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1. 개요
Hom-functorlocally small한 범주에서 고정된 대상(object)이 주어졌을 때, 해당 대상으로 향하는/해당 대상에서 출발하는 사상(morphism)들의 정보를 담은 함자(functor). 구체적으로는 임의의 대상에 대해 그 대상과 고정된 대상에 대한 Hom-set을 반환하는 함자이다.
함자의 표현가능성(representable functor), 요네다 매장, 그리고 기초 범주론의 주요 정리 중 하나인 요네다 보조정리 등 범주론의 여러 핵심적인 개념에서 사용되는 중요한 함자 중 하나이다.
2. 정의
2.1. 공변 Hom-함자
covariant Hom-functorlocally small한 범주에서 모든 Hom은 집합이기에 특정한 대상(object) [math(L)]을 고정하면 임의의 대상 [math(X)]를 집합 [math(\mathrm{Hom}(L, X))]로 대응시킬 수 있다. 이를 covariant Hom-functor라고 한다.
엄밀하게, 범주 [math(\mathcal C)]와 [math(\mathcal C)]-object [math(L)]에 대해서 아래와 같은 대응은 [math(\mathcal C)]에서 Set으로 가는 공변 함자 [math(\mathrm{Hom}(L, -) : \mathcal C \to \mathbf{Set})]가 된다.
- 대상의 대응: [math(A \longmapsto \mathrm{Hom}(L, A))]
- 사상의 대응: [math(f : A \to B)]를 다음과 같은 함수로 대응
\mathrm{Hom}(L, f) : \mathrm{Hom}(L, A) & \longrightarrow \mathrm{Hom}(L, B) \\
a & \longmapsto f \circ a
\end{aligned}
}}} ||
직관적으로, [math(\mathrm{Hom} ( L, f ) ( a ) = f \circ a)]라는 것. 즉, 사상의 대응은 아래 다이어그램과 같이 모든 [math(a)]에 [math(f)]를 postcompose하여 [math(f \circ a)]로 확대시키는 함수라고 볼 수 있다. 때문에 [math(L)]이 명확하다면 간단히 [math(f \circ -)]로 쓰기도 한다.
[math(f)]가 항등 사상이라면 합성의 결과가 같기에 항등 사상이 보존되고, [math((( g \circ - ) \circ ( f \circ - ))( a ) = g \circ f \circ a = (( g \circ f ) \circ - ) ( a ))]이므로 functorial함을 알 수 있다.
2.2. 반변 Hom-함자
비슷하게, fixed object [math(R)]에 대해 다음과 같은 구성도 [math(\mathrm{Hom}(-, R) : \mathcal C^\mathrm{op} \to \mathbf{Set})] 꼴의 반변 함자를 이룬다. 이를 contravariant Hom-functor라고 한다.- 대상의 대응: [math(A \longmapsto \mathrm{Hom}(A, R))]
- 사상의 대응: [math(f^\mathrm{op} : A \to B)]를 다음과 같은 함수로 대응
\mathrm{Hom}(f^\mathrm{op}, R) : \mathrm{Hom}(A, R) & \longrightarrow \mathrm{Hom}(B, R) \\
a & \longmapsto a \circ f
\end{aligned}
}}} ||
직관적으로, [math(\mathrm{Hom} ( f^\mathrm{op}, R ) ( a ) = a \circ f)]라는 것. 즉, 사상의 대응은 아래 다이어그램과 같이 모든 [math(a)]에 [math(f)]를 precompose하여 [math(a \circ f)]로 확대시키는 함수라고 볼 수 있다. 때문에 [math(R)]이 명확하다면 간단히 [math(- \circ f)]로 쓰기도 한다. [math(f^\mathrm{op})]가 opposite morphism이므로 [math(f)]는 [math(B \to A)] 꼴임에 유의하자.
이 경우는 [math(( (- \circ g) \circ (- \circ f) )( a ) = a \circ f \circ g = ( - \circ ( f \circ g ) ) ( a ))]와 같이 반변 함자의 공리를 만족함을 알 수 있다.
대표적인 contravariant Hom-functor로는 쌍대 공간 함자가 있다. 체 [math(k)] 위 벡터 공간들의 범주 Vect k에서 쌍대 공간 함자 [math((-)^* : \mathbf{Vect}_k \to \mathbf{Vect}_k)]는 [math(\mathrm{Hom}_{\mathbf{Vect}_k}(-, k))] 꼴이 되기 때문.
후술할 요네다 매장(Yoneda embedding)에서 대응시키는 게 바로 이 contravariant Hom-functor이며, 때문에 요네다 보조정리 등에서도 핵심적으로 등장한다.
3. 함자의 표현가능성
임의의 Set-valued 함자가 적절한 Hom-함자와 자연 동형(naturally isomorphic)일 때, 이를 표현가능 함자(representable functor)라고 한다.#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
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의 [[함자#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[함자#표현|표현]] 부분을}}}4. Hom-함자들 간 자연 변환
당연히 Hom-functor 간 사상은 자연 변환(natural transformation)이다. 이건 당연해 보이니 이런 생각을 해보자. [math(\mathcal C)]랑 [math(\mathcal C)]-morphism [math(f : A \to B)]가 주어졌을 때, Hom-functor들 간 [math(\mathrm{Hom} ( B, - ) \to \mathrm{Hom} ( A, - ))]꼴의 자연 변환 하나를 반드시 유일하게 고를 수 있을까? 눈치챘겠지만 functoriality 이전에 functor로써의 morphism mapping이 성립하는지 여부에 대한 문제인 것. 참고로 여기서는 [math(A)]랑 [math(B)]랑 순서가 교환됨에 주의하자.[math(X \in \mathcal C)]에 대한 component가 다음과 같은 함수로 주어진 자연 변환을 생각하자.
<tableclass=disp> |
실제로 [math(\eta_X)]이 자연 변환이 됨은 다이어그램으로 그렸을 때 단순한 합성 순서 차이이므로 가환한다.
비슷하게 contravariant Hom-functor들 간 자연 변환 역시 생각할 수 있으며, 이 경우 (원래 범주에서) [math(\mathcal C)]-morphism [math(f : A \to B)]가 주어졌을 때 [math(\mathrm{Hom} ( -, A ) \to \mathrm{Hom} ( -, B ))] 꼴의 자연 변환을 항상 찾을 수 있다.
4.1. 요네다 매장
Yoneda embedding / 米田 埋藏위에서 [math(\mathcal C)]-morphism이 함자 범주 [math([ \mathcal C, \mathbf{Set} ])]-morphism 또는 준층 범주 [math([ \mathcal C^\mathrm{op}, \mathbf{Set} ])]-morphism을 유일하게 결정함을 알았으므로 이걸 대충 함자로 만들어도 될 것 같이 생겼다. 사상의 대응은 상술한 자연 변환으로 주면 된다.
- 공변 Hom-함자를 대응시키는 경우, [math(\mathcal C^\mathrm{op} \to [ \mathcal C, \mathbf{Set} ])]
- 반변 Hom-함자를 대응시키는 경우, [math(\mathcal C \to [ \mathcal C^\mathrm{op}, \mathbf{Set} ])]
실제로 항상 두 경우 다 함자가 되며, 후자의 함자를 요네다 매장(Yoneda embedding)이라고 부른다.
5. Hom-쌍함자
Hom-bifunctor양쪽을 전부 비우고 Hom 자체를 쌍함자(bifunctor)로 보는 것도 가능하다. locally small한 범주 [math(\mathcal C)]에서 자신의 반대 범주와의 곱범주 [math(\mathcal C^\mathrm{op} \times \mathcal C)]를 생각하면
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형태의 함자로 생각할 수 있으며, 이 때 대응은 각각
- 대상의 대응: [math((A, B) \longmapsto \mathrm{Hom}(A, B))]
- 사상의 대응: 사상 [math(f^\mathrm{op} : A \to A')], [math(g : B \to B')]를 다음과 같은 함수로 대응
\mathrm{Hom} (f^\mathrm{op}, g) : \mathrm{Hom}(A, B) & \longrightarrow \mathrm{Hom}(A', B') \\
a & \longmapsto g \circ a \circ f
\end{aligned}
}}} ||
즉, 사상의 대응은 아래와 같은 다이어그램에서 모든 [math(a)]를 [math(g \circ a \circ f)]로 옮기는 대응이라고 볼 수 있다.
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