1. 개요
Schrödinger equation양자역학적 관점에서 물질의 상태를 기술하는 방정식이다. 취리히 대학교 교수였던 오스트리아의 빈 출신 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 1926년 발표하였다.
2. 상세
양자역학에서 슈뢰딩거 방정식은 고전역학에서 뉴턴의 운동법칙 제2법칙, 혹은 라그랑주 방정식[1]과 동일한 위상을 가지며, 이들과 마찬가지로 기본관계이므로 다른 물리법칙으로부터 '유도'될 수 없다.[2]고전적인 운동 방정식과 슈뢰딩거 방정식은 기초적인 방정식이라는 공통점 외에 많은 차이가 있다. 그중 특히 유념해야 할 큰 차이로 두 방정식이 다루는 대상이 있다. 고전적인 운동 방정식에서는 입자 혹은 질점의 위치나 운동량같이 의미가 직관적으로 잘 와닿는 것을 대상으로 하는 데 반해 슈뢰딩거 방정식은 다소 추상적인 파동함수라는 것을 다룬다. 그리고 이 파동함수는 추상적인 만큼 그 의미에 해석이 필요하다. 예를 들자면 파동함수가 물리적인 실체인가 아닌가 하는 부분이나 측정이 도대체 어떤 식으로 양자상태를 붕괴시키는지는 양자 역학의 해석에 따라 설명이 갈린다. 그러나 이러한 해석 방법에 관계없이 파동함수로부터 어떤 측정 결과의 확률분포를 알 수 있다는 것만은 기본적인 가정(혹은 해석에 따라 가정으로부터 다다를 수 있는 현상)이다. 이는 실험적으로도 잘 증명되어 있다. 따라서 파동함수가 물리적 실체인지 아닌지는 불확실하더라도 양자역학을 세우는 데 필수적임은 확실하다.[3]
사실 고전역학보다 양자역학이 훨씬 근본적인 법칙이기에 이 방정식으로도 당연히 고전역학적인 문제를 풀 수 있으며, 양자역학의 고전역학 근사(플랑크 상수를 0으로 보내는 등)를 취하면 당연히 구해지는 답도 고전역학에서 구한 값과 일치한다. 다만 고전적 풀이보다 훨씬 어렵고 복잡하기에 실용적으로 쓰이는 경우가 드물 뿐이다. 자세한 내용은 물질파, 양자역학 항목을 참고.
3. 아이디어
비록 슈뢰딩거 방정식이 양자역학에서 일종의 공리와 같은 존재라지만, 그렇다고 기존의 물리학적 흐름과 완전히 동떨어져서 등장한 것은 아니다. 슈뢰딩거 방정식을 착안해 내는 아이디어는 여러 가지가 있지만, 가장 직접적으로는 제임스 클러크 맥스웰이 정립한 전자기학 혹은 파동역학에서 출발하며, 여기에 막스 플랑크가 제시한 "양자가설", 즉 에너지의 양자화 [math( E=h \nu )]를 적용해서 역으로 미분하면 시간 의존 슈뢰딩거 방정식에 도달할 수 있다.[4] 또한 슈뢰딩거 방정식을 구성하는 해밀토니언 연산자 역시, 고전역학의 해밀턴 역학에서 사용하는 해밀토니언 [math(\mathcal{H})]로부터 자연스럽게 확장시켜 사고할 수 있다. 실제로 슈뢰딩거의 논문은 해밀턴 역학에서 나오는 해밀턴-자코비 방정식에서 출발한다. 또한, 파인만이 사용한 방법으로, 최소작용의 원칙과 경로적분, 그리고 몇 가지 가정을 이용하는 방법도 있다.4. 형태
4.1. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식
time-dependent Schrödinger equation에너지 연산자 [math(\hat{E})]와 해밀토니언 연산자 [math(\hat{\mathcal{H}})]를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \hat{E} | \Psi(t) \rangle= \hat{\mathcal{H}} | \Psi(t) \rangle )]
비상대론적 영역[5]에서는 가장 일반적인 형태다.[6]
위치 기저에 따른 연산자는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{E}&=i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \\ \hat{\mathcal{H}}&=-\frac{\hbar}{2m}\nabla^{2} +V(\mathbf{r},\,t) \end{aligned} )]
이상에서 단일 입자에 대한 시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} i\hbar \frac{\partial \Psi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar}{2m}\nabla^{2} \Psi(\mathbf{r},\,t) +V(\mathbf{r},\,t)\Psi(\mathbf{r},\,t) \end{aligned} )]
이때, [math(\Psi(\mathbf{r},\,t)=\langle \mathbf{r} | \Psi(t) \rangle)]이다.
4.2. 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식
time-independent Schrödinger equation해밀토니언 연산자 [math(\hat{\mathcal{H}})]를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle = E | \psi \rangle )]
위의 내용을 참고하면, 위치 기저에서는 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} -\frac{\hbar}{2m}\nabla^{2} \psi(\mathbf{r}) +V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r}) \end{aligned} )]
시간 의존 슈뢰딩거 방정식과 유사하나, 하나 다른 점은 시간의존성이 사라진 대신 에너지가 그 자리에 들어갔다는 거다.
4.3. 이외
이차양자화, 사다리 연산자를 통해 우변에 있는 해밀토니안을[math(\displaystyle \mathcal{H}=\int {\rm d}^3\mathbf{r}\,a^{\dagger}(\mathbf{r},\,t)\biggl[-\frac{\nabla^2}{2m}+V(\mathbf{r},\,t)\biggr]a(\mathbf{r},\,t))]
로 놓고[7] 파동함수를
[math(\displaystyle |\Psi\rangle=\int {\rm d}^3\mathbf{r}\,a^{\dagger}(\mathbf{r},\,t)|0\rangle \Psi(\mathbf{r},\,t))]
로 표현하는 식이다.
그리고 다체 문제 파동함수는
[math(\displaystyle |\Psi\rangle=\int {\rm d}^3\mathbf{r}_{1}{\rm d}^3\mathbf{r}_{2}\,a^{\dagger}(\mathbf{r}_{1},\,t)a^{\dagger}(\mathbf{r}_{2},\,t)|0\rangle\Psi(\mathbf{r}_{1},\,\mathbf{r}_{2},\,t))]
이런식으로 표현해주면 된다.
그 다음 [math(H|\Psi\rangle)]에서 생성 및 소멸 연산자를 정리해 주면 슈뢰딩거 방정식을 얻을 수 있다.
저거 대신 디랙 방정식 해밀토니안을 넣어주면 다체 디랙 방정식도 손쉽게 얻을 수 있다.
5. 예시
5.1. 자유 입자
자유 입자의 경우 퍼텐셜 에너지는 [math(V=0)]이라 놓을 수 있다.따라서 해밀토니언 연산자와 운동량 연산자는 서로 교환한다.
이에 두 연산자에 대한 고유함수는 서로 공유함을 알 수 있다.
이제 운동량 연산자에 대한 고유함수를 구하자. 간단한 분석을 위해 입자는 1차원에서 운동하며, 질량은 [math(m)]이다.
[math(\displaystyle -i\hbar \frac{\partial \varphi(x)}{\partial x}=\hbar k \varphi(x) )]
이 미분 방정식은 쉽게 풀리고, 그 해는
[math(\displaystyle \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx} )]
이다. 여기서 [math(k=p/\hbar)]이다. 따라서 해밀토니언 연산자에 대한 파동함수 또한 위의 파동함수가 된다.
상수는 운동량 연산자 문서를 참조하면 왜 붙었는지 알 수 있다.
이제 이것을 시간 변화 연산자를 적용함으로써 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \varphi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(kx-\omega t)} )]
여기서 [math(\omega=E/\hbar)]이다.
3차원의 경우 아래와 같다.
[math(\displaystyle \varphi(\mathbf{r},\,t)=\biggl(\frac{1}{2\pi} \biggr)^{3/2}e^{i(\mathbf{k}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}-\omega t)} )]
5.2. 사각 퍼텐셜 문제
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[슈뢰딩거 방정식/사각 퍼텐셜 문제#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[슈뢰딩거 방정식/사각 퍼텐셜 문제#|]][[슈뢰딩거 방정식/사각 퍼텐셜 문제#|]] 부분을5.3. 양자 조화 진동자
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[양자 조화 진동자#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[양자 조화 진동자#|]][[양자 조화 진동자#|]] 부분을5.4. 수소 원자 모형
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를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[수소 원자 모형#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[수소 원자 모형#|]][[수소 원자 모형#|]] 부분을5.5. 강체 회전자
강체가 축을 중심으로 회전하는 상황을 슈뢰딩거 방정식을 통해 분석할 수 있다. 하지만 non-spherical한 강체에 대한 슈뢰딩거 방정식의 일반해는 구할 수 없다. 따라서 슈뢰딩거 방정식에서 강체 회전자는 주로 [math( I_1=I_2=I_3)]의 spherical state인 경우이거나, 이원자 분자와 같은 선형 강체에 대해 서술된다. 이 경우 선운동량보다 각운동량이 주요 물리량으로 다뤄지고, 구면 좌표계를 사용하면 비교적 간단히 방정식들을 유도, 도출해낼 수 있다. 특히 spherical rigid state의 해를 구하는 경우 구면 조화 함수에 대해 정리함으로써 오비탈의 에너지 또한 계산해낼 수 있다.5.6. 스핀
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의 [[스핀(물리학)#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[스핀(물리학)#|]][[스핀(물리학)#|]] 부분을5.7. 주기적 퍼텐셜 모델
주기적 퍼텐셜 모델은 주로 고체구조에서 주기적 원자배열에 따른 퍼텐셜이 나타날 때 사용한다. 주기적 퍼텐셜의 형태에 따라 다양한 모델이 있는데, 가장 간단한 크로니히-페니 모델(Kronig-Penney model) 정도는 해석적으로 블로흐 함수(Bloch function)를 이용하면 쉽게 풀 수 있다. 이 주기적 퍼텐셜 모델을 풀면 에너지띠 이론을 설명할 수 있는데, 이 에너지 밴드 이론은 고체물리, 반도체공학, 전자재료 등에서 매우 중요하다.6. 기타
사실 슈뢰딩거 방정식을 해석적으로 풀 수 있는 물리적 계는 거의 없다. 슈뢰딩거 방정식을 적는 것은 어려운 일이 아니지만 그걸 푸는 것은 대단히 어려운 경우가 보통이고, 해석적으로 정확하게 풀 수 있는 경우는 대단히 드물다. 주기율표상의 원자들에서는 수소와 수소꼴 원자(수소처럼 전자 하나만을 가지는 이온들)를 제외하면 당장 헬륨부터 해석적인 해를 얻을 수 없으며[8], (입자물리나 광자 한두 개 수준을 다루는 연구를 하지 않는 이상) 실생활이나 실제 연구에서 맞닥뜨리는 상황의 99% 이상은 정확한 해석적인 접근이 불가능하다. 따라서 이후에는 대체로 근사법(섭동 이론, 변분 원리, WKB 근사법 등) 정도가 공통적으로 중요하게 다루어지며, 나머지 내용은 분야, 저자, 그리고 교재의 목적에 따라 천차만별로 다양하다. 예를 들어 물질의 성질을 양자역학적으로 연구한다 했을 때, 단순한 분자나 결정 물질의 경우 몇 가지 근사와 수치해석적인 방법을 이용해 슈뢰딩거 방정식을 풀게 되며 비교적 아주 정확한 결과를 얻을 수 있는 경우부터 쉽사리 답을 얻기 어려운 경우까지 다양한 상황이 존재한다. 기존의 방법으로 만족할 만한 수준의 답이 나오지 않는다면 연구 주제가 된다.이렇게 물리학도들을 멘붕에 빠드리기는 해도, 한 가지 다행인 점을 꼽자면 이 녀석이 그나마 선형 편미분방정식이라는 것이다
7. 한계
비상대론적 방정식이라 입자가 충분히 빠른 속도로 이동할 때는 운동이 제대로 기술되지 않는다. 그리고 전자기장을 걸어준 경우, 스핀이 존재한다면 슈뢰딩거 방정식을 따르지 않고 파울리 방정식을 따르게 된다.8. 의의
슈뢰딩거 방정식은 흔히 미분방정식 꼴이라고 일컬어지며, 이와 독립적으로 베르너 하이젠베르크가 창안한 행렬 꼴과 함께 양자역학을 기술하는 양대 방법이다. 기존까지 광양자 가설이니 물질파 이론이니 단편적으로만 해석되던 양자역학을 체계적으로 기술할 수 있는 일반화된 방정식을 제시했다는 점에서 의의가 크다.9. 같이보기
[1] 물체의 운동을 위치 [math(x)]와 운동량 [math(p)]로 기술하는 방법. 뉴턴역학과 동치이며, 일반화된 물리적 상태의 서술이 더 용이하다.[2] 다만, 유도 할 수는 없어도 유발할 수는 있다.[3] 학부 수준에서는 가장 단순하다고 할 수 있는 코펜하겐 해석을 기본으로 양자역학을 이해하게 된다. 코펜하겐 해석은 측정이라는 과정에서 파동함수가 붕괴하며 이 붕괴 결과에 대해서는 오로지 파동함수에서 얻을 수 있는 확률밀도만 알 수 있다는 것이 기본 골자다.[4] 이는 슈뢰딩거 본인이 사용한 방법이기도 하다.[5] 입자의 속도가 광속보다 무시할 수 있을 정도로 작을 때[6] 당시 슈뢰딩거도 상대성 이론을 고려해서 만들어 보려고 했지만, 몇 가지 문제가 생겨 상대성 이론을 고려하지 않았다 한다. 물론 연도만 놓고 보면 슈뢰딩거 방정식(1926년)이 아인슈타인의 상대론(1905년)보다 한참 후에 발표되었다지만, 당시까지만 해도 양자역학과 상대성 이론 모두 물리학의 새로운 분야였던지라... 사실 상대론적 양자역학에서도 식을 바라보는 관점이 많이 달라져서 그렇지, 저 식 자체는 그대로 쓰인다.[7] 자연 단위계 사용[8] 헬륨 원자 모형의 해석적 해를 구할 수 없다는 것은 앙리 푸앵카레가 증명했다.