1. 개요
magnetic field intensity전기장에서 물질의 효과를 고려한 전기 변위장을 도입했듯, 자기장에서도 자화 물질의 효과를 고려한 새로운 장을 생각할 필요가 있어 나오게 된 물리량이다.
매질의 자화와 관계없이 정의할 수 있으며 매질 외부에서 실험적으로 조절하는 것이 간단하다. 실험적 편의 때문인지 전기 변위장과는 비교도 할 수 없을 만큼 자주 언급된다.
2. 기호와 명칭
기호로는 [math(\mathbf{H})]로 나타내며, 단위는 [math(\textrm{A/m})]가 된다. [math(\mathbf{B} = \mu \mathbf{H})]라는 관계가 성립한다. (단, [math(\mu)]는 매질의 투자율, [math(\mathbf{B})]는 자기장이다.)[math(\mathbf{H})]라는 표기는 1873년 맥스웰의 저서 《전기자기론(A Treatise on Electricity and Magnetism)》에서 유래하였다.
로마자 기호를 따라 '[math(\mathbf{H})]-field'라고 부르기도 한다. 마찬가지로 다른 주요 field인 자기장, 전기장, 전기 변위장도 편하게 [math(\mathbf{B})]-field, [math(\mathbf{E})]-field, [math(\mathbf{D})]-field라고 부르는 편이다.
명칭에 대한 논쟁이 있다. [math(\mathbf{B})]-field를 자기장이라 부르는 사람과 [math(\mathbf{B})]-field 대신 [math(\mathbf{H})]-field를 자기장이라 부르는 사람이 있다. [math(\mathbf{H})]-field를 자기장이라 부르는 사람들은 [math(\mathbf{B})]-field를 '자속밀도'나 '자기 유도'라 표현한다. 맥스웰도 《전기자기론》에서 [math(\mathbf{B})]-field를 자기 유도(magnetic induction)라 부르고 [math(\mathbf{H})]-field를 자기장(magnetic field)이라고 불렀다. 잭슨이나 란다우의 교과서도 같은 명칭을 사용했다.
반대로 [math(\mathbf{B})]-field만을 자기장이라 부르는 게 타당하고 [math(\mathbf{H})]-field는 다르게 불러야 한다고 주장하는 사람들은 [math(\mathbf{B})]-field를 '자속밀도'나 '자기 유도'라 부르는 것을 매우 싫어한다. 해당 표현들은 이미 다른 의미로도 사용되고 있기 때문이다. 대표적으로 그리피스의 교과서에서 [math(\mathbf{B})]-field를 자기장이라고 부르고 있다.
일반적으로는 [math(\mathbf{B})]-field와 [math(\mathbf{H})]-field 둘 모두를 자기장이라고 통용해서 부른다. 이 때문에 위키피디아에서도 Magnetic field를 검색하면 [math(\mathbf{B})]-field와 [math(\mathbf{H})]-field를 모두 서술하고 있다. 어쨌든 [math(\mathbf{B})]-field와 [math(\mathbf{H})]-field는 서로 다른 물리량이며, 용어의 혼선이 있을 수 있기 때문에 주의하여야 한다.
[math(\mathbf{H})]-field에 대해 한국어로는 '자기 강도', '자계 강도', '자계 세기', '보조장' 등으로, 원어도 'Magnetic field intensity', 'Magnetic field strength', 'Auxiliary magnetic field', 'Magnetic field'[1] 등으로 다양한 명칭이 쓰이고 있다. 여기서는 가장 통용되는 'Magnetic field intensity'를 택했으며, 번역명은 한국물리학회가 2016년에 발행한 용어집에 따랐다.
별 말이 없는 이상 이 문서는 정자기학의 자기장 세기를 다룬다.
3. 상세
3.1. 자화 밀도
어떤 물질에 자화가 일어나면, 물질 내에 있는 자기 쌍극자는 외부 자기장 방향[2]으로 정렬하게 된다. 따라서 단위 부피 당 들어있는 자기 쌍극자 [math(\mathbf{m})]을 나타내는 자화 밀도(Magnetization) [math(\mathbf{M})]을 도입한다. 따라서[math(\displaystyle \mathbf{M} \equiv \frac{ \mathbf{m}}{V} )]
로 쓸 수 있고, 이것을 일반적인 상황에 대해 쓰면,
[math(\displaystyle \mathbf{m}=\iiint \mathbf{M}(\mathbf{r'}) \,dV' )]
가 된다.
3.2. 자화 전류
자화 물질이 자화가 되면 물질 내부엔 자기 쌍극자가 정렬하게 된다고 하였다. 이때, 자기 쌍극자에선 전류가 흐르므로 자화가 되면 물질 내부엔 자화 전류가 흐른다. 이때, 부피와 관련된 자화 전류 밀도를 [math(\mathbf{J}_{m})], 면적과 관련된 자화 전류 밀도를 [math(\mathbf{K}_{m})]이라 한다.3.3. 자화 물질의 자기 퍼텐셜
3.3.1. 자기 벡터 퍼텐셜
자기 쌍극자 문서에서 자기 쌍극자의 자기 퍼텐셜은 아래와 같이 주어짐을 보았다.[math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{m} \times (\mathbf{r-r'})}{\left| \mathbf{r-r'} \right|^{3}} )]
자화 밀도 [math(\mathbf{M})]을 도입하면,
[math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint_{V} \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times (\mathbf{r-r'})}{\left| \mathbf{r-r'} \right|^{3}}\,dV ' )]
이때, 분리 벡터 [math(\boldsymbol{\xi} \equiv \mathbf{r-r'})]를 도입하면,
[math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint_{V} \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times \boldsymbol{\hat{\xi} }}{{\xi}^{2}} \,dV' )]
가 된다. [math(V)]는 자화 물질에 해당하는 부피 영역이다. 이때,
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{\xi} \right) = -\frac{\boldsymbol{\hat{\xi} }}{ \xi^{2}} \qquad \qquad \displaystyle \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) = \frac{\boldsymbol{\hat{\xi} }}{ \xi^{2}} )]
를 고려하자. 프라임은 원천 지점([math(\mathbf{r'})])을 기준으로 연산을 취한다는 뜻에서 붙였다. 따라서 위 식은
[math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \iiint_{V} \mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) \,dV' )]
벡터 항등식
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} ' \times \left( \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi} \right)=\frac{\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi}+\boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) \times \mathbf{M}(\mathbf{r'}) )]
을 사용하면,
[math( \displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[- \iiint_{V} \boldsymbol{\nabla} ' \times \left( \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi} \right) \,dV '+\iiint_{V} \frac{\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi} \,dV ' \right] )]
아래 식은 Green 항등식을 사용하면, 아래와 같은 꼴로 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iint_{S} \frac{\mathbf{M} \times \mathbf{\hat{n} }}{\xi} \,da'+\iiint_{V} \frac{\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M}}{\xi} \,dV ' \right] )]
이때, 자화 전류 밀도가 존재한다면,
[math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iint_{S} \frac{\mathbf{K}_{m}}{\xi} \,da'+\iiint_{V} \frac{ \mathbf{J}_{m}}{\xi} \,dV ' \right] )]
이 만족해야 하므로 아래를 얻는다.
[math(\displaystyle \mathbf{J}_{m}=\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M} \qquad\qquad \mathbf{K}_{m}=\mathbf{M} \times \mathbf{\hat{n}} )]
따라서 위 관계식을 이용하면, 자화 전류 밀도를 찾을 수 있다.
3.3.2. 자기 스칼라 퍼텐셜
윗 문단에서 논의했던 벡터 퍼텐셜[math(\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' )]
에 관측지점([math(\mathbf{r})])에 대한 회전 연산을 취하면, 자기장은 결정된다. 즉,
[math(\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \iiint \boldsymbol{\nabla} \times \left[ \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}\right] \,dV' )]
이고, 벡터 항등식을 사용하면,
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \left[ \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]=\mathbf{M(r')} \left[ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]-[\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} )]
이때, 우변의 제1항은
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} =4 \pi \delta(\boldsymbol{\xi}) )]
이 되고, 여기서 [math(\delta(\boldsymbol{\xi}))]는 디랙 델타 함수이다. 또한, 제2항은 좀 더 유용한 꼴로 바꿀 수 있으며,
[math(\displaystyle [\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}=\boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]-\mathbf{M(r')} \times \left[ \boldsymbol{\nabla} \times \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right] )]
우변의 제2항은 없어지므로
[math(\displaystyle [\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}=\boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right] )]
가 된다. 최종적으로
[math( \displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ -\iiint \boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]\,dV'+4 \pi \iiint \mathbf{M(r')} \delta(\boldsymbol{\xi})\, dV ' \right] )]
이때, 그레이디언트 연산은 적분과 독립적이므로 적분 안으로 나올 수 있으므로 위 항들은 아래와 같이 정리되게 된다.
[math( \displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=- \mu_{0} \boldsymbol{\nabla} \left[\iiint \frac{1}{4 \pi} \frac{\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \right]+\mu_{0} \mathbf{M(r)} )]
따라서 자화 물질에 의한 자기 스칼라 퍼텐셜은
[math(\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iiint \frac{\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \equiv \Phi_{m} )]
이 나오게 된다. 따라서
[math(\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\mu_{0}[-\boldsymbol{\nabla} \Phi_{m}+ \mathbf{M(r)} ] )]
로 쓸 수 있다. 후술하겠지만, 이러한 자기 스칼라 퍼텐셜은 자유 전류 밀도가 없는 곳에서만 정의될 수 있고, 자화 물질 자체의 퍼텐셜을 셈했으므로 이러한 조건에 맞게 퍼텐셜을 구했으므로 이 방법은 유효하다.
더 나아가서 퍼텐셜의 형태를 보면,
[math(\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iiint \frac{\mathbf{M(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \equiv \Phi_{m} )]
로, 전기 변위장 문서에서 편극성 물질의 스칼라 퍼텐셜을 구했을 때와 동일한 형태라는 것을 알 수 있다. 따라서 이 퍼텐셜 또한 전기 변위장 문서의 방법에 따라 분해할 수 있고,
[math(\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \left[ \iint \frac{\sigma_{m}}{\xi}\,da'+\iiint \frac{\rho_{m}}{\xi}\,dV' \right] )]
가 된다. 여기서
[math(\displaystyle \rho_{m}=-\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{M} \qquad \qquad \sigma_{m}=\mathbf{M} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}} )]
으로 자화 전하 밀도가 나오게 되는데, 중요한 것은 이 항은 수학적 처리를 하면서 얻어진 항이라는 점을 명심해야 한다. 멀리 나갈 필요 없이 자기장은 홀극이 존재하지 않는데도 위에선 마치 자기장 문제를 정전기학의 '전하'의 개념을 빌려서 퍼텐셜을 구할 수 있을 것처럼 서술되어 있는 것에서 유추할 수 있다.[3] 하지만 이러한 것은 유용하게 작용하게 되는데, 자기장은 전기장에 비해 직관적 이해가 어렵다. 하지만 정전기학과 유사한 '전하'의 개념을 빌려 마치 극이 있는 마냥 문제를 바라보고 풀면 쉽게 문제를 풀 수 있고, 명백히 스칼라 퍼텐셜 기법은 벡터 퍼텐셜 기법보다 연산 면에서도 더 쉽다. 서술했듯, 자기 홀극은 존재하지 않으므로
[math(\displaystyle \iint \sigma_{m} \,da '+\iiint \rho_{m} \,dV '=0 )]
임이 성립하여야 하고, 수학적으로도 이게 성립한다는 것은 쉽게 보일 수 있다. 이상을 종합하여, 자화 물질에서 자기장은 아래와 같이 주어진다.
[math( \displaystyle \mathbf{B(r)}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iiint \frac{\rho_{m} \, \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV'+\iint \frac{\sigma_{m} \, \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,da' \right]+\mu_{0}\mathbf{M(r)} )]
3.4. 물질에서의 앙페르 법칙
어떤 물질에 자화가 되었다면 자화 전류가 흐른다. 그러나, 외부 자기장이 가해졌다면, 자유 전류가 흐를 수 있다. 따라서 물질 속에서는 자화 부피 전류 밀도 [math(\mathbf{J}_{m})]과 자유 부피 전류 밀도 [math(\mathbf{J}_{f})] 모두 존재할 수 있으므로 앙페르 법칙은 아래와 같이 쓸 수 있다.[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{J}_{f}+\mathbf{J}_{m}) )]
이때, 윗윗 문단에서 [math(\mathbf{J}_{m}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{M})]이었으므로
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{J}_{f}+\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{M}) )]
이것을 다시쓰면,
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \left( \frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{M} \right)=\mathbf{J}_{f} )]
꼴로 쓸 수 있고, 여기서 나온 항
[math(\displaystyle \frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{M} \equiv \mathbf{H} )]
을 자기장 세기라 한다. 개요 문단에서도 언급했지만, 가장 큰 특징은 매질에 상관없는 장이라는 점이다. 따라서
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f} )]
로 쓸 수 있고, 양변을 적분하면,
[math(\displaystyle \iint (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=\iint \mathbf{J}_{f} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a} )]
여기서 우변은 자유 전류 [math(I_{f})]이고, 좌변은 스토크스 정리를 사용하면,
[math(\displaystyle \int \mathbf{H} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}=I_{f} )]
로 쓸 수 있다.
3.5. 다른 표현
선형적(linear)이고 등방적(isotropic)인[4] 매질(medium)이라면, 자화 물질의 자화 밀도는 다음과 같은 꼴로 나타내어질 수 있다.[math(\displaystyle \mathbf{M}=\chi \mathbf{H} )]
따라서,
[math(\displaystyle \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{H}+\chi \mathbf{H}) )]
로 쓸 수 있다. 계속해서 [math(1+\chi \equiv \kappa_{m})], [math(\mu_{0}\kappa_{m} \equiv \mu)]라 정의하면,
[math(\displaystyle \mathbf{B}=\mu\mathbf{H} )]
로 쓸 수 있다. 이때, [math(\kappa_{m})]은 '자기 감수율(Magnetic susceptibility)'이고, [math(\mu)]는 그 매질의 투자율이다.
3.6. 자기장 세기의 발산
자기장은 비발산장으로, [math(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}=0)]이 성립함을 자기장 문서에서 보았다. 다만, 우리가 다루는 '자기장 세기'는[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{H}=\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \left(\frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{M} \right) )]
가 되어, 일반적으로
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{H}=-\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{M} \neq 0 )]
가 되므로 주의하여야 한다.
4. 정자기학의 경계치 문제
4.1. 장의 경계 조건
위의 논의로 거시적인 정자기학의 방정식은 아래와 같이 요약된다고 할 수 있다.[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}=0 \qquad\qquad \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f} )]
이번에는 이들 장이 어떤 경계 조건을 가지는 지 살펴보자.
위 그림과 같이 각각의 자화 밀도가 각각 [math(\mathbf{M}_{1})], [math(\mathbf{M}_{2})]인 매질 1, 매질 2를 고려하자.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}=0 )]
에서 위 그림과 같이 밑면의 면적이 [math(A)]이고, 높이가 [math(h)]인 원기둥의 표면 [math(S)]에 대하여,
[math(\displaystyle \iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=0 )]
을 만족하고, [math(h \rightarrow 0)]의 극한을 취하면, 원기둥의 옆면에 기여하는 자기 선속은 상쇄된다. 매질 I에서 매질 II로 향하고, 경계면에 수직으로 향하는 벡터를 [math(\mathbf{\hat{n} })]으로 정하면,
[math(\displaystyle \iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=[(\mathbf{B_{2}}-\mathbf{B_{1}})\boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}]\,A=0 )]
이 되므로 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \mathbf{B_{1}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n} } = \mathbf{B_{2}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n} } )]
따라서 자기장의 수직 성분은 경계면을 가로지를 때 연속이 된다. 또한 [math(\mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{H}+\mathbf{M}))]임을 이용하면,
[math(\displaystyle (\mathbf{H_{2}} -\mathbf{H_{1}}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n} }=-(\mathbf{M_{2}} -\mathbf{M_{1}}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n} } )]
임을 쉽게 알 수 있다.
이번에는 [math(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f})]임을 이용하자. 맨 위 그림과 같은 사각 경로를 잡고, [math(h \rightarrow 0)]의 극한을 취하면, 경계면을 가로지르는 부분에 대한 적분 값은 기여하지 않으므로
[math(\displaystyle \oint \mathbf{H} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}=[(\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})\boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{t} }]\,l )]
이 된다. 여기서 벡터 [math(\mathbf{\hat{t}})]는 경계면에 평행한 벡터이다. 이때, 이 값은 자유 전류가 되고, [math(h \rightarrow 0)]의 극한을 취하므로 해당 폐곡선에 통과하는 자유 전류는 자유 표면 전류 밀도에 의한 표면 전류가 된다. 즉,
[math(\displaystyle h \rightarrow 0 \qquad I_{f} \rightarrow K_{f}l )]
따라서 결과를 종합하면,
[math(\displaystyle (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})\boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{t} }=K_{f} )]
이 되고, 만약 자유 표면 전류 밀도가 존재하지 않는다면, 자기장 세기의 경계면과 접하는 성분은 연속이 됨을 쉽게 알 수 있다. 이것은 아래와 같이 좀 더 유용한 꼴로 바꿀 수 있다.
[math(\displaystyle [\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}}]_{t}=\mathbf{K}_{f} \times \mathbf{\hat{n} } \qquad\qquad \mathbf{\hat{n}} \times (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})=\mathbf{K}_{f} )]
따라서 장의 경계 조건은 아래와 같이 요약할 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{B_{1}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n} } = \mathbf{B_{2}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n} } \qquad \qquad \mathbf{\hat{n}} \times (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})=\mathbf{K}_{f} )]
4.2. 퍼텐셜의 경계 조건
이번에는 퍼텐셜의 경계 조건을 알아보도록 하자.위 그림과 같이 폐곡선을 잡도록 하자. 자기 선속(Magnetic flux)은
[math(\displaystyle F=\oint \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} )]
으로 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하여 표현할 수 있다. 따라서 위 폐곡선 중 [math(h \rightarrow 0)]의 극한을 취하면, 폐곡선을 둘러싸는 영역의 넓이는 0에 수렴하게 되고, 장 자체는 무한할 수 없으므로 [math(F \rightarrow 0)]이 된다. 또한, 경계면을 가로지르는 부분에 대한 적분 값은 없으므로
[math(\displaystyle \oint \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot}\, d \mathbf{l}=[(\mathbf{A_{2}}-\mathbf{A_{1}}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{t}}]\,l=0 )]
이 만족하게 된다. 따라서 위의 결과로
[math(\displaystyle \mathbf{A_{1}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{t}}=\mathbf{A_{2}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{t}} )]
로, 자기 벡터 퍼텐셜의 경계면의 접선 성분은 연속이 됨을 알 수 있다. 또한, 수직 성분 또한 경계면을 가로지를 때, 연속이 되는데 이것은 쿨롱 게이지 [math(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}=0)]을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다. 자기 퍼텐셜 문서를 참고하라.
이상의 조건을 종합하면,
[math(\displaystyle \mathbf{A_{1}}=\mathbf{A_{2}} )]
를 만족해야 한다는 것이다.
자기 스칼라 퍼텐셜은 위에서 다뤘듯이,
[math(\displaystyle \mathbf{H} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi_{m} )]
이 성립하므로
[math(\displaystyle \Phi_{m}=-\int \mathbf{H} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r} )]
이 된다. 따라서 위 그림에서 [math(\textrm{a} \rightarrow \textrm{b})]로 갈 때,
[math(\displaystyle -\int_{\textrm{a}}^{\textrm{b}} \mathbf{H} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r} = \mathit{\Delta}\Phi_{m} )]
이고, [math(r \rightarrow 0)]의 극한을 취했을 때, [math(\mathbf{H})]는 무한할 수는 없으므로
[math(\displaystyle \mathit{\Delta}\Phi_{m} =\Phi_{2}-\Phi_{1}=0 )]
이상에서 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \Phi_{1}=\Phi_{2} )]
다만, 주의해야할 것은 자기 스칼라 퍼텐셜은 자유 전류가 없을 때만 가능하며, 경계에 자유 전류가 존재할 경우엔 자기 스칼라 퍼텐셜이 정의되지 않는 부분이 생기므로 꼭 연속이라고 말할 수 없다.
4.3. 경계치 방정식
4.3.1. 자기 벡터 퍼텐셜
다음을 고려하자.[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu \mathbf{J}_{f} )]
이때, 벡터 퍼텐셜과 자기장의 관계에 의해
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) )]
이고, 벡터 항등식을 사용하면,
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A})-\nabla^{2}\mathbf{A} )]
으로 놓을 수 있고, 정자기학에서는 쿨롱 게이지(Coulomb Gauge) 조건
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}=0 )]
을 도입할 수 있으므로
[math( \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{A}=-\mu \mathbf{J}_{f} )]
가 나오게 된다. 이때, 직교 좌표계를 사용하면,
[math( \displaystyle \nabla^{2}A_{i}=-\mu \,[\mathbf{J}_{f}]_{i}\quad(i=x,\,y,\,z) )]
의 각 성분 마다의 푸아송 방정식을 얻는다.
4.3.2. 자기 스칼라 퍼텐셜
자기장 세기에 대하여,[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f} )]
로 쓸 수 있음을 위해서 보았다. 그런데, [math(\mathbf{J}_{f}=0)]인 구역에서
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=0 )]
으로 [math(\mathbf{H})]는 비회전장이 된다. 따라서 이때 자기 스칼라 퍼텐셜 도입이 가능해진다. 따라서
[math( \displaystyle \mathbf{H}=- \boldsymbol{\nabla} \Phi_{m} )]
형태로 쓸 수 있고[5],
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{H}=-\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{M} =\rho_{m} )]
임을 이용하면,
[math( \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi_{m}=- \rho_{m} )]
로 푸아송 방정식이 얻어지고, 이것은 정전기학에서 다뤘던 것과 유사하다. 또한, [math(\rho_{m}=0)]인 곳에서는 라플라스 방정식
[math( \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi_{m}=0 )]
이 된다. 학부 수준에서는 선형 물질을 다루기 때문에 [math(\rho_{m}=0)]인 경우가 많으므로 이 방법으로 문제를 해결하는 것이 더 쉽다. 다만, 선형 물질이 아니더라도 [math(\rho_{m}=0)]을 만족하는 경우가 몇몇 존재하기 때문에 반드시 이것을 구해보고 이 방법을 적용하는 게 현명하다.
4.4. 관련 예제
5. 자기장 차폐
전기장 문서에서 정전기적 평형 상태에서 도체 내부의 전기장이 0이 됨을 논의했다. 따라서 전기장 차폐의 경우 도체로만 둘러싸이게 하면, 쉽게 차폐할 수 있다.다만, 자기장의 경우엔 현실적으로 완벽히 차폐할 수 없다. 그러나, 상대적으로 높은 투자율을 가진 물질 예로 들면, 금속에 둘러싸이게 하면, 어느정도 차폐가 되는 효과를 보인다. 아래의 예를 참고하라.
5.1. 예
위 그림과 같이 내부와 외부의 반지름이 [math(R_{1})], [math(R_{2})]인 구각(Spherical shell)을 고려하자. 구각의 투자율은 [math(\mu_{1})]이고, 그 외 영역은 [math(\mu_{2})]이다. 또한 외부에선 자기장 세기 [math(\mathbf{H_{0}}=H_{0}\mathbf{\hat{z}})]를 걸어주고 있다. 외부에서 전류가 없는 상황이므로 자기 스칼라 퍼텐셜을 사용할 수 있고, 물질이 모두 선형적이라고 가정하면,
[math( \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi_{m}=0 )]
을 만족한다. 외부 자기장 세기에 의한 자기 퍼텐셜 [math(\Phi_{0})]은
[math( \displaystyle -\boldsymbol{\nabla}\Phi_{0}\boldsymbol{\cdot} d \mathbf{r}=\mathbf{H} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{r} \, \rightarrow \, \Phi_{0}=-\int \mathbf{H} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{r} )]
로 구할 수 있고, [math(d \mathbf{r}=d \mathbf{z})]로 택하면,
[math( \displaystyle \Phi_{m}=-H_{0}r\cos{\theta} )]
로 구해진다.[6] 또한, 해당 상황은 구면좌표계를 사용할 시 [math(\phi)]에 대해서는 대칭성이 존재하므로 자기 퍼텐셜은 아래와 같이 르장드르 다항식 [math(P_n)]이 포함된 꼴로 주어진다.
[math( \displaystyle \Phi_{m}=\sum_{n=1}^{\infty}\, [c_{n}r^{n}+d_{n}r^{-(n+1)}]\,P_{n}(\cos{\theta}) )]
그런데 외부 자기장 세기에 의한 자기 퍼텐셜 항이 cosine 항에 비례하므로 편미분 방정식 해는 대칭성에 따라 cosine 항만 나오게 되므로 각 영역에 대한 퍼텐셜은
[math( \displaystyle \begin{aligned} \Phi_{1}&=A r \cos{\theta}+\frac{B}{r^{2}}\cos{\theta} && (r<R_{1}) \\ \Phi_{2}&=C r \cos{\theta}+\frac{D}{r^{2}}\cos{\theta} && (R_{1}<r<R_{2}) \\ \Phi_{3}&=-H_{0} r \cos{\theta}+\frac{E}{r^{2}}\cos{\theta} && (R_{2}>r) \end{aligned} )]
이때, [math(B)]가 존재하면, [math(r \rightarrow 0)]일 때, [math(\Phi_{1} \rightarrow \infty)]이므로 [math(B=0)]을 만족해야 한다. 또한, 자기장 세기 문서에서 논의했던 '정자기학의 경계조건'을 참고하면 아래와 같은 경계 조건을 만족해야 한다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \Phi_{1}(r=R_{1})&=\Phi_{2}(r=R_{1}) \\ \Phi_{2}(r=R_{2})&=\Phi_{3}(r=R_{2}) \\ \mu_{2} \left. \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial r} \right|_{r=R_{1}} &= \mu_{1} \left. \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial r} \right|_{r=R_{1}} \\ \mu_{1} \left. \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial r} \right|_{r=R_{2}} &= \mu_{2} \left. \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial r} \right|_{r=R_{2}} \end{aligned} )]
위 중 세, 네 번째는 자기장의 수직 성분이 경계면을 가로지를 때, 연속임을 이용한 것이다. 자세한 것은 #s-8 문서를 참고하라. 위 경계 조건을 만족하는 연립 방정식은
[math( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle A=C+\frac{D}{R_{1}^{3}} \\ \displaystyle C+\frac{D}{R_{2}^{3}}=-H_{0}+\frac{E}{R_{2}^{3}} \\ \displaystyle \mu_{2}A=\mu_{1}C-\frac{ \mu_{1} D}{R_{1}^{3}} \\ \displaystyle \mu_{1}C-\frac{ \mu_{1} D}{R_{2}^{3}}=-\mu_{2}H_{0}-\frac{\mu_{2}E}{R_{2}^{3}} \end{array}\right. )]
이 된다.[7]
이제부터는 관심있는 영역인 구각 내부([math(r<R_{1})]) 영역만을 살펴보기로 하자. 위의 방정식을 풀면,
[math( \displaystyle A=-\frac{9 \mu_{1}\mu_{2}H_{0}}{(2 \mu_{1}+\mu_{2})( \mu_{1}+\mu_{2})-2(R_{1}/R_{2})^{3}(\mu_{1}-\mu_{2})^{2}} )]
와
[math( \displaystyle \Phi_{1}=-\frac{9 \mu_{1}\mu_{2}H_{0}z}{(2 \mu_{1}+\mu_{2})( \mu_{1}+\mu_{2})-2(R_{1}/R_{2})^{3}(\mu_{1}-\mu_{2})^{2}} )]
를 얻을 수 있고, [math(\mathbf{H} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi_{m})]을 이용하면,
[math( \displaystyle \mathbf{H_{1}}=\frac{9 \mu_{1}\mu_{2}}{(2 \mu_{1}+\mu_{2})( \mu_{1}+\mu_{2})-2(R_{1}/R_{2})^{3}(\mu_{1}-\mu_{2})^{2}} \mathbf{H_{0}} )]
임을 알 수 있다. 이때, [math(\mu_{1} \gg \mu_{2})]일때, 상황을 고려하자. 위 자기장 세기는
[math( \displaystyle \mathbf{H_{1}}=\frac{9 (\mu_{2}/\mu_{1})}{[2 +(\mu_{2}/\mu_{1} ) ] [ 1+(\mu_{2}/\mu_{1} ) ]-2(R_{1}/R_{2})^{3}[1-(\mu_{2}/\mu_{1} ) ]^{2}} \mathbf{H_{0}} )]
이 되고, [math(\mu_{1} \gg \mu_{2})]이므로 [math((\mu_{2}/\mu_{1}) \, \rightarrow \,0)]이 됨에 따라
[math( \displaystyle \mathbf{H_{1}} \, \rightarrow \, 0 )]
으로 차폐가 일어남을 쉽게 보일 수 있다.
6. 관련 문서
[1] 우리말로 하면 그냥 자기장이다. B-field와의 혼선을 야기할 수 있는 표현이므로 [math(\mathbf{H})]-field를 이렇게 부르는 경우는 많지 않은 편이다. 하지만 실제로 이 Magnetic field라는 용어의 혼선 때문에 맥스웰조차 계산 실수를 한 적이 있다.[2] 그와 반대 방향으로 정렬하게 되는 경우도 있고, 그러한 물질을 반자성체라 한다.[3] 자기장은 쌍극자 항부터 존재하게 된다. 자세한 것은 자기 쌍극자 문서에서 다중극 전개 과정을 한 번 볼 것을 권한다.[4] simple medium이기 위한 필요조건이다.[5] 이것은 위에서 '자화 물질의 자기 스칼라 퍼텐셜'을 구하면서 얻었던 것과 같은 결과를 얻었음에 주목하라.[6] 상수 항은 퍼텐셜 특성 상 무시할 수 있으므로 무시했다.[7] 여담으로 이렇게 복잡한 연립 방정식은 행렬로 풀이하는 게 나으며, 애초에 21세기를 살고 있는 우리에겐 손보다 더 좋은 기구가 있다는 것 또한 참고하라.