1. 개요
恒等函子항등 함자(identity functor)는 범주론에서 특정 범주의 모든 대상과 사상을 그대로 보존하는 함자를 말한다. 이는 범주의 구조를 변경하지 않으며, 각 대상과 사상을 동일한 것으로 매핑한다. 항등 함자는 범주의 기본적인 성질을 분석하고, 자연 변환 및 함자 조합을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.
2. 정의
2.1. 수학적 정의
범주 [math(C)]가 주어졌을 때, 항등 함자 [math(1_C)]는 다음과 같은 함자이다:- 각 대상 [math(X \in \text{Ob}(C))]에 대해 [math(1_C(X) = X)]를 정의한다.
- 각 사상 [math(f : X \to Y)]에 대해 [math(1_C(f) = f)]를 정의한다.
즉, 항등 함자는 대상을 그 자체로, 사상을 그 자체로 매핑한다.
3. 성질
3.1. 가환성
항등 함자는 모든 자연 변환과 가환 다이어그램에서 기본적인 역할을 한다. 이는 함자의 조합에서 중립원처럼 작용하며, 다른 함자와의 조합에서 결과를 변화시키지 않는다.3.2. 중립성
항등 함자는 함자 조합에서 중립적인 역할을 한다. 즉, 임의의 함자 [math(F)]에 대해 다음이 성립한다:[math(F \circ 1_C = F = 1_C \circ F)]