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| 소속 | 케임브리지 대학교(세인트 존스 컬리지) 플로리다 대학교 | ||
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| 기타 | 양자전기역학 |
1. 정의
디랙 행렬(Dirac matrix)은 [math(0, \pm 1, \pm i)] (단, [math(i triangleq sqrt{-1})])로 이루어진 4개의 복소 행렬이다. 감마 행렬(gamma matrix)이라고도 부른다. 정의는 아래와 같이 파울리 행렬과 2차 단위 행렬의 텐서곱이다.[math(\displaystyle \gamma^n = \sigma_n \otimes I_2)]
이를 풀어서 행렬로 나타내면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \gamma^0 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix} )] 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
[math(\displaystyle \gamma^1 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} )] 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 0 & 0
[math(\displaystyle \gamma^2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\-i & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} )] 0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\-i & 0 & 0 & 0
[math(\displaystyle \gamma^3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} )] 0 & 0 & 0 & -1 \\-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
이때, 0, 1, 2, 3은 거듭제곱을 의미하는 것이 아니라 그냥 첨자이다. 또한 편의상 다섯 번째 디랙 행렬을 다음과 같이 정의한다.
[math(\displaystyle \gamma^5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} )] 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
첨자가 5인 이유는 예전에는 첨자를 1부터 5까지 썼는데 4차원 성분을 첨자 0으로 쓰면서 표기가 굳어졌기 때문이다.
2. 성질
디랙 행렬은 다음과 같은 반교환자(anticommutator) 관계가 성립한다.[math(\displaystyle \left\{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \right\} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I )]
이때 [math(\eta^{\mu \nu})]는 민코프스키 계량 텐서 (Minkowski metric)
[math(\eta = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix} )] 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
의 [math(\mu)]행 [math(\nu)]열 성분이고, [math(I)]는 [math(4 \times 4)] 단위행렬이다.