1. 개요
separation vector ・ 分離 벡터위치 벡터에서 근원 벡터(source vector)를 뺀 벡터이다.[1]
전자기학에서는 두 가지 위치를 약속하고 내용을 전개한다. 첫째, 전하나 전류가 존재하는 지점을 [math(\mathbf{r'})]으로 쓴다. 둘째, 다른 한 지점은 전기장이나 자기장 등을 측정하는 지점으로서 [math(\mathbf{r})]으로 쓴다. 이때, 분리 벡터는 아래와 같이 정의된다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\xi} \equiv \mathbf{r-r'} )]
분리 벡터를 나타내는 기호로는 [math(\boldsymbol{\Re})], [math(\boldsymbol{\eta})] 등을 사용하기도 하며,[2] 그냥 [math( \mathbf{r-r'} )]로만 쓰기도 한다. 나무위키 전자기학 관련 문서에서는 [math(\boldsymbol{\xi})]가 많이 쓰임에 따라 이것을 채택하였다.
2. 그레이디언트 연산
원천과 관측 지점 두 가지가 있기 때문에 델 연산도 엄밀히 말해서 두 가지로 나누어진다. 예를 들어, 직교 좌표계라면,[math(\displaystyle \begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} &= \left({\partial \over \partial x}, \,{\partial \over \partial y}, \,{\partial \over \partial z} \right) \\
\boldsymbol{\nabla'} &= \left({\partial \over \partial x'},\, {\partial \over \partial y'}, \,{\partial \over \partial z'} \right)
\end{aligned} )]
위 두 연산자의 차이는 관측자의 위치가 변하는지, 혹은 원천의 위치가 변하는지를 나타낸다. 관측자의 위치인 [math(x, \, y, \, z)]가 미분 대상이라면 원천의 위치인 [math(x' , \,y' , \,z')]는 상수로 취급된다. 즉, 편미분을 확장한 셈이다.
그렇기 때문에 분리 벡터 크기의 역수에 그레이디언트를 취했을 때, 어디를 기준으로 하여 연산하느냐에 따라 그 결과는 다르게 나온다. 이것의 대표적인 예는 [math(\xi^{-1})]의 그레이디언트를 취했을 때 볼 수 있다. 아래를 참고하자:
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \!\left( \frac{1}{\xi} \right)=-\frac{\hat{\boldsymbol{\xi} }}{\xi^{2}} \qquad \qquad \boldsymbol{\nabla'} \!\left( \frac{1}{\xi} \right)=+\frac{\hat{\boldsymbol{\xi} }}{\xi^{2}} )]
3. 관련 문서
[1] David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Pearson, 2013.[2] 특히 데이비드 제프리 그리피스의 전자기학 책에서는 필기체 r을 쓰는데, LaTeX 기본 폰트에 없는 글자라서 입력하기 난감한 걸로 유명하다.