타우(수학)

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수학상수 Mathematical Constants
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[math(^{\ast?})] 유리수인지 무리수인지 밝혀지지 않음

}}}}}}}}} ||

1. 개요2. 상세

2.1. 물리학

3. 표기4. 값5. 기타

1. 개요

3Blue1Brown의 설명.

그리스 문자 [math(tau)](타우)로 나타내는 새로운 원주율이다. 기존 원주율의 2배 값을 가진다. [math(\tau{\rm\,rad})]은 육십분법으로 표현하면 [math(360\degree)]이고, 그레이드로 나타내면 [math(400^{\char0609})]이다.

2. 상세

파일:external/upload.wikimedia.org/400px-Angle_radian.svg.png

호도법 문서에도 서술되었듯이 부채꼴에서 호의 길이를 [math(l)], 반지름의 길이를 [math(r)]이라고 할 때 호도법을 이용한 중심각 [math(\theta)]의 수치는 다음과 같이 반지름에 대한 호의 비로 정의된다.

[math(\theta/{\rm rad} = \dfrac lr)]

다만 현재 쓰고 있는 원주율 [math(pi)]는 지름([math(d=2r)])에 대한 원주([math(l=2\pi r)])의 비로 정의되어있어 라디안의 정의와 정확히 [math(\dfrac12)]배 차이가 난다. 그러다보니 호도법에서 한 바퀴에 해당하는 수치가 [math(\pi)]가 아닌 [math(2\pi)]가 되어버린다. 그에 따라 물리학을 비롯하여 원주율을 사용하는 많은 분야에서 [math(\pi)]가 아닌 [math(2\pi)]가 기준이 되어버리는 부자연스러운 상황이 많이 발생한다. 실제로 원은 반지름으로 정의되기 때문에 반지름 대 원주의 비로 정의되는 이 상수가 원주율로서 더 적합하다고 한다.

이 때문에 [math(tau=2pi=6.283185cdotscdots)]를 사용해야 한다고 주장하는 학자들이 있다. 미국 물리학자 마이클 하틀(Michael Hartl)의 '[math(tau)] 선언문', 우리나라 뉴스

이 상수를 이용하면 원주의 길이는 [math(\tau r)], 원의 넓이는 [math(\dfrac12 \tau r^2)]이 된다. 이 두 식은 파이를 사용한 식보다 훨씬 근본적인 식이다.

호도법을 쓸 때도 한 바퀴가 [math(\tau{\rm\,rad})]이라서 편하다. 예를 들면 한 바퀴의 [math(\dfrac12)]은 [math(\dfrac12\tau{\rm\,rad})]이 된다. 그래서 삼각함수에서 [math(\sin)], [math(\cos)] 함수의 한 주기가 [math(\tau)]가 된다.

오일러 공식에 [math(\tau)]를 대입하면 [math(e^{i\tau}=1)]이 된다.

2.1. 물리학

물리학에서도 [math(\pi)]보다 [math(2\pi)]가 자주 등장하는데, 등속 원운동에서 각속도 [math(\omega)]로 [math(1)]회전하는 데에 걸리는 시간(주기 [math(T)])은 [math(T = \cfrac{{\color{red}2\pi}{\rm\,rad}}\omega)]이라든지, 플랑크 상수를 [math(2\pi)]으로 나눈 디랙 상수 [math(\hbar = \cfrac h{\color{red}2\pi})] 등이 대표적인 예이다. 위의 예시를 [math(\tau)]로 나타내면 [math(T=\cfrac{\tau{\rm\,rad}}\omega)], [math(\hbar=\cfrac h\tau)]가 되어 깔끔한 식이 된다.

특히 플랑크 상수 혹은 디랙 상수를 쓰는 물리 상수의 경우, 이를테면 슈테판-볼츠만 상수 [math(\sigma)]는 [math(\sigma = \cfrac{{\color{red}2}\pi^5{k_{\rm B}}^4}{{\color{red}15}c^2h^3} = \cfrac{\pi^2{k_{\rm B}}^4}{{\color{red}60}c^2\hbar^3})]로 계수가 변하여 외우기 곤란하다는 문제점이 있으나 [math(\tau = 2\pi)]를 쓰면 [math(\sigma = \cfrac{\tau^5{k_{\rm B}}^4}{{\color{blue}240}c^2h^3} = \cfrac{\tau^2{k_{\rm B}}^4}{{\color{blue}240}c^2\hbar^3})]로 계수가 일정해지는 장점이 있다. 이 밖에도 미세구조상수 [math(\alpha = \cfrac{e^2}{{\color{red}4}\pi\varepsilon_0c\hbar} = \cfrac{e^2}{{\color{red}2}\varepsilon_0ch})] 역시 [math(\alpha = \cfrac{e^2}{{\color{blue}2}\tau\varepsilon_0c\hbar} = \cfrac{e^2}{{\color{blue}2}\varepsilon_0ch})]로 [math(\tau)] 유무의 차이만 있으며 이는 보어 마그네톤 [math(\mu_{\rm B} = \cfrac{e\hbar}{{\color{blue}2}m_{\rm e}} = \cfrac{eh}{{\color{red}4}\pi m_{\rm e}} = \cfrac{eh}{{\color{blue}2}\tau m_{\rm e}})], 핵 마그네톤 [math(\mu_{\rm N} = \cfrac{e\hbar}{{\color{blue}2}m_{\rm p}} = \cfrac{eh}{{\color{red}4}\pi m_{\rm p}} = \cfrac{eh}{{\color{blue}2}\tau m_{\rm p}})] 등에서도 마찬가지이다.

3. 표기

[math(\tau)]는 turn의 머리글자 t에 대응하는 그리스 문자 τ에서 유래했다.[1]

물론 아직 공식화 된 것은 아니기 때문에 다르게 쓰는 예도 있다. 2001년에 최초로 이를 주장한 로버트 팔레이(Robert Palais)는 [math(pi)]의 다리(?)가 3개인 [math(pimskip -7.8 mu pi)]를 썼었다. 정황상 1958년에 알버트 이글(Albert Eagle)이 수식의 간편화를 위해 이미 [math(\tau=\dfrac\pi2)]를 주장했었던 터라 새로 기호를 만들어냈던 것으로 보이는데 당연히 아무런 명분도 없었던 알버트의 제안은 소리없이 묻혔다. [math(\tau = 2\pi)]가 제안된 건 꽤 최근으로 2010년에 마이클 하틀이 주장했으며 전술한 '[math(\tau)] 선언문'을 쓴 사람이다.

다만 기계공학이나 재료공학 분야에서는 타우라는 문자를 적용한다면 한 가지 문제가 있으니, 전단응력으로 이미 타우를 사용 중이라는 점이다. 가장 간단한 해결방법으로는 전단응력이 텐서량이므로 전단응력을 볼드체로 표기하는 것이다. 예를 들어 최대전단응력설(Tresca 이론)에 의한 축의 지름을 나타내는 식은

[math(d=\sqrt[3]{\dfrac{16T}{\pi\boldsymbol{\tau_{\bf max}}}}=\sqrt[3]{\dfrac{32T}{\tau\boldsymbol{\tau_{\bf max}}}})]

로 나타낼 수 있다. 다만 수기로 쓸 때에는 이러한 구분법이 쉽지 않다는 한계점도 존재한다.

4. 값

{{{#!folding 타우 소수점 이하 1000자리 [펼치기 · 접기]

6.28318530717958647692528676655900576839433879875021164194988918461563281257241799725606965068423413596429617302656461329418768921910116446345071881625696223490056820540387704221111928924589790986076392885762195133186689225695129646757356633054240381829129713384692069722090865329642678721452049828254744917401321263117634976304184192565850818343072873578518072002266106109764093304276829390388302321886611454073151918390618437223476386522358621023709614892475992549913470377150544978245587636602389825966734672488131328617204278989279044947438140435972188740554107843435258635350476934963693533881026400113625429052712165557154268551557921834727435744293688180244990686029309917074210158455937851784708403991222425804392172806883631962725954954261992103741442269999999[2]67459560999021194634656321926371900489189106938166052850446165066893700705238623763420200062756775057731750664167628412343553382946071965069808575109374623191257277647075751875039155637155610643424536132260038557532223918184328403978

}}}

5. 기타

xkcd에서는 파이와 타우 논쟁의 타협점으로 둘의 산술 평균인 [math(1.5\pi)]를 파우(Pau)[3]로 제시했다. 당연히 장난일 뿐이며, 아무런 쓸모가 없는 상수다. #

한국어로는 '바퀴'라는 단위가 타우와 비슷한 맥락으로 쓰이며 정확하게는 [math(\tau{\rm\,rad} =1)]바퀴이다.

이들은 기념일도 3월 14일 대신 6월 28일에 원주율을 기념한다. MIT에서는 새 원주율을 기념해서 합격자 발표를 6시 28분에 한다고 한다.

이 상수는 2017년 Python 3.6에 추가되었다고 한다.

소수점 아래 10만 자리까지 적혀 있는 사이트가 존재한다. #

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[1] 참고로 영어 turn은 그리스어로 '선반'을 의미하는 τόρνος에서 유래했다.[2] 파인만 포인트처럼 9가 7개나 연달아 나온다.[3] Pi + Tau

타우(수학)

1. 개요

2. 상세

2.1. 물리학

3. 표기

4. 값

5. 기타

분류