골트바흐 추측

정수론 Number Theory
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1. 개요2. 설명3. 증명

3.1. '골트바흐의 약한 추측'의 증명3.2. 연관된 문제의 증명

4. 골트바흐의 수5. 여담6. 소설

1. 개요

Goldbach's conjecture

독일의 수학자 크리스티안 골트바흐가 제시한 문제.

골트바흐의 강한 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.[1]

골트바흐의 약한 추측: 5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

전자가 참이라면 후자도 참이다. 5보다 큰 홀수는 2보다 큰 짝수와 3의 합이기 때문. 따라서 '약한' 추측이라 불린다. 그 역은 성립하지 않을 수도 있다.

2보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

골트바흐가 처음 제안한 추측은 위와 같은 형태였으며 이는 약한 추측과 동치이다. 당시 골트바흐는 1을 소수로 간주했다. (1+1+1=3)

2. 설명

페르마의 마지막 정리, 4색 문제, 리만 가설 등과 더불어 20세기 수학계 최대의 난제 중 하나이며, 힐베르트의 23가지 문제에도 당당히 이름이 올라 있다. 페르마의 마지막 정리와 4색 문제는 증명이 되었지만, 리만 가설과 골트바흐 추측은 21세기 현재 여전히 증명되지 않았다.

쌍둥이 소수 추측(twin prime conjecture)[2]과 정수론적인 구조상 관련이 있으나 같은 문제는 아니다.

크리스티안 골트바흐는 위와 같은 자신의 생각을 당시 주가가 한창 높던 친구 수학자 레온하르트 오일러에게 편지를 보내게 된다. 그리고 이 때부터 본격적으로 250년에 걸친 미친 듯한 낚시가 시작된다.

'4 이상의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다'는 상당히 간단한 추측이기 때문에 IBM에서 컴퓨터로 직접 무작정 대입을 해 본 사례도 있다. 무려 4부터 400경까지 대입을 해 보았지만 성립하지 않는 수를 찾을 수 없었다. 적어도 현실에서 쓸 만한 단위 내에서는 사실로 성립하긴 한다. 문제는 이 방법은 대입으로 나온 일정 수까지의 연산 결과일 뿐이며, 수학적인 증명법은 아니다.[3] 해당 명제를 증명하려면 위 명제를 일반화 하여 논리적으로 오류가 없다는 것을 설명할 수 있어야 하지만, 위의 증명(증명이라고 하기도 애매한)은 '대입을 통한 실용성 설명'에 지나지 않는다.[4] 사실 소수의 생성 방법도 완벽히 밝혀지지 않은 상태이니 어찌 보면 당연한 현실이기도 하다.[5][6]

사실 이론적으로는 S(27)이라는 유한한 횟수의 기계적인 연산을 하면 골드바흐 추측을 증명하는 게 가능하다. 바쁜 비버 참조. S(27)이 어떤 값인지 아무도 모르고, 불완전성 정리로 인해 알아낼 수 없을 확률이 높으며, 값이 무지막지하게 크다는 문제 때문에[7] 실용적인 접근 방법은 아니긴 하다.

중학교 1학년도 이해할 수 있는 간단한 내용이지만 이상하게도 증명법이 나오지 않아 이를 대중화시켜 증명시키겠다는 목적에서 "사람들이 미쳤다고 말한 외로운 수학 천재 이야기"(아포스톨로스 독시아디스 저)라는 책도 발간되었고, 출판사는 100만 달러의 상금을 내걸었으나 아직까지 증명법이 나오지 않고 있으며 물릴 듯 하면서도 안 물릴 듯한 문제에 미쳐 인생을 망치는 수학자들도 꽤나 된다.[8]

3. 증명

3.1. '골트바흐의 약한 추측'의 증명

1937년, 러시아의 수학자 이반 마트베예비치 비노그라도프(Ivan Matveyevich Vinogradov)는 계산을 하기에 충분히 효율적인 수(some effectively computable number) 이상의 홀수는 3개의 홀수 소수의 합으로 표현할 수 있음을 증명하였다. 이후 1956년에 비노그라도프의 제자인 K. Borozdin이 스승이 제시한 수로

3^{3^{15}}\cong10^{10^{7}}

정도면 충분함을 증명했다.

2012년 5월에는 테렌스 타오(Terence Tao)가 비노그라도프의 결과를 바탕으로 모든 홀수가 많아도 5개 이내의 소수의 합으로 표현가능하다는 것을 증명하였다.

2013년 5월에는 엘프고트(H. A. Helfgott)란 수학자가 비노그라도프의 정리가

10^{30}

이상의 수에서 성립한다는 것을 증명하였다. 또한

10^{30}

까지의 수는 컴퓨터로 전부 대입하여 해결하면서(...), 비노그라도프의 정리가 '적절히'에서 '모든'으로 바뀌어 골드바흐의 약한 추측이 참으로 증명되었다. 출처(영문)

3.2. 연관된 문제의 증명

1973년에 중국의 수학자 천징룬은 충분히 큰 짝수[9]는 두 소수 또는 소수와 거의 소수인 수(semiprime, 두 소수의 곱)의 합으로 표현 가능함을 증명하였다.[10]

그리고 2014년에는 '폴리매스 프로젝트 8'을 통해 일반화된 앨리엇-핼버스탬 추측이 참이면 쌍둥이 소수 추측 혹은 오차가 포함된 골드바흐 추측[11] 중 적어도 하나는 참이라는 것을 증명하였다. 참고로 폴리매스 프로젝트란 수학자들의 공동연구 프로젝트를 의미한다. 프로젝트 8의 목표는 장이탕(Yitang Zhang)이 발표한 오차가 포함된 쌍둥이 소수 추측의 증명에서 오차를 최대한 작게 줄이는 것이었다.(초기의 오차는 두 소수의 차이가 언제나 1000만 정도 이하임을 보장한다.) 그리고 이를 위해 테렌스 타오를 중심으로 한 현대 정수론의 대가들이 총출동했다. 결과는 프로젝트 넘버인 8보다 2 작은 6까지는 줄이는 데에 성공했지만 이 6이라는 숫자는 장이탕 교수의 가정들을 모두 참이라 가정하는 등(위에서 말한 엘리엇-핼버스탬 가설 등) 모든 유리한 조건과 가설들을 전제했을 때 성립해 실질적으로는 246이 현재까지 나온 최선값이다.

4. 골트바흐의 수

어떤 수에 대해, 그 수를 두 소수의 합으로 표현하는 방법의 경우의 수를 그 수의 골드바흐의 수라고 부른다.

예를 들어 10은 3+7으로도 표현이 가능하고 5+5 로도 표현이 가능하기 때문에, 10의 골드바흐의 수는 2이다. 22는 3+19, 5+17, 11+11 이렇게 3가지 방법으로 표현할 수 있기에 22의 골드바흐의 수는 3이다.

n가지의 방법으로 표현 가능한 가장 작은 수들은 아래와 같은데, 이는 어떤 자연수의 진약수의 합을 n가지의 방법으로 표현 가능한 가장 작은 수 및 진약수의 합으로 표현할 수 있는 경우의 수에 따른 분류 체계와 관계가 있다는 점에서 불가촉 수와 연관성이 매우 높다. 5가 유일한 홀수 불가촉 수인지에 대한 것과 연관이 있어보인다. 또한 어떤 자연수를 두 소수의 합으로 표현 가능한 경우를 모두 표기했을 때, 사용되는 소수의 개수나 n가지의 방법으로 표기할 수 있는 수의 개수도 추측을 풀리게 하는 것을 실천해서 관심을 가지는 목표의 대상이 되기 때문에 의미가 있다.

1가지 : 4 = 2 + 2
2가지 : 10 = 7 + 3 = 5 + 5
3가지 : 22 = 19 + 3 = 17 + 5 = 11 + 11
4가지 : 34 = 31 + 3 = 29 + 5 = 23 + 11 = 17 + 17
5가지 : 48 = 43 + 5 = 41 + 7 = 37 + 11 = 31 + 17 = 29 + 19
6가지 : 60 = 53 + 7 = 47 + 13 = 43 + 17 = 41 + 19 = 37 + 23 = 31 + 29
7가지 : 78 = 73 + 5 = 71 + 7 = 67 + 11 = 61 + 17 = 59 + 19 = 47 + 31 = 41 + 37
8가지 : 84 = 79 + 5 = 73 + 11 = 71 + 13 = 67 + 17 = 61 + 23 = 53 + 31 = 47 + 37 = 43 + 41
9가지 : 90 = 83 + 7 = 79 + 11 = 73 + 17 = 71 + 19 = 67 + 23 = 61 + 29 = 59 + 31 = 53 + 37 = 47 + 43
10가지 : 114 = 109 + 5 = 107 + 7 = 103 + 11 = 101 + 13 = 97 + 17 = 83 + 31 = 73 + 41 = 71 + 43 = 67 + 47 = 61 + 53
11가지 : 144 = 139 + 5 = 137 + 7 = 131 + 13 = 127 + 17 = 113 + 31 = 107 + 37 = 103 + 41 = 101 + 43 = 97 + 47 = 83 + 61 = 73 + 71
12가지 : 120 = 113 + 7 = 109 + 11 = 107 + 13 = 103 + 17 = 101 + 19 = 97 + 23 = 89 + 31 = 83 + 37 = 79 + 41 = 73 + 47 = 67 + 53 = 61 + 59

모든 수의 골트바흐의 수를 그래프로 나타내면 마치 혜성과 같은 모습을 보인다. 보러가기 #1 보러가기 #2

5. 여담

골트바흐가 처음 이 추측을 생각했을때는 내용이 "모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다" 정도에 가까웠다. 왜냐하면 골트바흐는 1도 소수라고 생각해서[12] 2를 1+1로 나타냈기 때문. 또한 이외의 자연수를 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 내용도 있었는데 이후 수학자들에 의해 위와 같은 강한 추측과 약한 추측으로 분리되었다. 만약 1도 소수로 생각했다면 추측이 풀리는 데에는 큰 도움이 되었을지도 모른다. 모든 소수에 대응되는 짝수는 쉽게 표현할 수 있기 때문이다.

미스터리 영화 '페르마의 밀실'의 주요 소재는 '골트바흐의 추측을 증명하는 것'이다. 그런데 그 영화에 나온 골트바흐의 추측의 증명을 보면 A4 용지 수십 장이 넘어가는데 그다지 놀랄 것도 아니다. 일부 중요한 정리는 증명이 매우 긴 경우가 많다. 가장 유명한 페르마의 마지막 정리의 증명은 적당한 두께의 책 한 권 분량이다. 그마저도 일부 배경 이론들은 이 논문을 읽을만한 수준이면 당연히 안다고 상정해서 생략하고 정리한 분량이 저만큼이다.

문명: 비욘드 어스 팩션의 지도자 중 한명인 다오밍 소추아로 게임을 시작하고 로딩화면의 설명을 보면 골드바흐의 추측을 증명하는 데에 도움을 주는 수학정리를 만들었다고 한다.

골트바흐의 추측이 불가촉 수와 관련되었다는 사실이 알려져 있다. 불가촉 수 참조.

일본의 교토대학에서는 기념품으로 소수만 적힌 자를 판다. # 골드바흐 추측을 이용하여 모든 수를 나타낼 수 있다는 이야기가 있으나 사실 직접적인 관련은 없다. 이 자는 2,3,5,7,11,13,17 에 눈금이 있다.

6. 소설

골트바흐의 추측을 소재로 한 아포스톨로스 독시아디스의 소설. 정확한 제목은 <사람들이 미쳤다고 말한 외로운 수학 천재 이야기(원제는 Uncle Petros and Goldbach's Conjecture)>{그 남자가 미친 단 하나의 문제, 골트바흐의 추측이라는 제목으로도 출간되었다}이다. 뛰어난 수학자였던 페트로스 파파크리스토스[13]는 골드바흐의 추측을 증명하기 위해 젊음을 바쳐 노력하나 결국 실패하고 패배자가 되고 만다.[14] 그의 인생을 그의 조카의 시선을 통해 보여준다. 골트바흐의 추측 그 자체도 비중있게 다뤄지지만, 그보다도 수학자로서의 삶이 어떠한지에 대해서도 엿볼 수 있는 책이다.

수학 교양서로도 한 권의 소설로도 재미있는 편. 35개 외국어로 번역 출간되었고 피터 박스올의 '죽기 전에 꼭 읽어야 할 1001권'에 선정되었다.

[1] "4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 명제와 동치이다.[2] 쌍둥이 소수 추측이란, 쌍둥이 소수(차이가 2만큼 나는 소수 쌍을 말한다. 대표적인 예시로는 (3,5), (11,13)이 있다.)가 무한히 많다는 것이다.[3] 4색정리는 조건의 수가 유한했기 때문에 (정확히는 가능한 경우를 패턴화하여 유한화시켰다) 노가다로 증명할 수 있었지만 자연수는 무한히 많으므로 그런 방법이 통하지 않는다.[4] 그럼에도 불구하고 대입을 한 이유는 이런 단순 계산중에 단 하나의 반증 사례라도 나온다면, 오류를 증명(반증도 결국 논리적으로 오류가 있다는 것이 증명된 것이므로)된 것이기 때문에 컴퓨터의 등장 이후 미결된 수학 추측들을 컴퓨터를 동원하여 단순 계산을 한 사례가 많다. 당장 그 페르마의 대정리도 증명되기 전에는 반증 사례를 찾기 위해 컴퓨터로 단순 대입한 적이 있다.[5] 가장 단순한 에라토스테네스의 체(중학교 1학년 수학에 나온다.)부터 컴퓨터가 필요한 방법까지 여러 가지가 나왔지만, 모든 소수를 효율적으로 빠짐없이 생성할 수 있는 방법(perfect generator)은 아직 밝혀지지 않았다. 이건 사실 골드바흐의 추측보다 더 큰 이야기. 리만 가설도 이것과 연관되어 있다.[6] 다만 n을 대입하면 n번째 소수가 나오는 공식 자체는 이미 있다. 그러나 이것은 근본적으로 [math(2^n)]까지의 모든 수를 하나하나 대입하는 것과 다름없는 방식이라서 극도로 비효율적이다.[7] 큰 수로 유명한 그레이엄 수가 S(17)보다도 작다는 것이 알려져 있다.[8] 앞에서 나온 '사람들이 미쳤다고 말한 외로운 수학 천재 이야기'이라는 책은 골드바흐 추측의 증명에 빠져서 인생을 조진 수학자를 조명하는 조카 시점의 1인칭 소설이다. 덧붙여, 100만 달러의 상금은 출판일로부터 1년 이내에 증명해낼 경우에 지급되는 상금이었는데, 한국에 출판될 때는 이미 유효기간이 지났는데도 모르고 진지하게 상금을 노리고 구입한 독자들도 많았다. 또한 책표지에 "...어느 수학자의 이야기"라고 써서 이 책을 실화소설로 구입한 독자도 많았다. 물론 이 문제를 풀게 된다면 100만 달러 따위와는 비교도 안 될 명성을 얻을 것이다.[9] 2015년

e^{e^{36}}

이상일 때 성립함이 증명되었다. 대략 1872344071119349 자리 숫자이다.[10] 같은 해에 천징룬은 p가 소수일 때, 소수 또는 semiprime인 p+2가 무한히 많다는 걸 증명하기도 했다.[11] 적당한 상수 H가 존재해서 모든 자연수 N에 대해 N과 N+H 사이의 자연수 중에는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있는 수가 적어도 하나 존재한다. 만약 오차 H를 2보다 작은 수로 줄이면 골트바흐 추측과 완전히 같아진다.[12] 1과 그 자신(1)을 서로 다른 개념으로 구분한 것 같다.[13] 크리스토스 파파키리아코풀로스라는, 푸앵카레의 추측을 푸는 데 인생을 바친 수학자를 모델로 하였다.[14] 소설 결말부의 어느 날 밤 조카인 화자에게 급히 전화를 걸어 증명할 방법을 알아냈지만 의인화된 숫자들이 자신을 데려가려 한다는 말을 남기는데, 뭔가 심상치 않음을 느낀 조카가 급히 달려가 보지만 페트로스는 이미 죽어 있었다. 때문에 조카로서도 그가 증명에 성공했는지 그저 정신착란을 일으키고 죽었는지는 끝내 알지 못한다. 이후 조카가 이 불쌍한 삼촌의 노력을 기리는 의미에서 다른 가족의 반대를 무릅쓰고 묘비에 "2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합이다"라는 말을 새기도록 하는 것으로 소설은 끝이 난다.