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1. 개요
presheaf / 準層범주론에서 일반적으로 범주 [math(C)]의 presheaf라 하면 Set으로 가는 반변 함자(contravariant functor) [math(C^\mathrm{op} \to \mathbf{Set})]를 말한다. 또는 이를 더 일반화하여, Set이 아닌 다른 범주를 codomain으로 가지는 경우를 생각하기도 한다.[Kashiwara][2]
대수기하에서 하는 거랑 뭐가 다르냐 싶을 수 있긴 한데, 굳이 따지자면 범주론적 정의가 좀더 일반적이고 대수기하에서 관심가지는 sheaf나 presheaf는 domain이 위상 공간의 poset이어야 하며, 보통 codomain쪽에 Ab, Ring 등 성질이 좋은 범주가 붙는 등 특수한 경우로 볼 수 있다. 특히 범주론에서는 sheaf 얘기보단 presheaf 얘기가 많고, 뭔가 representable한지를 주로 다루기 때문에 대부분 codomain이 Set인 정의를 사용한다. 물론 대수기하도 틈만나면 요네다 보조정리를 줄창 써먹는 등 절대 무관하진 않으며, 역사적으로 보면 presheaf라는 개념이 대수기하에서 발전한 것이기도 하다. 대수기하적 내용은 층(대수기하학) 문서로.
본 문서는 순수 범주론적 관점 위주만 다룬다.
2. 예시
적당한 예시를 생각해 보면 contravariant Hom-functor 등이 있다. 안 그대로 Yoneda embedding이 대응해 주는 게 바로 얘들이다.3. 준층들의 범주
category of presheaves, presheaf category[3]준층이 함자란 걸 생각하면 준층들 간 사상은 자연스럽게 자연 변환으로 줄 수 있을 것이다. 이를 생각하면 범주 [math(C)]의 모든 준층들의 범주는 [math(\mathbf{Set}^{ C^\mathrm{op} })] 꼴의 함자 범주(functor category)로 생각할 수 있다. 보통 함자 범주의 표기에 따라 [math([ C^\mathrm{op}, \mathbf{Set} ])] 또는 그냥 간단히 [math(\widehat C)][4][5]나 [math(\operatorname{Psh} (C))][Kashiwara] 등으로 줄여서 쓴다.
3.1. 성질
- 함자 범주로써 가지는 성질은 해당 문서 참고.
- CCC
- subobject classifier
[Kashiwara] Kashiwara, M., & Schapira, P. (2006). Categories and sheaves (Vol. 332). Springer Berlin Heidelberg.[2] By extension, "a presheaf" is any contravariant functor defined on a category C with values in another category A. Therefore, presheaves are nothing but functors, although the two notions play different roles (p. 405).[3] Riehl, E. (2016). Category Theory in Context. Dover Publications.[4] Mac Lane, S. (1971). Categories for the working mathematician. Springer.[5] Smith, P. (2024). Introducing Category Theory. Logic Matters.[Kashiwara]