1. 개요
自然同形자연 동형은 범주론에서 두 함자 사이의 특별한 자연 변환을 의미하며, 모든 대상에서 동형 사상을 이루는 자연 변환을 가리킨다. 이는 두 함자가 본질적으로 동일한 구조를 가진다는 것을 의미하며, 수학적 구조를 비교하고 분류하는 데 중요한 개념이다.
예를 들어, 자연 동형은 다음 조건을 만족하는 자연 변환이다:
- 두 함자 [math(F)]와 [math(G)]가 주어졌을 때, 자연 변환 [math(\eta)]는 각 대상 [math(X)]에 대해 사상 [math(\eta_X : F(X) \to G(X))]을 정의한다.
- [math(\eta_X)]가 동형 사상이어야 한다. 즉, [math(\eta_X)]는 전사이고 단사이다.
- [math(\eta)]는 자연성 조건을 만족해야 한다. 즉, 임의의 사상 [math(f : X \to Y)]에 대해 다음이 성립한다:
[math(\eta_Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_X)]
2. 정의
범주 [math(C)]와 [math(D)]가 주어졌을 때, 두 함자 [math(F, G : C \to D)] 사이의 자연 동형 [math(\eta)]는 다음 조건을 만족하는 자연 변환이다:- 각 [math(X \in \text{Ob}(C))]에 대해 사상 [math(\eta_X : F(X) \to G(X))]이 동형 사상이다.
- 자연성 조건: 임의의 사상 [math(f : X \to Y)]에 대해 다음이 성립한다:
[math(\eta_Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_X)]
이 정의는 자연 동형이 단순한 동형 사상의 모임이 아니라, 함자 간의 구조적 동등성을 나타내는 중요한 개념임을 보여준다.