1. 개요
파동함수(波動函數, wave function)는 양자역학에서 계의 상태를 기술하는 데 있어 핵심적인 수학적 도구다. 때때로 파동함수는 파동방정식의 해를 의미하기도 하며, 양자역학의 맥락에서는 주로 슈뢰딩거 방정식의 해로 정의된다. 슈뢰딩거 방정식은 계의 정보를 보존하고 가역적으로 전파시키는 파동적 특성을 지니며, 이는 정보를 비가역적으로 소실시키는 확산 방정식과 대조되는 특징이다.2. 양자상태와 측정
양자역학의 기본 전제는 계의 모든 측정 가능한 정보가 파동함수 내에 완전히 내재되어 있다는 것이다. 즉, 파동함수 자체가 계의 위치, 운동량, 각운동량, 에너지와 같은 모든 물리적 속성에 대한 완전한 정보를 제공하며, 추가적인 "숨은 변수"는 존재하지 않는다고 가정한다.양자역학에서 물리량은 연산자로 표현되며, 계의 상태 [math(| \psi \rangle)]에 대한 측정은 해당 연산자를 상태에 작용시키는 것으로 해석된다. 특정 가측량 [math(\hat{A})]에 대한 연산자가 주어졌을 때, 만약 상태 [math(| \psi \rangle)]가
[math( \begin{aligned} \hat{A}| \psi \rangle = a | \psi \rangle \end{aligned})]
를 만족한다면, [math(| \psi \rangle)]는 연산자 [math(\hat{A})]에 대한 고유 상태이며, [math(a)]는 해당 고유값, 즉 측정 가능한 결과값을 의미한다.
그러나 위 등식을 만족하지 않는다면, [math(| \psi \rangle)]는 가측량 [math(\hat{A})]에 대한 고유 상태가 아닌 것이다.
고유 상태는 한 개가 아닌 여러 개가 등장하며, [math(\hat{A})]에 대한 [math(j)]번째 고유 상태를 [math(| j \rangle)]라 쓰자.
양자역학에는 동시에 정확하게 측정할 수 있는 물리량이 있는 반면, 동시에 측정할 수 없는 물리량도 존재한다. 예를 들어, 스핀의 Z 방향 성분과 X 방향 성분은 동시에 측정될 수 없으며, 슈테른-게를라흐 실험은 이러한 측정의 성질을 직접적으로 보여준다. 두 스핀 성분을 순서대로 측정할 경우, 첫 번째 측정 이후 두 번째 측정이 계의 상태를 변화시키기 때문에, 첫 번째 물리량을 다시 측정하더라도 원래의 측정값을 얻지 못한다.
일반적으로 [math(|\psi \rangle)]는 힐베르트 공간에서 완전조를 이루는 고유 상태 [math(| j \rangle)]의 선형 결합으로 이루어져 있으며, 이것은 아래와 같다.
[math( \begin{aligned} | \psi \rangle = \sum_{j} | j \rangle \langle j|\psi \rangle \end{aligned})]
즉, [math(\langle j|\psi \rangle)]는 [math(| \psi \rangle)]라는 벡터를 [math(| j \rangle)]에 투영한 것이라 할 수 있는데, 결국 양자역학에서 측정이라 하면, 다음과 같은 과정을 따른다고 할 수 있다.
- 측정 전 중첩 상태: 측정이 이루어지기 전, 계의 파동함수 [math(| \psi \rangle)]는 해당 가측량의 모든 가능한 고유 상태들의 선형 중첩 형태로 존재한다.
- 측정: 가측량 [math(\hat{A})]를 측정하면, 계는 특정 고유값을 측정자에게 알려준다.
- 파동함수 붕괴: 측정과 동시에 계의 상태는 해당 측정값에 해당하는 고유 상태 [math(| j \rangle)]로 고정(붕괴)된다.
- 시간 진화: 측정 후 고정된 상태 [math(| j \rangle)]는 슈뢰딩거 방정식에 따라 시간적으로 진화한다.
만약 상태 [math(| j \rangle)]에서 동시에 측정 불가능한 다른 가측량 [math(\hat{B})]를 측정한다면, [math(| j \rangle)]는 연산자 [math(\hat{B})]의 고유 상태들의 중첩으로 표현될 수 있다. [math(\hat{B})]를 측정하는 순간, 계는 [math(\hat{B})]의 특정 고유 상태로 다시 붕괴하고, 이후 그 새로운 상태에 따라 시간적으로 진화하게 된다.
3. 파동함수의 시간 전개
예를 들어 [math(\psi(\mathbf{r},\,0))]일 때, 파동함수가 [math(| \psi\rangle)]라 가정하자. 이때, 시간에 따라 파동함수는 어떻게 될 것인가?이것은 해밀토니언 연산자 문서에 소개 된 시간 이동 연산자를 사용하면 된다. 즉,
[math( \begin{aligned} \psi(\mathbf{r},\,t)&=\hat{\mathcal{U}}| \psi \rangle \\ &=\exp{\biggl(-\frac{i \hat{\mathcal{H}} t}{\hbar} \biggr)} | \psi\rangle \end{aligned})]
4. 직교성
힐베르트 공간에 있는 두 고유상태 [math(| j \rangle)], [math(| k \rangle)]에 대하여 다음이 성립한다.[math( \begin{aligned} \langle j|k \rangle=\delta_{jk} \end{aligned})]
[math(\delta_{jk})]는 크로네커 델타이다.
이제 일반적인 상태에 대하여 적용해보자.
[math( \begin{aligned} \langle \psi | \psi \rangle &= \sum_{jk}\langle \psi | j \rangle \langle j|k \rangle \langle k | \psi \rangle \\ &=\sum_{jk} \delta_{jk}\langle \psi | j \rangle \langle k | \psi \rangle \\ &= \sum_{j} \langle \psi | j \rangle \langle j | \psi \rangle \\ &= \sum_{j} | \langle j | \psi \rangle |^{2}\end{aligned})]
이것이 의미하는 바는 후술하기로 한다.
5. 기댓값
어떤 가측량 [math(\hat{A})]에 대한 기댓값 [math(\langle A \rangle)]는 다음과 같이 구할 수 있다.[math( \begin{aligned} \langle A \rangle=\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle \end{aligned})]
만약 고유 상태에 대하여 행한다면,
[math( \begin{aligned} \langle A \rangle &=\langle j | \hat{A} | j \rangle \\&= a_{j} \langle j |j \rangle \\&=a_{j}\end{aligned})]
즉, 고유 상태에 대해선 그 기댓값은 고윳값으로 나온다.
일반적인 상태에 대해서는
[math( \begin{aligned} \langle A \rangle &=\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle \\&= \sum_{jk}\langle \psi | j \rangle \langle j|\hat{A}|k \rangle \langle k | \psi \rangle \\&= \sum_{jk}a_{k}\langle \psi | j \rangle \langle j|k \rangle \langle k | \psi \rangle \\&= \sum_{j}a_{j} | \langle j| \psi \rangle |^{2} \end{aligned})]
따라서 [math(| \langle j| \psi \rangle |^{2})]은 어떤 값 [math(a_{j})]를 관측할 확률이라 생각한다면, 윗 식은
[math( \begin{aligned} \langle A \rangle &=\sum_{j}a_{j} P(a_{j}) \end{aligned})]
아주 자연스럽게 받아들여진다.
따라서 위에서 소개됐던
[math( \begin{aligned} \langle \psi | \psi \rangle=1 \end{aligned})]
이고, 결국 [math(|\psi|^{2})]은 확률 밀도 함수라고 해석하는 것이 자연스러운 것이다.
확률 밀도 함수는 전체 변수 구간 적분 시 1이 나와야 하므로 규격화 조건도 여기서 등장하게 되는 것이다.
6. 상태 공간
어떤 상태 [math(|\psi \rangle)]를 고려해보자. 이러한 상태를 위치 공간에서 기술할 것이냐, 운동량 공간에서 기술할 것이냐를 결정하려면, 해당 연산자와의 내적을 취해주면 된다.[math( \begin{aligned} \psi(\mathbf{r}) &= \langle \mathbf{r}| \psi \rangle \\ \psi(\mathbf{p}) &= \langle \mathbf{{p}}| \psi \rangle \end{aligned})]
이때, 두 공간을 변환하려면 아래를 이용하면 된다.
[math( \begin{aligned} \langle \mathbf{{p}}| \psi \rangle= \int \langle \mathbf{{p}}| \mathbf{{r}} \rangle\langle \mathbf{{r}}| \psi \rangle \,{\rm d}\mathbf{r}\end{aligned})]
다음을 참고한다.
[math( \begin{aligned} \langle \mathbf{{r}}|\mathbf{{p}} \rangle &=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \exp{\biggl( \frac{i \mathbf{ p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r} }{\hbar}\biggr)} \\ \langle \mathbf{{p}}|\mathbf{{r}} \rangle &=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \exp{\biggl(- \frac{i \mathbf{ p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{ r} }{\hbar}\biggr)} \end{aligned})]
식을 보면 알겠지만 결국 푸리에 변환으로 연결돼있다.
7. 슈뢰딩거 방정식
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[슈뢰딩거 방정식#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[슈뢰딩거 방정식#|]] 부분을8. 파동함수의 의미에 대한 해석들
파동함수의 물리적 의미는 양자역학의 해석에 따라 다르다.- 코펜하겐 해석에서 파동함수는 반실재론적인 대상이다. 파동함수는 관측하기 전까지는 실체를 가지지 않으며 가능성으로만 존재한다. 관측을 통해 파동함수는 실체가 된다. 코펜하겐 해석에서 관측하기 전의 '원자의 파동함수'는 실체가 없으며 진짜 '원자'로 볼 수 없다. 관찰자는 관찰방법을 선택할 수 있고 그에 따라서 파동함수가 나타내는 양상은 크게 달라진다. 파동함수의 이러한 성질은 현실과는 동떨어져 있으며 파동함수를 고전적인 관점으로 해석하는 것을 불가능하게 만든다.
- 다세계 해석에서 파동함수는 실재론적인 대상이다. 파동함수는 현실에 존재하며 현실이라는건 파동함수의 중첩이다. 다세계 해석에서 '원자의 파동함수'는 '원자'와 동일하다. 현실을 파동함수와 별개라고 해석하는 것은 불필요하게 복잡한 해석이며 혼동을 가져온다. 특히 현실의 입자들을 장의 양자화된 형태로 보는 양자장론은 입자와 파동함수의 구분이 모호해짐을 보여준다.
- 앙상블 해석에서 파동함수는 앙상블을 나타내는 함수이다. 열역학의 상태함수와 비슷한 의미를 가진다.
9. 하이젠베르크 묘사와 슈뢰딩거 묘사
파동함수를 다루는 방법도 하이젠베르크 묘사를 사용하냐, 슈뢰딩거 묘사를 사용하냐에 따라 다르다.하이젠베르크 묘사는 행렬역학을 도입하여 파동함수 대신 양자상태를 사용한다. 하이젠베르크 묘사에서 양자상태는 시간에 대해 불변이고, 연산자가 시간에 따라 바뀐다.
슈뢰딩거 묘사는 파동함수를 시간에 따라 능동적으로 변하는 것으로 보고, 어떤 연산자를 제외하고 시간에 대해 불변이다라고 하였다. 이때, 자유롭게 날아다니는 입자의 파동함수는 최소한 [math(Ae^{i(kx-wt)})]의 꼴을 취할 것으로 보았다.
근본적으로 두 관점에서 본 파동함수의 본질은 같다. 슈뢰딩거 방정식의 연산자들이 편미분으로 표현해 보았다는 것은 하이젠베르크의 불확정성 원리에 따라 결정되어 있다.
그러나 시각의 차이가 존재하는데, 언급한 것과 같이 하이젠베르크 묘사는 코펜하겐 해석의 가장 첫 번째 가정[1]에 의해, 고립계 속 각 물리량들의 총량들은 통계적으로 불변해야 한다라 생각했다. 반면, 슈뢰딩거 묘사는 파동함수의 진폭이 시간과 위치에 따라 충분히 달라질 수 있음을 시사한다. 그런데 우리가 어떤 위치나 시간에서 물리량을 측정하기 위해서는 파동함수의 정보 중 해당 위치와 시간에 대한 정보만을 남겨야 한다. 즉 파동함수 전체 정보 중에서 위치와 시간을 떼어내서 일부만을 바라보게 되므로, 마치 형태가 변한 것처럼 보일 뿐이다. 즉, 파동함수의 존재가능한 모든 위치에 대한 상태들을 모아 다시 원래 물리계에 대한 정보로 환산하게 되면, 하이젠베르크가 설정한 양자상태로 돌아오게 된다.
[1] 고립된 물리계의 모든 정보를 파동함수가 가질 것으로 여겼기에