1. 개요
Momentum · 運動量운동량은 물체의 운동 상태를 나타내는 벡터량이다. 뉴턴 역학에서는 물체의 운동 상태를 의미하지만 해밀턴 역학적으로는 위치와 동등한 물질의 고유한 상태량이다. SI 단위계에서 [math( \mathrm{kg \cdot m/s} )]의 단위를 가지며 별도의 명칭이 없다.
뉴턴 역학 이전의 임페투스 가설에선 운동량 대신 임페투스라는 명칭으로 불리었다. 임페투스는 라틴어 petere[1]에서 온 단어이기 때문에 [math(p)]가 운동량의 기호로 쓰이게 되었다고 추측된다.[2]
2. 정의
운동량의 종류로는 선운동량과 각운동량이 있지만, 보통 운동량이라고 하면 선운동량을 가리킨다. 각운동량에 대한 내용은 문서 참고.2.1. 뉴턴 역학에서
뉴턴역학에서 아이작 뉴턴은 운동량을 아래처럼 정의했다.| 질량이 [math( m )]이고, [math( \mathbf{v} )]의 선속도로 움직이는 물체는 [math( \mathbf{p} = m \mathbf{v} )]만큼의 운동량을 갖는다. |
이 정의를 이용해 뉴턴의 운동법칙 중 제2법칙을 수식으로 표기하면 아래와 같다.
[math( \mathbf{F} = \dfrac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} )]
따라서 운동량을 다음과 같이 쓸 수도 있다.
[math(\mathbf{p}= \displaystyle \int \mathbf{F}\, {\rm d}t)]
2.2. 해석역학에서
위의 개념이 우리가 살고 있는 평범한 3차원 세계를 기반으로 세워진 것에 반해, 라그랑주 역학에서는 이 개념을 일반화된 좌표계와 라그랑지안을 통해 표현한다.[math( p_{j} = \dfrac{\partial \!\!\;\mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{j}} )]
여기서 [math( \mathscr{L} )]은 라그랑지안, [math( q_{j} )]는 위치의 [math(j)]번째 성분이다.
해밀턴 역학에서는 위의 식을 바탕으로, 해밀토니안을 이용해 선운동량의 시간에 따른 변화량을 다룬다. 자세한 내용은 해밀토니안 문서로.
3. 운동량 보존 법칙
물체 하나 하나당 운동량이 일정하게 보존되진 않지만, 두가지 이상의 물체들이 서로 충돌하는 상호작용을 하는 과정에서 모든 물체의 운동량의 총합은 항상 일정하게 보존된다. 이를 운동량 보존 법칙이라고 한다.본질적으로는 에너지 보존 법칙과 같다.[3] 하지만 운동량은 벡터량이고 따라서 절대값이 보존되지는 않는다는 점이 다르다.[4] 아래의 서술은 고등학교 과정에서의 이야기다.
물체가 서로 충돌할 때 각 물체의 운동량들의 총합은 충돌 전, 충돌 후 모두 일정하게 보존된다. 이는 모든 종류의 충돌에 적용된다. 운동량 보존 법칙만 따지자면 가만히 있는 물체 둘이 양 옆으로 튀어나가는 것도 가능하다.[5][6]
운동하는 물체는 외력의 합이 0이면 운동량이 보존된다. 이것이 운동량 보존 법칙이다. 이 때 주의해야 할 점은, 외력이 0일 때 보존 법칙이 성립하기 때문에 내부에서 힘을 줄 경우에는 어떻게 주든 물체 전체의 운동량은 보존된다는 것이다. 예를 들어 정지해 있던 폭탄이 공중에서 폭발해 폭탄이 여러 조각으로 날아갈 때, 폭탄 개개의 조각의 운동량은 보존되지 않지만[7], 폭탄 전체의 운동량은 0으로 보존된다.[8] 정지한 폭탄을 위로 날아가는 로켓으로 치환해도 마찬가지다.
3.1. 관련 예제
====# 예제 1 #====| |
| 2023학년도 중등교사 1차 임용시험 물리 전공 A 8번 |
- [고등학생용 참고 거리]
- -----
축을 중심으로 회전하는 강체의 운동 에너지는 선운동량 에너지와 회전운동 에너지의 합이므로 [math(I)]를 강체의 관성 모멘트, [math(v)]를 선속력, [math(\omega)]를 각속력이라 하면, 운동에너지는 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}I\omega^{2}+\frac{1}{2}mv^{2} &= \frac{1}{2}\biggl( \frac{1}{2}mR^2 \biggr)\biggl(\frac{v_{0}}{R} \biggr)^{2}+\frac{1}{2}mv_{0}^{2} \\&=\frac{3}{4}mv_{0}^{2} \end{aligned} )]
- [풀이 보기]
- -----
계에 가해진 비보존력이 없으므로 역학적 에너지는 보존된다. [math(h)]에 도달했을 때의 계의 역학적 에너지는 초기 역학적 에너지와 같다. 해당 에너지는 원기둥의 역학적 에너지이다. 축을 중심으로 회전하는 강체의 운동 에너지는 선운동량 에너지와 회전운동 에너지의 합이므로 [math(I)]를 원기둥의 관성 모멘트, [math(v)]를 선속력, [math(\omega)]를 각속력이라 하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} T=\frac{1}{2}I\omega^{2}+\frac{1}{2}mv^{2} &= \frac{1}{2}\biggl( \frac{1}{2}mR^2 \biggr)\biggl(\frac{v_{0}}{R} \biggr)^{2}+\frac{1}{2}mv_{0}^{2} \\&=\frac{3}{4}mv_{0}^{2} \end{aligned} )]
마찬가지의 이유로 전체 운동 시간동안 계의 수평방향에 대한 선운동량 또한 보존된다. [math(h)]만큼 올라간 후 계의 운동량을 [math(p)]라 하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} mv_{0}\cos{\theta}=p \end{aligned} )]
원기둥 자체는 경사면에 대하여 정지한 것이므로 [math(h)]만큼 올라간 후 둘의 속력이 같다. 따라서 이들의 속력을 [math(V)]라 놓으면
[math(\displaystyle \begin{aligned} mv_{0}\cos{\theta}=(m+5m)V \quad \to \quad V=\frac{1}{6}v_{0}\cos{\theta} \end{aligned} )]
한편, 계의 역학적 에너지를 이용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{3}{4}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}(m+5m)\biggl(\frac{1}{6}v_{0}\cos{\theta}\biggr)^2+mgh \end{aligned} )]
회전운동 에너지를 고려하지 않는 것은 최고점에 도달했다고 했으니, 더 이상 굴러가지는 않는 것을 이용한 것이다. 이것을 [math(h)]에 대하여 정리하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} h=\frac{v_{0}^2}{4g}\biggl(3-\frac{1}{3}\cos^2{\theta} \biggr) \end{aligned} )]
첨언하자면 수직축은 운동량이 보존되지 않는다. 왜 그럴까? 수평면이 계에 작용하는 힘이 존재하기 때문이다.
====# 예제 2 #====
| |
| 2023학년도 대수능 물리학 I 16번 (오답률: 70.9%) |
- [풀이 보기]
- -----
[math(\rm B)]의 속력을 다룰 때는 움직이는 [math(\rm A)] 위에서 운동하기 때문에 [math(\rm A)]의 속력을 더해줘야 함에 유의한다.
두 물체계에 작용하는 외력이 없기 때문에 두 물체의 운동량 합은 보존된다.
ㄱ. [math(\rm A)], [math(\rm B)]의 질량을 각각 [math(m_{\rm A})], [math(m_{\rm B})]이라 두자.
(나)를 참조해보면 3초 이후 [math(\rm B)]가 움직이지 않기에 두 물체는 한 덩어리로 같은 속력으로 움직인다. 따라서 이 때 운동량은 [math(5(m_{\rm A}+m_{\rm B})\,{\rm kg\cdot m/s})]이다.
이제 처음 상황을 보자. (나)를 보면 [math(\rm B)]는 [math(\rm A)] 위에서 0-1초 구간의 기울기 [math(4\,{\rm m/s})]로 움직였다. 따라서 외부에서 볼 때, [math(\rm B)]의 속력은 [math(\rm A)]의 속력을 더한 [math(8\,{\rm m/s})]이 된다.
그런데, 운동량은 보존되므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} 5(m_{\rm A}+m_{\rm B})=4m_{\rm A}+8m_{\rm B} \end{aligned} )]
이 성립하고 이 식을 풂으로써 [math(m_{\rm A}=3m_{\rm B})]를 얻는다. 따라서 옳은 선지이다.
ㄴ, ㄷ. 이 구간에서 [math(\rm B)]는 [math(-4\,{\rm m/s})]로 움직인다. 해당 구간에서 [math(\rm A)]의 속도를 [math(v)]라 했을 때 외부에서 보았을 때는 [math((v-4)\,{\rm m/s})]의 속도를 가진다. 여기서도 운동량 보존을 적용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} m_{\rm A}v+m_{\rm B}(v-4)=5(m_{\rm A}+m_{\rm B}) \end{aligned} )]
ㄱ에서 구한 [math(m_{\rm A}=3m_{\rm B})]를 대입하면, [math(v=6\,{\rm m/s})]를 얻는다. 따라서 ㄴ이 옳은 게 나온다.
[math(\rm B)]는 외부에서 보았을 때, [math(v-4=2\,{\rm m/s})]로 움직이므로 두 물체의 운동 방향은 같다. ㄷ 또한 옳은 선지이다.
4. 모멘트(moment)와의 관계
모멘트에도 종류가 있는데, 운동과 관련된 질량 관성 모멘트에는 연관점이 있다고 볼 수 있지만, 저항하는 정도를 나타내는 모멘트에는 관련이 없다. 공학에서는 이 두 가지를 모두 [math(I)]나 [math(J)]로 쓰기 때문에 혼란이 올 수도 있다.'모멘텀'은 운동 상태를 나타내는 척도, '질량 관성 모멘트'는 회전하려는, 직선운동하는 현재 운동 상태에서 변화에 저항하는 척도이다. 사이클 선수 자전거 바퀴는 디스크를 사용하거나 스케이트 선수가 회전할 때 팔을 오므리는 것이 이와 관련되어 있다.
반면 '극관성 모멘트'는 돌림힘에 저항하는 정도를, 변형에 저항하는 정도를 나타낸다.
'단면 관성 모멘트' 또한 휨이나 구부림에 저항하는 정도를 나타내므로 극관성 모멘트와 비슷한 개념이다. 이둘은 운동량과 거의 관계가 없다.
5. 양자역학에서
양자역학에서 운동량은 파동함수에 작용하는 연산자로 나타난다. 위치 기저(position basis)에서 운동량 연산자는 다음과 같다.
[math( \displaystyle \mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \boldsymbol{\nabla} )]
[1] 정확히는 impetere에서 유래한 것으로 im-은 "~를 향해"라는 뜻이고, petere는 "나아가다"라는 뜻이다.[2] 실제로는 왜 운동량의 기호를 그렇게 정했는지 100% 명확하게 밝혀진 적이 없다. 다만 이것이 사실상 정설이라고 볼 수 있다.[3] 뇌터 정리 참고.[4] 정확히는 절대값의 제곱의 합이 보존되고 이것이 운동에너지 보존 법칙이다.[5] 이는 역학적 에너지 보존 법칙에는 위배되지만 에너지 보존 법칙에 위배되지는 않는다. 폭탄처럼 화학 에너지를 운동 에너지로 변환할 수 있기 때문.[6] 이 덕에 쌍생성에서도 두 입자는 정반대 방향(back-to-back)으로 튀어 나온다.[7] 폭탄 조각의 입장에서, 폭발은 외력이다.[8] 조각의 운동량을 다 합치면 0이다. 운동량은 벡터임을 기억하자.