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| 저서 | 파인만의 물리학 강의 | ||||
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1. 개요
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x_f;t_f | x_i;t_i \rangle = \int \!\operatorname{exp} \Biggl( \frac i\hbar \int_{t_i}^{t_f} \!\biggl( \frac12 mv^2 -V(x) \!\biggr) {\rm d}t \Biggr) {\cal D}x \end{aligned} )] |
물론, 경로적분이 갓 정립 되어졌을 때 정준양자화와 비슷하게 “전자기상호작용을 기술하는 상대론적 양자역학의 여러 방정식들의 해, 그린 함수는 어떤 형태를 가질까?”에서 출발했다. 즉, 이론적으로 불분명한 양자장론적 현상을 설명하기 위해 만들어진 것이다. 그러나, 마크 카츠는 경로적분을 단순히 양자장론에서만 경로적분을 이용하는 추세에 그치지 않고, 확률론적 함수의 해를 경로적분으로 변형하여 나타낼 수 있다는 것을 밝혔다. 그 이후 확률미적분학이 만들어지고, 확률미적분학을 차용하는 물리학 외의 여러 분야에서 경로적분이 사용되기 시작하면서, 경로적분의 추세는 비단 이론물리학계에서만 사용되는 것이 아닌, 확률적 대상을 연구하는 전반적인 분야에서 사용되는 추세로 바뀌었다.
이 문서는 경로적분의 기본적인 전개로부터 최소 작용 및 복소 적분 연속체 등이 변형되어 특정 분야로 응용되는 경로적분들을 주제로 하였다. 단순히 경로적분이 양자역학 및 양자장론을 다루는 응용수학&이론물리학(AMTP) 이외의 분야뿐만 아닌 고전역학만으로 설명되지 않는 최소 작용 같은, 이론물리학에서 주로 다루는 대상도 포함했다.
2. 일반 상대성 이론
일반 상대성 이론에서의 라그랑지언은 스칼라 곡률과 계량 텐서로 나타내어진다. 스칼라 곡률은 거리 함수의 이계 미분연산으로 이루어진 것으로, 입자성을 다루기 위해 중력이 작용되는 원인을 밝히는 측면보다는 중력의 척도를 다루기 위해 미분기하학이 동원되었다. 중력의 미시세계적 근원이 실험적으로 밝혀지지 않아 “중력을 과연 양자화 하는 것이 맞는가”는 자명하지 않다. 다만, 힐베르트 액션에서 볼 수 있듯이, 스칼라 곡률과 계량 텐서를 활용하여 기존의 장 성분의 라그랑지언과 비슷하게 전개하고자 했던 시도는 중력의 양자화의 이론적 정립의 가능성을 열어두었고, 현대물리학의 뜨거운 감자인 끈이론, 루프 양자 중력 이론의 모태가 되었다.2.1. 폴랴코프 경로적분
알렉산드르 폴랴코프(Alexander Markovich Polyakov)는 자유 끈의 진폭을 구성하는 면적을 조사하다가, 면적이 리우빌 액션으로 도출될 수 있음을 밝혔다. 그 과정에서 세계면(worldsheet) 계량 텐서를 액션에 적용했는데, 다음과 같이 밝혔다.[math(x_{\mu}(ξ_{1}, ξ_{2}))]로 정의역이 매개변수화된 진폭에서의 면적은 아래와 같다.
| {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} A=\int d^{2} ξ (\operatorname{det} | h_{ab} | )^{\frac{1}{2}}\\ (h_{ab} = \partial_{a} x_{\mu} \partial_{b} x_{\mu} ) \end{aligned})]}}} |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \delta A=\dfrac{1}{2} \int \sqrt{h} h^{ab} \delta h_{ab} = 0 \\ (\delta h_{ab} = \partial_{(a} x_{\mu} \partial_{b)} \delta x_{\mu} ) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} S_{poly} =\dfrac{1}{2} \int \sqrt{g} g^{ab} \partial_{a} x_{\mu} \partial_{b} x_{\mu} d^{2} ξ \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \mathcal{D} x(ξ) \operatorname{exp}(iS_{poly}) \end{aligned})] |
3. 응집물질물리학
응집물질물리학에서는 스핀을 다루기 위해서 경로적분의 연산자는 해밀토니언을 주로 활용한다. 또한, 스핀을 정준 앙상블로 확장시킨다면 분배함수로 표현이 가능하다.3.1. 격자 스핀
케네스 윌슨은 카다노프 블록 스핀을 다루기 위해서 스핀을 해밀토니언 연산자로 두어서 분배함수를 고안했다.[math(\displaystyle \begin{aligned} Z=\prod_{n} \int ds_{n} 2 \delta((s_{n})^2 -1) \operatorname{exp}\left(K\sum_{m}\sum_{i}s_{m}s_{m+1}\right) \end{aligned})] |
3.2. 격자 게이지 이론
1985년 4월 독일 빌레펠트에서 열린 BiBos 심포지엄에서 하겐 클라이네르트(Hagen Kleinert)는 격자 게이지 이론을 다루는 경로적분을 발표했다. 윗 문단에서 언급된 윌슨의 스핀 격자 분배함수에서 미세 게이지 요동을 고려해 경로적분을 변형했다.클라이네르트는 양자장 요동이 미세할 때, 경로적분은 각각 정의역과 구간에 대하여 아래와 같은 3가지 특징을 지님을 밝혔다.
- 적분 구간이 [math(0)]에 가까워지면 양자장 요동이 멈추고, 고전장이 정확해진다.
- 격자 모델의 정의역의 구간이 [math(\infty)]에 가까워지면 기울기 항은 압축되고, 평균장이 정확해진다.
- [math(O(N))] 스핀 모델일때 N이 [math(\infty)]에 가까워지면, [math(O(N))] 불변 집단장(Collective Field)은 정확해진다.
이때 역온도를 아래와 같이 고려하고,
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{\beta}{2(1+\beta)}
\end{aligned})]
미세 게이지 요동을 고려하면, 복소함수는 아래와 같이 바뀐다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{exp}\left(-\operatorname{tr}_{N} \left(\operatorname{log}\left(1-\dfrac{\beta}{2(1+\beta)}(U_{\mu \nu} + U_{\mu \nu}^{+}-2)\right)\right)\right) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned}
U_{\mu}(x)U_{\nu}(x+\mu)U_{\mu}^{+}(x+\nu)U_{\nu}^{+}(x)
\end{aligned})]
스칼라장 [math(\phi_{\mu \nu}^{n}(x))]로 확장하면, 경로적분은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \left(1+\dfrac{\beta}{1+\beta}\right)^{NN_{p}} \prod_{x,r=1, \mu < \nu}^{4} \int d\phi_{\mu \nu}^{r}(x)d\phi_{\mu \nu}^{r}(x)^{+}\\\times\operatorname{exp}\left(-\dfrac{\lambda}{2}\sum_{x,r,\mu < \nu}\phi_{\mu \nu}^{r}(x)\phi_{\mu \nu}^{r}(x)^{+}\right)\operatorname{exp}\left(N\sum_{x,\mu}w_N(J_{\mu}J_{\mu}^{+})\right) \end{aligned})] |
3.3. 강자성계
하이젠베르크 강자성계의 해밀토니언이 아래와 같을 때,[math(\displaystyle \begin{aligned} H=-\mu h \sum_{i} s_{i}^{z}-\dfrac{1}{2}\sum J_{ij} (s_{i}^{z}s_{j}^{z} + \dfrac{1}{2}(s_{i}^{+}s_{j}^{-} + s_{i}^{-}s_{j}^{+}) \end{aligned})] |
| <colbgcolor=#efefef,#555555> [math(s_{i}^{-})] | [math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{2s}a_{i}^{+}\left(1-\dfrac{1}{2s}a_{i}^{+} a_{i} \right) - \dfrac{2(2s+1)}{\sqrt{2s}}a_{i}^{+}b_{i}^{+} b_{i} \end{aligned})] |
| [math(s_{i}^{+})] | [math(s-a_{i}^{+}a_{i} -(2s+1)b_{i}^{+}b_{i})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} S_{ab} = \int_{0}^{n} dt \sum \left(a_{i}^{*} \partial a_{i} + b_{i}^{*} \partial b_{i} + \dfrac{i \pi}{n}b_{i}^{*}b_{i} \right) -H_{a,b} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \mathcal{D}_{\mu} S_{ab} \operatorname{exp}(S_{ab})
\end{aligned})]
4. 확률론
확률론에 경로적분을 응용한 것은 비에너 함수의 해를 구하기 위해 경로적분의 작용 성분을 비에너 범함수로 변형한 것으로부터 시작된 것이다. 물리학에서 쓰는 경로적분은 작용이 라그랑주-해밀턴 역학을 온전히 따랐지만, 확률론에서부터 유래된 경로적분에서의 작용은 좀 더 추상화된 비에너 함수를 따른다.비에너 함수는 연속적 확률 과정 중 브라운 운동의 확률적인 특성인 비에너 과정을 조사하기 위해 파생한 것으로, 이때의 확률 과정은 표준 정규분포를 따른다.
4.1. 파인만-카츠 공식
1947년 파인만이 코넬대에 조교수로 재직하던 시절 파인만의 경로적분 세미나에 참석한 마크 카츠(Mark Kac)는 브라운 운동의 확률적인 특성인 비에너 과정의 해를 조사하기 위한 방법으로써 경로적분을 대입했고, 미국수학회지에 이에 대하여 발표했다.[math(x(t))]는 비에너 과정의 임의의 공간이라고 할 때, 비에너 범함수를 아래와 같이 생각하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{\tau} V(x(t)) dt \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} -(s+uV(x))\phi = 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \iint \operatorname{exp}(-u\alpha -st)d_{\alpha} \sigma(\alpha, t)dt=\int \phi(x) dx \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} E\left(\operatorname{exp}\left(-u \int_{0}^{\tau} V(x(t))dt \right) \right) = \dfrac{1}{2} \int \operatorname{exp}(-u\alpha)d_{\alpha} \sigma(\alpha, t) \end{aligned})] |
4.2. 이토 과정
이토 과정은 확률적 대상을 측도론적 측면에서 분석하기 위해 확률 미분방정식에서 미분을 소거하고 적분 방정식으로 제시한 개념으로, 이토 기요시가 1944년부터 1951년 사이에 소개하였다. 이토 과정에는 확률 적분으로부터 나오는 불연속적인 부분을 연속적으로 조정하기 위해 가측 함수를 이분산성 함수로 가정한 이토 적분과 이토 적분을 변수에 맞게 테일러 전개한 이토 보조정리가 추가로 구성되어 있는데, 이 국소 이분산성 함수해의 여러 가지 형태 중 이상적인 형태로 파인만-카츠 공식이 존재한다.[math(x(t, \omega))]의 이토 보조 정리는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x(t, \omega) = x_0(t, \omega) + \int_{0}^{t} a(\tau, \omega) d\tau + \int_{0}^{t} b(\tau, \omega) d_{\tau} g(\tau, \omega) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} dx_0(t, \omega) = a(t, \omega) dt + b(t, \omega) dg(t, \omega) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} dy(t, \omega) = (f_0(t, x)+f_i(t, \omega)a(t, \omega) + \dfrac{1}{2} f_{ij}(t, x)b(t, \omega)b(t, \omega)) dt + f_i(t, \omega)b(t, \omega) dg(t, \omega) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} Y(\theta) = y(t+\theta, \omega)e^{-\int_{0}^{\theta} a(t,\omega) d\theta} \end{aligned})] |
5. 참고문헌
- A. M. Polyakov, Quantum Geometry of Bosonic Strings, Phys. Lett. B 103, 207 (1981)
- K. G. Wilson and J. Kogut, The Renormalization Group and The [math(\epsilon)] Expansion, Phys. Rep. 12, 75 (1974)
- H. Kleinert, Path Integrals and The [math(N \to \infty)] Solution of [math(U(N))] Lattice Gauge Theory, Lect. Notes. Maths. 1250, 235 (1985)
- 한내서, 김승봉, 하이젠베르크 결정 및 무정형 강자성계에서 경로적분법, 과학원통보 (4), 23 (1990)
- Kac, M., Transactions of the American Mathematical Society 65, no. 1 (1949): 1–13
- K. Ito, On a formula concerning stochastic differentials, Nagoya Math. J. 3 55–65 (1951)
[1] (러) Барьяхтар-Криворучко-Яблонский представлении
(영) Baryaktar-Krivoruchko-Yablonskii Representation
(영) Baryaktar-Krivoruchko-Yablonskii Representation