5도라는 것.한 음에서 시작해서 완전5도 위의 음을 계속 쌓아올리면(주파수에 3:2를 계속 곱하다보면) 주파수 비율이 1, 1.5, 2.25, 3.375, ... 인 음을 얻어나갈 수 있다. 이렇게 계속하다 보면, 12번을 반복한 이후에는 13번째 음이 시작음과 비슷한 음(주파수 비가 2의 제곱수와 비슷한)이 된다. 정확히는 1.5^12 = 129.746 정도로, 2^7 = 128과 약 1.3% 정도밖에 차이나지 않는다. 즉 7옥타브가 완전5도 12개와 꽤 비슷한 것.
이 때, 옥타브 관계에 있는 음 끼리는 같은 음 취급을 하므로, 비율이 2를 넘을 때마다 2로 나눠준다. 즉 1, 1.5, 1.125, 1.6875, ... 이런 식으로.
완전5도씩 올라가기만 하는 것이 아니라 완전5도씩 내려가는 것도 사용할 수 있다. 계속 올라가기만 하는 것은 복잡한데다 후술할 이유로 인해 쓰지 않고, 6번 내려가고 6번 올라가는 방법을 쓴다. 시작하는 기준음을 D로 해 나타내면
A♭-E♭–B♭–F–C–G–D–A–E–B–F♯–C♯–G♯
로 나타낼 수 있다. 기준음 D 왼쪽은 D에서부터 완전5도씩 내려가 G, C, F, ...를 얻고, 오른쪽은 D에서부터 완전5도씩 올라가 A, E, B, ...을 얻은 것이다. 그리고 상술한대로 G♯은 A♭과 비슷한 음이 되므로 멈춘다. 마지막으로 2를 적당히 곱하거나 나누어서 1과 2사이의 비율로 바꾸면, D-E♭-E-F-F♯-G-A♭/G♯-A-B♭-B-C-C♯-D의 한 옥타브가 12음으로 이루어진 음계를 얻을 수 있다. 이 음계를 Pythagorean chromatic scale이라고 부른다.그런데, 상술했듯 완전5도 12개가 7옥타브에 비해 약간 크므로, 위와 같은 방법으로 얻은 G♯과 A♭은 절대로 같을 수가 없다. D와의 비율을 계산해보면 각각 1.4238, 1.4047 정도로 G♯이 A♭보다 약간 더 높다. 이 차이나는 두 음 사이의 음정을 피타고라스 콤마(Pythagorean comma)로 부른다. 보통 반음의 약 1/4 정도 혹은 옥타브의 약 1/53 정도.[4]
두 음이 차이나므로 둘 중에 하나의 값을 G♯/A♭으로 쓰기로 하는 수밖에 없는데, 이때 G♯을 택하면 G♯-A의 사이가 다른 반음들에 비해 가까워지고, A♭을 쓰기로 하면 G-A♭의 사이가 가까워진다. 이 가까워지는 정도는 당연히 피타고라스 콤마만큼이다.
또한 전자의 경우에는 G♯-E♭가, 후자의 경우에는 C♯-A♭이 완전5도에 비해 피타고라스 콤마만큼 줄어들게, 플랫하게 된다. 이렇게 완전5도하고는 좀 차이나는 이 음정을 wolf 5th라 부르며 피타고라스 음률의 큰 단점으로, 프렛 없는 현악기라면 연주자의 실력으로 잘 들리지 않게 무마할 수 있지만 관악기나 건반악기에서는 문제가 될 수 밖에 없다.
또한 항상 완전5도만 연주하는 것이 아니므로 음계에서 만들어질 수 있는 완전5도가 아닌 음정들도 간단한 정수비에 가까울 수록 좋은데, 5차 배음에서 생기는, 흔히 장3도로 불리는 음정과 가장 비슷한 음정을 피타고라스 음계에서 찾으면 D-F♯가 된다. 간단한 정수비라면 5:4여야 하는데 피타고라스 음계에서의 비율은 81:64(완전5도 4개에서 2옥타브를 뺀 것)로, 1.25%만큼 더 넓다. 이 차이가 신토닉 콤마(syntonic comma)로, 무시할 수 없는 차이이기 때문에 피타고라스 음계에서는 장3도도 영 좋지 못하다. 따라서 후대의 음률들은 wolf 5th를 적당히 처리하고 장3도를 5:4에 가깝게 하는데 많은 노력을 한다.
삼분손익법의 경우 셋으로 잘라서 하나를 버리거나(3:2) 하나를 더하는(4:3) 것에서 알 수 있듯이 근본적으로 피타고라스 음률과 똑같다.
3.1. 5음 음계 / 펜타토닉 스케일
피타고라스는 12음 음계를 만들었지만 마찬가지 방법으로 5음 음계(펜타토닉 스케일)도 만들 수 있다. 피타고라스 방식과 똑같이 3:2의 비율을 곱하되, 12개나 쌓아서 옥타브 7개와 비슷해지는 대신에, 5개의 완전5도만 쓴다. 5개의 완전5도는 1.5^5 = 7.59375로, 옥타브 3개인 2^3 = 8보다는 약간 작지만 그럭저럭 비슷한 것을 알 수 있다. 즉 D음을 기준으로 C-G-D-A-E까지만 만들고 끝내는 것. 한 옥타브안에 D-E-A-G-C, 5개의 음이 있으므로 5음음계(Pythagorean pentatonic scale)이다.5번만 반복해도 되기 때문에 만들기도 쉽고 꽤나 그럴듯하기 때문에 세계 각지의 전통음악에서 비슷한 방식으로 5음을 만드는 음률들을 쉽게 찾아볼 수 있다. 궁상각치우의 경우 삼분손익법을 5번만 하는 것으로, 피타고라스 방식으로 만든 5음음계와 똑같다. 물론 현재는 12음 피타고라스 음계도 평균율로 대체된 것처럼, 평균율의 일부를 사용하거나 또는 5음 평균율을 쓴다.
3.2. 7음 음계 / 다이아토닉 스케일
5음에서 만족하지 않고 계속 나아가다보면, 1.5^7 = 17.0859 정도로, 옥타브 4개인 2^4 = 16과 그럭저럭 비슷한 값임을 알 수 있다. 즉 C를 기준음으로 했을 때F-C-G-D-A-E-B를 얻어, C-D-E-F-G-A-B의 7음 음계를 얻을 수 있다. 즉, 우리가 피아노에서 보던 흰 건반 7개다. 인접한 음 사이의 간격(주파수 비율)을 구해보면 5개는 9:8, 2개는 256:243임을 알 수 있는데, 이 중 큰 9:8을 온음, 작은 256:243을 반음이라고 부른다. 이렇게 얻은 음계를 피타고라스 다이아토닉 음계(Pythagorean diatonic scale)이라고 부른다.4. 5-limit tuning
2:1(옥타브), 3:2(완전5도), 5:4(장3도)만을 이용한 순정률을 5-limit tuning이라고 한다. 다른 음정은 이 3가지를 이용해서 만든다. 장3도에 5:4 비율을 사용하기 때문에 위의 피타고라스 음률보다 더 자연스러운 3화음을 얻을 수 있다. 간단하면서도 장3도가 어울린다는 큰 장점으로 인해 순정률 중 가장 자주 사용된다.| C | D | E | F | G | A | B | C |
| 1:1 | 9:8 | 5:4 | 4:3 | 3:2 | 5:3 | 15:8 | 2:1 |
특히 7음 장음계의 경우 모든 주요 3화음을 4:5:6으로 정확하게 맞출 수 있으며, 3개의 장3도 모두, 4개의 단3도 중 3개를 정확한 비율로 맞출 수 있다. 대부분의 주요 화음이 정확하기 때문에 사실상 표준이나 마찬가지이다. 피타고리안 장음계에서 E, A, B음을 신토닉 콤마만큼 낮춰서 쉽게 얻을 수 있다. 단, D-A 간격이 40:27 wolf fifth가 되고 D-F 간격이 32:27로 피타고리안 단3도가 되어버리는 등 D음이 포함된 화음이 안 맞는 것이 약점이다.
이를 12음 음계로 확장하면 이렇게 된다.
| D 10:9 | A 5:3 | E 5:4 | B 15:8 | F♯ 45:32 |
| B♭ 16:9 | F 4:3 | C 1:1 | G 3:2 | D 9:8 |
| G♭ 64:45 | D♭ 16:15 | A♭ 8:5 | E♭ 6:5 | B♭ 9:5 |
이 5-limit tuning은 같은 이름의 음이라도 다른 음고를 가질 수 있는 특징이 있다. 위 표에서 보이듯이 D는 C에서 9:8(C→G→D)로도, 10:9(C→E→A→D)로도 얻을 수 있다. 9:8을 선택하면 A와 맞지 않게 되고, 10:9를 선택하면 G와 맞지 않게 된다. 또한 C-D의 비율과 D-E의 비율 역시 같은 장2도지만 달라지게 된다.
이와 관련해 이탈리아 수학자 Giovanni Battista Benedetti의 음악 퍼즐이 있다. G3→D4→A4→E4→C4→G4의 순서로 음을 맞추면 G4와 G3의 비가 2:1이 아니라 81:40이 된다. 이 차이는 위에서 말한 syntonic comma와 같다. 이것을 계속 연주하려고 하면 음고가 계속 올라가서 다른 이름의 음이 된다.
수학적으로는 가능한 두 음 사이의 비율을 5 이하의 소수(2, 3, 5)의 곱으로만 한정짓는 것으로, 마찬가지 원리로 7-limit, 11-limit 등의 더 복잡한 순정률을 구현할 수 있다. 예를 들어 7-limit tuning에는 B♭을 9:5가 아닌 7:4로 조율해서 4:5:6:7 비율의 자연스러운 딸림7화음을 나타낼 수 있다.[5] 5-limit에서는 이 비율이 20:25:30:36이 된다. 그 외에도 셋온음(증4도/감5도)은 5-limit에서는 25:18, 36:25, 45:32, 64:45로 조율하지만, 7-limit tuning에서는 7:5 또는 10:7이 된다. 11-limit에서는 11:8이 되기도 한다.[6]
[1] 전설에 따르면 피타고라스가 대장장이의 망치 소리가 조화롭기도 하고 그렇지 않기도 한 것을 보고 깨달음을 얻었다고 한다.[2] 주파수가 3배인 3차배음을 옥타브만큼 낮추면 완전5도다.[3] (1:2) / (3:2) = (4:3)[4] 이는 53-TET가 순정률에 매우 가까운 이유이기도 하다.[5] 참고로 7:4 비율의 주파수를 갖는 음정은 '자연7도(Harmonic Seventh)'라 한다.[6] 이 경우 정확히는 F와 F♯의 중간음이 되므로 사실상 미분음이 된다.