각운동량

고전역학 Classical Mechanics
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1. 개요2. 토크와의 관계3. 각운동량 보존4. 축을 중심으로 회전하는 강체

4.1. 각운동량4.2. 토크와의 관계

5. 일반적인 각운동량6. 양자역학에서의 각운동량

1. 개요

각운동량(角運動量, angular momentum)은 회전하는 물체가 갖는 운동량으로, 벡터 물리량이다. 선운동량 [math(\bf p)]를 갖는 변위 [math(\bf r)]의 질점이 갖는 각운동량은 다음과 같다.

[math({\bf L} \equiv {\bf r\bm\times p})]

국제단위계에서 규정한 단위는 [math(\rm kg{\cdot}m^2/s)]이다. 그러나 엄밀하게는 우변을 [math(\rm rad)]으로 나눈 표기

[math({\bf L} \equiv {\bf r\bm\times p}/{\rm rad})]

가 맞고, 단위도 [math(\rm kg{\cdot}m^2/(s{\cdot}rad))]으로 써야 한다. 이는 본 물리량의 이름이 '각'운동량인 것과도 연관이 있다.[1]

질량 [math(m)]의 질점이 선속도 [math(\bf v)]를 가질 때 선운동량 [math({\bf p} = m{\bf v})]임을 이용하여 다음과 같이 쓸 수도 있다.

[math({\bf L} = m{\bf r\bm\times v}/{\rm rad})]

각운동량은 원점에 대해서도, 회전축에 대해서도 생각할 수 있다. 둘을 잘 구분하여야 한다. 이 문서에서는 원점에 대한 각운동량은 [math(\bf L)]로, 회전축([math(z)]축으로 설정)에 대한 각운동량은 [math({\bf L}_z)]로 나타냈다.[2]

(에너지)/(회전량) 차원을 갖는 토크를 시간으로 적분한 물리량이기 때문에 (액션)/(회전량) 차원을 갖는다. 이는 양자역학에서 각운동량이 [math(\hbar)]의 배수로 나타나는 것과도 관련이 있다.[3]

2. 토크와의 관계

물체에 [math(\bf F)]의 힘이 가해졌다고 하자. 뉴턴 제2법칙에 따라

[math({\bf F}=\dfrac{{\rm d}{\bf p}}{{\rm d}t})]

이고, 이에 따른 토크는 [math(\bf N = r\bm\times F/{\rm rad})][4]이므로

[math(\begin{aligned} \bf N &= {\bf r}\bm\times \frac{{\rm d}{\bf p}}{{\rm d}t}/{\rm rad} \\ &= {\left\{\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}({\bf r\bm\times p}) - \frac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d}t}\bm\times {\bf p}\right\}}/{\rm rad} \\ &= \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}({\bf r\bm\times p})/{\rm rad} - \frac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d}t}\bm\times {\bf p}/{\rm rad} \\ &= \frac{{\rm d}{\bf L}}{{\rm d}t}- {\bf v}\bm\times m{\bf v}/{\rm rad} \\ &= \frac{{\rm d}{\bf L}}{{\rm d}t} \end{aligned})]

이 결과를 이용하여 각운동량을 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

[math(\displaystyle {\bf L} = \int {\bf N}{\rm\,d}t)]

이는 마치 선운동량일 때 충격량과 운동량 변화량의 관계와 비슷하다.

3. 각운동량 보존

위 문단의 결과에서 물체에 가해지는 토크 [math(\bf N)]이 [math(\bf0{\rm\,J/rad})]이면, 각운동량 [math(\bf L)]의 시간 변화는 없다. 즉, 물체에 가해지는 토크가 없으면 각운동량은 보존된다.

각운동량 보존이 적용된 예로는 떨어지는 고양이 문제가 있다.

4. 축을 중심으로 회전하는 강체

위 문단까지는 질점을 논의하였고, 이번 문단에서는 강체를 논의한다.

4.1. 각운동량

강체가 공간 좌표 내 [math(z)]축을 회전축으로 하여 회전한다고 하자.[5] 이때 각속도 [math(\bm\omega = \omega{\bf\hat z})]는 [math(z)]축 방향이다. 강체 내 [math(j)]번째 입자의 질량을 [math(m_j)], 위치 벡터를 [math({\bf r}_j = x_j{\bf\hat x} +y_j{\bf\hat y} +z_j{\bf\hat z})], 속도 벡터를 [math({\bf v}_j)]라 하면, [math(j)]번째 입자의 각운동량은 다음과 같다.

[math({\bf L}_j = m_j{\bf r}_j\bm\times{\bf v}_j/{\rm rad})]

한편 [math({\bf v}_j = \bm{\omega\times{\bf r}}_j/{\rm rad})][6]이므로, 대입하고 크로스곱의 삼중곱 공식을 적용하면 ([math(|{\bf r}_j| = r_j)]라 하자.)

[math(\begin{aligned} {\bf L}_j &= m_j {\bf r}_j \bm\times(\bm{\omega\times{\bf r}}_j)/{\rm rad^2} \\ &= m_j[{r_j}^2\bm\omega - (\bm{\omega\cdot{\bf r}}_j){\bf r}_j]/{\rm rad^2} \end{aligned})]

위 식에서 회전축과 평행한 성분만 생각하면

[math([{\bf L}_j]_z = m_j({r_j}^2-{z_j}^2)\omega/{\rm rad^2})]

식에서 나온 [math({r_j}^2-{z_j}^2 \equiv {d_j}^2)]은 회전축과 [math(j)]번째 입자 사이의 거리의 제곱이다. 이상에서 [math(j)]번째 입자의 각운동량의 축과 평행한 성분은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

[math([{\bf L}_j]_z = m_j{d_j}^2\omega/{\rm rad^2})]

강체의 각운동량은 각 입자의 각운동량을 모두 합하면 된다.

[math(\begin{aligned}
L_z &= \sum_j [{\bf L}_j]_z \\
&= \!\Biggl[ \sum_j m_j{d_j}^2/{\rm rad^2} \Biggr] \omega
\end{aligned})]

이때, 대괄호 항을 관성 모멘트 [math(I)][7]로 정의하여

[math(L_z = I\omega)]

로 쓴다. 즉, 한 회전축을 기준으로 회전하는 강체의, 회전축에 대한 각운동량의 크기는 관성 모멘트와 각속도 크기의 곱으로 주어진다.

지금까지 [math(z)]축을 회전축으로 하여 회전하는 상황에 대해 논의했으므로, 위 식에서 각속도와 각운동량은 모두 회전축과 평행하기 때문에 아래와 같이 벡터 표기법으로 쓸 수 있다.

[math({\bf L}_z = I\bm\omega)]

다만, 분석한 상황은 물리적으로 매우 초등적임에 유의해야 한다. 이 문단의 결과로는 모든 각운동량이 각속도와 평행한 것처럼 보이나 팽이와 같은 세차 운동을 하는 물체는 각운동량과 각속도가 평행하지 않다. 이러한 운동의 분석엔 더 높은 수준의 역학적 분석이 필요하다. 관성 텐서 문서를 참고하라.

강체가 한 회전축을 중심으로 회전한다면 그 축과 평행한 성분의 각운동량만 가진다.(즉, 위 상황에서 [math(L_x = L_y = 0{\rm\,kg{\cdot}m^2/(s{\cdot}rad)})]이다.) 이는 해당 상황에서 각속도는 회전축과 평행한 성분만 가지기 때문이다.

또한 결과에서 나온 각운동량이 원점에 대한 각운동량이 아닌 회전축에 대한 각운동량(회전축과 평행한 성분)임에 유의하여야 한다.

4.2. 토크와의 관계

[math(z)]축을 회전축으로 하여 회전하는 강체 내 [math(j)]번째 입자가 받는 힘은 뉴턴 제2법칙에 의하여

[math({\bf F}_j = \dfrac{{\rm d}{\bf p}_j}{{\rm d}t})]

따라서 각 입자가 받는 회전축에 대한 토크는 다음과 같다.

[math(({\bf N}_z)_j = {\bf d}_j\bm\times\dfrac{{\rm d}{\bf p}_j}{{\rm d}t}/{\rm rad})]

이때, [math({\bf d}_j)]는 [math(j)]번째 입자의 위치에서 회전축으로부터 내린 수선의 발을 시점으로 하는 위치 벡터이다.

[math(\begin{aligned} ({\bf N}_z)_j &= {\bf d}_j \bm\times \frac{{\rm d}{\bf p}_j}{{\rm d}t}/{\rm rad} \\ &= {\left\{\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}({\bf d}_j\bm\times{\bf p}_j)-\frac{{\rm d}{\bf d}_j}{{\rm d}t}\bm\times{\bf p}_j\right\}}/{\rm rad} \end{aligned})]

입자의 원점에서의 위치 벡터를 원점으로부터 수선의 발까지의 벡터 [math(\bm\alpha_j)]를 이용하여 [math({\bf r}_j = \bm\alpha_j +{\bf d}_j)]의 형태로 쓰고, [math({\bf p}_j = m_j ({\rm d}{\bf r}_j/{\rm d}t))], [math({\rm d}\bm\alpha_j/{\rm d}t=0)]임을 이용하면 우변의 제2항은 사라지며, 제1항은 [math(({\bf L}_z)_j)]이다.[8]

[math(\begin{aligned} ({\bf N}_z)_j &= \frac{{\rm d}({\bf L}_z)_j}{{\rm d}t} \end{aligned} )]

이상에서 다음과 같은 관계식이 성립한다.

[math(\displaystyle {\bf N}_z = \sum_j ({\bf N}_z)_j = \frac{{\rm d}{\bf L}_z}{{\rm d}t})]

즉, 물체에 가해지는 회전축에 대한 토크가 없으면 회전축에 대한 각운동량은 보존된다. 이것을 수식으로 나타내면 아래와 같다.

[math(I \bm\omega = {\sf const.})]

흔히 이 내용을 김연아에 빗대 설명하곤 한다. 김연아가 팔을 뻗고 회전을 하다가 팔을 오므리면 회전 속도가 빨라지는데, 이는 김연아가 팔을 오므리면서 관성 모멘트가 줄어드는 대신 관성 모멘트와 각속도의 곱은 일정하므로 각속도(회전속도)가 빨라지기 때문에 생기는 현상이다.

한편, 계의 관성 모멘트가 시간에 의존하지 않는다면 다음과 같이 쓸 수 있다. [math(\boldsymbol{\alpha})]는 각가속도이다.

[math(\begin{aligned} {\bf N}_z &= I \frac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t} = I\bm\alpha \end{aligned})]

5. 일반적인 각운동량

자세한 내용은 관성 텐서 문서 참고하십시오.

6. 양자역학에서의 각운동량

자세한 내용은 각운동량 연산자 문서 참고하십시오.

[1] 현행 국제단위계에서는 각도를 무차원량, 즉 [math(rm rad = 1)]로 규정하고 있기 때문에 일단 위와 같이 써도 일반적으로 널리 알려진 공식과 결과적으론 같지만, 사실 각도는 무차원량이 아니기 때문에 [math(\rm rad)] 표기를 살려서 써야 한다. 돌림힘 문서의 유도 과정 항목도 참고.[2] 일부 일반물리학 서적은 이를 구분하지 않고 개념을 전개하여 학습자들에게 혼동을 일으킨다.[3] 이 역시 정확히는 [math(\hbar/{\rm rad})]의 배수로 나타나는 것이다. 이에 대해서, 양자역학 분야에서 이미 잘 쓰이고 있는 [math(\hbar)] 사용의 보정을 피하기 위해 P. Quincey(2021)(arXiv 버전)처럼 [math(\hbar)]는 [math(\hbar = \cfrac h{2\pi{\rm\,rad}})]으로 재정의하고 기존의 [math(\cfrac h{2\pi})]는 [math(\check h)](h-check)라는 새 기호를 도입해서 나타내자고 하는 의견도 있다.[4] 토크는 회전 운동 에너지를 발생시키는 물리량으로서 [math(\displaystyle W = \int \bm{{\bf N}\cdot{\rm d}\theta})]로 정의되며 회전당 에너지 차원을 갖는다. 따라서 [math(\rm rad)]이 나눠진 표기로 써야 맞다. 자세한 유도 과정은 돌림힘 문서 참고.[5] 아래의 내용은 임의의 축일 때도 성립한다.[6] [math(\bm\omega)]는 [math({\rm rad/s})] 단위를 가지므로 [math(\rm m/s)]단위를 갖는 선속도와 단위 관계를 맞추기 위해서는 우변을 [math(\rm rad)]으로 나눠야 한다. 자세한 것은 각속도 문서 참고.[7] 관성 모멘트에 대한 자세한 논의는 해당 문서에서 다루고 있다.[8] [math({\bf p}_j)], [math({\bf d}_j)]는 모두 [math(x)], [math(y)]성분만 가져서 [math({\bf d}_j\bm\times{\bf p}_j/{\rm rad})]은 [math(z)]축 방향이며, 둘은 수직임에 따라 [math({\bf d}_j \bm\times{\bf p}_j/{\rm rad})]의 크기는 [math(m_jd_jv_j/{\rm rad} = m_j{d_j}^2\omega/{\rm rad^2})]이기 때문이다.