셈 측도

차원 Dimension
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1. 개요2. 상세3. 예시4. 관련 문서

1. 개요

counting measure

[math(0)]차원에서 정의되는 측도. 도량형학에서 셈 측도는 무차원(無次元)이며 차원 기호로는 [math(\sf 1)][1]로 나타낸다. 무차원의 물리량이 완벽하게 셈 측도에 대응되는 것은 아니므로 주의.[2]

2. 상세

'개수'로 대표되는 측도로, 말 그대로 '셈'을 통해서 구할 수 있는 양을 뜻한다. 길이나 길이로부터 유도되는 측도는 연속임에 비해, 이 녀석은 이산적이다.[3] 각, 입체각 등은 무차원(無次元; dimensionless)이지 [math(\bf0)]차원이 아니며 측도론으로 논할 수 있는 개념이 아님[4]에 주의하자.

위의 개수 이외에도 한자문화권에서 마리, 필, 명, 장 등의 단위가 많이 쓰이며, 서양에서는 딱히 특별한 단위를 붙이지 않고[5][6] 그냥 수를 붙이며[7], 우리말에서도 가끔씩 이렇게 쓴다.

예외로 각종 화폐들은 분명 이산량이긴 하지만 ₩, $, € 같은 단위가 부여된다.

또한 몰이라고 아보가드로 상수를 단위로 하는 셈 측도가 있는데, 도량형학에서는 이를 무차원량이 아닌 차원 [math(\sf N)]을 갖는 연속량으로 간주한다. 아보가드로 수의 규모가 워낙 크기 때문에[8] 편의상 차원을 부여한 것이라곤 하나, 아무래도 명백히 셈 측도 단위인 만큼 멀쩡히 있는 허용 단위 자리는 내버려두고 굳이 이걸 기본 단위로까지 끌고 와야 하냐는 비판도 만만지 않다. 아무튼 전술한 것처럼 서양 문화권에서도 무차원의 물리량이 셈 측도에 완벽하게 대응되지 않는다는 것을 보여주는 전형적인 예로 볼 수 있다.

측도론에서는 유한 집합의 크기로 정의한다.[9]

참고로 셈 측도가 취할 수 있는 값은 자연수밖에 없으므로 pi나 루트 2는 셈 측도의 값으로 취할 수 없다. 비교나 평균 등의 의미로는 -2개, 0.5개 등으로 자연수가 아닌 수에 셈 측도의 단위를 쓰는 경우가 있다. 셈 측도는 흔히 말하는 이산측도, 이산량이다.

3. 예시

개(수) - 기본 셈 측도. 물건을 세는 단위. 꽤 자주 '갯수'로 잘못 쓰는 경우가 많다. 순수 한자어에 사이시옷을 적용하는 예외에 해당하지 않는다.
층 - 말 그대로 건물의 층을 세는 단위.
마리 - (사람이랑 식물을 제외한) 생물을 세는 단위. 주로 동물을 셀 때 사용한다.
필(匹) - 말이나 소를 세는 단위로서, '마리'보다는 격식 있는 표현. 마리를 쓰는 경우도 많다.
필(疋) - 일정한 길이로 말아둔 피륙 등을 세는 단위. 비단 한 필 등의 표현에서 쓰인다.
필(筆) - 구획된 땅을 세는 단위. 넓이와는 관련 없이 지번을 부여받아 지적 공부에 등록되는 단위이다.
건(件) - 사건의 수를 세는 단위.
두 - 짐승을 세는 단위.
명, 분 - 사람을 세는 단위.[10]
문 - 대포의 개수를 세는 단위
구 - 시체를 세는 단위.
권 - 책을 세는 단위.
쪽 - 책이나 인쇄물의 페이지를 세는 단위. 종이 1장은 2쪽에 해당한다.
량 - 열차 차량 수를 세는 단위.[11]
벌 - 옷, 안경 등을 세는 단위.
장 - 종이, 천 등 얇고 넓은 물건을 세는 단위. 달리 장수라고도 한다.
정 - 총, 노, 먹, 호미, 삽, 양초 등을 세는 단위.
자루 - 물건 중 길쭉한 것을 세는 단위.
위 - 혼령이나 신, 귀신을 세는 단위.[12]
그루 - 목본류 식물(나무)을 세는 단위.
포기 - 초본류 식물(풀)을 세는 단위.
점 - 그림, 고기 조각 등을 세는 단위.
모 - 두부, 묵 등을 직육면체 꼴로 잘라 놓은 것을 세는 단위.
다스 - 연필을 세는 단위. 1다스는 12자루와 같다.
대 - 탈것, 기계 장치, 악기 등을 세는 단위.
바퀴 - 돌아간 횟수를 세는 단위.
살 - 나이를 세는 단위. '세는' 나이이므로 차원은 T가 아니라 1이며, 0살부터가 아닌 1살부터 센다.
잔, 컵 - 음료를 마시기 위한 그릇에 담긴 음료, 술 등을 세는 단위.
채 - 건물을 세는 단위.
척 - 선박 등을 세는 단위.
촉 - 난초, 양초 등을 세는 단위.
겹 - 다층 구조물에서 각각의 층상을 세는 단위.
톨 - 곡물(주로 쌀)의 낟알을 세는 단위.
통(桶) - 통에 담긴 물건의 분량을 세는 단위.
송이 - 열매, 꽃, 눈이 뭉친 덩어리 등을 세는 단위.
칸 - 방, 컨테이너, 기차 객실같이 닫힌 공간을 세는 단위.
번 - 횟수를 세는 단위.
가지 - 선택지를 세는 단위.
통(通) - 편지, 전화 등을 보낸 횟수를 세는 단위.
판 - 달걀을 세는 단위. 달걀 30개와 같다.
편 - 작품을 세는 단위.
횟수(회) - 차례를 세는 단위. 사이시옷이 붙는 6개의 한자어[13] 중 하나이다.
bit, byte - 0 또는 1이 들어가는 정보를 나타내는 자리를 세는 단위.
CFU - 세균, 곰팡이 등을 세는 단위.
mol - 구성하는 요소 입자(elementary entity)의 개수를 세는 단위. 주목하고자 하는 기본 요소의 개수를 아보가드로 상수 [math(N_{\rm A} = 6.022\,140\,76\times10^{23}{\rm\,mol}^{-1})]로 나눈 것과 같으며 따라서 그 개수가 아보가드로수만큼이면 [math(\rm1\,mol)]이 된다. 도량형학에서는 차원이 [math(\sf N)]인 연속량으로 간주한다.
양자수 - 궤도 함수의 모양을 결정하는 요소로 특히 주 양자수, 부양자수가 셈 측도에 해당한다.
염기쌍(bp) - 이중 나선을 형성하는 핵산의 염기짝 한 쌍을 가리키는 단위.

언어학에서는 이런 것들을 수분류사(數分類詞)라고 부른다. 셈 측도에 후행하는 명사의 특성을 불어넣는 어휘로 보는 것.

4. 관련 문서

[1] [math(1)]차원이라는 뜻이 아니고 곱셈·나눗셈의 항등원이라는 의미이다. 도량형학에서는 숫자가 아닌 고유한 차원 기호를 이용해서 나타내며, 이를테면 부피는 차원이 [math({\sf L}^3)]이고, 가속도는 [math({\sf LT}^{-2})]의 차원을 갖는다. 이는 숫자로 나타낼 수 있는 개념이 아니지만 정의상 차원이 약분되어 없어지는 물리량(평면각, 입체각 등)이 존재하기 때문에 이들을 곱셈·나눗셈의 항등원인 [math(\sf1)]로 나타내는 것이다.[2] 대표적으로 평면각과 입체각은 차원분석을 해보면 단위([math(\degree)], [math(\rm rad)], [math(\deg^2)], [math(\rm sr)] 등)에 관계 없이 무차원 물리량의 성질을 나타내지만 셈 측도는 아니다. 셈 측도가 되기 위해서는 가측 집합(정확히는 시그마 대수)이라는 전제가 필요한데 두 물리량은 그러하지 못하기 때문이다. 평면각과 입체각 외에도 차원이 없는 수많은 물리량(반발 계수, 레이놀즈수, 양력 계수 등등)이 있지만 대부분 이들은 셈 측도가 될 수 없다. 애초에 측도론과 도량형학은 맥락 자체가 다르고 그 예시의 일부에서 교집합이 존재할 뿐이다.[3] '반 개', '½ ħ' 같은 표현이 있기는 하지만, 이는 원래 개수를 세는 최소 단위의 절반이라는 뜻이 내포되어 있으므로 명백한 이산 측도이다.[4] 도량형학에서의 '차원'은 수학이나 물리학에서 말하는 [math(n)]차원의 개념과 매우 이질적이며, '단위의 유무'에 관한 개념에 가깝다.[5] 대신 1개일 경우 부정관사가 있는 언어에선 부정관사를 붙인다.[6] 후술할 몰을 제외하면 SI 단위에서 셈 측도에 대응하는 단위가 없는 이유이기도 하다.[7] 물론 길이 질량 등 연속적인 단위 자체는 많이 있다.[8] [math(6.022\ 140\ 76 \times 10^{23})](약 6022해)[9] 무한 집합의 크기는 초한기수를 사용하며, 셈 측도가 아니다.[10] 그냥 '사람'을 단위 삼아 쓰기도 한다.[11] 일본에서는 전차의 수를 세는 단위로도 쓴다.[12] 일본에서는 위 대신 주를 세는 단위로 쓴다.[13] 곳간(庫間), 셋방(貰房), 숫자(數字), 찻간(車間), 툇간(退間), 횟수(回數)