1. 개요
WKB approximation1926년, 3명의 물리학자 벤첼(Gregor Wentzel; 1898-1978), 크라머러스(Hendrik Anthony Kramers; 1894-1952), 브릴루앙(Léon Brillouin; 1889-1969)[1]가 각각 유도한 양자역학적 근사법이다. WKB란 이름은 세 사람의 이름의 맨 첫 글자를 따서 명명된 것이다.
양자역학에서 계의 파동함수를 얻는 것은 매우 중요한 일로, 이는 파동함수 내 계의 모든 정보가 응축되어 있기 때문이다. 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식
[math(\begin{aligned} -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+V(x)\psi=E\psi \end{aligned})]
을 풀면 계의 시간에 의존하지 않는 파동함수를 얻을 수 있다. 하지만 불행히도 미분방정식 특성 상 이것이 쉽게 풀리는 상황은 극히 적다. 그렇기 때문에 양자역학에서는 다양한 근사를 통해 파동함수를 얻는 방법이 나와있는데, 다루는 WKB 근사법 또한 그 중 하나이다.
2. 유도
시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식을 변형하여[math(\begin{aligned} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+\frac{2m[E-V(x) ]}{\hbar^{2}}\psi=0 \end{aligned})]
형태로 쓰고, 다음과 같이 치환을 하자.
[math(\begin{aligned} k(x)= \sqrt{\dfrac{2m[E-V(x) ]}{\hbar^{2}} } \end{aligned})]
그럼 위 방정식은
[math(\begin{aligned} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+[k(x) ]^{2}\psi=0 \end{aligned})]
가 된다. 시험해로
[math(\begin{aligned} \psi=\exp{\biggl( \frac{i \mathcal{W}(x)}{\hbar} \biggr)} \end{aligned})]
를 사용해보자. 본 방정식에 대입하면
[math(\begin{aligned} i \hbar \frac{\partial^{2} \mathcal{W}}{\partial x^{2}}- \left[ \frac{\partial \mathcal{W}}{\partial x} \right]^{2}+\hbar^{2}[k(x) ]^{2}=0 \end{aligned})]
만약
[math(\begin{aligned} \hbar \left|\frac{\partial^{2} \mathcal{W}}{\partial x^{2}} \right| \ll \left|\frac{\partial \mathcal{W}}{\partial x} \right|^{2} \end{aligned})]
이 성립한다고 가정하자. 이것의 의미는 후술하기로 한다. 그렇다면 제2항에 비해 제1항이 매우 작기에 무시 가능하여
[math(\begin{aligned} - \left[ \frac{\partial \mathcal{W}}{\partial x} \right]^{2}+\hbar^{2}[k(x) ]^{2}=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial \mathcal{W}}{\partial x}= \pm \hbar k(x) \end{aligned})]
이때 해는 다음과 같이 나오게 된다.
[math(\begin{aligned} \mathcal{W}_{0}(x)=\pm \hbar \int^{x} k(q)\,{\rm d}q \end{aligned})]
이 해를 그냥 사용하기에는 무리[2]가 있으므로 이것을 다시 방정식에 대입해서 정리하면
[math(\begin{aligned} \left[ \frac{\partial \mathcal{W}}{\partial x} \right]^{2}=\hbar^{2}[k(x) ]^{2} \pm i \hbar^{2} k'(x) \end{aligned})]
따라서 해를 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.
[math(\begin{aligned} \mathcal{W}(x) \simeq \pm \hbar \int^{x} \sqrt{ [k(q) ]^{2} \pm i k'(q) } \,{\rm d}q \end{aligned})]
그런데 위 제약 조건에서
[math(\begin{aligned} \hbar \left|\frac{\partial^{2} \mathcal{W}_{0}}{\partial x^{2}} \right| \ll \left|\frac{\partial \mathcal{W}_{0}}{\partial x} \right|^{2} \quad \Rightarrow \quad |k'| \ll |k|^{2} \end{aligned})]
이므로 적분 내의 항을 테일러 전개하여
[math(\begin{aligned} \mathcal{W}(x) &\simeq \pm \hbar \int^{x} k(q) \left[1 \pm \frac{i}{2}\frac{k'(q)}{[k(q) ]^{2}} \right] \,{\rm d}q \\&=\pm \hbar \int^{x} k(q)\,{\rm d}q +\hbar \int^{x} \frac{i}{2}\frac{k'(q)}{k(q) } \,{\rm d}q \\&=\pm \hbar \int^{x} k(q)\,{\rm d}q+\frac{i \hbar}{2} \ln{(k(x))} \end{aligned})]
따라서 WKB 근사에서 파동함수의 형태는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\begin{aligned} \psi =\frac{C}{\sqrt{k(x)}} \exp{\biggl( \pm i \int^{x} k(q)\,{\rm d}q \biggr)} \end{aligned})]
[math(C)]는 상수이다.
2.1. 형태
모든 파동함수는 입사파와 반사파의 선형 결합으로 쓸 수 있다.[1] 속박 영역
입자가 [math(E>V(x))]인 영역(위 그림에서 '영역Ⅰ')에 있다면 파동함수는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.
[math(\begin{aligned} \psi =\frac{A'}{\sqrt{k(x)}}\exp{\displaystyle \biggl( i \int^{x} k(q)\,{\rm d}q \biggr)}+\frac{B'}{\sqrt{k(x)}}\exp{\displaystyle \biggl( -i \int^{x} k(q)\,{\rm d}q \biggr)} \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} \psi =\frac{A}{\sqrt{k(x)}}\sin{\biggl( \int^{x} k(q)\,{\rm d}q+\delta \biggr)}+\frac{B}{\sqrt{k(x)}}\cos{\biggl( \int^{x} k(q)\,{\rm d}q+\delta \biggr)} \end{aligned})] |
[2] 터널링 영역
입자가 [math(E<V(x))]인 영역(위 그림에서 '영역Ⅱ')에 있다면 파동함수는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.
[math(\begin{aligned} \psi =\frac{C}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\displaystyle \biggl( \int^{x} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)}+\frac{D}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\displaystyle \biggl( - \int^{x} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)} \end{aligned})] |
[3] 전환점 근처
[math(E=V(x))]인 점(위 그림에서 [math(x_1)], [math(x_2)], [math(x_3)]) 근처에서는 [math(k(x) \to 0)]으로 파동함수의 진폭이 무한해진다. 따라서 해당 근방에서는 WKB 근사로 구한 파동함수를 사용할 수 없다. 따라서 전환점 근방에서 연결시키는 함수를 구해야하는데 이는 밑에서 다루기로 한다.
3. 예시
아래는 어떠한 퍼텐셜 [math(V(x))]에 대하여 WKB 근사를 통해 파동함수 [math(\psi_{\rm WKB}(x))]를 구해본 것이다. 본래의 파동함수는 [math(\varphi(x))]이다. 다만 그림처럼 전환점 [math(x=x_{t})] 근처에서는 파동함수를 발산하게 만들어 본래 함수와 잘 맞지 않는다.4. 제약 조건의 해석
WKB 근사법은 다음과 같은 영역에서 유효하다.[math(\begin{aligned} |k'| \ll |k|^{2} \end{aligned})]
[math(\hbar k(x)=\sqrt{2m[E-V(x) ]})]이므로 위 식은
[math(\begin{aligned} \biggl| -\frac{mV'(x)}{\hbar \sqrt{2m[E-V(x) ]}} \biggr| \ll \biggl|\frac{2m[E-V(x) ]}{\hbar^{2}} \biggr| \end{aligned})]
인데, 이것을 정리하면 다음을 얻는다. [math(p(x))]는 운동량이다.
[math(\begin{aligned} |V'(x)| \frac{h}{|p(x)|} \ll 4\pi |E-V(x)| \end{aligned})]
드브로이 파장 [math(\lambda)]을 도입하면
[math(\begin{aligned} \frac{1}{2\pi}\lambda \ll \frac{ 2|E-V(x)|}{|V'(x)|} \end{aligned})]
우선 파장은 항상 어떠한 수보다 매우 작음을 알 수 있다.
위 식의 우변은 곧 퍼텐셜의 변화에 따른 입자의 에너지의 비, 즉, 퍼텐셜이 얼머나 변하는지 수차화한 것이라 볼 수 있다. 이것보다 파장이 매우 짧으므로 WKB 근사가 성립하는 것은 매우 짧은 파장을 갖는 영역임을 알 수 있다. 이러한 영역에선 파동의 성질이 많이 죽는데[3], 따라서 양자역학적 효과가 중간쯤 나타나는 반고전적(semi-classical) 영역을 다룸을 알 수 있다.
파장이 짧은 영역을 다루므로 위 식을 다시 쓰면
[math(\begin{aligned} |V'(x)| \lambda\ll 4\pi |E-V(x)| \end{aligned})]
좌변은 근사적으로 한 파장만큼 이동할 때, 퍼텐셜의 변화량이라 볼 수 있다. 이것이 입자가 갖는 에너지보다 매우 작다는 건 퍼텐셜의 변화 자체가 작다는 뜻을 의미한다.
위의 논의는 다음과 같이 요약할 수 있다.
- WKB 근사가 성립하는 곳은 파장이 매우 짧은 영역에 있으며, 이때 퍼텐셜은 매우 천천히 변화한다. 이러한 영역은 양자역학적 효과가 중간 쯤 나타나는 반고전적 영역이라 볼 수 있다.
파장이 짧은 영역이라는 것은 달리 말하면 에너지가 큰 영역을 다루는 것을 알 수 있다. WKB 근사는 바닥 상태보다는 들뜬 상태에 최적화되어 있음을 시사한다.
5. 연결 공식
WKB 근사의 맹점은 바로 전환점 근처 해당 함수를 발산시키는 것이다. 따라서 전환점을 사이에 둔 두 함수는 독립적으로 존재할 뿐 관계를 찾을 수 없다. 쉽게 설명하면 사각 퍼텐셜 문제를 풀 때, 파동함수의 연속 조건을 사용하여 각 구간에서 구한 함수를 이을 수 있었는데, WKB 근사를 사용하면 그것이 안되는 것이다.이것을 해결하기 위해 둘을 이어줄 함수를 구하고, 이 함수를 통해 전환점 밖의 두 함수의 관계를 찾아주는 방법을 사용한다. 그 방법은 아래와 같다.
- 전환점 근처의 퍼텐셜을 선형근사한다.
- 선형근사 함수에 대한 슈뢰딩거 방정식에 대한 해(이하 '접합 함수')를 구한다.
- 전환점에서 충분히 떨어지면 접합 함수와 WKB 근사를 사용한 파동함수(이하 'WKB 함수')가 겹치게 되는데, 이 영역에서 WKB 함수와 접합 함수의 꼴을 잘 맞추어 계수를 맞춘다.
이 방법을 사용하기 위해 [math(V'(x_{t}))]의 부호에 따라 경우를 나눈다. 양의 경우 고전적 영역에서 터널링 영역으로 가능 경우, 음의 경우 터널링 영역에서 고전적 영역으로 가는 경우이다. \
전환점 근처의 퍼텐셜은 다음과 같이 선형근사 할 수 있다.
[math(\begin{aligned} V(x) \simeq V(x_{t})+V'(x_{t})(x-x_{t}) \end{aligned})]
이에 다음을 알 수 있다.
[math(\begin{aligned} k(x)&=\sqrt{\frac{2m}{\hbar^{2}}[E-V(x) ] } \\&=\begin{cases}\sqrt{\dfrac{2m |V'(x_{t})|}{\hbar^{2}} }\sqrt{x_{t}-x } & \quad (V'(x_{t})>0) \\ \sqrt{\dfrac{2m |V'(x_{t})|}{\hbar^{2}} }\sqrt{x-x_{t}} & \quad (V'(x_{t})<0) \end{cases} \\ \\ |k(x)|&=\begin{cases}\sqrt{\dfrac{2m |V'(x_{t})|}{\hbar^{2}} }\sqrt{x-x_{t} } & \quad (V'(x_{t})>0) \\ \sqrt{\dfrac{2m |V'(x_{t})|}{\hbar^{2}} }\sqrt{x_{t}-x} & \quad (V'(x_{t})<0) \end{cases} \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} \alpha^{3} \equiv \dfrac{2m |V'(x_{t})|}{\hbar^{2}} \end{aligned})]
각 경우에 대해 슈뢰딩거 방정식은
[math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}^{2} \psi(x)}{{\rm d} x^{2}}+[k(x) ]^{2} \psi(x)=0 \end{aligned})]
이므로 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} \begin{cases}\dfrac{{\rm d}^{2} \psi(x)}{{\rm d} x^{2}}-\alpha^{3}(x-x_{t}) \psi(x)=0 & \quad (V'(x_{t})>0) \\ \dfrac{{\rm d}^{2} \psi(x)}{{\rm d} x^{2}}+\alpha^{3}(x-x_{t})\psi(x)=0 & \quad (V'(x_{t})<0) \end{cases} \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} z \equiv \begin{cases} \alpha (x-x_{t}) & \quad (V'(x_{t})>0) \\ \alpha (x_{t}-x) & \quad (V'(x_{t})<0) \end{cases} \end{aligned})]
을 사용하면 두 방정식을 다음 꼴로 바꿀 수 있다.
[math(\begin{aligned} \dfrac{{\rm d}^{2} \psi(z)}{{\rm d} z^{2}}-z\psi(z)=0 \end{aligned})]
이것은 에어리 함수를 해로 갖는 미분방정식으로 그 해는 두 선형독립인 해의 선형결합
[math(\begin{aligned} \psi(z)=a {\rm Ai}(z)+b {\rm Bi}(z) \end{aligned})]
으로 쓸 수 있다. 이것이 위에서 밝힌 접합 함수이다. 다행히도 두 함수의 점근꼴은 알려져있는데,
[math(\begin{aligned} \begin{aligned} \mathrm{Ai}(z) &\sim \begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt{\pi}z^{1/4}}\exp{\biggl( -\dfrac{3}{2}z^{3/2} \biggr)} & \quad (z \gg 1) \\ \dfrac{1}{\sqrt{\pi}(-z)^{1/4}}\sin{\biggl( \dfrac{3}{2}(-z)^{3/2}+\dfrac{\pi}{4} \biggr)} & \quad (-z \gg 1) \end{cases} \\\mathrm{Bi}(z) &\sim \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{\pi}z^{1/4}}\exp{\biggl( \dfrac{3}{2}z^{3/2} \biggr)} & \quad (z \gg 1) \\ \dfrac{1}{\sqrt{\pi}(-z)^{1/4}}\cos{\biggl( \dfrac{3}{2}(-z)^{3/2}+\dfrac{\pi}{4} \biggr)} & \quad (-z \gg 1) \end{cases} \end{aligned} \end{aligned})] |
| <colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\boldsymbol{V'(x_{t})>0})] | [math(\begin{aligned} \mathrm{Ai}(\alpha(x-x_{t})) &\sim \begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt{\pi}[\alpha(x-x_{t}) ]^{1/4}}\exp{\biggl( -\dfrac{3}{2}[\alpha(x-x_{t}) ]^{3/2} \biggr)} & \quad (x \gg x_{t}) \\ \dfrac{1}{\sqrt{\pi}[\alpha(x_{t}-x) ]^{1/4}}\sin{\biggl( \dfrac{3}{2}[\alpha(x_{t}-x) ]^{3/2}+\dfrac{\pi}{4} \biggr)} & \quad (x \ll x_{t}) \end{cases} \\\mathrm{Bi}(\alpha(x-x_{t})) &\sim \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{\pi}[\alpha(x-x_{t}) ]^{1/4}}\exp{\biggl( \dfrac{3}{2}[\alpha(x-x_{t}) ]^{3/2} \biggr)} & \quad (x \gg x_{t}) \\ \dfrac{1}{\sqrt{\pi}[\alpha(x_{t}-x) ]^{1/4}}\cos{\biggl( \dfrac{3}{2}[\alpha(x_{t}-x) ]^{3/2}+\dfrac{\pi}{4} \biggr)} & \quad (x \ll x_{t}) \end{cases} \end{aligned})] |
| [math(\boldsymbol{V'(x_{t})<0})] | [math(\begin{aligned} \mathrm{Ai}(\alpha(x_{t}-x)) &\sim \begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt{\pi}[\alpha(x_{t}-x) ]^{1/4}}\exp{\biggl( -\dfrac{3}{2}[\alpha(x_{t}-x) ]^{3/2} \biggr)} & \quad (x \ll x_{t}) \\ \dfrac{1}{\sqrt{\pi}[\alpha(x-x_{t}) ]^{1/4}}\sin{\biggl( \dfrac{3}{2}[\alpha(x-x_{t}) ]^{3/2}+\dfrac{\pi}{4} \biggr)} & \quad (x \gg x_{t}) \end{cases} \\\mathrm{Bi}(\alpha(x_{t}-x)) &\sim \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{\pi}[\alpha(x_{t}-x) ]^{1/4}}\exp{\biggl( \dfrac{3}{2}[\alpha(x_{t}-x) ]^{3/2} \biggr)} & \quad (x \ll x_{t}) \\ \dfrac{1}{\sqrt{\pi}[\alpha(x-x_{t}) ]^{1/4}}\cos{\biggl( \dfrac{3}{2}[\alpha(x-x_{t}) ]^{3/2}+\dfrac{\pi}{4} \biggr)} & \quad (x \gg x_{t}) \end{cases} \end{aligned})] |
| <colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\boldsymbol{V'(x_{t})>0})] | [math(\begin{aligned} \psi_{1}(x)&=\frac{A}{\sqrt{k(x)}}\sin{\biggl( \int_{x}^{x_{t}} k(q)\,{\rm d}q+\delta \biggr)}+\frac{B}{\sqrt{k(x)}}\cos{\biggl( \int_{x}^{x_{t}} k(q)\,{\rm d}q+\delta \biggr)} \\ \psi_{2}(x)&=a {\rm Ai}(\alpha(x-x_{t}))+b {\rm Bi}(\alpha(x-x_{t})) \\ \psi_{3}(x)&=\frac{C}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\displaystyle \biggl( \int_{x_{t}}^{x} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)}+\frac{D}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\displaystyle \biggl( - \int_{x_{t}}^{x} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)} \end{aligned})] |
| [math(\boldsymbol{V'(x_{t})<0})] | [math(\begin{aligned} \psi_{1}(x)&= \frac{C}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\displaystyle \biggl( \int_{x}^{x_{t}} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)}+\frac{D}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\displaystyle \biggl( - \int_{x}^{x_{t}} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)}\\ \psi_{2}(x)&=a {\rm Ai}(\alpha(x_{t}-x))+b {\rm Bi}(\alpha(x_{t}-x)) \\ \psi_{3}(x)&=\frac{A}{\sqrt{k(x)}}\sin{\biggl( \int_{x_{t}}^{x} k(q)\,{\rm d}q+\delta \biggr)}+\frac{B}{\sqrt{k(x)}}\cos{\biggl( \int_{x_{t}}^{x} k(q)\,{\rm d}q+\delta \biggr)} \end{aligned})] |
[math( \begin{aligned} \int k(q)\,{\rm d}q &=\begin{cases} -\dfrac{2}{3}[\alpha (x_{t}-x)^{3/2}] & \quad (V'(x_{t})>0) \\ \dfrac{2}{3}[\alpha (x-x_{t})^{3/2}] & \quad (V'(x_{t})<0) \end{cases} \\ \\ \int |k(q)|\,{\rm d}q&=\begin{cases} \dfrac{2}{3}[\alpha (x-x_{t})^{3/2}] & \quad (V'(x_{t})>0) \\ -\dfrac{2}{3}[\alpha (x_{t}-x)^{3/2}] & \quad (V'(x_{t})<0) \end{cases} \end{aligned})] |
접합 함수의 영역Ⅰ 쪽으로의 점근 함수를 [math(\psi_{2}^{<}(x))], 영역Ⅲ 쪽으로의 점근 함수를 [math(\psi_{2}^{>}(x))]라 놓으면
| <colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\boldsymbol{V'(x_{t})>0})] | [math( \begin{aligned} \psi_{1}(x)&=\frac{A}{\alpha^{3/4}(x_{t}-x)^{1/4}}\sin{\biggl( \frac{2}{3}[\alpha(x_{t}-x) ]^{3/2}+\delta \biggr)}+\frac{B}{\alpha^{3/4}(x_{t}-x)^{1/4}}\cos{\biggl( \frac{2}{3}[\alpha(x_{t}-x) ]^{3/2}+\delta \biggr)} \\ \psi_{2}^{<}(x)&= \dfrac{a}{\sqrt{\pi}[\alpha(x_{t}-x) ]^{1/4}}\sin{\biggl( \dfrac{3}{2}[\alpha(x_{t}-x) ]^{3/2}+\dfrac{\pi}{4} \biggr)}+ \dfrac{b}{\sqrt{\pi}[\alpha(x_{t}-x) ]^{1/4}}\cos{\biggl( \dfrac{3}{2}[\alpha(x_{t}-x) ]^{3/2}+\dfrac{\pi}{4} \biggr)} \\ \\ \psi_{2}^{>}(x)&=\dfrac{a}{2\sqrt{\pi}[\alpha(x-x_{t}) ]^{1/4}}\exp{\biggl( -\dfrac{3}{2}[\alpha(x-x_{t}) ]^{3/2} \biggr)}+ \dfrac{b}{\sqrt{\pi}[\alpha(x-x_{t}) ]^{1/4}}\exp{\biggl( \dfrac{3}{2}[\alpha(x-x_{t}) ]^{3/2} \biggr)} \\ \psi_{3}(x)&=\frac{C}{\alpha^{3/4}(x-x_{t})^{1/4}}\exp{\displaystyle \biggl( \frac{2}{3}[\alpha(x-x_{t}) ]^{3/2} \biggr)}+\frac{D}{\alpha^{3/4}(x-x_{t})^{1/4}}\exp{\displaystyle \biggl( - \frac{2}{3}[\alpha(x-x_{t}) ]^{3/2} \biggr)} \end{aligned})] |
| [math(\boldsymbol{V'(x_{t})<0})] | [math(\begin{aligned}\psi_{1}(x)&=\frac{C}{\alpha^{3/4}(x_{t}-x)^{1/4}}\exp{\displaystyle \biggl( \frac{2}{3}[\alpha(x_{t}-x) ]^{3/2} \biggr)}+\frac{D}{\alpha^{3/4}(x_{t}-x)^{1/4}}\exp{\displaystyle \biggl( - \frac{2}{3}[\alpha(x_{t}-x) ]^{3/2} \biggr)} \\ \psi_{2}^{<}(x)&=\dfrac{a}{2\sqrt{\pi}[\alpha(x_{t}-x) ]^{1/4}}\exp{\biggl( -\dfrac{3}{2}[\alpha(x_{t}-x) ]^{3/2} \biggr)}+ \dfrac{b}{\sqrt{\pi}[\alpha(x_{t}-x) ]^{1/4}}\exp{\biggl( \dfrac{3}{2}[\alpha(x_{t}-x) ]^{3/2} \biggr)} \\ \\\psi_{2}^{>}(x)&= \dfrac{a}{\sqrt{\pi}[\alpha(x-x_{t}) ]^{1/4}}\sin{\biggl( \dfrac{3}{2}[\alpha(x-x_{t}) ]^{3/2}+\dfrac{\pi}{4} \biggr)}+ \dfrac{b}{\sqrt{\pi}[\alpha(x-x_{t}) ]^{1/4}}\cos{\biggl( \dfrac{3}{2}[\alpha(x-x_{t}) ]^{3/2}+\dfrac{\pi}{4} \biggr)} \\ \psi_{3}(x)&=\frac{A}{\alpha^{3/4}(x-x_{t})^{1/4}}\sin{\biggl( \frac{2}{3}[\alpha(x-x_{t}) ]^{3/2}+\delta \biggr)}+\frac{B}{\alpha^{3/4}(x-x_{t})^{1/4}}\cos{\biggl( \frac{2}{3}[\alpha(x-x_{t}) ]^{3/2}+\delta \biggr)} \end{aligned})] |
[math( \begin{aligned} D&=\frac{A}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}a \\ C&=B=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}b \\ \delta&=\frac{\pi}{4} \end{aligned})]
다음은 각 경우에 대하여 영역에 따른 연결되는 함수들이다.
| 경우 | [math(\boldsymbol{x<x_{t}})] | [math(\boldsymbol{x>x_{t}})] | |
| <colbgcolor=#ffffff> | [math(\displaystyle\frac{2D}{\sqrt{k(x)}}\sin{\biggl(\int_{x}^{x_{t}} k(q)\,{\rm d} q+\frac{\pi}{4}\biggr)} )] | [math(\Leftrightarrow)] | [math(\displaystyle\frac{D}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\biggl(-\int_{x_{t}}^{x} |k(q)|\,{\rm d} q\biggr)} )] ([math(x \to \infty)]일 때 감쇠) |
| [math(\displaystyle\frac{C}{\sqrt{k(x)}}\cos{\biggl(\int_{x}^{x_{t}} k(q)\,{\rm d} q+\frac{\pi}{4}\biggr)} )] | [math(\Leftrightarrow)] | [math(\displaystyle\frac{C}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\biggl(\int_{x_{t}}^{x} |k(q)|\,{\rm d} q\biggr)} )] ([math(x \to \infty)]일 때 발산) | |
| | [math(\displaystyle\frac{D}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\biggl(-\int_{x}^{x_{t}} |k(q)|\,{\rm d} q\biggr)} )] ([math(x \to -\infty)]일 때 감쇠) | [math(\Leftrightarrow)] | [math(\displaystyle\frac{2D}{\sqrt{k(x)}}\sin{\biggl(\int_{x_{t}}^{x} k(q)\,{\rm d} q+\frac{\pi}{4}\biggr)} )] |
| [math(\displaystyle\frac{C}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\biggl(\int_{x}^{x_{t}} |k(q)|\,{\rm d} q\biggr)} )] ([math(x \to -\infty)]일 때 발산) | [math(\Leftrightarrow)] | [math(\displaystyle\frac{C}{\sqrt{k(x)}}\cos{\biggl(\int_{x_{t}}^{x} k(q)\,{\rm d} q+\frac{\pi}{4}\biggr)} )] |
연결 공식을 사용할 때는 적분 구간과 파동함수의 형태에 유의하여 지수함수형 파동함수가 있는 영역을 먼저 적용하고, 진동하는 파동함수 영역과 매칭시킨다.
6. 활용
6.1. 우물형 퍼텐셜
두 전환점 [math(x_{1})]과 [math(x_{2})] (단, [math(x_{1}<x_{2})])을 가지며, [math(V'(x_{1})<0)], [math(V'(x_{2})>0)]를 만족하는 우물형 퍼텐셜을 고려하자. 이때, 터널링 영역 [math(x<x_{1})], [math(x>x_{2})]를 각각 영역Ⅰ, 영역Ⅲ이라 두고, 속박 영역 [math(x_{1}<x<x_{2})]을 영역Ⅱ라 놓자. 각각의 영역에서의 파동함수는 [math(\psi_{1}(x))], [math(\psi_{2}(x))], [math(\psi_{3}(x))]이다.
영역Ⅲ의 파동함수는 [math(x \to \infty)]일 때 감쇠하는 파만 가능할 것이므로 그 해를
[math(\begin{aligned} \psi_{3}(x)=\frac{D}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\biggl(- \int_{x_{2}}^{x}|k(q)|\,{\rm d}q \biggr)} \end{aligned})]
로 정할 수 있다. 영역Ⅱ의 파동함수는 [math(x=x_{2})]에서 연결 공식을 사용하여 다음을 구할 수 있다.
[math(\begin{aligned} \psi_{2}(x)=\frac{2D}{\sqrt{k(x)}}\sin{\biggl( \int_{x}^{x_{2}}k(q)\,{\rm d}q+\frac{\pi}{4} \biggr)} \end{aligned})]
영역Ⅰ의 파동함수는 [math(x \to -\infty)]일 때 감쇠하는 파만이 가능할 것으로 그 해를
[math(\begin{aligned} \psi_{1}(x)=\frac{\tilde{D}}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\biggl( -\int_{x}^{x_{1}}|k(q)|\,{\rm d}q \biggr)} \end{aligned})]
로 정할 수 있다. 마찬가지로 [math(x=x_{1})]에서 연결 공식을 사용하면 영역Ⅱ의 파동함수를 구할 수 있는데, 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} \psi_{2}(x)=\frac{2 \tilde{D}}{\sqrt{k(x)}}\sin{\biggl( \int_{x_{1}}^{x}k(q)\,{\rm d}q+\frac{\pi}{4} \biggr)} \end{aligned})]
위 결과와 같이 영역Ⅱ에서는 두 함수가 나온 것을 확인할 수 있는데, 이는 같아야 한다. 즉,
[math(\begin{aligned} \frac{2D}{\sqrt{k(x)}}\sin{\biggl( \int_{x}^{x_{2}}k(q)\,{\rm d}q+\frac{\pi}{4} \biggr)}=\frac{2 \tilde{D}}{\sqrt{k(x)}}\sin{\biggl( \int_{x_{1}}^{x}k(q)\,{\rm d}q+\frac{\pi}{4} \biggr)} \quad \cdots \, (\ast) \end{aligned})]
다음을 생각하면
[math(\begin{aligned} \eta& \equiv \int_{x_{1}}^{x_{2}} k(q)\,{\rm d}q \\ a & \equiv \int_{x}^{x_{2}} k(q)\,{\rm d}q+\frac{\pi}{4} \end{aligned})]
식 [math((\ast))]를 다시 쓰면
[math(\begin{aligned} \sin{\left( \eta+\dfrac{\pi}{2}-a \right)}=\frac{D}{\tilde{D}}\sin{a} \end{aligned})]
이것을 만족시키려면 다음을 만족하면 된다.
[math(\begin{aligned} \eta+\frac{\pi}{2}&=(n+1)\pi \\ \tilde{D}&=(-1)^n D \end{aligned})]
[math(n)]은 0을 포함한 양의 정수이다.[4][5]
이상에서 다음을 얻는다.
[math(\begin{aligned} \int_{x_{1}}^{x_{2}} k(q)\,{\rm d}q =\left(n+\frac{1}{2} \right)\pi \end{aligned})]
운동량 [math(p=\hbar k)], 디랙 상수와 플랑크 상수와의 관계 [math(2\pi \hbar=h)]를 사용하면
[math(\begin{aligned} \int_{x_{1}}^{x_{2}} p(x)\,{\rm d}x =\left(n+\frac{1}{2} \right)\frac{h}{2} \end{aligned})]
를 얻는데, 이는 보어-조머펠트 양자화 조건(Bohr-Sommerfeld quantization rules)와 비슷하다. 이 조건을 사용하면 우물형 퍼텐셜에 갇힌 입자의 고유 에너지를 얻을 수 있다.
6.2. 터널링
두 전환점 [math(x_{1})]과 [math(x_{2})] (단, [math(x_{1}<x_{2})])을 가지며, [math(V'(x_{1})>0)], [math(V'(x_{2})<0)]를 만족하는 퍼텐셜을 고려하자. 이때, 속박 영역 [math(x<x_{1})], [math(x>x_{2})]를 각각 영역Ⅰ, 영역Ⅲ이라 두고, 터널링 영역 [math(x_{1}<x<x_{2})]을 영역Ⅱ라 놓자. 각각의 영역에서의 파동함수는 [math(\psi_{1}(x))], [math(\psi_{2}(x))], [math(\psi_{3}(x))]이다.
영역Ⅱ의 파동함수는 아래와 같이 주어진다.
[math(\begin{aligned} \psi_{2}(x)=\frac{C}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\displaystyle \biggl( \int_{x}^{x_{2}} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)}+\frac{D}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\displaystyle \biggl( - \int_{x}^{x_{2}} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)} \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} \psi_{3}(x)=\frac{2D}{\sqrt{k(x)}}\sin{\biggl( \int_{x_{2}}^{x} k(q)\,{\rm d}q+\frac{\pi}{4} \biggr)}+\frac{C}{\sqrt{k(x)}}\cos{\biggl( \int_{x_{2}}^{x} k(q)\,{\rm d}q+\frac{\pi}{4} \biggr)} \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} \psi_{3}(x)&=\frac{1}{\sqrt{k(x)}} \left[ \frac{2iD}{2} (e^{-i \xi}-e^{i \xi})+\frac{C}{2}(e^{i \xi}+e^{-i\xi}) \right] \\&=\frac{1}{2\sqrt{k(x)}} [ (C-2iD)e^{i \xi}+(C+2iD)e^{-i\xi} ] \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} C+2iD=0 \quad \to \quad D=\frac{iC}{2} \end{aligned})]
을 택해야 사라진다. 이에
[math(\begin{aligned} \psi_{3}(x)&=\frac{2C}{\sqrt{k(x)}} e^{i \xi} \end{aligned})]
이 함수는 곧 터널링 영역을 통과한 투과파라 볼 수 있다.
영역Ⅱ의 파동함수는 다음과 같이도 생각할 수 있다.
[math(\begin{aligned} \psi_{2}(x)=\frac{\tilde{C}}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\displaystyle \biggl( \int_{x_{1}}^{x} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)}+\frac{\tilde{D}}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\displaystyle \biggl( - \int_{x_{1}}^{x} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)} \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned}\exp{\biggl( \int_{x_{1}}^{x_{2}} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)} \equiv \gamma \end{aligned})]
이것을 위 식에 대입하면,
[math(\begin{aligned} \psi_{2}(x)=\frac{\tilde{C} \gamma}{\sqrt{|k(x)|}}\exp{\displaystyle \biggl( -\int_{x}^{x_{2}} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)}+\frac{\tilde{D}}{\gamma \sqrt{|k(x)|}}\exp{\displaystyle \biggl( \int_{x}^{x_{2}} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)} \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} \tilde{C}&=\frac{i\gamma^{-1}C}{2} \\ \tilde{D}&=\gamma C \end{aligned})]
[math(x=x_{1})]에서 연결 공식을 사용하면
[math(\begin{aligned} \psi_{1}(x)=\frac{2\gamma C}{\sqrt{k(x)}}\sin{\biggl( \int_{x}^{x_{1}} k(q)\,{\rm d}q+\frac{\pi}{4} \biggr)}+\frac{ i\gamma^{-1} C}{2\sqrt{k(x)}}\cos{\biggl( \int_{x}^{x_{1}} k(q)\,{\rm d}q+\frac{\pi}{4} \biggr)} \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} \psi_{1}(x)=\frac{iC}{2\sqrt{k(x)}} [ (2^{-1}\gamma^{-1}-2\gamma)e^{i \chi}+(2^{-1} \gamma^{-1}+2 \gamma)e^{-i\chi} ] \qquad \left(\chi=\int_{x}^{x_{1}} k(q)\,{\rm d}q+\frac{\pi}{4} \right) \end{aligned})] |
사각 퍼텐셜 문제에서 다뤘던 것 처럼 투과 계수는 곧 투과파와 입사파의 진폭 제곱의 비라 볼 수 있으므로
[math(\begin{aligned} T \simeq \frac{|2C|^{2}}{\biggl| \dfrac{iC}{2} \left( 2\gamma+\dfrac{1}{2\gamma} \right) \biggr|^{2}}=\frac{1}{\gamma^{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{16 \gamma^{2} }} \end{aligned})]
이때, 입사파는 [math(e^{-i\chi})]임에 유의한다. [math(\gamma \gg 1)]이라 가정하면 투과 계수는 다음과 같아진다.
[math(\begin{aligned} T \simeq \gamma^{-2}=\exp{\biggl( -2 \int_{x_{1}}^{x_{2}} |k(q)|\,{\rm d}q \biggr)} \end{aligned})]
7. 관련 문서
[1] '브릴루앙 영역'이라는 개념을 만든 사람이다.[2] 이 해를 택하면 파의 진폭은 [math(x)]에 의존하지 않는 것이 된다. 그러나 퍼텐셜이 공간적으로 변하기 때문에 진폭은 변해야 할 수밖에 없다. 그렇기에 근사해를 방정식이 재대입해 조금 더 정확한 해를 얻는 것이다.[3] 예를 들어 파동의 대표적 성질인 회절 또한 파장이 짧은 영역에선 잘 일어나지 않고, 입자와 같이 직진성이 강해지게 된다.[4] 음의 정수는 [math(\eta<0)]을 만들기 때문에 불가능하다.[5] 위상이 반전되는 경우도 허용한다. 이는 파동함수는 그 자체로는 의미가 없고, 크기의 제곱이 의미가 있는 것에서 기인한 것이다.