준군

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1. 개요2. 정의3. 상세4. 기타

1. 개요

準群, Quasigroup

대수학에서 다루는 대수구조의 일종으로, 좌/우 나눗셈을 갖는 마그마를 의미한다.

Quasigroup을 '유사군'이라고 번역하는 사례도 있으나 'Quasi-'를 '준(準)-'으로 번역하는 것이 일반적이므로, 엄밀히는 준군으로 번역하는 것이 올바르다. '유사'는 'Pseudo'의 번역어로 사용되는 것이 더 일반적이다.

2. 정의

준군은 다음을 만족하는 이항 대수구조 [math(\langle Q,*\rangle)]를 말한다. ([math(\forall a,b\in Q)])

닫힘성(Closure): [math(Q)]는 [math(*)]에 대해 닫힌 집합이다. [math(\forall a,b\in Q\left(a*b \in Q\right))]
왼쪽 나눗셈이 정의됨: [math(a*y = b)]를 만족하는 [math(y)]가 유일하게 존재한다. ([math(\exist!y(a*y=b))])
오른쪽 나눗셈이 정의됨: [math(x*a = b)]를 만족하는 [math(x)]가 유일하게 존재한다. ([math(\exist!x(x*a=b))])

3. 상세

왼쪽 나눗셈, 오른쪽 나눗셈이 정의된다고 말한다. 임의의 연산 [math(*)]을 곱셈처럼 생각했을 때, 일반적인 유리수/실수의 나눗셈과 같은 성질이 성립하기 때문이다.

([math(a*y=b)])를 만족하는 [math(y)]가 유일하다. 이러한 원소를 [math(a\backslash b)]라고 적으면 ([math(a*(a\backslash b)=b)])이다. (왼쪽 나눗셈)
([math(x*a=b)])를 만족하는 [math(x)]가 유일하다. 이러한 원소를 [math(a/b)]라고 적으면 ([math(a*(b/a)=b)])이다. (오른쪽 나눗셈)

준군의 연산표를 만들면 세로줄/가로줄에서 겹치는 원소가 없어야 하므로, 유한 원소를 갖는 준군의 케일리 표는 다음과 같이 [math(n\times n)] 라틴 방진을 이룬다.

[math(\begin{array}{c|ccc} * & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1& 1 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 2 & 1 \end{array})]

4. 기타

준군[math(\langle Q,*\rangle)]에 대해, 소거법칙[math((x*a = x*b))]이 성립한다.
{{{#!folding 증명[펼치기⋅접기]
[math(x*a = x*b = y)]라고 할 때, [math(x*a = y)]를 만족하는 [math(a)]는 유일하다.
[math(\therefore a = b)]
}}}
범주론의 준군(범주론)과는 무관하나, 대한수학회는 quasigroup과 groupoid를 둘다 '준군'으로 번역하고 있다.

준군

1. 개요

2. 정의

3. 상세

4. 기타

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