| [[범주론|'''범주론 {{{#!wiki style="font-family: Times New Roman, serif; display: inline"]] | ||
| {{{#!wiki style="min-height: calc(1.5em + 5px); margin: 0 -10px -5px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | <colbgcolor=#2f4c52,#2f4c52><colcolor=#fff,#fff> 개념 | 범주(종류 · 여러 가지 범주) · 대상(부분 대상) · 사상(정의역과 공역 · Hom · 항등 사상) · 함자(항등 함자 · Hom-함자 · 범주의 동치) · 자연 변환(자연 동형) · 보편 성질 · 자기 동형 사상군 |
| 범주의 종류 및 구성 | 곱범주 · 콤마 범주(조각 범주) · 자유 범주 · 준군(groupoid) · 반대 범주 · 함자 범주(화살 범주) | |
| 극한 | 극한↔쌍대극한op · 끝↔시작op(영대상 · 영사상) · 곱↔쌍대곱op · 이퀄라이저(핵)↔코이퀄라이저op(공핵) · 밂↔당김op · 완비 범주 | |
| 기타 | 교재 · abstract nonsense · 가환 다이어그램 · 쌍대성 | |
| 틀:수학기초론 · 틀:대수학 · 수학 관련 정보 | }}}}}}}}} | |
1. 개요
Hom-set, Hom-class범주에서 같은 정의역과 공역을 공유하는 모든 사상(morphism)들의 모임(class)을 말한다.
여기서 Hom은 homomorphism, 즉 대수의 준동형 사상에서 유래된 약자이다.
2. 정의 및 용어
구체적인 정의에 따라 달라질 수는 있으나 기본적으로 모든 사상의 모임 [math(\mathrm{Mor})]의 부분모임으로, 두 대상(object) [math(A, B \in \mathrm{Ob})]에 대해#!latex
\mathrm{Hom}(A, B) = \set{ f \in \mathrm{Mor} | \mathrm{dom}(f) = A, \mathrm{cod}(f) = B }
와 같이 정의한다. 즉, 일반적으로 [math(f \in \mathrm{Hom}(A, B))]는 [math(f)]가 [math(f : A \to B)] 꼴의 사상이라는 것과 동치이다.
흔히 Hom-class로 부르며 특별히 집합인 경우엔 Hom-set으로도 불린다. 모든 Hom-class가 Hom-set인 범주의 경우 locally small하다고 하며 일반적인 대부분의 범주가 이에 해당하기에 proper class임을 구분하지 않고 관례상 전부 Hom-set으로 부르는 경우도 있다. 본 문서는 기본적으로 Hom-class를 구분한다.
특별히, 대상 [math(A)]에 대해 [math(\mathrm{Hom}(A, A))] 꼴인 Hom-class를 [math(\mathrm{End}(A))]라고도 표기한다. [math(A)]의 모든 자기 사상(endomorphism)들을 모은 것이기 때문.
만약 여러 범주의 Hom-class를 다루는 경우, 구분을 위해 [math(\mathrm{Hom}_\mathcal C(A, B))], [math(\mathrm{End}_\mathcal C(A))]와 같이 첨자 등으로 어떤 범주에 속하는 Hom-class인지 구분하기도 한다.
표기는 [math(\mathrm{Hom}_\Box(A, B))] 등이 널리 쓰이지만 [math(\hom_\Box(A, B))], [math(\mathrm{Hom}_\Box[A, B])], [math(\Box[A, B])] 등 표기도 쓰인다. 특히 가장 마지막 표기의 경우 범주의 이름이 길거나 서체 차이가 작아서 안 보일 때 유용한 편.
3. 성질
- 모든 Hom-set은 disjoint하다. [math(\mathrm{Hom}(A, B) \cap \mathrm{Hom}(A', B'))]이 공집합이 아니라면 적어도 하나의 [math(f)]가 존재하여 [math(\mathrm{dom}(f) = A = A')] 및 [math(\mathrm{cod}(f) = B = B')]이므로 [math(\mathrm{Hom}(A, B) = \mathrm{Hom}(A', B'))]기 때문.
- 모든 [math(\mathrm{End})]는 공집합이 될 수 없다. 반드시 항등 사상이 하나씩은 존재하기 때문.
4. Hom-함자
Hom-functorlocally small한 범주에서 모든 Hom-set은 집합이기에 특정한 대상(object) [math(L)]을 고정하면 임의의 대상 [math(X)]를 집합 [math(\mathrm{Hom}(L, X))]로 대응시킬 수 있다.
엄밀하게, 범주 [math(\mathcal C)]와 [math(\mathcal C)]-대상 [math(L)]에 대해서 아래와 같은 대응은 [math(\mathcal C)]에서 Set으로 가는 공변 함자 [math(\mathrm{Hom}(L, -) : \mathcal C \to \mathbf{Set})]가 된다.
- 대상의 대응: [math(A \longmapsto \mathrm{Hom}(L, A))]
- 사상의 대응: [math(f : A \to B)]를 다음과 같은 함수로 대응
#!latex
\begin{aligned}
\mathrm{Hom}(L, -)(f) : \mathrm{Hom}(L, A) & \longrightarrow \mathrm{Hom}(L, B) \\
a & \longmapsto f \circ a
\end{aligned}
[math(f)]가 항등 사상이라면 합성의 결과가 같기에 항등 사상이 보존되고, [math((\mathrm{Hom}(L, -)(g) \circ \mathrm{Hom}(L, -)(f))(a) = g \circ f \circ a = (\mathrm{Hom}(L, -)(g \circ f))(a))]이므로 functorial함을 알 수 있다.
비슷하게, fixed object [math(R)]에 대해 다음과 같은 구성도 [math(\mathrm{Hom}(-, R) : \mathcal C^\mathrm{op} \to \mathbf{Set})] 꼴의 반변 함자를 이룬다.
- 대상의 대응: [math(A \longmapsto \mathrm{Hom}(A, R))]
- 사상의 대응: [math(f : A \to B)]를 다음과 같은 함수로 대응
#!latex
\begin{aligned}
\mathrm{Hom}(-, R)(f) : \mathrm{Hom}(B, R) & \longrightarrow \mathrm{Hom}(A, R) \\
b & \longmapsto b \circ f
\end{aligned}
이 경우는 [math((\mathrm{Hom}(-, R)(g) \circ \mathrm{Hom}(-, R)(f))(b) = b \circ f \circ g = (\mathrm{Hom}(-, R)(f \circ g))(b))]와 같이 반변 함자의 공리를 만족함을 알 수 있다.
Yoneda embedding, Yoneda lemma 등에서 핵심적으로 나오는 개념.
5. 풍성 범주
일부 범주는 Hom-class이나 Hom-set 내부에도 집합보다 복잡한 자체적인 구조가 생기기도 한다. 가령 준동형 사상의 pointwise한 연산으로 Hom-set이 또다시 아벨군이 되는 아벨군의 범주 Ab, 선형 변환들의 집합에 또다시 벡터 공간이 생기는 Vect 등. 이런 경우를 일반화한 게 범주의 enrichment이며, 모든 Hom-set(class가 아닌 경우)은 집합이므로 기본적으로 모든 locally small한 범주는 Set-enriched 된 범주라고 볼 수 있다.6. 기타
- 영대상(zero object)이 존재한다면 모든 Hom-class가 공집합이 아니다. 또한 모든 Hom-class가 반드시 유일한 영사상(zero morphism)를 가지기에, 이를 모든 Hom-class마다 항상 선택할 수 있어 영대상을 가지는 범주를 pointed category라고 하기도 한다.
- 모든 Hom-class의 크기가 최대 1인 범주를 얇은(thin) 범주라고 한다.