| 2022 개정 교육과정 수학과 고등학교 과목 ('25~ 高1) | |||||||
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| 2028학년도 ~ | 대수 · 미적분Ⅰ · 확률과 통계 (상대평가) | ||||||
1. 개요
- 2022 개정 교육과정 고등학교 수학 교과의 일반 선택 과목이다.
- 기본 학점(舊 시수)은 4학점이며, 1학점 범위 내에서 증감하여 편성⋅운영할 수 있다.
- 행정상 약칭은 ‘12대수’이다.
- 2015 개정 교육과정 <수학Ⅰ>대비 변경된 내용은 없다.
- 원안은 <함수>였으나 변경된 것이다.
1.1. 성격
| ■ 성격 |
| <대수>는 규칙적으로 변화하는 관계를 표현한 함수에 대해 이해하고 탐구하는 과목이다. <대수>에서 학습한 내용은 매우 빠르게 또는 느리게 증가하거나 감소하는 수량이나 현상 혹은 주기적인 현상을 표현하고 탐구하거나, 규칙적으로 나열된 수를 일반적인 식으로 나타내는 데 도움이 된다. <대수>를 학습한 학생들은 큰 수를 더 편리하게 다루고, 주기적인 성질을 이해하여 다양한 사회 현상이나 자연 현상을 수학적으로 해석하고 탐구할 수 있으며, 모든 자연수에서 성립하는 규칙의 일반성을 귀납적 추론 또는 연역적 추론을 통해 수학적으로 정당화할 수 있다. <대수>는 자신의 진로와 적성을 고려하여 대수에 대한 지식과 기능을 습득하기를 원하는 학생들이 선택할 수 있다. <대수>에서 학습한 내용은 자연과학, 공학, 의학, 경제·경영학을 포함한 사회과학 등 여러 분야를 학습하는 데 기초가 된다. 학생들은 <대수>의 학습을 통해 규칙성과 관계에 대한 안목을 가지고 수학적 사고 과정에 요구되는 기능을 형성하며 수학의 가치를 인식하고 바람직한 수학적 태도를 갖추어 수학 교과 역량을 함양할 수 있다. 또한 <대수>를 학습하는 과정에서 협력하여 문제를 해결하고 성찰하는 경험을 통해 다른 사람에 대한 포용성을 갖춘 민주시민이자 인간과 환경의 공존 및 지속 가능한 발전을 추구하며 사회적 책임감을 가지고 합리적으로 의사 결정하는 세계 공동체의 일원으로 성장할 수 있다. |
1.2. 목표
| ■ 목표 |
| <대수>의 개념, 원리, 법칙을 이해하고 수학의 가치를 인식하며 바람직한 수학적 태도를 길러 수학적으로 추론하고 의사소통하며 다양한 현상과 연결하여 정보를 처리하고 문제를 창의적으로 해결하는 수학 교과 역량을 함양한다. (1) 대수 지식을 이해하고 활용하여 적극적이고 자신감 있게 여러 가지 문제를 해결한다. (2) 대수에 흥미와 관심을 갖고 추측과 정당화를 통해 추론한다. (3) 대수에서 활용되는 수학적 사고와 전략에 대해 의사소통하고 수학적 표현의 편리함을 인식한다. (4) 대수와 관련된 수학의 개념, 원리, 법칙 간의 연결성을 탐구하고 실생활이나 타 교과에 수학을 적용하여 수학의 유용성을 인식한다. (5) 목적에 맞게 교구나 공학 도구를 활용하며 자료를 수집하고 처리하여 정보에 근거한 합리적 의사 결정을 한다. |
2. 내용 체계 및 성취기준
- 핵심 아이디어
- 지수함수, 로그함수는 급격히 증감하는 대상이나 현상을, 삼각함수는 주기적으로 변하는 대상이나 현상을 표현하고 이해하는 데 활용된다.
- 수열은 나열된 대상의 규칙을 수학적으로 표현하고 이해하는 데 활용되며, 수학적 귀납법은 자연수에 대해 성립하는 명제를 증명할 때 사용된다.
- 지식·이해
- 지수함수와 로그함수
- 지수와 로그
- 지수함수와 로그함수
- 삼각함수
- 삼각함수
- 사인법칙과 코사인법칙
- 수열
- 등차수열과 등비수열
- 수열의 합
- 수학적 귀납법
- 과정·기능
- 대수의 개념, 원리, 법칙 탐구하기
- 식과 그래프, 수학 기호 등을 비교하고, 표현하기
- 대수의 개념, 원리, 법칙이나 자신의 수학적 사고와 전략 설명하기
- 적절한 전략을 사용하여 문제 해결하기
- 대수의 개념, 법칙 활용하기
- 적절한 공학 도구를 선택하여 함수의 그래프 그리고 탐구하기
- 상용로그, 삼각함수를 실생활과 연결하기
- 등차수열과 등비수열의 일반항과 그 합 구하기
- 수학적 귀납법으로 증명하기
- 가치·태도
- 지수와 로그 표현의 편리함 인식
- 실생활과의 연결을 통한 지수함수, 로그함수, 삼각함수의 유용성 인식
- 수학적 귀납법으로 명제를 증명하여 논리적으로 사고하는 태도
2.1. 지수함수와 로그함수
| (1) 지수함수와 로그함수 | ||
| [12대수01-01] 거듭제곱과 거듭제곱근의 뜻을 알고, 그 성질을 이용하여 계산할 수 있다. [12대수01-02] 지수가 유리수, 실수까지 확장될 수 있음을 이해하고, 이를 설명할 수 있다. [12대수01-03] 지수법칙을 이해하고, 이를 이용하여 식을 간단히 나타낼 수 있다. [12대수01-04] 로그의 뜻을 알고, 그 성질을 이용하여 계산할 수 있다. [12대수01-05] 상용로그를 이해하고, 이를 실생활과 연결하여 문제를 해결할 수 있다. [12대수01-06] 지수함수와 로그함수의 뜻을 알고, 이를 설명할 수 있다. [12대수01-07] 지수함수와 로그함수의 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 설명할 수 있다. [12대수01-08] 지수함수, 로그함수를 활용하여 문제를 해결할 수 있다. | ||
| {{{#!folding ■ 성취기준 해설 | • [12대수01-02] 지수가 유리수 및 실수인 경우는 밑이 양수인 조건이 필요함을 이해하게 한다. 지수가 실수인 경우는 직관적으로 다룬다. • [12대수01-04] 로그의 성질은 지수의 성질과 관련지어 이해하게 한다. • [12대수01-07] 지수함수와 로그함수는 역함수 관계임을 그래프를 통해 확인하게 한다. | }}} |
| {{{#!folding ■ 성취기준 적용 시 고려사항 | • ‘지수함수와 로그함수’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘거듭제곱근, 지수, 로그, (로그의) 밑, 진수, 상용로그, 지수함수, 로그함수, [math(^n \sqrt{a})], [math(\log_{a} {N})], [math(\log {N})]’을 다룬다. • 수를 표현하는 과정에서 지수나 로그를 이용할 때 편리함을 인식하게 한다. • 지수와 로그 및 지수함수와 로그함수를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다. • 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 지수함수와 로그함수로 표현하고 문제를 해결해봄으로써 유용성을 인식하게 한다. • 지수와 로그 및 지수함수와 로그함수를 다룰 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다. | }}} |
| {{{#!folding ■ 변경점 · 일화 · 여담 | • ‘원리합계’(<경제 수학>으로 이동)나 ‘지표’, ’가수’ 용어는 삭제를 유지한다. 간혹 못말리는 선생님이 이를 평가 문항으로 출제할 수도 있다. 교육과정 해설서를 무관심하면 이런 일이 벌어지곤 하는데, 출제를 예고하지 않았다면 학생이 시도교육청에 익명으로 신고할 수 있다. 지표와 가수는 각각 ‘정수 부분’과 ‘소수 부분’으로 꼼수 출제가 이론상 가능하다.(교육과정에서 빠졌는데도 교육청 평가 문항에 출제된 적이 있다.) 하지만 한국교육과정평가원 문항으로는 출제되지 않는다. | }}} |
2.2. 삼각함수
| (2) 삼각함수 | ||
| [12대수02-01] 일반각과 호도법의 뜻을 알고, 그 관계를 설명할 수 있다. [12대수02-02] 삼각함수의 개념을 이해하여 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수의 그래프를 그리고, 그 성질을 설명할 수 있다. [12대수02-03] 사인법칙과 코사인법칙을 이해하고, 실생활 문제를 해결할 수 있다. | ||
| {{{#!folding ■ 성취기준 해설 | • [12대수02-02] 삼각함수의 개념은 중학교에서 학습한 삼각비와 연계하여 이해하게 하며, 삼각함수의 성질은 삼각함수의 그래프의 성질을 이해하는 데 필요한 정도로 간단히 다룬다. • [12대수02-03] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 삼각형의 각의 크기와 변의 길이 사이의 관계를 이해하고 삼각형의 넓이를 다양한 방법으로 구할 수 있게 한다. | }}} |
| {{{#!folding ■ 성취기준 적용 시 고려사항 | • ‘삼각함수’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘시초선, 동경, 일반각, 호도법, 라디안, 주기, 주기함수, 삼각함수, 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수, 사인법칙, 코사인법칙, [math(\sin x)], [math(\cos x)], [math(\tan x)]’를 다룬다. • 삼각함수의 그래프를 그리거나 삼각함수와 관련된 문제를 해결할 때 공학 도구를 이용할 수 있다. • 삼각함수가 포함된 방정식과 부등식은 삼각함수의 그래프를 해석하거나 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 간단한 경우만 다루되, 주어진 구간 안에서 해를 구하는 것만 다룬다. • 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 실생활 문제를 해결해봄으로써 삼각함수의 유용성을 인식하게 한다. • 다양한 현상의 문제를 삼각함수를 이용하여 해결하게 함으로써 깊이 있는 학습이 이루어지도록 한다. • 삼각함수와 그 그래프의 성질에 대한 평가에서는 기본적인 삼각함수의 그래프와 그 성질에 대한 이해 능력을 평가하는 데 중점을 두고, 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다. | }}} |
| {{{#!folding ■ 변경점 · 일화 · 여담 | ||
| }}} |
2.3. 수열
| (3) 수열 | ||
| [12대수03-01] 수열의 뜻을 설명할 수 있다. [12대수03-02] 등차수열의 뜻을 알고, 일반항, 첫째 항부터 제[math(n)]항까지의 합을 구할 수 있다. [12대수03-03] 등비수열의 뜻을 알고, 일반항, 첫째 항부터 제[math(n)]항까지의 합을 구할 수 있다. [12대수03-04] [math(\Sigma)]의 뜻과 성질을 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다. [12대수03-05] 여러 가지 수열의 첫째 항부터 제항까지의 합을 구하는 방법을 설명할 수 있다. [12대수03-06] 수열의 귀납적 정의를 설명할 수 있다. [12대수03-07] 수학적 귀납법의 원리를 이해하고, 이를 이용하여 명제를 증명할 수 있다. | ||
| {{{#!folding ■ 성취기준 해설 | • [12대수03-05] 여러 가지 수열의 합에서는 자연수의 거듭제곱의 합 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k)], [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2)], [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3)]과 수열의 합이 간단한 것만 다룬다. • [12대수03-07] 수학적 귀납법을 이용한 증명은 원리를 이해할 수 있는 정도로 간단히 다룬다. | }}} |
| {{{#!folding ■ 성취기준 적용 시 고려사항 | • ‘수열’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘수열, 항, 일반항, 공차, 등차수열, 등차중항, 공비, 등비수열, 등비중항, 귀납적 정의, 수학적 귀납법, [math(a_n)], [math(\{ a_n \})], [math(S_n)], [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k)]’를 다룬다. • 등비수열과 그 합을 이용하여 문제를 해결할 수 있는 능력을 평가할 때 연금의 일시 지급이나 대출금 상환 등과 같이 지나치게 복잡한 상황을 포함하는 문제는 다루지 않는다. • 수열과 관련된 여러 가지 문제를 귀납적으로 표현할 수 있게 하고, 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제는 다루지 않는다. • 수학적 귀납법은 자연수에 대한 명제의 증명 방법으로서 명제를 증명하는 과정을 통해 논리적으로 사고하는 태도를 기르게 한다. | }}} |
| {{{#!folding ■ 변경점 · 일화 · 여담 | • ‘수학적 귀납법’ 삭제가 쟁점으로 거론됐으나 압도적인 반대로 결국 유지됐다. | }}} |
3. 여담
- 시안 첫 단계에서는 <공통수학2>에 해당하는 <정보 수학>이 있었고, 여기에 집합과 명제, 함수, 수열, 알고리즘과 순서도 등의 내용이 담겨 있었다. 그러나 현재의 지수, 로그, 삼각함수, 수열을 유지하는 방안을 채택하면서 <정보 수학>은 없는 일로 처리됐고, 알고리즘과 순서도는 할당 학점 수 부족 문제로 <전문 수학>으로 이동됐다.
- <미적분Ⅰ>, <확률과 통계>와 함께 2028학년도 수능 2교시 수학 영역 시험 범위에 포함됐으며 상대평가 9등급제가 유지된다. 이전 <수학Ⅰ>이 <대수>로, <수학Ⅱ>가 <미적분Ⅰ>으로 이름만 바뀌는 것이기 때문에 2022~2027 수능 '확률과 통계' 선택 체제와 거의 동일하다. 과목별 문항 구성은 '2021 수능 나형'에 가까울 것으로 전망된다.
3.1. 과목명이 부추기는 모호성
2022 개정 교육과정 국민참여소통채널에서는, 2015 개정 교육과정 당시 <수학Ⅰ>('지수함수', '로그함수', '삼각함수', '수열')의 과목 명칭을 <대수>로 바꾸는 것에 부적절하다는 의견이 절반 이상에 달했다. 본래 이 과목명은 2021년 10월 기준 원안상 <함수>였다. #- 대수학 기초의 충분조건이 되기엔 역부족이며, 미적분, 기하학, 확률론 기초에서도 소개될 수 있는 내용들이다.: 수학교사 및 수학 전공자들의 시선에서 집합론적, 추상적 구조는 고사하고 행렬, 벡터, 선형대수 등의 쉬운 대수학적 주제조차 포함되지 않은 과목에다 <대수>라는 과목명을 붙이는건 허무맹랑하다. 이 <대수> 과목에 담기는 내용에 차라리 '분수방정식과 무리방정식'이나 '행렬' 같은 실질적 대수 내용이 담겼다면 이 같은 문제 제기가 덜했을 것이다. 그런데 지수, 로그, 삼각함수, 수열만 갖고 <대수>를 표방하기엔, 너무 기초적인 수학 도구에 불과하다는 인식이 강한 상태이다. 즉 '지수, 로그, 삼각함수, 수열'은 '⊂ 대수'뿐만 아니라 '⊂ 미적분 개론', '⊂ 확률론 개론', '⊂ 기하 개론' 등 그 충분조건으로서의 지위적 범위가 너무 방대하므로 <대수> 하나만으로 이 내용들을 딱 잘라 설명되어지기엔 부적합하다는 것이다.
- 역대 교과 재구조화 단계에서도 몹시 유동적인 내용들이었다(즉 너무 기초적이라서 그렇다).: '지수함수', '로그함수', '삼각함수' 등 이 과목의 절반가량 내용이 과거 미적분Ⅱ에 있었다. 수열의 극한이 미적분으로 올라가면서 15 개정 교육과정에서는 <수학Ⅰ>으로 옮겨질 수 밖에 없었다.[1] 하물며 앞서 소개했듯이 고등학교 1학년 수학에 소속되기도 했다. 이처럼 정체성이 다소 유동적인 내용들은 <미적분>, <기하>, <확률과 통계>처럼 특정 개성이 있는 과목보다는 <수학>, <수학Ⅰ, Ⅱ>처럼 기초 내용에 포함되는 게 일반적이다. 실제로도 대학교에서 문이과 할 것 없이 기초 수학 관련 교재에 맨 앞에 소개되는 기본 개념이기도 하다. 이번 교과 재구조화에서 <수학Ⅰ, Ⅱ> 식의 작명을 없애려는 시도 탓에 발생한 고육지계로 보인다.
- 대수적 역량은 다른 과목에서도 요구되는데 이 과목으로만 협소화하여 오해 여지를 불러일으킨다: <대수>가 '대수적 역량'을 줄인 것이라고 하기엔 모순이 있다. 이전 명칭인 <수학Ⅰ>의 평가 문항을 봤을 때, 좌표를 찾고 식을 조작하는 역량이 분명 대수적 역량이라고 볼 수는 있겠지만, 이러한 역량은 어차피 극한이나 미분계수 등에서 대수적 활동(인수정리, 항등원과 역원 등)가 활용되는 <미적분Ⅰ>은 물론 <공통수학1, 2>, <기하>, <미적분Ⅱ> 등 다른 과목에서도 얼마든지 요구되기 때문이다.
- 해당 과목의 절반 이상에서 대수적 역량보다 다른 역량이 강하게 요구되기도 한다.: 이 단원 중 '지수함수와 로그함수'에서는 직선을 긋거나 역함수를 살피거나 좌표들로 이루어진 도형(길이 등)을 해석기하의 관점에서 다루는 것이 주안점이다. 그리고 '삼각함수'의 '사인법칙과 코사인법칙'에서의 평가 요소는 주(主)된 연계 측면에서 오히려 대수보다는 도형과 측정 영역(원주각, 중심각, 각의 이등분선, 외접원 등의 기하 요소)과 더 밀접한 연관이 있을 정도이다. 그나마 이 과목에서 '시그마', '수학적 귀납법', '지수와 로그' 식 계산 정도만이 순수 <대수>에 적합하다고 볼 수 있다.
- 대수함수 없는 <대수> 과목의 혼동 여지: 일각에서 제기될 수 있는 '대수함수'의 '대수'로 오해할 여지가 있다. '유리함수', '무리함수' 같은 진짜 대수함수들이 정작 <공통수학2>에 있고, 하물며 이 과목에는 대수함수보다 범위가 넓은 초월함수('지수함수', '로그함수', '삼각함수')들만 포함됐기 때문이다.
- 영어권 나라에서는 중학교 ~ 고2 수준의 학생들이 배우는 수학 중 기하(도형)와 확률 통계 부분을 제외한 나머지 전체를 Algebra라고 부르며 이 문서의 '대수'는 영어권 고등학교 Algebra II의 일부에 해당한다. 따라서 고등학교에서 '대수'라는 표현을 쓰려면 중학교나 Algebra I수준 과목에 대해서도 '(초급)대수'라는 표현을 사용해 일관성을 부여하는 것이 옳으므로 이 명칭은 문제가 있다.
그나마 원안이었던 <함수>로 되돌리는 게 그나마 더 적합해보인다는 의견이 있다. 다수가 인지하지 못하고 있으나 수열도 어쨌거나 자연수를 정의역으로 하는 함수이기 때문이다. 한편, 과학과에서도 기존 총론에 명시됐던 <전자기와 빛>을 <전자기와 양자>로 바꾼 사례가 있다.
그러나 개발 연구진은 이 문제 제기에 대해 별다른 답변조차 하지 않고 <대수>로 확정지었다. 즉 총론에 제시한 과목명을 바꿀 기회가 없진 않았는데, 개발진의 판단상 문제가 있어도 그냥 유지한 것이다. 대개 이의 제기를 인정하지 않는 쪽으로 의사 결정을 합리화하려고 할 때 주로 나타나는 현상이기도 한데, 쉽게 말해 '모호함을 상쇄하는 방향'(축소형 유권해석)이 아니라 '아주 문제 없지 않다'(확장형 유권 해석)를 기준으로 내세우는 것이다. 교육과정이 확정 고시됐어도 각론 수정[2]을 통해 과목명을 변경할 수는 있다. 즉 2028년까지 영구적으로 변경할 수 없는 것도 아니기에 여지가 아예 막혔다고 볼 수는 없다.
일각에선 <고급 대수>, <고급 미적분>, <고급 기하>와 깔맞춤을 하려고 이렇게 된 게 아니냐는 주장도 있다. 정말 그런 것이라면, 지나치게 형식적인 이름에 맞추려다가 어설퍼진 과목 명칭인 게 맞으므로, 이 같은 작명은 변론할 여지가 없다.
[1] 지수·로그함수는 어느 정도 관련이 있으나 삼각함수는 인문사회계열에서는 필요성이 높지 않은 편. 이게 2009 개정 교육과정 때 미적분Ⅱ로 가게 된 원인이 되었다.[2] 각론 수정을 통해 과목 자체를 추가하거나 수정하는 것이 가능하다. 심지어 아예 단원이나 내용을 갈아엎는 것도 가능했다. (예: 2009 개정 교육과정/역사과/고등학교/한국사 등 사회·역사·도덕과목군의 2011 각론 수정) 다만, 아직 과목명을 갈아엎는 건 시도된 적은 없다.