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1. 개요
4차원(四次元, fourth dimension, 4-D)은 4개의 차원(dimension)으로 이루어진 임의의 공간이다. 숫자쌍에서 마음대로 정할 수 있는 숫자가 네 개라는 말이다.2. 구현 방법
2.1. 기하학적 투영
3차원 공간에서는 평행하지 않은 4번째 축을 구현할 수 없으므로, 3차원 이상의 초입체를 3차원인 현실세계에서 온전히 구현하는 것은 불가능하다.그러나 2차원 평면에 3차원의 모습을 투영(projection)시켜 그림을 그릴 수 있듯, 4차원 이상의 초입체가 투영된 모습도 얼마든지 3D 그래픽 또는 3차원 조형물로 표현하거나, 2차원 그림으로 표현할 수는 있다.
이런 방식을 사용하면 4차원뿐만 아니라, 5차원 이상의 도형도 구현할 수 있으며, 실제 컴퓨터 그래픽 상으로도 '4차원 이상의 좌표 데이터 → 3차원 좌표 데이터 → 2차원 화면에 투영'하는 방식으로 화면에 표시할 수 있다.
단, 차원이 높아질수록, 그리고 셀(cell)의 개수가 늘어날수록 형태가 복잡해지기 때문에, 그림을 잘 그려놓더라도 그것이 몇 차원의 어느 도형인지 알아보는 것은 고도의 공간지각능력이 필요하다. 따라서 어떤 도형을 표현한 그림인지 알아볼 수 있는지 역시 별개의 문제다.
2.2. 데이터, 그래프로 구현
비단 기하학이나 물리학 같은 복잡한 개념을 쓸 필요 없이 단순히 4개의 정보를 다루면 4차원 데이터다. 쉽게 말해 어떤 사람에 대한 수치 데이터를 다루기 위해 키, 몸무게, 가족수, 재산을 통계로 만들겠다고 하면 A라는 사람은 (172 cm, 64 kg, 4명, 5억 원)이라는 4개의 숫자쌍으로 정리가 되고, 4개의 독립적인 숫자를 쓰기 때문에 이게 바로 4차원 데이터다.이 4개의 숫자가 있다는 걸 기하학으로 생각한 개념이 바로 서로 방향이 겹치지 않는 좌표축이 4개 있다는 말.[1]
4차원 유클리드 좌표공간상에서 함수 그래프를 그리면 3차원 다양체(3변수함수)가 그려지듯이 n차원 유클리드 좌표공간상에서 함수 그래프를 그리면 n-1차원 다양체(n-1변수함수)가 그려진다고 한다. 4차원 유클리드 공간 상에서 그려지는 함수를 초곡면이라고 한다.
위 사진은 4차원 유클리드 실공간 위에서 삼변수함수를 그리는 원리,방법의 하나를 보여주는 사진이다.
위 사진은 좌표축이 4개 있는 사진을 바탕으로 어느 일반인이 Wolfram Mathematica 14에서 그린 4차원 유클리드 실공간에서의 4가지 초평면의 사진이다.[2]
4차원뿐만 아니라 그 이상의 차원들도 2차원 상에서 사진, 그림으로 그릴 수는 있다.
이것,이것, 이것도 보면 4차원 초입방체, 4차원 실공간에 대해 이해하는 데 도움 될 것이다.
위 사진은 Desmos 3D로 그린 삼변수함수 f(x, y, z)=cos(x)+cos(y)+cos(z)의 그림이다 링크
삼변수함수를 그리는 방법에는 서로 방향이 겹치지 않는 축 4개를 그리는 방법과 4개의 변수 중에서 하나를 색깔로 하여 그리는 방법 그리고 4개의 변수 중에서 하나를 애니메이션으로 정하여 그리는 방법이 있다.
3. 4차원에서 정의되는 도형
- 정다포체: 정오포체, 정팔포체, 정십육포체, 정이십사포체, 정백이십포체, 정육백포체
- 초기둥 종류
- 4차원 초각기둥(Hyperprism): 두 개의 (4차원의 방향으로)평행한 3차원 다면체 사이에 선을 그어 만들어지는 도형으로, 두 개의 다면체와, 그 다면체를 이루는 면의 개수만큼의 각기둥으로 구성돼 있다.
- 구 초기둥(Spherinder[3] 또는 Spherical cylinder): 밑포가[4] 구인 초기둥이다. 평행한 두 개의 구와 그 사이의 4차원 공간을 점하는 4차원 도형으로 이루어져있다.
- 원뿔 초기둥(Coninder[5] 또는 Conical cylinder): 밑포가 원뿔인 초기둥이다.
- 원기둥 초기둥(Cubinder 또는 Cubical Cylinder): 밑포가 원기둥인 초기둥이다.
- 초뿔 종류
- 4차원 초각뿔: 하나의 다면체와 4차원 공간상의 꼭짓점을 이은 도형이다.
- 구 초뿔(Sperone): 밑포가 구인 초뿔. (sphere + cone)
- 다이콘(Dicone): 밑포가 원뿔인 초뿔이다. 두 개의 원뿔(cone)이 붙은 것과 같다고 하여 다이콘이라고 불린다.
- 원기둥 초뿔(Cylindrone[6] 또는 Cylinderical Cone): 밑포가 원기둥인 초뿔이다.
- 정육면체 초뿔(Cubic Pyramid): 밑포가 정육면체인 초뿔이다. 정팔포체의 각 포에 붙이면 정이십사포체를 만들 수 있다.
- 오각기둥 초뿔(Pentagonal Prism Pyramid): 밑포가 오각기둥인 초뿔이다. 모든 면이 정다각형이면 초높이는 한 변의 길의의 약 0.16배에 불과하다.
- 토러스 종류
- 토러스 초기둥(Torinder): 밑포가 토러스인 초기둥이다.
- 구 토러스(Spheritorus): 구를 특정 축으로 회전시켜 얻어진 도형이다. 토러스 구와 위상수학적으로 쌍대 관계이다.
- 토러스 구(Torisphere): 구 초기둥을의 양쪽 끝을 휘어 자신의 안쪽으로 연결한 도형이다. 토러스와 위상수학적으로 쌍대 관계이다.
- 다이토러스(Ditorus): 토러스 초기둥의 양쪽 끝을 휘어 자신의 안쪽으로 연결한 도형이다.
- 타이거(Tiger)[7]: 토러스의 각 단면이 되는 원을 다시 다른 방향으로 토러스의 형태로 회전시켜 얻어지는 도형이다. 일반인들이 이해하기에 가장 난해한 도형이다.
- 크로스캡: 토러스 한쪽 부분의 안팎을 뒤집은 도형. 후술할 클라인의 병과는 다르다.
- 듀오프리즘(Duoprism): 두 가지, 또는 한 가지 각기둥을(4차원의 방향으로) 서로 둘러싸도록 접혀 만들어지는 4차원 도형이다. 두 각기둥의 밑면의 개수와 꼭짓점 개수로(p-q 듀오프리즘) 표기한다.[8] 총 초부피는 p각형의 면적*q각형의 면적이 된다.
- 프리즈믹 실린더(Prismic Cylinder): 원기둥 하나와과 각기둥 하나를 4차원 방향으로 서로 둘러쌓이도록 접혀서 만들어지는 도형. 듀오프리즘과 듀오실린더의 중간 형태로 볼 수 있다. 4-프리즈믹 실린더는 원기둥 초기둥과 같다.
- 듀오실린더: 듀오프리즘의 원기둥 버전이라고 보면 된다. 두 개의 원기둥을 서로 둘러싸도록 토러스형으로 접혀 만들어지는 4차원 도형이다. 총 두 개의 토러스형 초입체로 구성되어 있으며, 면은 한 개, 모서리와 꼭짓점은 없는 도형이다.
- 초구: n차원 곡면. (n+1)차원 공간의 특정한 지점에서 같은 거리에 존재하는 점들의 집합. 어느 방향으로 잘라도 항상 구이다. 2차원 구의 면적이 [math(\pi)], 3차원 구의 초부피는 [math(\dfrac{4\pi}{3})], 4차원 구의 초부피는 [math(\dfrac{\pi^2}{2})]로 [math(\pi)]가 1차원 더 늘어나는 것도 듀오프리즘과 관련이 있다.
- 알렉산더의 뿔 달린 구: 위 초구와 위상동형인 도형. 구 일부를 뿔처럼 늘린 뒤 꼬아놓은 것이다.
- 클라인의 병: 3차원 곡면. 뫼비우스의 띠의 4차원 버전. 3차원에서 안과 밖이라고 부르는 부분이 따로 존재하지 않는다.
- 사영평면: 원의 마주보는 점을 빈틈없이 접어 만드는 도형.
- 쌍각뿔 종류: 초기둥의 쌍대다포체이다.
- 엇각기둥 종류: 윗입체와 아랫입체가 쌍대다포체 관계이며 옆입체는 2가지 종류가 있는데 [math(\pi)]윗입체 혹은 아랫입체와 면을 맞닿는 입체는 n각뿔 모양을 하며 윗입체, 아랫입체와 동시에 모서리만 접하는 입체는 사면체 모양이다.
- 엇쌍각뿔 종류: 엇각기둥의 쌍대다포체이다.
- 고른 다포체: 아르키메데스 다면체의 4차원 버전.
- 한편 4차원 이상에서도 이러한 방식으로 고른 다포체(uniform polytope)을 만들 수 있다. 4차원에서도 정십각형까지 사용 가능하며 5차원 이상에서도 정팔각형까지 사용 가능하다. 다만 다듬은 육팔면체와 다듬은 십이이십면체의 형태는 4차원 이상에서는 사라진다.[9]
- 카탈랑 다포체: 카탈랑 다면체를 4차원으로 확장한 것이다. 고른 다포체의 쌍대다포체이다.
- 한편 이를 응용해서 쌍곡포물입체, 타구포물입체, 타구입체 등도 만들 수 있다. 포물선을 다른 방향으로 포물선 방향으로 회전시키는 등[10] 다양한 도형들을 만들 수 있다.
- CRF 다포체: 존슨 다면체를 4차원으로 확장시킨 것으로 훨씬 더 많은 종류가 존재할 것으로 예상된다. 당장 자른 정육백포체(diminished 600-cell)만 해도 최소 314,248,344가지라고 알려져 있다.링크
실제로 페루의 어느 한 교수는 mathematica로 4차원 삼변수함수 그래프를 그리는 방법을 연구했다고 한다. 링크[11]
[1] n차원은 그런 좌표축이 n개 있다.[2] 빨간색, 초록색,파란색, 노란색은 각각 x=0, y=0, z=0, w=0라는 방정식을 4차원 유클리드 실공간에서 그린 사진이다[3] sphere+cylinder[4] 3차원 도형의 '밑면'을 임의 차원으로 확장했다고 생각하면 된다. 밑입체라고도 불린다.[5] cone + cylinder[6] cylinder + cone[7] 처음에는 이를 토라(Tora)로 지었으나 일본어 虎(とら)와 로마자 표기가 같아서 착안한 이름.[8] 예: 삼각기둥 5개와 오각기둥 3개를 서로 둘러싸게 접어 만든 듀오프리즘을 3-5 듀오프리즘, 또는 5-3 듀오프리즘이라고 한다. p, q의 순서를 바꿔도 된다. 참고로 4-4 듀오프리즘은 정팔포체와 같으며 n-4 듀오프리즘은 n각기둥 초기둥과 같다.[9] 4차원에도 다듬은 정이십사포체(snub-24 cell)가 있지만 이름만 같으며 배열 방식이 전혀 다르다. 오히려 이쪽은 grand antiprism처럼 600포체의 특정 꼭짓점을 이어서 만든 도형이다. 자른다는게 아니라 특정 꼭짓점을 이어서 만든 도형이라 표현한 이유는 snub-24 cell은 정육백포체의 정이십면체 부분을 자르면 만들어지지만 grand antiprism은 전혀 그렇지 않다. 특히 grand antiprism은 무려 1965년에 최초로 발견되었다. 4차원 이상의 기하학 이론이 1850년대에 본격적으로 연구된 것을 보면 엄청 늦은 편이다. snub 24-cell은 정이십면체 24개, 정사면체 120개가 들어가며 grand antiprism은 엇정오각기둥 20개, 정사면체 300개가 들어간다. 정600포체의 꼭짓점을 적당히 이으면 정24포체를 만들 수 있는데 이 원리를 응용한 도형이다. 정십이면체의 20개 꼭짓점 중 이웃하지 않는 8개의 꼭짓점을 이으면 정육면체가 되는 것과 원리는 비슷하다.[10] x, y축이 포물선이며 z, w축도 포물선을 이룬다.[11] 스페인어로 되어 있는 파일이니 스페인어를 할 줄 아는 사람이라면 관심 있게 읽어도 좋다.