| 평면기하학 Plane Geometry | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | <colbgcolor=#765432> 공통 | 도형 · 직선 (반직선 · 선분 · 평행) · 각 (맞꼭지각 · 동위각 · 엇각 · 삼각비) · 길이 · 넓이 · 다각형 (정다각형 · 대각선) · 작도 · 합동 · 닮음 · 등적변형 · 삼각함수 (덧셈정리) · 접선 · 벡터 | |
| 삼각형 | 종류 | 정삼각형 · 이등변삼각형 · 부등변삼각형 · 예각삼각형 · 직각삼각형 · 둔각삼각형 | |
| 성질 | 오심 (관련 정리 · 구점원) · 피타고라스 정리 · 사인 법칙 · 코사인 법칙 · 헤론의 공식 · 신발끈 공식 · 스튜어트 정리 · 우산 정리 · 오일러 삼각형 정리 · 데자르그 정리 · 메넬라오스 정리 · 나폴레옹의 정리 · 체바 정리 · 사영 정리 · 판아우벌 정리 | ||
| 기타 | 세모 모양 · 평범한 삼각형 · 젤곤 삼각형 · 랭글리 삼각형 · 페르마 점 | ||
| 사각형 | 정사각형 · 직사각형 · 마름모 · 평행사변형 · 사다리꼴 · 등변 사다리꼴 · 연꼴 · 네모 모양 | ||
| 오각형 · 육각형 · 칠각형 · 팔각형 (정팔각형) · 구각형 · 십각형 · 십일각형 · 십이각형 · 백각형 | |||
| 원 | 단위원 · 원주율 · 호 · 부채꼴 · 할선 · 활꼴 · 방정식 · 원주각 · 방멱 정리 · 톨레미 정리 | ||
| 원뿔곡선 | 포물선 · 타원 · 쌍곡선 · 파스칼 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 · 보조선 · 테셀레이션(펜로즈 타일) · 제곱근의 앵무조개 · 픽의 정리 · 논증 기하학 · 해석 기하학 · 3대 작도 불능 문제 | }}}}}}}}} | |
1. 개요
Ptolemy's theorem그리스의 천문학자 프톨레마이오스의 이름이 붙은 평면기하학 정리 중 하나이다. 톨레미의 정리는 원에 내접하는 사각형에 관한 것이며, 삼각형의 닮음과 원의 성질만 배우면 바로 증명이 가능할 정도로 간단하다.
2. 정리
내접사각형 [math(\rm ABCD)]에서 다음이 성립한다.
[math(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}+\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm BC}=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BD})]
다시 말해서, 내접사각형의 두 대각선 길이의 곱은 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합이다.
3. 증명
[math(\angle{\rm CAD}=\angle{\rm BAP})]가 되게 대각선 [math(\overline{\rm BD})]위에 점 [math(\rm P)]를 잡는다. 또한, 원주 [math(\rm AD)]에 대한 원주각에 의해 [math(\angle{\rm ABP}=\angle{\rm ACD})]이다.
[math(\therefore\triangle{\rm ABP}\sim\triangle{\rm ACD} \quad)]([math(\rm AA)] 닮음)
변의 비를 구하면,
[math(\begin{aligned} \overline{\rm AB}:\overline{\rm \rm BP}&=\overline{\rm AC}:\overline{\rm CD} \\ \therefore \overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}&=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BP} \quad \cdots \, \small{(1)} \end{aligned})]
이제 [math(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm PAD})]이고, [math(\angle{\rm BCA}=\angle{\rm BDA})] (호 [math(\rm AB)]에 대한 원주각)이므로
[math(\triangle{\rm ABC}\sim\triangle{\rm APD} \quad)] ([math(\rm AA)] 닮음)
변의 비를 구하면,
[math(\begin{aligned} \overline{\rm AC}:\overline{\rm BC}&=\overline{\rm AD}:\overline{\rm PD} \\ \therefore \overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm AD}&=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm PD}\quad \cdots \, \small{(2)} \end{aligned})]
식 [math(\small{(1)})]과 식 [math(\small{(2)})]를 변끼리 더하면,
[math(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}+\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm BC}=\overline{\rm AC}(\overline{\rm BP}+\overline{\rm PD})=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BD} )]
4. 톨레미 부등식
임의의 사각형에서,[math(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}+\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm BC}\geq\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BD})]
가 성립한다. 등호가 성립할 필요충분조건은 사각형이 원에 내접할 때이다.
평면에서의 증명은 원래 증명과 비슷하게 닮음이 되는 점 [math(\rm P)]를 찍고 삼각부등식을 이용한다.
신기한 것은, 이 톨레미의 부등식은 평면 뿐만이 아니라 모든 차원의 사각형에 대해 성립한다! 이 경우는 일반성을 잃지 않고 3차원으로 간주한 뒤 [math(\overrightarrow{\rm AC} \times \overrightarrow{\rm BD})]에 수직인 평면으로 사영을 시켜 증명할 수 있다.
5. 특별한 경우의 톨레미 정리
원을 직선으로 눌렀을 때도 톨레미의 정리는 성립한다. 한마디로, 직선 위의 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)], [math(\rm D)]에서도 위의 정리가 성립한다.단순 계산으로 증명할 수 있다.
6. 여담
- 한국에서는 "프톨레마이오스의 정리" 보다는 영어식 발음인 "톨레미의 정리"라는 이름으로 더 많이 알려져 있다.
- 한국의 수학 교육과정에서는 가르치지 않고 수학 경시대회를 준비한다면 학원 같은 곳에서 배우게 된다. 하지만 비단 수학 경시대회가 아니더라도 이 톨레미의 정리는 알아놓으면 고등학교 때까지는 잘만 써먹는다. 삼각함수의 덧셈정리 등을 직각삼각형 2개만 그려 증명할 수도 있다.