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1. 개요2. 일러두기3. 기본 물리량4. 실생활 관련 상수5. 플랑크 단위계 관련6. 열 및 통계 관련7. 원자 구조, 입자 관련
7.1. 통일 원자 질량 단위
8. 무차원 상수9. 천문학 관련10. 관련 문서7.1.1. 몰 질량 상수
7.2. 전자의 정지 질량7.3. 양성자의 정지 질량7.4. 중성자의 정지 질량7.5. 뮤온의 정지 질량7.6. 수소 원자 관련7.7. 콤프턴 파장7.8. 마그네톤7.9. 미세 구조 상수7.10. 페르미 상수7.11. 자속 양자7.12. 조지프슨 상수7.13. 전도도 양자1. 개요
physical constant / 物理 常數물리량의 하나로, 물리학에서 사용되는 상수이다. 몇몇 상수들의 단위가 매우 복잡하거나 이상해 보일 수 있으나, 계산 과정에서 다 약분된다.
물리 상수는 대체로 실험을 통해 구한 수식에 붙는 상수이다. 아울러 본 문서에 명시된 값들은 별도의 설명이 없으면 과학 기술 데이터 위원회(CODATA; Committee on Data for Science and Technology)에서 가장 최근인 2022년에 공개한 2022 CODATA 값이다.
2. 일러두기
2018년 11월 16일에 SI 단위를 전면 재정의하기로 결정함에 따라, 2019년 5월 20일부터 새로운 값이 쓰인다. 물론 계산에 쓸 만한 범위 내에서 크게 바뀌지는 않고, 소수점 이하 여덟째 자리쯤에서 아주 조금씩 차이가 나게 된다.대표적으로, 플랑크 상수는 기존까지 측정으로 결정하는 값이었지만 2019년 5월 20일부터는 [math(h=6.626\,070\,15\times10^{-34}\rm\,kg{\cdot}m^2s^{-1})]이라는 정확한 참값으로 고정된다. 기본 전하량도 [math(e=1.602\,176\,634\times10^{-19}\rm\,A{\cdot}s)]라는 고정값으로 바뀐다. 이에 따라 킬로그램과 암페어의 정의가 변경되었으므로, 정확히 [math(4\pi\times10^{-7}\rm\,kg{\cdot}m{\cdot}s^{-2}A^{-2})](단, [math(\pi)]는 원주율)으로 정의하던 진공에서의 투자율 [math(\mu_0)]는 미세구조상수 [math(\alpha)]를 이용하여 [math(\mu_0=\cfrac{2h\alpha}{ce^2})]로 구하고,
| [math(\mu_0=4\pi\times0.999\,999\,999\,87(16)\times10^{-7}\rm\,kg{\cdot}m{\cdot}s^{-2}A^{-2})] |
따라서 아래에 참값이라고 명시하지 않은 값은 측정값이며 오차는 괄호 안에 표기한다. 예를 들어 측정값이 [math(1234.567\,89)]이고 오차가 [math(\pm0.000\,11)]이라면 표기는 [math(1234.567\,89 \pm 0.000\,11 = 1234.567\,89(11))]이 된다.
3. 기본 물리량
3.1. 세슘-133 초미세 전이 주파수
| [math(\Delta\nu_{\rm Cs} = 9\,192\,631\,770\rm\,Hz)] |
이 상수가 정의되지 않으면 이 문서의 다른 상수들까지 줄줄이 정의가 흔들리게 된다. 엄밀히 말하자면 물리적으로 특정 의미를 가지는 상수는 아니고 단지 세슘 원자시가 현존하는 가장 정확한 시간 및 진동수 측정 방법[2]이라 채택되었을 뿐이다.
3.2. 기본 전하량
elementary charge| [math(e = 1.602\,176\,634\times10^{-19}\rm\,C)] |
참값이다. 일본에서는 電気素量이라고 하기 때문에 이를 직역한 전기소량이라는 용어를 쓰는 곳도 있다. 전자 1개 음전하의 크기 혹은 양성자 1개 양전하의 크기로, 전자볼트의 정의에도 쓰인다. 쿼크 단위로 내려가지 않는 보통 상황에서 전하의 최소 단위다.
[math(e)]로 표기가 같은 자연로그의 밑과 헷갈리지 말 것.[3]
3.3. 플랑크 상수
| [math(h=6.626\,070\,15\times10^{-34}\rm\,J{\cdot}s)] |
3.3.1. 디랙 상수
| [math(\begin{aligned}\hbar &= \frac h{2\pi} = 1.054\,571\,817\cdots\times10^{-34}{\rm\,J{\cdot}s} \\ &= \frac{\hbar/{\rm J}}{e/{\rm C}}{\rm\,eV} = 6.582\,119\,569\cdots\times10^{-16}{\rm\,eV{\cdot}s}\end{aligned})] |
3.4. 진공에서의 빛의 속도
speed of light| [math(c=299\,792\,458\rm\,m{\cdot}s^{-1} = \dfrac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}})] |
세계에서 가장 유명한 식인 [math(E=mc^2)]에 등장하는 그 [math(c)]이다. 이 문서의 대부분의 상수들은 실험적인 측정값일 뿐이지만, 최근엔 빛이 진공 속에서 [math(\cfrac1{299\,792\,458})]초 동안 이동한 거리를 [math(1)]미터로 정의하므로 이 값은 참값이다.
굳이 3억 분의 1초로 하지 않고 저렇게 복잡한 숫자로 잡아놓은 것은 광속 불변의 법칙 발견 이전에 이미 1미터를 '북극부터 적도까지의 자오선의 1천만분의 1'로 정의해서 사용하고 있었던 탓이다. 그리고 이 길이를 유지하면서 정밀도를 높이기 위해 기존의 정의와 대응하는 길이가 저 숫자였던 것이다. 어떻게 지구 둘레를 이용하여 정의하였는지는 미터 문서 참고.
3.4.1. 진공에서의 투자율
| [math(\mu_0 = \dfrac{2\alpha h}{e^2c} = 1.256\,637\,061\,27(20)\times10^{-6}\rm\,N{\cdot}A^{-2})] |
2019년의 SI단위 재정의 이전에는 계산의 편의성을 위해 정확히 [math(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\rm\,N{\cdot}A^{-2})]로 정의했었다.[4] 2019년 이후로는 실험적으로 결정되는 값으로, [math(\mu_0)]의 값을 정의할 때 미세구조상수 [math(\alpha)]를 포함하는 관계식 [math(\mu_0 = \cfrac{2\alpha h}{e^2c})]으로부터 구한다. [math(h)], [math(e)], [math(c)]가 모두 참값이고 [math(\alpha)]가 실험으로 구할 수 있는 값이기 때문이다.
3.4.2. 진공에서의 유전율
| [math(\varepsilon_0 = \dfrac1{c^2\mu_0} = \dfrac{e^2}{2\alpha ch} = 8.854\,187\,818\,8(1\,4)\times10^{-12}\rm\,F{\cdot}m^{-1})] |
3.4.3. 진공의 특성 임피던스
| [math(Z_0 = \mu_0c = \sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = \dfrac{2h\alpha}{e^2} = 376.730\,313\,412(59)\,\Omega)] |
교류 전류를 다루는 회로에서 쓰이는 개념인 특성 임피던스를 전자기파의 전파로 확장한 개념으로, 진공[5]이 갖는 고유한 물리량이다. 맥스웰 방정식에서 유도되는 상수로, 진공에서 전기장 [math(\bf E)], 전기 변위장 [math(\bf D)], 자기장 [math(\bf B)], 자화장 [math(\bf H)]의 관계는 [math(\begin{cases}{\bf E} = \cfrac1{\varepsilon_0}{\bf D} \\ {\bf B} = \mu_0{\bf H}\end{cases})]인데 진공 중에서 전자기파는 광속([math(c)])으로 전달되므로 [math(c=\cfrac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}})]를 도입하면 [math(\begin{cases}{\bf E} = c\sqrt{\cfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}{\bf D} \\ {\bf B} = \cfrac1c\sqrt{\cfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}{\bf H}\end{cases})]로 고쳐쓸 수 있고 이때 [math(\sqrt{\cfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = Z_0)]를 진공의 특성 임피던스로 정의한다. 즉 진공에도 무시할 수 없는 크기의 고유한 임피던스가 있다는 것을 알 수 있으며, 이 때문에 전송선의 끝부분이 아무 처리 없이 대기 중에 노출되어있으면 반사가 일어나서 송전 효율이 떨어지게 되고, 공기 중으로 전파된 전자기파 신호를 잡는 데에 쓰이는 안테나에는 임피던스를 맞춰주는(임피던스 정합) 기능이 반드시 필요하다.
[math(\mu_0 \approx 4\pi\times10^{-7}\rm\,N/A^2)], [math(c \approx 3.00\times10^8\rm\,m/s)]이므로 [math(Z_0 \approx 120\pi\,\Omega)]의 근삿값을 쓰기도 한다.
3.4.4. 관련 문서
3.5. 중력상수
| [math(G = 6.674\,30(15)\times10^{-11}\rm\,N{\cdot}m^2kg^{-2})] |
지구 역사상 최초의 성공적인 측정장치는 영국의 존 미첼이 설계하고 헨리 캐번디쉬에 의해 구현되었으며, 캐번디쉬 실험(Cavendish experiment)으로 실측되었다.
3.6. 발광 효율 상수
| [math(K_{\rm cd} = 683{\rm\,lm{\cdot}W^{-1}})] |
4. 실생활 관련 상수
아래에 있는 세 값은 편의상 참값으로 약속된 상수들이다.4.1. 표준 중력 가속도
| [math(g_{\rm n} = 9.806\,65\rm\,m{\cdot}s^{-2})] |
소수점 첫째 자리까지 일치하는 근삿값으로 [math(pi^2)]를 이용하기도 한다. 이는 우연히 맞아떨어지는 값이 아니라 진자를 이용해 미터를 정의하려는 시도의 흔적이다.
4.2. 표준 대기압
| [math(1\rm\,atm = 101\,325\,Pa)] |
역사적으론 에반젤리스타 토리첼리의 수은 시험관 실험[10]에서 도출된 값이지만 1954년 제10차 국제도량형총회에서 위와 같이 오차가 없는 참값으로 약속되었다.[11] 액체의 밀도를 [math(\rho)](단위 [math(\rm kg/m^3)])라고 하면 부피 [math(V)](단위 [math(\rm m^3)])에 대하여 그 무게(힘)가 [math(\rho Vg_{\rm n})]으로 주어지는데 압력은 단위 면적당 힘, 즉 [math(1{\rm\,Pa} = 1{\rm\,N/m^2})]이므로, 밑넓이가 [math(S)](단위 [math(\rm m^2)])로 일정한 원기둥 모양으로 시험관을 제작했다면 높이를 [math(h)](단위 [math(\rm m)])라 할 때 [math(V = Sh)]이므로 대기압에 의해 수은 표면에서 [math(h)]만큼 상승한 수은주의 압력 [math(P)]는 [math(P = \cfrac{\rho Vg_{\rm n}}S = \rho hg_{\rm n})]으로 주어진다. 수은의 경우 [math(0\rm\,\degree\!C)]에서[12] [math(\rho = 13\,595.1\rm\,kg/m^3)]이고 [math(h = 0.760\rm\,m)], [math(g_{\rm n} = 9.806\,65\rm\,m/s^2)]이므로 [math(P = 13\,595.1{\rm\,kg/m^3}{\cdot}0.760{\rm\,m}{\cdot}9.806\,65{\rm\,m/s^2} \approx 101\,325.0\rm\,Pa)]가 얻어진다.
4.3. 표준 상태 압력
| [math(1\rm\,bar = 100\,000\,Pa)] |
4.4. 이상 기체의 몰 부피
| [math(V_{\rm m} = \dfrac{R\times273.15{\rm\,K}}{101\,325\rm\,Pa} = 22.413\,969\,54\cdots\times10^{-3}\rm\,m^3mol^{-1})] |
5. 플랑크 단위계 관련
5.1. 플랑크 질량
| [math(\begin{aligned} m_{\rm P} = \sqrt{\frac{\hbar c}G} &=\rm 2.176\,434(24)\times10^{-8}\,kg \\ &= 1.220\,890(14)\times10^{19}{\rm\,GeV}/c^2\end{aligned})] |
5.2. 플랑크 길이
| [math(l_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} = \rm1.616\,255(18)\times10^{-35}\,m)] |
5.3. 플랑크 시간
| [math(t_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^5}} = \rm5.391\,247(60)\times10^{-44}\,s)] |
5.4. 플랑크 온도
| [math(T_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar c^5}{G{k_{\rm B}}^2}} = \rm1.416\,784(16)\times10^{32}\,K)] |
5.5. 유도 단위
5.5.1. 플랑크 가속도
| [math(a_{\rm P} = \dfrac c{t_{\rm P}} = \sqrt{\dfrac{c^7}{\hbar G}} \approx 5.560\,73 \times 10^{51}{\rm\,m{\cdot}s^{-2}})] |
5.5.2. 플랑크 밀도
| [math(\rho_{\rm P} = \dfrac{m_{\rm P}}{{l_{\rm P}}^3} = \dfrac{c^5}{\hbar G^2} \approx 5.154\,85\times 10^{96}{\rm\,kg{\cdot}m^{-3}})] |
5.5.3. 플랑크 힘
| [math(F_{\rm P} = \dfrac{p_{\rm P}}{t_{\rm P}} = \dfrac{E_{\rm P}}{l_{\rm P}} = \dfrac{m_{\rm P}l_{\rm P}}{{t_{\rm P}}^2} = \dfrac{c^4}G \approx 1.210\,26\times10^{44}{\rm\,N})] |
5.5.4. 플랑크 일
| [math(E_{\rm P} = \dfrac{m_{\rm P}{l_{\rm P}}^2}{{t_{\rm P}}^2} = \sqrt{\dfrac{\hbar c^5}G} \approx 1.956\,08\times10^9{\rm\,J})] |
5.5.5. 플랑크 일률
| [math(P_{\rm P} = \dfrac{m_{\rm P}{l_{\rm P}}^2}{{t_{\rm P}}^3} = \dfrac{c^5}G \approx 3.628\,25\times10^{52}{\rm\,J{\cdot}s^{-1}})] |
5.5.6. 플랑크 전하
| [math(q_{\rm P} = \begin{cases} \begin{aligned}\frac e{\sqrt{4\pi\alpha}} &= 5.290\,817\,692\cdots\times10^{-19}{\rm\,C} \quad (\varepsilon_0 \to 1) \\ \frac e{\sqrt\alpha} &= 1.875\,546\,038\cdots\times10^{-18}{\rm\,C} \quad (4\pi\varepsilon_0 \to 1)\end{aligned}\end{cases})] |
6. 열 및 통계 관련
6.1. 아보가드로 상수
Costante di Avogadro| [math(N_{\rm A} = 6.022\,140\,76\times10^{23}\rm\,mol^{-1})] |
자연수로 따지자면 약 602214076000000000000000.
아보가드로 상수가 갖는 의미는 '[math(\rm1\,mol)]에 포함된 입자의 개수'이므로 다른 물리 상수들과 다르게 사용에 주의를 요한다. 이를 테면 [math(\rm^{12}C)] [math(\rm0.0120\,kg)](약 [math(\rm1\,mol)])에 포함된 [math(\rm^{12}C)] 원자 1개의 질량'을 구하고자 할 때에는 연산 시 [math(N_{\rm A})]로 나누는 게 아닌 [math(\boldsymbol N_{\bf A}\bf\,mol)]로 나눠야 한다.
이는 흔히 [math(\rm1\,mol = 6.022\,140\,76\times10^{23})]개라고 잘못 배우기 때문에[14] 틀리기 쉬운 오류로, 정확히는
| [math(1{\rm\,mol}=6.022\,140\,76\times10^{23})]개[math(/N_{\rm A})] |
2019년 SI 기본 단위 재정의 이전에는 탄소-12([math(\rm^{12}C)]) [math(0.0120\rm\,kg)]에 들어 있는 탄소 원자의 개수로 정의되었으나 재정의 이후로는 기준 물질을 폐기하고 위와 같이 참값으로 정의함으로써 현재는 근삿값 관계[15]가 되었다. 단, 이와 정의가 유사한 통일 원자 질량 단위([math(\rm Da)] 혹은 [math(\rm u)])는 기준 물질을 쓰는 방식을 그대로 유지하고 있다.
6.1.1. 패러데이 상수
| [math(F = N_{\rm A}e = 9.648\,533\,212\,331\,001\,84\times10^4\rm\,C{\cdot}mol^{-1})] |
6.1.2. 기체 상수
molar gas constant| [math(R = N_{\rm A}k_{\rm B} = 8.314\,462\,618\,153\,24\rm\,J{\cdot}mol^{-1}K^{-1})] |
칼로리([math(\rm cal)])를 자주 쓰는 열역학에서는 [math(1{\rm\,cal} = 4.184{\rm\,J} \Leftrightarrow {\rm J} = \cfrac1{4.184}{\rm\,cal})]이므로 [math(rm J)]을 환산하여 [math(R = 8.314\,462\,618\,153\,24\times\cfrac1{4.184}{\rm\,cal{\cdot}mol^{-1}K^{-1}} = 1.987\rm\,cal{\cdot}mol^{-1}K^{-1})]이라는 값을 쓰기도 한다. 이밖의 각종 단위를 썼을 때의 기체상수 값은 위키피디아 참조.
이상 기체 상수(ideal gas constant)라고도 한다. [math(\rm mol)] 단위로 나타낸 이상 기체 상태방정식에서 비례상수로 사용되며, 이를 일반화한 [math(PV=nRT)]가 유도된다.
볼츠만 상수에서 직접적으로 유도되며, 정의에 따라 [math(R=N_{\rm A}k_{\rm B})]이다. [math(R)] 역시 상수 외에도 물리량 선언에 자주 쓰이는 문자다보니 혼동을 피하기 위해 기체 상수 대신 아보가드로 상수와 볼츠만 상수로 나타낸 표기로 대체되는 경우가 있다.
6.2. 플랑크 법칙 관련
흑체복사에서 파장으로 나타낸 분광 복사발산도 [math(M_{{\rm e},\,\lambda})]를 다음과 같이 썼을 때| [math(M_{{\rm e},\,\lambda} = \dfrac{c_1}{\lambda^5}\dfrac1{e^{\frac{c_2}{\lambda T}} -1})] |
| [math(B_{{\rm e},\,\lambda} = \dfrac{c_{1L}}{\lambda^5}\dfrac1{e^{\frac{c_2}{\lambda T}} -1})] |
6.2.1. 볼츠만 상수
Boltzmann constant| [math(k_{\rm B} = \dfrac R{N_{\rm A}} = 1.380\,649\times10^{-23}\rm\,J{\cdot}K^{-1})] |
단위가 [math(\rm J/K)]라는 점이나 통계역학적인 엔트로피의 정의 [math(S = k_{\rm B}\ln W)]에서 알 수 있듯이 볼츠만 상수는 그 자체로 엔트로피와 동일한 차원을 갖는다. 달리 말하자면 상태수와 엔트로피를 연결짓는 상수라고 할 수 있다.
6.2.2. 슈테판-볼츠만 상수
| [math(\sigma = \dfrac{2\pi^5{k_{\rm B}}^4}{15c^2h^3} = \dfrac{\pi^2{k_{\rm B}}^4}{60c^2\hbar^3} = 5.670\,374\,419\cdots\times10^{-8}\rm\,W{\cdot}m^{-2}K^{-4})] |
6.2.3. 제1 복사 상수
| [math(\begin{aligned} c_1 &= 2\pi hc^2 = 3.741\,771\,852\cdots\times10^{-16}\rm\,W{\cdot}m^2 \\ c_{1L} &= 2hc^2{\rm\,sr^{-1}} = 1.191\,042\,972\cdots\times10^{-16}\rm\,W{\cdot}m^2{\cdot}sr^{-1}\end{aligned})] |
6.2.4. 제2 복사 상수
| [math(c_2 = \dfrac{hc}{k_{\rm B}} = 1.438\,776\,877\cdots\times10^{-2}\rm\,m{\cdot}K)] |
6.3. 자쿠르-테트로더 상수
Sackur–Tetrode constant| [math(\begin{aligned} \frac{S_0}R &= {\left\{\frac52 + \ln{\left(\frac{\sqrt{2\pi m_{\rm u}k_{\rm B}{\cdot}(1{\rm\,K})}^3}{h^3}\frac{k_{\rm B}(1{\rm\,K})}{p_0}\right)}\right\}}{\rm\,mol} \\ &= \begin{cases} -1.151\,707\,534\,96(47){\rm\,mol} & (p_0 = 100{\rm\,kPa}) \\ -1.164\,870\,521\,49(47){\rm\,mol} & (p_0 = 101.325{\rm\,kPa})\end{cases} \end{aligned})] |
식이 다소 좀 복잡한데, 단원자 이상기체의 엔트로피에 관한 자쿠르-테트로더 방정식
| [math(S = Nk_{\rm B}{\left\{\ln{\left(\dfrac{\sqrt{2\pi mk_{\rm B}T}^3}{h^3}\dfrac{k_{\rm B}T}p\right)} + \dfrac52\right\}})] |
7. 원자 구조, 입자 관련
7.1. 통일 원자 질량 단위
| [math(m_{\rm u} = 1\rm\,Da = 1\,u = 1.660\,539\,068\,92(52)\times10^{-27}\,kg)] |
핵과 전자가 바닥 상태에 있는 탄소-12([math(\rm{}^{12}C)])의 정지 질량의 [math(\cfrac1{12})]로 정의된다. 2019년 SI 기본 단위의 재정의 이전에는 [math(\rm0.001\,kg)]을 [math(N_{\rm A}\rm\,mol)]로 나눈 것, 즉 [math(\rm1\,g)]을 아보가드로 수로 나눈 것과 동치[19]로 [math(1{\rm\,g/mol} = m_{\rm u}{\cdot}N_{\rm A})]였으나 아보가드로 상수가 참값으로 재정의됨에 따라 2019년부터는 근삿값 관계([math(m_{\rm u}{\cdot}N_{\rm A} = 1.000\,000\,001\,05(31)\times10^{-3}\rm\,kg{\cdot}mol^{-1} \approx 1\,g/mol)])로 바뀌었다. 참고로 [math(0.001\,{\rm kg}/(N_{\rm A}\,{\rm mol}) \fallingdotseq 1.660\,539\,06{\color{red}7\,17}\times10^{-27}\rm\,kg)]로 위에서 정의한 수치와 소수점 아래 9자리부터 다르다는 것을 알 수 있다. [math(\rm Da)](돌턴)은 보통 화학이나 생물학에서 쓰이고 [math(\rm u)](유닛) 및 [math(\rm amu)][20]은 물리학 분야에서 쓰이는 등 같은 것을 분야에 따라 다르게 쓰고 있었는데, 2019년에 발행된 SI책자 제9판에서 통일 원자 질량 단위(unified atomic mass unit)는 [math(rm Da)]만 쓰는 것으로 바뀌었다.
양성자, 중성자 등의 입자의 질량을 나타내는 데에 유용하다. 이 단위를 사용하면 입자의 질량이 1에 근접한 값으로 간단하게 나온다. 전자를 기준으로 한 질량 단위도 존재한다.
여담으로 아래 기술된 양성자 6개 질량과 중성자 6개 질량의 합[21]이 [math(\rm12\,Da)]보다 큰데, 이는 핵자 12개의 질량에서 일부가 결합 에너지로서 방출되어 그만큼 질량이 줄어들기 때문이다. 같은 이유로 [math(\rm{}^1H)]의 정지 질량은 [math(1{\rm\,Da})]보다 근소하게 크기 때문에 [math(1{\rm\,Da})]의 정의는 '[math(\rm{}^{12}C)]의 정지 질량의 [math(\cfrac1{12})]'만 유효하고 '[math(\rm{}^1H)]의 정지 질량'으로 정의할 수 없다는 것을 참고할 수는 있다.
7.1.1. 몰 질량 상수
| [math(M_{\rm u} = m_{\rm u}{\cdot}N_{\rm A} = 1.000\,000\,001\,05(31)\times10^{-3}\rm\,kg{\cdot}mol^{-1})] |
7.2. 전자의 정지 질량
| [math(\begin{aligned} m_{\rm e} &= 9.109\,383\,713\,9(2\,8)\times10^{-31}\rm\,kg \\ &= 0.510\,998\,950\,69(16){\rm\,MeV}/c^2 \\ &= 5.485\,799\,090\,441(97)\times10^{-4}\rm\,Da\end{aligned})] |
7.3. 양성자의 정지 질량
| [math(\begin{aligned} m_{\rm p} &= 1.672\,621\,925\,95(52)\times10^{-27}\rm\,kg \\ &= 938.272\,089\,43(29){\rm\,MeV}/c^2 \\ &= 1.007\,276\,466\,578\,9(8\,3)\rm\,Da \end{aligned})] |
7.4. 중성자의 정지 질량
| [math(\begin{aligned} m_{\rm n} &= 1.674\,927\,500\,56(85)\times10^{-27}\rm\,kg \\ &= 939.565\,421\,94(48){\rm\,MeV}/c^2 \\ &= 1.008\,664\,916\,06(40)\rm\,Da \end{aligned})] |
7.5. 뮤온의 정지 질량
| [math(\begin{aligned} m_{\textμ} &= 1.883\,531\,627\,(42)\times10^{-28}\rm\,kg \\ &= 105.658\,375\,5(2\,3){\rm\,MeV}/c^2 \\ &= 0.113\,428\,925\,7(2\,5)\rm\,Da\end{aligned})] |
7.6. 수소 원자 관련
7.6.1. 보어 반지름
Bohr radius| [math(a_0 = \dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_{\rm e}e^2} = \dfrac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_{\rm e}e^2}= \dfrac\hbar{m_{\rm e}c\alpha} = \dfrac{\lambda_{\rm C,\,e}}{2\pi}\dfrac1\alpha = \dfrac{\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C,\,e}}\alpha = 5.291\,772\,105\,44(82)\times10^{-11}\rm\,m)] |
7.6.2. 고전 전자 반지름
| [math(r_{\rm e} = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m_{\rm e}c^2} = 2.817\,940\,320\,5(1\,3)\times10^{-15}\rm\,m)] |
수치 자체만 보면 전자의 크기가 양성자보다 3.4배나 크다[25]는 다소 납득하기 어려운 결론이 나오는 점도 있고 양자역학의 태동과 함께 전자가 파동성도 띤다는 것이 확인됨에 따라 현대 물리학에서 전자는 부피를 갖지 않는 점입자로서 간주되어 본 상수가 갖는 의미 자체는 유명무실해졌다. 그러나 상기 보어 반지름과 미세구조상수 [math(\alpha)]를 이용하면 [math(r_{\rm e} = \alpha^2a_0)]로 나타낼 수 있다는 점이나 비상대론적 톰슨 산란의 산란 단면적 공식 등에서 수식을 간략화하는 용도로 쓰이는 등 이따금 등장하기는 한다.
7.6.3. 뤼드베리 상수
Rydberg constant| [math(R_\infty = \dfrac{m_{\rm e}e^4}{64\pi^3{\varepsilon_0}^2\hbar^3c} = \dfrac{m_{\rm e}e^4}{8{\varepsilon_0}^2h^3c} = \dfrac{m_{\rm e}c\alpha^2}{4\pi\hbar} = \dfrac{m_{\rm e}c\alpha^2}{2h} = 10\,973\,731.568\,157(12)\rm\,m^{-1})] |
뤼드베리가 1888년에 완성하였다.
참고로, 옥스퍼드 물리학부를 지망한다면 위 식을 알아두면 매우 좋다. 일반적인 고등학교 과정에서는 나오지도 않는데 PAT(입학시험)에서는 전자 에너지 준위와 함께 출제되는 경향이 크다. 원주율을 비롯해서 여러 물리 상수가 복잡하게 얽혀있어 외우기가 까다로운데, 미세 구조 상수 [math(\alpha = \cfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c\hbar})]과 전자의 콤프턴 파장 [math(\lambda_{\rm C,\,e} = \cfrac h{m_{\rm e}c})][27]로 표현되는 [math(R_\infty = \cfrac{\alpha^2}{2\lambda_{\rm C,\,e}})]를 이용하면 비교적 수월하게 암기할 수 있다.
7.6.4. 수소 원자 내 전자의 바닥 상태 에너지
| [math(hcR_\infty = 13.605\,693\,122\,990(15)\rm\,eV)] |
현재까지 알려진 물리 상수 중 측정값 중에서는 뤼드베리 상수와 더불어 유효숫자의 자릿수가 가장 많다.
7.7. 콤프턴 파장
7.7.1. 전자의 콤프턴 파장
Compton wavelength of electron| [math(\lambda_{\rm C,\,e} = \dfrac h{m_{\rm e}c}= 2.426\,310\,235\,38(76)\times10^{-12}\rm\,m)] |
7.7.1.1. 전자의 환산 콤프턴 파장
| [math(\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C,\,e} = \dfrac{\lambda_{\rm C,\,e}}{2\pi} = \dfrac\hbar{m_{\rm e}c}= 3.861\,592\,674\,4(1\,2)\times10^{-13}\rm\,m)] |
7.7.2. 양성자의 콤프턴 파장
| [math(\lambda_{\rm C,\,p} = \dfrac h{m_{\rm p}c} = 1.321\,409\,853\,60(41)\times10^{-15}\rm\,m)] |
7.7.3. 중성자의 콤프턴 파장
| [math(\lambda_{\rm C,\,n} = \dfrac h{m_{\rm n}c} = 1.319\,590\,903\,82(67)\times10^{-15}\rm\,m)] |
7.8. 마그네톤
기본적으로 자기 모멘트를 의미한다.7.8.1. 보어 마그네톤
Bohr magneton| [math(\mu_{\rm B} = \dfrac{e\hbar}{2m_{\rm e}} = \dfrac{eh}{4\pi m_{\rm e}} = 9.274\,010\,065\,7(2\,9)\times10^{-24}\rm\,J{\cdot}T^{-1})] |
7.8.2. 핵 마그네톤
| [math(\mu_{\rm N} = \dfrac{e\hbar}{2m_{\rm p}} = \dfrac{eh}{4\pi m_{\rm p}} = 5.050\,783\,739\,3(1\,6)\times10^{-27}\rm\,J{\cdot}T^{-1})] |
7.8.3. 전자의 자기 모멘트
| [math(\mu_{\rm e} = -1.001\,159\,652\,180\,46(18)\mu_{\rm B} = -9.284\,764\,691\,7(2\,9)\times10^{-24}\rm\,J{\cdot}T^{-1})] |
7.8.4. 양성자의 자기 모멘트
| [math(\mu_{\rm p} = 2.792\,847\,344\,63(82)\mu_{\rm N} = 1.410\,606\,795\,45(60)\times10^{-26}\rm\,J{\cdot}T^{-1})] |
7.8.5. 중성자의 자기 모멘트
| [math(\mu_{\rm n} = -1.913\,042\,76(45)\mu_{\rm N} = -9.662\,365\,3(2\,3)\times10^{-27}\rm\,J{\cdot}T^{-1})] |
7.8.6. 뮤온의 자기 모멘트
| [math(\mu_{\textμ} = -8.890\,597\,04(20) \mu_{\rm N} = -4.490\,448\,30(10)\times10^{-26}\rm\,J{\cdot}T^{-1})] |
7.9. 미세 구조 상수[28]
| [math(\begin{aligned} \alpha &= \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c\hbar} = \frac{e^2}{2\varepsilon_0ch} = 7.297\,352\,564\,3(1\,1)\times10^{-3} \\ \frac1\alpha &= 137.035\,999\,177(21)\end{aligned})] |
아르놀트 조머펠트가 수소 원자의 스펙트럼에서 나타나는 미세한 분열(미세구조)을 설명하기 위하여, 보어 원자모형에서 전자가 도는 궤도가 정상파를 만족하는 타원이어도 되는 조건으로 확장(보어-조머펠트 양자화 조건)[29]하는 과정에서 도입된 상수이다. 초등적으로는 보어 반지름을 구하는 과정에서 등장하는 전자의 속도 [math(v_n = \cfrac1n\cfrac{e^2}{2\varepsilon_0h})]이 [math(n=1)]일 때, 즉 가장 낮은 에너지 준위의 오비탈에 있을 때의 속력 [math(v_1 = \cfrac{e^2}{2\varepsilon_0h} = \cfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar})]과 [math(c)]의 비 [math(\cfrac{v_1}c)]을 [math(\alpha)]로 나타낸 것에서 유래한다. 그래서 미세 구조 상수라는 이름이 붙었으나 오늘날에는 전자기력의 세기를 나타내는 무차원 상수로 인식된다. 그밖에도 다양한 물리적 해석이 존재한다.
무차원 상수이기에 단위계에 의존적인 다른 상수들에 비해 보다 근본적인 자연의 성질을 나타낸다고 생각되기도 해 미세구조상수에 매료된 물리학자들이 많았다.[30] 미세구조상수가 수학적으로 특정 값을 가지는 것을 보이려는 시도도 많았을 정도이며, 미세 조정된 우주 가설의 단골 떡밥이기도 하다. 반면 미세구조상수 또한 자연의 기본상수인 기본전하로부터 유도되는 상수일 뿐이라는 시각도 있다.
우연히 값이 137분의 1에 근접하기에 이와 관련된 떡밥이 존재한다. 외계인들에게 보낼 신호로 소수의 나열이 아니라 137을 선택한다던지.
7.10. 페르미 상수
Costante di Fermi| [math(G_{\rm F}^0 = \dfrac{G_{\rm F}}{(c\hbar)^3} = 1.166\,378\,7(6)\times10^{-5}\rm\,GeV^{-2})] |
페르미 상호작용의 세기를 나타내는 상수이다.
7.11. 자속 양자
magnetic flux quantum| [math(\varPhi_0 = \dfrac h{2e} = 2.067\,833\,848\cdots\times10^{-15}\rm\,Wb)] |
7.12. 조지프슨 상수
Josephson constant| [math(K_{\rm J} = \dfrac{2e}h = 483\,597.848\,4\cdots\times10^9\rm\,Hz{\cdot}V^{-1})] |
7.13. 전도도 양자
conductance quantum| [math(G_0 = \dfrac{2e^2}h = 7.748\,091\,729\cdots\times10^{-5}\,\mho)] |
8. 무차원 상수
이론물리학자들 중에서는 단위계에 따라 달라지지 않고 항상 같은 값을 가지는 무차원(dimensionless) 상수만을 자연의 근본적인 상수(fundamental constant)로 취급하는 경우도 있다. 이 경우, 위에 나온 광속, 플랑크 상수 등 대부분의 상수들은 단위계에 따라 값이 달라지기 때문에 근본 상수에는 해당되지 않게 된다.표준 모형에서는 19개의 무차원 상수를 패러미터로 설정한다. 이들은 이론적으로 유도되는 값이 아니고 그 자체로 서로 독립적이며, 실험적으로만 결정된다. 이후 중성미자가 질량을 가짐이 밝혀짐에 따라 필요한 상수의 개수도 26개로 늘어나게 되었다.
표준 모형을 나타내는 상수의 수(자유도)는 정해져 있지만, 구체적으로 나타내는 방법은 여러 가지가 있을 수 있다. 19개의 상수 조합의 한 예는 다음과 같다.
- 6개의 쿼크의 정지 질량[31]
- 전자, 뮤온, 타우온의 정지 질량
- 힉스 입자의 정지 질량
- 전자기력의 미세구조상수와 W보손, Z보손의 정지 질량[32]
- 강한 상호작용의 커플링 상수(SU(3) 커플링 상수)
- 쿼크 진동을 표현하는 CKM 행렬의 패러미터 4개
- QCD vacuum angle: 강한 상호작용의 CP 대칭성 깨짐을 나타내는 이론적인 상수이다. 강한 상호작용의 CP 깨짐이 실험적으로 한 번도 관측되지 않았기에 값이 0이거나 0에 매우 가까울 것으로 추정된다. 이 때문에 상수 목록에서 빠지기도 한다.
중성미자 질량을 나타내기 위해 확장된 표준 모형은 다음의 상수를 포함한다.
- 3종류의 중성미자의 정지 질량
- 중성미자 진동을 표현하는 PMNS 행렬의 패러미터 4개
이론물리학자들은 표준 모형이 이렇게 독립적인 패러미터를 많이 포함하는 것을 이론의 결함으로 생각하는 일이 많으며, 이론적으로 위의 상수들의 값을 유도하려는 시도가 많았지만 성공적이지 못했다.
우주 상수(플랑크 단위계), 또는 우주 상수와 우주의 임계 밀도의 비율 [math(\Omega_{\rm \Lambda})] 또한 근본적인 무차원 상수로 취급된다. 표준 모형은 중력을 다루지 않기에 위의 목록에서 빠졌다.
9. 천문학 관련
9.1. 율리우스년
| [math(a = 31\,557\,600 \,{\rm s})] |
참고로, 광년에 사용하는 율리우스년은 1년이 365.25일이다. 즉, [math(365.25\times24\times60\times60{\rm\,s} = 31\,557\,600{\rm\,s})]로 정의되는 값이다.
9.2. 우주상수
| [math(\Lambda = 3{\left(\dfrac{H_0}c\right)}^2\Omega_\Lambda = 1.1056\times10^{-52}{\rm\,m^{-2}})] |
9.3. 그외 천문 상수
천문 상수 문서 참고10. 관련 문서
[1] 즉, 정지해 있는 홑원자 상태인[2] 더 정확한 이터븀 원자시가 있긴 하지만 2018년 국제도량총회에서 기각되었다.[3] 자연로그의 밑과 같이 써야 하는 상황이면 [math(q)]로 쓰기도 한다.[4] 2019년 재정의 이전에는 [math(1)]암페어가 "진공에서 [math(\rm1\,m)] 떨어진 무한한 길이의 두 직선 도선에 똑같은 크기의 전류가 흘러 도선 [math(\rm1\,m)]당 [math(\rm2\times10^{-7}\,N)]의 인/척력이 발생할 때, 그 전류의 크기"로 정의됐었다. 도선에 흐르는 전류 [math(I)]로 유도되는 자기장에 대해, 도선에서 [math(a)]만큼 떨어진 지점에 작용하는 자기장 크기 [math(B)]는 앙페르의 법칙에 따라 [math(B = \cfrac{\mu_0I}{2\pi a})]이며, 자기장이 도선에 작용하는 힘의 크기 [math(F)]는 로런츠 힘으로 구할 수 있으므로 [math(F = BIl = \cfrac{\mu_0I^2l}{2\pi a})]이 된다. 예전 암페어의 정의에 따라 [math(F = 2\times10^{-7}\rm\,N)], [math(I =\rm1\,A)], [math(l=\rm1\,m)](힘이 작용하는 도선 [math(\rm1\,m)]), [math(a=\rm1\,m)]이므로 대입하면 [math(2\times10^{-7}{\rm\,N} = \cfrac{\mu_0}{2\pi}\rm\,A^2)]이다. 이에 따라 자연스럽게 [math(\mu_0 = 2\times10^{-7}{\rm\,N}\times2\pi{\rm\,A^{-2}} = 4\pi\times10^{-7}\rm\,N{\cdot}A^{-2})]가 얻어지지만, 이 방식의 정의는 근본적으로 암페어의 정의에 '무한한 도선'이라는 비현실적인 조건을 포함하고 있었기 때문에 폐지되었다.[5] 실생활에서 건조한 공기는 진공과 거의 같은 유전율과 투자율을 나타내므로 보통 대기를 의미하는 상황으로 치환된다.[6] CODATA에서는 위와 같이 6자리를 제시하지만 마지막 2자리는 오차를 포함하므로 결과적으로 [math(G)]의 유효숫자는 고작 5자리에 불과하다.[7] 비슷하게 유효숫자가 적다고 느껴지는 상수들은 잘 보면 전부 [math(G)]를 포함하고 있다.[8] 노란색([math(510\sim540{\rm\,THz})])과 녹색([math(540\sim580{\rm\,THz})])의 경계에 해당하는 색으로 대략 이런 색이다.[9] [math(\rm f)]는 force의 준말로 [math(\rm kgf)]는 '킬로그램포스' 혹은 '킬로그램힘'이라고 읽는다.[10] [math(\rm0\,\degree\!C)]에서 길이가 [math(1\rm\,m)]인 시험관에 수은을 가득 채우고 수은이 담긴 수조에 거꾸로 세웠더니 수은 표면으로부터 [math(76\rm\,cm)] 지점에서 수은이 멈춘 것을 발견한 실험.[11] 정확히는 [math(1\,013\,250{\rm\,dyn/cm^2})]인데 [math(1{\rm\,dyn} = 1{\rm\,g{\cdot}cm/s^2} = 10^{-5}{\rm\,kg{\cdot}m/s^2} = 10^{-5}{\rm\,N})]이므로 [math(1{\rm\,dyn/cm^2} = 10^{-5}{\rm\,N}/{\left(10^{-4}{\rm\,m^2}\right)} = 0.1{\rm\,N/m^2} = 0.1{\rm\,Pa})], 즉 [math(1\,013\,250{\rm\,dyn/cm^2} = 101\,325.0{\rm\,Pa})]이다.[12] 온도가 달라지면 부피가 변하므로 밀도가 바뀌어 수은주의 높이 역시 미묘하게 달라진다. [math(20\rm\,\degree\!C)]에서 수은의 밀도는 [math(13\,545.848\rm\,kg/m^3)]이므로 이 온도에서 [math(1\rm\,atm)]의 수은주 높이는 [math(762.763\rm\,mm)]가 된다.[13] 여담으로 STP와 SATP의 차이는 온도이다. A가 없으면 [math(0\rm\,\degree\!C = 273.15\,K)], A가 있으면 [math(25\rm\degree\!C = 298.15\,K)]이다.[14] 차원분석을 해보면 좌변은 [math(\sf N)]이고 우변은 [math(\sf1)]이기 때문에 차원 관계가 맞지 않는다.[15] [math(\rm^{12}C)] [math(\rm1\,mol)]의 질량을 엄밀하게 나타내면
[math(m({\rm{}^{12}C}) = 12{\rm\,Da}\times N_{\rm A}{\rm\,mol} \\ = 12\times1.660\,539\,066\,60(50)\times10^{-27}{\rm\,kg}\times6.022\,140\,76\times10^{23} \\ = 0.011\,999\,999\,9959(36){\rm\,kg})]
으로 아주 미세한 차이가 있지만 유효숫자의 연산 법칙을 적용하면 기존에 쓰던 [math(0.0120\rm\,kg)]과 사실상 같아진다.[16] 특히 고등학교에서 쿨롱 상수를 [math(k)]로 자주 나타내는데 [math(k=\cfrac1{4\pi\varepsilon_0})]이기 때문에 대학 과정부터는 혼동을 피하기 위해 일일이 [math(\cfrac1{4\pi\varepsilon_0})]로좀 더 복잡하게나타낸다.[17] 이전에는 빈 표준 평균 바닷물을 원기로 사용했다.[18] 참고로 CODATA 2018에서는 무차원의 상수라고 제시하나, 엔트로피의 단위는 [math(\rm J/K)], 기체상수의 단위는 [math(\rm J/(mol{\cdot}K))]이기 때문에 [math(\rm mol)] 단위를 갖는 게 맞다. 무차원 상수는 [math(\cfrac{S_0}{R{\rm\,mol}})], 즉 위 상수를 [math(\rm mol)]로 나눈 것이다.[19] 아보가드로 수의 정의가 '바닥 상태에 있는 정지한 [math(\rm^{12}C)] [math(\rm1\,mol)](질량으로 나타내면 [math(\rm12\,g)])에 포함된 원자 개수'였기 때문이다. 즉 과거엔 통일 원자 질량 단위와 아보가드로 상수를 정의하는 기준 물질이 같았으며, 질량 관점에서 정의된 게 통일 원자 질량 단위, 개수 관점에서 정의된 게 아보가드로 상수였다.[20] 원자 질량 단위(atomic mass unit)의 준말.[21] 이들을 묶기 위한 입자인 글루온도 섞여 있긴 하지만, 글루온은 질량이 0이라 무의미하다.[22] 해당 문서의 항목에서 [math(Z = 1)], [math(\mu = m_{\rm e})]를 대입하면 위의 식이 얻어진다.[23] 혹은 전자의 각운동량이 양자화되어있다[math(\biggl(m_{\rm e}r_nv_n = n\hbar = \cfrac{nh}{2\pi}\biggr))]고 표현하기도 하는데 사실상 같은 의미이다. 두 수식을 비교해보자.[24] 풀면 [math(\begin{cases} r_n = n^2\cfrac{\varepsilon_0h^2}{Z\pi m_{\rm e}e^2} = n^2\cfrac{a_0}Z\\ v_n = \cfrac1n\cfrac{Ze^2}{2\varepsilon_0h}\end{cases})]이 된다.[25] 양성자의 반지름은 대략 [math(0.833\times10^{-15}{\rm\,m})]이다.[26] 풀면 [math(E_n = -\cfrac{m_{\rm e}Z^2e^4}{8{\varepsilon_0}^2h^2}\cfrac1{n^2})]이 된다.[27] 이 식은 전자의 척력에 의한 전기적 퍼텐셜 에너지 [math(E = \cfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r})]에서 [math(r \to c\hbar)]로 치환된 꼴이라고 외워두면 된다.[28] 보통 그냥 미세구조상수라고 하면 전자기력의 미세구조상수를 말한다.[29] 보어의 조건에서는 정상파를 만족하는 원궤도이다.[30] 특히 자연 단위계는 물리 상수를 무차원화하는 과정을 통해 특정 상수들의 정의가 바뀌는데, 미세구조상수는 이미 그 자체로 무차원량이기 때문에 어떤 자연 단위계에서도 항상 똑같은 값을 갖는다는 특징이 있다.[31] 플랑크 질량에 대한 비율[32] 실제 표준 모형의 방정식에서는 U(1) 커플링 상수, SU(2) 커플링 상수, 힉스장 진공 기대값이라는 3개의 상수로 대신 나타낸다.
[math(m({\rm{}^{12}C}) = 12{\rm\,Da}\times N_{\rm A}{\rm\,mol} \\ = 12\times1.660\,539\,066\,60(50)\times10^{-27}{\rm\,kg}\times6.022\,140\,76\times10^{23} \\ = 0.011\,999\,999\,9959(36){\rm\,kg})]
으로 아주 미세한 차이가 있지만 유효숫자의 연산 법칙을 적용하면 기존에 쓰던 [math(0.0120\rm\,kg)]과 사실상 같아진다.[16] 특히 고등학교에서 쿨롱 상수를 [math(k)]로 자주 나타내는데 [math(k=\cfrac1{4\pi\varepsilon_0})]이기 때문에 대학 과정부터는 혼동을 피하기 위해 일일이 [math(\cfrac1{4\pi\varepsilon_0})]로