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리군(Lie group)은 노르웨이의 수학자인 마리우스 소푸스 리(Marius Sophus Lie)가 1888년에 발표 및 기술한 개념으로,[1][2] 위상군 중 매끄러운 위상군을 뜻한다. 리군에서 정의될 수 있는 또 하나의 독특한 대수적 구조가 있는데, 이걸 리 대수(Lie algebra)라고 한다.리군과 리 대수는 기하학적 변환의 대수적 표현에서 영감을 받아 탄생한 개념으로 선형 대수학뿐만아니라 물리학에서도 주요하게 다루어진다.
2. 정의
좀 더 구체적인 정의는 다음과 같다.주어진 군 [math((G, \cdot))]이 매끄러운 다양체 (smooth manifold) 구조를 가지고 있으며, [math(\cdot : G \times G \to G)]와 [math(i : G \to G \; (G \ni g \mapsto g^{-1}))]가 매끄러울 때, 그리고 그럴 때에만 [math((G, \cdot))]를 리군(Lie group)이라고 부른다.
3. 예시
사실 리군들은 유한 군들보다 더 친숙한 대상이라 할 수 있을 것이다. 다음과 같은 예들을 보자.- 실수 집합[3]은 가장 단순한 예 중 하나이다.
- 벡터 공간 [math(\R^n)]에서 덧셈 연산만 생각한 것도 역시 리 군이다.
- 원주상의 두 점을 각각의 각(예를 들어 [math(x)] 축과 이루는 각)을 더한 각에 대응하는 점을 대응시키는 것으로 두 점 간의 '곱셈'(혹은 덧셈)을 정의할 수 있다. 이 역시 리군이다. 이와 동형인(isomorphic) 것으로, 크기가 1인 복소수들을 모두 모은 집합에 보통 복소수 곱을 생각해 볼 수 있다. 보통 이걸 [math(S^1)]이라고 표기한다.
- 물론 [math(\R^n)]과 같이 [math((S^1)^n)]에도[4] 리군 구조를 자연스럽게 줄 수 있다. 따라서 도넛을 리군으로 간주할 수 있다!
- 당연하지만 [math(\R^m \!\times \!(S^1)^n)] 역시 리 군으로 간주할 수 있다.[5]
가환(commutative) 리군만 봤는데, 물론 가환이지 않은 리군도 있고, 훨씬 더 다채롭다. 몇 개만 들어 보자.
- [math(n \times n)] 행렬들 중 역행렬을 갖는 행렬들만 모은 집합에 행렬곱을 곱 연산으로 주면 리 군이 된다. 보통 이걸 [math({\rm GL}(n, F))]라고 표기하고 선형(변환)군(general linear group)이라고 부른다. 여기서 [math(F)]는 주어진 field이며, 잘 모르면 그냥 [math(\R)], [math(\mathbb{C})] 중 하나라고 생각해도 좋다.
- 그중에서 행렬식이 1인 행렬들만 모은 것도 역시 리군이 된다.[6] 보통 이걸 [math({\rm SL}(n, F))]라고 표기하고 special linear group이라고 부른다. 앞으로 'S'가 붙은 것들은 이름에도 'special'을 붙인다.
- [math(n \times n)] 실수 행렬들 중 orthogonal한 것들을 모은 집합에 행렬곱을 곱 연산으로 준 것 역시 리군이 된다. 보통 이걸 [math({\rm O}(n))]이라고 표기하고[7] 직교군(orthogonal group)이라고 부른다. 물론 그중에서 행렬식이 1인 것들만 모은 것도 리 군이 되며, 이건 [math({\rm SO}(n))]이라고 표기하고 특수 직교군(special orthogonal group)이라고 부른다.
- [math(n \times n)] 복소수 행렬들 중 unitary한 것들을 모은 집합에 행렬곱을 곱 연산으로 준 것 역시 리 군이 된다. 보통 이걸 [math({\rm U}(n))]이라고 표기하고 유니터리군(unitary group)이라고 부른다. 물론 그 중에서 행렬식이 1인 것들만 모은 것도 리 군이 되며, 이건 [math({\rm SU}(n))]이라고 표기하고 특수 유니터리군(special unitary group)이라고 부른다.
- 조금 특이한 걸 꺼내보자. 다음 행렬을 생각해 보자.
[math(M = \left( \begin{array}{cc} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{array} \right))].
여기서 [math(I_n)]은 [math(n \times n)] 단위행렬이다. 이제 [math(A^T MA = M)]을 만족하는 [math(A)]들을 모은 집합을 [math({\rm Sp}(2n, F))]라고 표기하자. 그러면 이 집합에 속하는 임의의 두 행렬을 곱한 것과 어떤 한 행렬의 역행렬(항상 역행렬을 가진다는 것 또한 보일 수 있다) 또한 저 집합에 속한다는 것을 알 수 있다. 좀 더 살펴보면 [math({\rm Sp}(2n, F))] 역시 리군임을 알 수 있다. 이 군을 가리켜 symplectic group이라고 부른다. - 이번엔 다음과 같은 실수 행렬을 생각해 보자.
[math(J_{n,m} = \left( \begin{array}{cc} I_m & 0 \\ 0 & -I_n \end{array} \right))].
이제 [math(A^T MA = M)]을 만족하는 [math(A)]들을 모은 집합을 [math({\rm O}(m, n))]이라고 표기하자. 이 역시 리군을 이룬다는 것을 볼 수 있다. 물론 위와 똑같이 [math({\rm SO}(m, n))] 역시 정의할 수 있다. 특히, [math({\rm SO}(1, 3))] (혹은 [math({\rm SO}(3, 1))])을 가리켜 로런츠군(Lorentz group)이라고 부른다. - 여기까지 소개된 군들 중 special group(S가 붙은 것)들을 모으고, 여기에 사원수를 성분으로 갖는 행렬들로 비슷한 몇몇 리군들을 구성한 다음 끼얹으면, 소위 고전군(classical group)들이라고 불리는 한 세트를 얻을 수 있다.
- 위에서 [math(\R^n)]이 리군임을 보았다. 한편, 우리는 [math(\R^n)]에 가해지는 [math({\rm SO}(n))]의 매우 자연스러운 작용(action)을 알고 있다. 물론 그건 그냥 행렬 곱이다. 이제 [math({\rm SO}(n) \times \R^n)]에 다음과 같은 곱을 주자.
[math((A, v) \cdot (B, w) = (AB, v + Aw))].
사실 이 곱은 다름 아닌 반직접곱(semidirect product) 구조를 준다. 즉, 이로부터 [math({\rm SO}(n) \ltimes \R^n)]를 정의한 셈이다. 사실 이건 보통 [math({\rm ISO}(n))]이라고 표기되며, 유클리드군(Euclidean group)이라고 불린다. 물론 [math({\rm SO}(n))] 말고 다른 리군을 넣어도 이런 새로운 리군을 만들 수 있다. 그중에서도 또 이름이 붙은 경우는 [math({\rm SO}(1, 3) \ltimes \R^4)]인데, 이건 푸앵카레군(Poincaré group)이라고 불린다. - 다음과 같은 꼴의 행렬들을 모은 집합을 생각해 보자.
[math(J_{n,m} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right))].
이 역시 리군을 이룬다. 이걸 하이젠베르크군(Heisenberg group)이라고 부른다.
물론 이게 다는 아니다. 그 외에도 정말 많은 비가환 리군이 존재한다. 심지어 행렬 꼴로 나타낼 수 없는 리군도 존재한다![8] 위와 같이 유한한 수의 카테고리들로 모든 리군들을 분류할 수 있는가 하는 질문은 대답하기 어려워 보인다.[9] 하지만 다행스럽게도 리 대수에서의 업적을 통해 단순 리군(simple Lie group)들이 모두 분류가 되었으며, 이는 리군을 다루는 데 있어서 강력한 도구로 자리매김한다.
더군다나 많은 분야에서 실제로 관심 있는 리군은 콤팩트 리군(compact Lie group)들이다. 이들은 이미 모두 분류가 끝나 있는 상태이다.[10] 심지어 이들의 표현(representation)들도 모두 분류된 상태이다! 이 결과물은 물리학의 최전선[11]뿐만 아니라 다양한 분야에서 널리 활용되고 있다.
4. 리군의 리 대수
앞에서 간간이 리 대수라는 용어를 써 왔다. 리 대수는 리군과 별개의 것으로 따로 추상화되어서 많이 연구되긴 했지만, 리군의 가장 중요한 요소 중 하나인 것은 분명하다. 후술할 내용들로 인하여 주어진 리군을 알고 싶으면 그 군의 리 대수를 먼저 알아야 할 정도이다.추상화된 리 대수와는 별개로 '리군의 리 대수'는 다음과 같이 정의된다.
주어진 리군의 left-invariant 벡터장(vector field)들을 모은 집합은 리군 위의 벡터장들을 모은 '리 대수'[12]의 리 부분 대수(Lie subalgebra)를 이룬다. 이 리 부분 대수를 (주어진) 리군의 리 대수라고 부른다.
여기서 left-invarint하다는 것은 임의의 left multiplication에 대해 불변하다는 뜻이다. 다르게 표현하자면 임의의 left multiplication에 대해 자기 자신과 related하다고도 할 수 있다. 좀 더 구체적으로 설명하자면 다음과 같다. 먼저 주어진 리군을 [math(G)]라고 표기하고, 임의의 [math(a \in G)]에 대해 [math(L_a : G \ni g \mapsto ag)]를 정의할 수 있다. 그러면 [math(G)] 위의 어떤 벡터장 [math(X)]에 대하여 모든 [math(a, g \in G)]에 대해 [math(T_g L_a X(g) = (X \circ L_a)(g))]가 성립하면, 그리고 그럴 때에만 [math(X)]가 left-invariant하다고 말한다. 한편 이 invariance가 사실 리 괄호(Lie bracket)을 보존한다는 사실로부터 left-invariant한 벡터장들을 모두 모은 공간이 리 대수를 이룬다는 것을 알 수 있다. 많은 경우 해당 리군 표기에서 대문자를 소문자로 바꾼 다음 프락투어(fraktur) 글꼴로 바꿔 쓴 걸로 리군의 리 대수를 표기하곤 한다. 지금의 예(G)에선 [math(\mathfrak g)]라고 표기한다는 뜻이다. 그리고 예를 들어 [math({\rm GL}(n, \R))], [math({\rm SO}(n))] 각각의 리 대수는 [math(\mathfrak{gl}(n, \R))], [math(\mathfrak{so}(n))]으로 표기된다는 것이다.
이 리 대수는 리군을 연구하는 데 있어서 몹시 중요한데, 왜냐하면 리군의 리 대수가 무엇이냐에 따라 해당 리군의 구조 대부분이 결정되기 때문이다. 예를 들어 다음의 정리들이 있다.
두 단순 연결 리군 간의 리군 준동형 사상(Lie group homomorphism)[13]들과 두 리군의 각 리 대수 간의 리 대수 준동형 사상(Lie algebra homomorphism) 간에 일대일 대응이 있다.
두 단순 연결(simply connected) 리군이 동형일[14] 필요충분조건은 두 리군의 각 리 대수가 동형일 것이다.
주어진 연결 리군의 연결 리 부분군(connected Lie subgroup)과 리 대수의 리 부분 대수(Lie subalgebra) 간에 일대일 대응이 있다. 특히 연결 리 정규 부분군(connected normal Lie subgroup)과 리 대수의 아이디얼(ideal)들 간에 일대일 대응이 있다.
비록 단순 연결 리군 혹은 연결 리군만 이야기하고 있긴 하지만, 어차피 비연결 리군의 경우 연결 성분(connected component)들이 모두 미분 기하학적으로 동형이기 때문에(diffeomorphic) 이걸로도 충분하며, 단순 연결이지 않은 경우, 이 리군의 universal covering group을 생각한 다음에 이것의 적당한 몫군(quotient group)을 생각하여 원하는 리군의 구조를 파악할 수 있다. 결국 몇몇 광역적인 성질들을 제외한 대부분의 성질들이 리 대수로 인해 결정된다고 말할 수 있는 것이다.
[1] Theorie der transformationsgruppen by Lie, Sophus(1842-1899) Engel, Friedrich(1861-1941) https://archive.org/details/theotransformation01liesrich[2] 마리우스 소푸스 리(Marius Sophus Lie) #[3] 덧셈만 생각했을 때이다. 양의 실수 집합에 실수 곱만 냅둔 것도 한 예이다. 심지어 이 둘은 리군 동형(Lie group isomophic)이다.[4] 물론 [math(n \ne 1)]일 때 [math(S^n)]과는 다르다. 이건 구이다.[5] 왜 굳이 이런 것까지 쓰냐면, 이것들이 사실 연결 가환 행렬 리군(connected and commutative matrix Lie group)들의 전부이기 때문이다. Brian Hall의 Lie Groups, Lie_Algebras, and Representations (Springer, 2015)의 Proposition 11.2를 보자. 단, 이 책에 쓰여 있는 것만 놓고 보면 컴팩트한 경우만 분류한 것으로 보이나, 사실 증명 말미를 자세히 보면 컴팩트하지 않은 경우까지 커버하고 있다는 것을 볼 수 있다. 단지 그 파트에서 컴팩트하지 않은 경우는 관심이 없어서 그렇지(...).[6] 곱 연산에 대해 닫혀 있고 역행렬 역시 모두 포함하며, 이들 연산이 매끄럽다는 것을 보이는 건 이 예를 포함하여 아래 모든 예제들에서 매우 간단한 문제이다. 하지만 문제는 저 녀석들이 정말로 잘 정의된 매끄러운 부분 다양체(submanifold) 구조를 가지느냐를 보이는 것이다. 이건 보통 쉬운 일이 아니고, closed group theorem 같은 다른 성질들의 도움을 받아서 증명한다.[7] 주의: 점근 표기법과 표기가 비슷하다. O의 기울임꼴 유무의 차이에 주의할 것. 때에 따라서는 점근 표기법을 흘림체([math(\mathcal O)])로 쓰기도 한다.[8] Brian Hall, Lie Groups, Lie_Algebras, and Representations (Springer, 2015), Proposition 5.16.[9] 다만 Levi decomposition으로 주어진 리군의 구조를 어느 정도 잘 뜯어 볼 수 있긴 하다. 특히 해당 리군의 리 대수를 들여다보면 Levi decomposition도 더 수월하게 할 수 있다. 광역적 위상 성질(globally topological property)들도 조사해야 하고 이건 또 별개의 일이지만....[10] 그중 일부는 이 링크에 잘 정리되어 있다.[11] 표준 모형의 게이지군이 리군인 [math(U(1)\times SU(2) \times SU(3))]로 나타난다.[12] 벡터장들을 모은 집합에 물론 벡터 공간 구조를 줄 수 있으며, 리 괄호(Lie bracket)을 통해 정의된 두 벡터장의 '곱'을 생각할 수 있다.[13] 매끄러운 군 준동형 사상(group homomorphism)[14] 군 동형 사상(group isomorphism)이 존재하며 이 사상과 그 역사상이 모두 매끄러울 경우