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.tpc {
border: 2px solid #0000; margin: auto; background: #0000 !important; } 1 . 개요2 . 포물선의 방정식3 . 포물선과 직선4 . 기타5 . 어원6 . 관련 문서抛 物 線 / parabola기하학 에서 나오는 도형 의 일종으로, 평면상에서 어떤 정직선과의 거리와 정점으로부터의 거리가 서로 같은 모든 점들의 집합 으로 정의된다.준선 (準 線 )이라 하며, "정점"은 초점 (焦 點 )이라 부른다.2. 포물선의 방정식포물선 [math(\bm{y^2=4px})] 그래프 조건: [math(\overline{\rm FP}=\overline{\rm PH})] 초점의 좌표: [math({\rm F}(p,\,0))] 준선의 방정식: [math(x=-p)] 포물선 위의 점 [math((x_1,\,y_1))]을 지나는 접선의 방정식: [math(yy_1=2p(x+x_1))] 특정한 기울기 [math(m)]의 접선의 방정식: [math(y=mx+\cfrac pm)] 포물선 [math(\bm{x^2=4py})] 그래프 조건: [math(\overline{\rm FP}=\overline{\rm PH})] 초점의 좌표: [math({\rm F}(0,\,p))] 준선의 방정식: [math(y=-p)] 포물선 위의 점 [math((x_1,\,y_1))]을 지나는 접선의 방정식: [math(xx_1=2p(y+y_1))] 특정한 기울기 [math(m)]의 접선의 방정식: [math(y=mx-m^2 p)] [1] 준선이 [math(\bm{x=-p})]이고 초점이 [math({\bf F}\bm{(p,\,0)})] <tableclass=tpc>[math(\sqrt{(x-p)^2+y^2}=|x+p|)]
양변을 제곱하면, <tableclass=tpc>[math((x-p)^2+y^2=(x+p)^2)]
위 식을 정리함으로써 포물선의 방정식을 얻는다. <tableclass=tpc>[math(y^2=4px)]
[2] 준선이 [math(\bm{y=-p})]이고 초점이 [math({\bf F}\bm{(0,\,p)})] <tableclass=tpc>[math(\sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|)]
양변을 제곱하면, <tableclass=tpc>[math(x^2+(y-p)^2=(y+p)^2)]
위 식을 정리함으로써 포물선의 방정식을 얻는다. <tableclass=tpc>[math(x^2=4py)]
그런데 이 형태는 이차함수 이므로 결국 이차함수의 그래프는 포물선임이 여기서도 증명된 것이다. <tableclass=tpc>[math(y^2+Ay+Bx+C=0)]
꼴이며, [math(y)]축과 수직이면 <tableclass=tpc>[math(x^2+Ax+By+C=0)]
꼴이다. 이때, [math(A \sim C)]는 상수이다.3. 포물선과 직선3.1. 포물선의 초점을 지나는 직선수선의 발 을 각각 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]라 하자. [math(\overline{\rm RF} \equiv a)], [math(\overline{\rm FS} \equiv b)]라 하고, [math({\rm F}(p,\,0))]이라 하면 <tableclass=tpc>[math(\cfrac 1p=\cfrac 1a+\cfrac 1b)]
가 성립한다. 다만 위 그림에서는 [math(b>a)]인 경우만 나타내었지만 위 식은 [math(b<a)]일 때도 성립한다.사다리꼴 [math(\rm PRSQ)]를 사용하여 한다. 꼭짓점 [math(\rm R)]에서 [math(\overline{\rm QS})]에 내린 수선의 발 을 [math(\rm H)]라 하고, 이 수선이 [math(x)]축과 만나는 점을 [math(\rm G)]라 하자. 이때, 두 직각삼각형 [math(\rm RGF)], [math(\rm RHS)]는 닮음비가 [math(\overline{\rm RF}:\overline{\rm RS})]인 닮은 삼각형 이고, 포물선의 성질에 의하여 [math(\overline{\rm FS}=\overline{\rm QS}=b)]이므로 [math(\overline{\rm HS}=b-a)]이다. 따라서 다음이 성립한다. <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \frac{\overline{\rm GF}}{b-a}=\frac{a}{a+b} \quad \to \quad \overline{\rm GF}=\frac{a(b-a)}{a+b} \end{aligned})]
이에 [math(\overline{\rm TF}=\overline{\rm TG}+\overline{\rm GF})]임을 이용하면, <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned}\overline{\rm TF} &=a+\frac{a(b-a)}{a+b} \\&=\frac{2ab}{a+b} \end{aligned})]
한편, 포물선의 정의에 따라 [math(\overline{\rm TO}=\overline{\rm OF})]이므로 다음이 성립한다. <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \overline{\rm OF}&=\frac{\overline{\rm TF}}{2}\\&=\frac{ab}{a+b} \\&=\left(\frac 1a+\frac 1b \right)^{-1} \end{aligned})]
여기서 [math(\rm T)]는 준선과 [math(x)]축의 교점이다. 그런데 [math(\overline{\rm OF}=p)]이므로 다음이 성립한다. <tableclass=tpc>[math(\cfrac 1p=\cfrac 1a+\cfrac 1b)]
우선 직선의 방정식을 한 변수에 대하여 정리한다. 1에서 정리한 직선을 포물선의 방정식에 대입하고 적절히 이항하여 이차방정식을 만든다. 2에서 나온 이차방정식에 판별식 [math(D)]를 적용한다.
판별식의 부호에 따라 포물선과 직선의 위치 관계가 달라진다.[math(\bm{D>0})]: 포물선과 직선은 두 점에서 만난다. [math(\bm{D=0})]: 포물선과 직선은 접한다(즉, 포물선과 직선은 한 점에서 만난다). [math(\bm{D<0})]: 포물선과 직선은 만나지 않는다. 3.3.1. 포물선 위의 점에서의 접선음함수 의 미분법으로 구할 수 있다.[1] 준선이 [math(\bm{x=-p})]이고 초점이 [math({\bf F}\bm{(p,\,0)})] <tableclass=tpc>[math(2y \cfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=4p \,\to\, \cfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\cfrac{2p}{y})]
따라서 접선의 방정식은 다음과 같이 식을 정리하여 구할 수 있다. <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned}y-y_1&=\frac{2p}{y_1}(x-x_1)\\yy_1-2p(x+x_1)&={y_1}^2-4px_1\\&=0\\ \\ \therefore yy_1&=2p(x+x_1)\end{aligned})]
[2] 준선이 [math(\bm{y=-p})]이고 초점이 [math({\bf F}\boldsymbol{(0,\,p)})] <tableclass=tpc>[math(2x=4p \cfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \,\to\, \cfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\cfrac{x}{2p})]
따라서 접선의 방정식은 다음과 같이 식을 정리하여 구할 수 있다. <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned}y-y_1&=\frac{x_1}{2p}(x-x_1)\\2p(y+y_1)&=x_1x-{x_1}^2+4py_1\\&=0\\\\\therefore xx_1&=2p(y+y_1)\end{aligned})]
우선 구하는 접선의 방정식을 [math(y=mx+n)]이라 하고 포물선의 방정식에 대입하여, [math(x)]에 관한 이차방정식을 만들고 이 이차방정식이 중근을 가질 때 포물선과 직선은 접한다는 것을 이용하면 된다. 즉, 해당 이차방정식의 판별식이 0이어야 한다.[1] 준선이 [math(\bm{x=-p})]이고 초점이 [math({\bf F}\bm{(p,\,0)})] <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned}n=\frac{p}m \,\to\, y=mx+\frac{p}m\end{aligned})]
[2] 준선이 [math(\bm{y=-p})]이고 초점이 [math({\bf F}\bm{(0,\,p)})] <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned}n=-m^2p \,\to\, y=mx-m^2p\end{aligned})]
3.4. 포물선과 직선의 성질3.4.1. 준선 위의 한 점에서 그은 접선 <tableclass=tpc>[math(y=mx+\dfrac{p}m)]
이고, 이 직선이 [math({\rm P}(-p,\,k))]를 지나므로 <tableclass=tpc>[math(k=-mp+\dfrac{p}m)]
이다. 이때, 위 방정식을 [math(m)]에 대하여 정리하면 <tableclass=tpc>[math(pm^2-km-p=0)]
이고, 이 방정식의 두 근이 결국 각 접선의 기울기가 된다. 한편, 이차방정식의 근과 계수의 관계 에 의하여 두 근을 [math(m_1)], [math(m_2)]라 하면, <tableclass=tpc>[math(m_1m_2=\dfrac{-p}p=-1)]
각 접선의 기울기의 곱이 [math(-1)]이므로 포물선의 준선 위의 한 점에서 그은 포물선의 두 접선은 직교한다. <tableclass=tpc>[math(\left(mx+\cfrac{p}{m} \right)^2=4px)]
따라서 두 접점은 <tableclass=tpc>[math({\rm A}\left(\cfrac{p}{{m_1}^2}, \, \cfrac{2p}{m_1} \right), \qquad {\rm B}\left(\cfrac{p}{{m_2}^2}, \, \cfrac{2p}{m_2} \right))]
따라서 [math(\overline{\rm AB})]의 방정식은 <tableclass=tpc>[math(y-\cfrac{2p}{m_1}=\cfrac{\frac{2p}{m_2}-\frac{2p}{m_1}}{\frac{p}{{m_2}^2}-\frac{p}{{m_1}^2}}\left(x-\cfrac{p}{{m_1}^2} \right))]
이고, 이 방정식의 [math(x)]절편을 [math(X)]라 하면 [math(m_1m_2=-1)]이므로 <tableclass=tpc>[math(X=\cfrac{p({m_1}^2+m_1m_2+1)}{{m_1}^2}=p)]
가 되어 초점 [math({\rm F}(p, \,0))]을 지난다. <tableclass=tpc>[math(\overline{\rm PR}=\overline{\rm RF}=x_1+p)]
한편, [math({\rm R}(x_1,\,y_1))]을 지나는 접선의 방정식은 [math(yy_1=2p(x+x_1))]이므로 [math(x)]절편인 [math({\rm Q}(-x_1,\,0))]이고, 이에 따라 다음이 성립한다. <tableclass=tpc>[math(\overline{\rm PR}=\overline{\rm FQ}=x_1+p)]
그런데 [math(\overline{\rm PR} \parallel \overline{\rm FQ})]이므로 사각형 [math(\rm PRFQ)]는 평행사변형 이며, [math(\overline{\rm PR}=\overline{\rm RF})]이므로 마름모 이등변삼각형 이고, 마름모의 대각선은 다른 하나를 수직이등분하고, 이등변 삼각형의 밑변에 대한 수직이등분선은 밑변의 양 끝 각이 아닌 한 각을 이등분하므로 [math(\angle {\rm PRS}=\angle {\rm FRS})]이다. 또한, [math(\overline{\rm PR} \parallel \overline{\rm FQ})]에서 엇각으로 [math(\angle {\rm PRS}=\angle {\rm RQF})]가 된다.광학 에 빗대어보자. 만약 [math(\rm N \to \rm R)]로 광선이 들어왔다면, [math(\angle {\rm NRU}=\angle {\rm FRQ})]이므로 입사각과 반사각은 같게 되어 반사 법칙에 의해 광선은 [math(\rm R \to \rm F)] 즉, 초점으로 향하게 된다. 또, 광선이 [math(\rm M \to \rm R)]로 들어왔다면, [math(\angle {\rm MRU}=\angle {\rm PRQ})]이므로 입사각과 반사각은 같아져 [math(\rm R \to \rm P)]로 향하게 된다. 따라서 이 두 결과는 아래와 같이 정리할 수 있다. 포물선의 내부에서 평행하게 입사한 빛은 모두 초점으로 모인다. 역으로 초점에서 방사한 빛은 모두 평행하게 반사된다. 포물선 외부에서 초점을 향하게 입사한 빛은 평행하게 반사된다.
아래의 그림은 위 결과를 표현한 것이다.안테나 (일명 파라볼라 안테나) 등이 위 성질을 이용하는 물건이다.물리학 에서 행성과 항성, 전자와 핵이 속박된 상황 등 중심력장에서 일정 조건을 만족하면 포물선 운동을 하게 된다.또한, 지표면 근처의 균일한 중력장 등에서 물체를 비스듬히 던지면 포물선 운동 을 하게 된다. 이는 역제곱법칙을 만족하는 보존적 벡터장 하에서의 한 궤도인 타원 운동의 근사적인 기술이다. 얼핏 보면 비슷해 보이지만 현수선 과는 다르다. 여성의 긴 생머리 를 위로 볼록한 포물선에 비유하기도 한다. 한자어 抛物線의 抛는 던지다, 物은 물체, 線은 곡선을 의미한다. 중국의 이선란(李善蘭)과 선교사 알렉산더 와일리(Alexander Wylie)가 쓴 책 「대미적습급(代微積拾級)」 (1859년) 에서 유래했다.# # 일본 에서는 抛가 상용한자가 아니어서 방물선(放物線)이라고 쓴다. 영문 parabola는 고대 그리스 의 수학자 아폴로니우스가 원뿔곡선 을 분류하며 붙인 이름에서 유래했다. 아폴로니우스는 포물선에 대해서 만든 (παραβάλλω) 직사각형의 넓이가 정사각형의 넓이와 같기에 포물선을 πaρaβoλἠ라 불렀다. 자세한 설명은 다음과 같다. 6. 관련 문서