1. 개요
quantum harmonic oscillator ・ 量子 調和 振動子이 문서에서는 양자 단순 조화 진동자를 양자역학적으로 분석하는 방법을 주로 다룬다.
이러한 양자 조화 진동자를 다루는 기법에는 대표적으로 '대수적 기법'과 '급수해 기법'이 있다. 이 문서에서는 두 가지 방법 모두 수록하되, 양자 조화 진동자의 이론적 체계는 대수적 기법만 다루고 급수해 해법은 고유함수를 찾는 과정만 수록했다.
2. 분석
2.1. 생성·소멸 연산자의 도입
양자 조화 진동자를 분석하기 전 아래의 소멸 연산자(annihilation operator)를 도입하자.[math(\displaystyle \hat{a}:= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) )]
여기서 [math(\displaystyle \beta^{2} := {m \omega}/{\hbar} )]로 정의되는 상수이며, [math(m)]은 질량, [math(\omega)]는 조화 진동자의 각진동수이며, [math(\omega^{2} := k/m)]이다. 또한, [math(k)]는 힘 상수이며, 용수철 진자라면, 용수철 상수가 될 것이다. 위의 연산자에 켤레 전치를 취하면,
[math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}-i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) )]
가 되고 이 연산자를 생성 연산자(creation operator)라 한다. 이때, [math(\hat{a} \neq \hat{a}^{\dagger})]이므로 [math(\hat{a})]는 에르미트 연산자가 아니다. 따라서 두 연산자는 관측가능한 물리량을 내놓지 않는데, 그럼에도 이 연산자의 정체를 알아내고 나서는 매우 유용하고 편리한 연산자라는 것을 깨닫게 된다. 그 작업을 위해 우선 두 연산자의 교환자 관계를 조사하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} [\hat{a},\,\hat{a}^{\dagger}] = \left[ \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right)\!, \, \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}-i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) \right] \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle [\hat{a},\,\hat{a}^{\dagger}]=\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a} =1 )]
이러한 성질은 앞으로 꽤 유용하게 쓰이므로 암기하는 것이 좋다.
다음과 같은 연산자를 하나 정의하자.
[math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}\hat{a} := \hat{N} )]
먼저, 이 연산자가 상태가 [math(n)]인 고유함수 [math(\varphi_{n})]에 결합하여 고윳값으로 상태 [math(n)]을 내놓는다고 가정하자. 예를 들어,
[math(\displaystyle \hat{N}\varphi_{n}=n\varphi_{n} )]
이다. 이제 소멸 연산자와 생성 연산자의 역할을 조사하기 위해 위 연산자의 [math(\hat{a}\varphi_{n})]의 고윳값을 조사해보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{N}(\hat{a}\varphi_{n})&=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}\varphi_{n} \\&=(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-1)\hat{a}\varphi_{n} \\&=(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-\hat{a})\varphi_{n} \\&=\hat{a}(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-1)\varphi_{n} \\&=\hat{a}(\hat{N}-1)\varphi_{n} \\&=\hat{a}(n-1)\varphi_{n} \\&=(n-1)(\hat{a}\varphi_{n}) \end{aligned})]
따라서 위 연산자의 [math(\hat{a}\varphi_{n})]의 고윳값은 [math(n-1)]이다. 위에서 [math(\hat{N})]을 어떻게 정의했는지 상기해보자.
[math(\displaystyle \hat{a}\varphi_{n} \propto \varphi_{n-1} )]
로 상태를 한 단계 낮춰준다. 비례 표시([math(\propto)])로 나타내는 것은 아직 소멸 연산자의 고윳값을 구하지 않았기 때문이다. 생성 연산자에도 같은 논법을 적용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{N}(\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n})&=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n} \\&=\hat{a}^{\dagger}(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+1)\varphi_{n} \\ &=\hat{a}^{\dagger}(\hat{N}+1)\varphi_{n} \\&=(n+1)(\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n}) \end{aligned})]
따라서 같은 논법으로 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}\varphi_{n} \propto \varphi_{n+1} )]
즉, 생성 연산자는 상태를 한 단계 올려준다. 이러한 성질 때문에 두 연산자를 사다리 연산자(ladder operator)라 한다. 그 이유는 위에서 살펴 보았듯, 고윳값으로 물리적 가측량을 주는 것이 아니라 단지 어떤 상태를 올리거나 내리기만 하기 때문이다.
2.1.1. 유도
단순 조화 진동(SHM)에서의 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식을 상기하자.[math(\!\left(-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{1}{2}m{\omega}^2{x}^2\right)\!\psi(x)=E\psi(x))]
슈뢰딩거 방정식 해 [math(x)]를 아래와 같이 운동량 분모 변수 [math(q)]를 내포한 함수로 치환하자.
[math(\begin{aligned} x&=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}}q \\ \dfrac{\omega\hbar}{2}\!\left(-\dfrac{\partial^2}{\partial q^2} + {q}^2\right)\!\psi(q)&=E\psi(q)\end{aligned})]
여기서, [math(q)]의 2계 미분방정식 항을 생각하고, 교환자를 사용한다면, 미분방정식 항은 아래와 같이 쓸수 있다.
[math(\begin{aligned} \!\left(-\dfrac{\partial}{\partial q}+q\right)\!\!\left(\dfrac{\partial}{\partial q}+q\right)\!+\!\left(\dfrac{\partial}{\partial q}q-q\dfrac{\partial}{\partial q}\right)\!= -\dfrac{\partial^2}{\partial q^2} + {q}^2 \end{aligned})] |
첫번째 방법에서 운동량과 [math(q)]의 정준 교환 관계를 생각하면,
[math([p,\,q]=i\hbar\delta_{xy})]
즉 [math(-i[p,\,q]=1)]이므로,
[math(\dfrac{\partial}{\partial q}q-q\dfrac{\partial}{\partial q}=1)]
두번째 방법에서 [math(f(q))]의 곱의 미분꼴을 생각하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial q}qf(q)-q\dfrac{\partial}{\partial q}f(q) = f(q) \quad \to \quad \!\dfrac{\partial}{\partial q}q-q\dfrac{\partial}{\partial q}\! =1 \end{aligned} )] |
[math(\dfrac{\hbar\omega}{2}\!\left[\!\left(-\dfrac{\partial}{\partial q}+q\right)\!\!\left(\dfrac{\partial}{\partial q}+q\right)\!+1\right]\!=\hat{\mathcal{H}})]
또한 에너지 고유상태에 따라 해밀토니언은
[math(\hbar\omega\!\left(a^{\dagger}a+\dfrac{1}{2}\right)\!=\hat{\mathcal{H}})]
로 정의되므로, 두가지 조건에 의해 생성, 소멸 연산자는 아래와 같다.
[math(\begin{aligned} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\!\left(-\dfrac{\partial}{\partial q} + q\right)\!&=a^{\dagger} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\!\left(\dfrac{\partial}{\partial q} + q\right)\!&=a \end{aligned})]
2.2. 해밀토니안 연산자
조화 진동자의 해밀토니안은 고전적으로 아래와 같이 주어진다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}&=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2} \\ &=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^{2} x^{2} \end{aligned} )]
따라서 양자 조화 진동자에서 해밀토니안 연산자는
[math(\displaystyle \hat{\mathcal{H}}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^{2}\hat{x}^{2} )]
위에서 정의했던 생성·소멸 연산자에서
[math(\displaystyle \hat{x}=\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \qquad \qquad \hat{p}=\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} )]
를 이용하자. 이것을 위 식에 대입하면,
[math(\displaystyle \hat{\mathcal{H}}=\hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2} \right) )]
임을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 에너지의 고윳값을 구할 수 있게 되었고, 상태 [math(n)]의 고유함수 [math(\varphi_{n})]을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{H}}\varphi_{n}&=\hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2} \right)\varphi_{n} \\&=\hbar \omega \left(\hat{N}+\frac{1}{2} \right)\varphi_{n} \\&=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right)\varphi_{n} \end{aligned})]
따라서 에너지 고윳값은 다음과 같다.
[math(\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right) )]
그러나 한 가지의 부가조건을 생각해야 한다. 양자 조화 진동자의 해밀토니안 연산자는 Hermitian operator의 제곱이 선형 결합되어 있는 연산자이므로 에너지 평균값은 양수여야만 한다. 따라서 다음을 만족시켜야 한다.
[math(\displaystyle \langle \mathcal{H} \rangle \geq 0 )]
양자역학적 고유함수의 직교성에 따라 고유함수의 내적 [math(\langle \varphi_{n} |\varphi_{m} \rangle=\delta_{nm})]을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle \mathcal{H} \rangle &=\langle \varphi_{n} | \hat{\mathcal{H}}|\varphi_{n} \rangle \\ &=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right)\langle \varphi_{n} |\varphi_{n} \rangle \\ &=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right) \end{aligned} )]
따라서 위의 부가조건을 만족시키기 위해서는
[math(\displaystyle n \geq -\frac{1}{2} )]
이어야 한다. 따라서 [math(n<-1/2)]인 상태는 정의되지 않는다. 따라서 이 조건을 명시할 수 있는
[math(\displaystyle \hat{a} \tilde{\varphi}=0 )]
을 덧붙여야 한다. [math(\tilde{\varphi})]는 최저 상태의 고유 함수이다. 이 고유 함수를 구하기 위해 해밀토니언 연산자를 적용하면
[math(\displaystyle \hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2} \right)\tilde{\varphi}=\frac{1}{2}\hbar \omega \tilde{\varphi} )]
이므로 [math(\tilde{\varphi}=\varphi_{0})]이다. 따라서 에너지 고윳값은 최저 상태를 [math(n=0)]이라 두었기 때문에
[math(\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) )]
중요한 두 가지의 결론을 얻는다.
- 양자 조화 진동자는 영점 에너지(zero-point energy)가 존재한다.
- 인접한 상태들의 에너지 간격은 [math(E_{n}-E_{n-1}=\hbar \omega)]이고, 따라서 양자 조화 진동자의 에너지 간격은 등간격이다.
2.3. 고유함수
다음과 같은 무차원의 변수로 치환하자.[math(\displaystyle \beta^{2}x^{2} = \frac{m \omega}{\hbar}x^{2} := \xi^{2} )]
이를 이용해서, 생성·소멸 연산자를 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{a} &= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) \\ &= \frac{\beta}{\sqrt{2}} \left( x+\frac{\hbar}{m\omega} \frac{\partial}{\partial x} \right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \beta x+ \frac{\partial}{\partial (\beta x)} \right) \\&=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right) \end{aligned} )]
마찬가지의 논법으로 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi- \frac{\partial}{\partial \xi} \right) )]
위 문단에서 양자 조화 진동자의 최저 상태의 고유함수는 [math(\varphi_{0})]이라 했고, 위에서 설정했듯이 [math(\displaystyle \hat{a}\varphi_{0}=0 )]이므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right)\varphi_{0}=0 )]
이 방정식의 해는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \varphi_{0}=A_{0}\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} )]
이때, [math(A_{0})]은 규격화 상수로 [math(\langle \varphi_{0} |\varphi_{0} \rangle=1)]로 결정할 수 있으므로 최저 상태의 고유함수는 정규분포 곡선 모양이다. 이제 최저 모드의 고유함수가 결정되었기 때문에 생성 연산자를 이용하면 다른 상태 또한 쉽게 결정할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&\propto \hat{a}^{\dagger} \varphi_{0} \\ & \propto \left( \xi- \frac{\partial}{\partial \xi} \right) \exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \\ &=2\xi\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \end{aligned} )]
따라서 규격화 상수를 [math(A_{1})]이라 두면,
[math(\displaystyle \varphi_{1}=2A_{1}\xi\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} )]
이와 같은 논법으로 [math(\varphi_{n})]을 구하려면, 생성 연산자를 [math(n)]번 최저 상태 고유함수에 적용하면 된다.
[math(\displaystyle \varphi_{n} =A_{n} \left( \xi- \frac{\partial}{\partial \xi} \right)^{\!n}\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} )]
따라서 다음과 같이 양자 조화 진동자의 고유함수와 고윳값을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n}(\xi)&=A_{n}H_{n}(\xi)\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \\ E_{n}&=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) \end{aligned} )]
위에서 [math(H_{n}(\xi))]는 에르미트 다항식이며, 규격화 상수
[math(\displaystyle A_{n}=\sqrt{\frac{1}{2^{n}n! \sqrt{\pi} } } )]
로 결정된다. 아래는 몇 가지 고유함수들을 나타낸 것이다.
눈썰미가 좋은 사람은 양자 조화 진동자의 고유함수가 기함수와 우함수가 반복된다는 것을 알 것이다.
양자 조화 진동자는 속박되어 있는 예이므로 고유함수의 절댓값의 제곱은 확률밀도함수이다. 몇 가지의 확률밀도함수를 나타내면 아래와 같다.
위 그림에서는 고전역학적으로 전환점[2] 이후의 영역에서 상태는 허용되지 않는 것과 대비되게 전환점 이후에도 입자가 존재할 수 있다.
2.4. 소멸·생성 연산자의 적용 결과
이 문단에서는 다음 문단의 평균값과 불확정성 원리가 양자 조화 진동자에서 성립하는지 알아본다. 첫 문단에서 생성 혹은 소멸 연산자가 물리적 가측량 값을 주지 않고, 상태를 내리거나 올리기만 하는 연산자임을 알아보았다. 이제 해당 연산자들의 고윳값을 알아보자.고유함수 [math(\varphi_{n})]을 ket-vector [math(| n \rangle)]으로 간단히 나타내고 소멸 연산자의 고윳값을 [math(C_{n})]이라 하면,
[math(\displaystyle \hat{a}| n \rangle=C_{n} | n-1 \rangle)]
양변에 복소 공액을 취하면,
[math(\displaystyle \langle \hat{a} n | =\langle n-1 | C_{n}^{\ast} )]
이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \langle n | \hat{a}^{\dagger} =\langle n-1 | C_{n}^{\ast} )]
이 결과를 처음 식의 ket-vector에 곱하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle n | \hat{a}^{\dagger} \hat{a}| n \rangle&=\langle n-1 | C_{n}^{\ast}C_{n} | n-1 \rangle \\ \langle n | \hat{N}| n \rangle&=\left| C_{n} \right|^{2}\langle n-1 | n-1 \rangle \\ n \langle n | n \rangle&=\left| C_{n} \right|^{2}\langle n-1 | n-1 \rangle \end{aligned})]
고유함수의 직교성에 의해 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle n=\left| C_{n} \right|^{2} \, \rightarrow \, C_{n}=\sqrt{n} )]
따라서
[math(\displaystyle \hat{a}| n \rangle=\sqrt{n} | n-1 \rangle )]
생성 연산자도 똑같은 논법으로 증명할 수 있는데, 이것을 증명할 때는 두 연산자의 교환자 관계를 이용해야 한다. 결과는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}| n \rangle=\sqrt{n+1} | n+1 \rangle )]
2.5. 불확정성 원리 검증
불확정성 원리에 따르면,[math(\displaystyle \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} )]
를 만족시켜야 하는데, 다음을 이용하여 이것을 검증한다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle \Delta x& := \sqrt{\langle x^2 \rangle-\langle x \rangle^{2}} \\ \Delta p& := \sqrt{\langle p^2 \rangle-\langle p \rangle^{2}}\end{aligned} )]
[math(\langle x \rangle)]와 [math(\langle p \rangle)]는 비교적 쉽게 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x \rangle&=\langle n |\hat{x}|n \rangle \\ &=\biggl \langle n \biggl|\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \biggr|n \biggr \rangle \\ &=0 \\ \langle p \rangle&=\langle n |\hat{p}|n \rangle \\ &=\biggl \langle n \biggl|\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \biggr|n \biggr \rangle \\ &=0 \end{aligned} )]
소멸·생성 연산자와 고유함수의 직교성을 이해했다면, 연산을 하지 않더라도 쉽게 위의 결과를 받아들일 수 있다. 소멸·생성 연산자는 상태를 올리거나 내려준다고 했다. 그런데 위와 같은 연산에서는 결국 다른 상태끼리의 고유함수 내적 연산만이 남아 0이 될 수밖에 없는 것이다.
이제 [math(\langle x^{2} \rangle)]을 구하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x^{2} \rangle&=\langle n |\hat{x}^{2}|n \rangle \\ &=\biggl \langle n \biggl| \biggl(\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \biggr)^{2} \biggr|n \biggr \rangle \\ &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} |n \rangle \end{aligned} )]
따라서 항은 총 4개로 분리될 것이다. 그런데 1, 4항은 서로 다른 상태끼리의 고유함수의 내적이 포함되어 연산에 기여하지 않으므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x^{2} \rangle &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |\hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \\&=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+1)+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \\ &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |2\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-1 |n \rangle \\&=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |2\hat{N}+1 |n \rangle \\ &=\frac{\hbar}{m \omega} \biggl( n+\frac{1}{2} \biggr) \end{aligned} )]
마지막으로, [math(\langle p^{2} \rangle)]을 구해 보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle p^{2} \rangle&=\langle n |\hat{p}^{2}|n \rangle \\ &=\biggl \langle n \biggl| \biggl(\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \biggr)^{2} \biggr|n \biggr \rangle \\ &=- \frac{m^{2} \omega^{2}}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}-\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} |n \rangle \\ &=\frac{m^{2} \omega^{2}}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \end{aligned} )]
이런 꼴은 이미 [math(\langle x^{2} \rangle)]을 계산하면서 보았던 꼴이다. 따라서
[math(\displaystyle \langle p^{2} \rangle=m \omega \hbar \biggl( n+\frac{1}{2} \biggr) )]
이상에서 다음이 성립하므로 불확정성 원리를 만족시킨다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle \Delta x&=\sqrt{\frac{\hbar}{m \omega} \biggl( n+\frac{1}{2} \biggr)} \\\Delta p&=\sqrt{m \omega \hbar \biggl( n+\frac{1}{2} \biggr)}\\ \\ \displaystyle \Delta x \Delta p&=\hbar \biggl( n+\frac{1}{2} \biggr) \geq \frac{\hbar}{2}\end{aligned})]
2.6. 기댓값
이번엔 양자 조화 진동자의 에너지 기댓값 [math(\langle E \rangle)]를 논해보자.[math(\displaystyle \langle E \rangle=\langle T \rangle+\langle V \rangle )]
이때, [math(\langle T \rangle)]는 운동 에너지 평균값, [math(\langle V \rangle)]는 퍼텐셜 에너지 평균값이다. 각각의 평균값은 아래와 같이 주어진다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle \langle T \rangle&=\frac{\langle p^{2} \rangle}{2m} \\\langle V \rangle&=\frac{1}{2}k\langle x^{2} \rangle=\frac{1}{2}m \omega^{2} \langle x^{2} \rangle\end{aligned} )]
위에서 구한 [math(\langle x^{2} \rangle)], [math(\langle p^{2} \rangle)]을 이용하면
[math(\displaystyle \langle T \rangle= \langle V \rangle=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) )]
따라서 운동 에너지 및 퍼텐셜 에너지의 평균값은 동일하다. 이상에서 맨 위에서 구했던 다음의 결과를 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle E \rangle&=2\langle T \rangle=2\langle V \rangle \\\displaystyle &=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \end{aligned} )]
이것은 제곱형 퍼텐셜과 운동 에너지 사이에 성립하는 비리얼 정리로, 고전역학의 결과와 양자역학의 결과가 같게 나온 경우다.
2.7. 대응 원리
양자역학적 결론에서 양자수가 극히 커짐에 따라 고전역학적 결과에 접근하여 대응하는 것을 대응원리(correspondence principle)라 한다.양자역학적으로 입자가 [math(x)], [math(x+{\rm d}x)] 사이에서 발견될 확률 [math(P_{\mathrm{QM}})]은 알다시피, 다음과 같이 고유함수의 절댓값의 제곱으로 주어진다.
[math(\displaystyle P_{\mathrm{QM}}=\left| \varphi(x) \right|^{2} )]
여기에서, 고전적으로 [math(x)], [math(x+{\rm d}x)] 사이에서 입자가 발견될 확률 [math(P_{\mathrm{CM}})]의 값이 포인트가 될 것이다. 고전적으로 해당 확률은 운동의 주기 [math(T)]와 극히 짧은 시간 간격 [math({\rm d}t)]의 비로 보았다. 즉,
[math(\displaystyle P_{\mathrm{CM}}\,{\rm d}x=\frac{{\rm d}t}T )]
가 된다. 이때, [math(T=2\pi/\omega)]가 되므로 위 식은
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}t}{T}=\frac{2\pi}{\omega}\,{\rm d}t )]
로 쓸 수 있다. 연쇄 법칙에 의하여,
[math(\displaystyle \frac{\omega}{2\pi}\,{\rm d}t=\frac{\omega}{2\pi}\,\frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}{\rm d}x=\frac{2\pi}{\omega}\frac1{\dot{x}}{\rm d}x)]
로 쓸 수 있다. [math(\dot{x}:= {\rm d}x/{\rm d}t)]로 속도를 의미한다. 이미 진폭 [math(x_{0})]인 조화진동자의 변위와 속도는 다음과 같이 주어짐을 안다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=x_{0}\sin{\omega t} \\ \dot{x}&=x_{0}\omega \cos{\omega t} \end{aligned})]
다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \dot{x}=\omega \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}} )]
이때,
[math(\displaystyle \frac{\omega}{2\pi}\,\frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}{\rm d}x=\frac{2\pi}{\omega}\frac1{\dot{x}}{\rm d}x=\frac1{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } }\,{\rm d}x )]
이상의 결과를 종합하면,
[math(\displaystyle P_{\mathrm{CM}}=\frac{A}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } } )]
로 쓸 수 있다. [math(A)]를 붙인 이유는 아직 규격화를 해주지 않았기 때문이다.
[math(\displaystyle \int_{-x_{0}}^{x_{0}}\frac{A}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } }\,{\rm d}x=1 \, \rightarrow \, A=2 )]
이상에서 찾는 고전적인 확률은 다음과 같다.
[math(\displaystyle P_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } } )]
아래의 그림은 [math(n=50)]일 때의 [math(P_{\mathrm{QM}})]과 [math(P_{\mathrm{CM}})]을 같이 나타낸 것이다. 아래의 그림처럼, 양자수가 높아지면 고전적인 확률과 같은 경향을 띠면서 따라간다.
2.8. 임의의 상태
양자 조화 진동자의 고유함수는 힐베르트 공간의 원소로써 완전조(complete set)을 이룬다. 이에 임의의 상태는 고유함수의 선형결합으로 표시할 수 있으며, 이는 임의의 상태가 양자 조화 진동자의 고유 상태들이 중첩이 된 것이라 볼 수 있다. 임의의 상태 [math(| \psi \rangle)]에 대해서 다음과 같이 전개 가능하다.[math(\displaystyle | \psi \rangle=\sum_{n=0}^{\infty} | n \rangle \langle n | \psi \rangle )]
2.9. 확률 분포
임의의 상태 [math(| \psi \rangle)]에 대하여 에너지를 측정했더니 [math(E_{n})]이 나올 확률 [math(P[E_{n} ] )]은 얼마인가? 이것은 위의 전개 계수와 관련이 있다.[math(\displaystyle P[E_{n}]= |\langle n| \psi \rangle|^{2} )]
2.10. 파동함수의 시간 전개
시각 [math(t=0)]에서 입자가 고유상태 [math(| n \rangle)]에 있었다고 하자. 만약 시간 [math(t)]가 지나면 입자는 어떠한 상태에 존재하게 되는가? 이것은 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식[math(\displaystyle i\hbar \frac{\partial}{\partial t}| \Psi(t) \rangle=\hat{\mathcal{H}}| \Psi(t) \rangle )]
를 풂으로써 구할 수 있다. 이때, 해밀토니언 연산자가 시간에 의존하지 않을 때, 이 해는 다음과 같음이 증명돼있다.
[math(\displaystyle | \Psi(t) \rangle=\exp{\biggl(-\frac{i \hat{\mathcal{H}}t}{\hbar} \biggr)}| \psi(\mathbf{r},\,0) \rangle )]
따라서 구하는 상태는
[math(\displaystyle | \Psi(t) \rangle=\exp{\biggl(-\frac{i E_{n}t}{\hbar} \biggr)}| n \rangle )]
임의의 상태라면, 위의 고유함수의 시간 전개의 선형 결합
[math(\displaystyle | \Psi(t) \rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\exp{\biggl(-\frac{i E_{n}t}{\hbar} \biggr)}| n \rangle \langle n| \psi \rangle )]
으로 주어진다.
3. 부록
3.1. 급수해 해법
[math(\displaystyle V(x)=\frac12kx^2=\frac12m \omega^2x^2 )]
퍼텐셜이 위의 꼴인 경우 양자 조화 진동자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 도출된다.
[math(\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{{\rm d}^2 \varphi}{{\rm d}x^2}+\frac12m \omega^2x^2 \varphi =E\varphi\qquad(\because\hat{\mathcal{H}}\varphi=E \varphi))]
변수를 무차원화하면 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle x:=& \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}\,\xi\\\epsilon :=& \frac{2E}{\hbar \omega}\end{aligned} )]
이것을 방정식에 대입하면, 아래와 같이 간단한 꼴로 주어지게 된다.
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}^2 \varphi}{{\rm d}\xi^2}+(\epsilon-\xi^2)\varphi=0 )]
이제 기본적으로 이 방정식의 해의 꼴을 찾기 위해 점근해를 찾자. [math(\xi \gg 1)] 영역에서 위의 방정식은
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}^2 \varphi}{{\rm d}\xi^2}-\xi^2\varphi=0 )]
으로 주어지고, 이 방정식의 해는 [math(\xi \gg 1)]인 것을 감안하면
[math(\displaystyle \varphi(\xi) \propto \exp{\left(\pm \frac{\xi^{2}}{2} \right)} )]
으로 주어진다. 그런데, 양자 조화 진동자는 퍼텐셜에 속박된 경우이므로 고유함수는 규격화가 가능해야 한다. 따라서 지수가 양인 해는 [math(\xi \gg 1)] 영역에서 발산하므로 적절한 해가 되지 못한다. 따라서
[math(\displaystyle \varphi(\xi) \propto \exp{\left(- \frac{\xi^{2}}{2} \right)} )]
가 물리적으로 적절한 해이다. 따라서 해의 꼴을 다음과 같은 형태로 가정할 수 있다.
[math(\displaystyle \varphi(\xi) \propto H(\xi) \exp{\left(- \frac{\xi^{2}}{2} \right)} )]
[math(H(\xi))]는 아직 정체가 밝혀지지 않은 [math(\xi)]에 관한 함수이다. 이것을 본래의 방정식에 넣으면,
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}^2H(\xi)}{{\rm d}\xi^2}-2\xi \frac{{\rm d}H(\xi)}{{\rm d}\xi}+( \epsilon-1)H(\xi)=0 )]
의 방정식이 나오게 된다. 찾는 함수 [math(H(\xi))]를 다음과 같은 형태로 가정하자.
[math(\displaystyle H(\xi) := \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\xi^{n} )]
이것을 위 방정식에 대입하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_{n}\xi^{n-2}-2 \xi \sum_{k=1}^{\infty} ka_{k}\xi^{k-1}+( \epsilon-1)\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\xi^{k}=0 \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(k-2)a_{k+2}\xi^{k}-2 \sum_{k=1}^{\infty} ka_{k}\xi^{k}+( \epsilon-1)\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\xi^{k}=0 \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle a_{k+2}=\frac{2k+1-\epsilon}{(k+1)(k+2)}a_{k} )]
참고로 위 관계는 [math(n=0)]일 때도 성립한다. 따라서 모든 [math(a_{k})]는 [math(a_{0})], [math(a_{1})]로 표기할 수 있음을 이용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} H(\xi) = \,&a_0 \left[ 1+\frac{1-\epsilon}{2}\xi^{2}+\frac{(5-\epsilon)(1-\epsilon)}{24}\xi^{4}+\cdots \right] \\ &+a_{1} \left[ \xi+\frac{3-\epsilon}{6}\xi^{3}+\frac{(7-\epsilon)(3-\epsilon)}{120}\xi^{5}+\cdots \right] \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle a_{n+2}=\frac{2n+1-\epsilon}{(n+1)(n+2)}a_{n}=0 )]
을 만족시키면 된다. 단, [math(a_{n} \neq 0)]이다. 따라서
[math(\displaystyle \epsilon_{n}=2n+1 \quad (n=0,\,1,\,2,\,3,\cdots) )]
이때 [math(\displaystyle \epsilon_{n} = 2E_{n}/\hbar\omega)]이므로 이를 대입하면
[math(\displaystyle \dfrac{2E_{n}}{\hbar\omega}=2n+1 )]
따라서 에너지는 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle E_{n}=\hbar\omega \left( n+\dfrac{1}{2} \right) \quad (n=0,\,1,\,2,\,3,\cdots) )]
따라서 조건이 이와 같을 때, 미분 방정식은
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}^2H(\xi)}{{\rm d}\xi^2}-2\xi \frac{{\rm d}H(\xi)}{{\rm d}\xi}+2nH(\xi)=0 )]
이며 이 방정식을 만족시키는 해는 에르미트 다항식 [math(H_{n}(\xi))]이다.[3] 따라서 대수적 기법과 동일하게 고유함수, 고윳값을 아래와 같이 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n}&=\sqrt{\frac{1}{2^{n}n! \sqrt{\pi} } }H_{n}(\xi)\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \qquad \biggl(\xi:= \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}\,x \biggr)\\ E_{n}&=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) \end{aligned} )] |
3.2. 고차원 조화 진동자
[math(\displaystyle \begin{aligned} V(r)&=\frac{1}{2} m\omega^2 r^2 \\ &= \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2+y^2+z^2) \end{aligned})]
퍼텐셜이 위와 같아도 비슷한 방법으로 풀 수 있다. 직교 좌표계에서 위치 표현의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 쓰면
[math(\displaystyle \begin{aligned} -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right) + \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2+y^2+z^2) \psi = E \psi \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \left( -\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{X} \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right) + \left( -\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{Y} \frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 y^2 \right) + \left( -\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{Z} \frac{\partial^2 Z}{\partial z^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 z^2 \right) = E)] |
이때 좌변의 항들은 각각 [math(x,y,z)]만의 함수이므로, 세 항 모두 상수여야 한다. 이를 각각 [math(E_x, E_y, E_z)]로 놓고 [math(E_x + E_y + E_z = E)]라고 하면 이는 1차원 조화 진동자와 똑같은 문제가 된다. 따라서 각각의 해와 에너지는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} E_{x}&=\hbar \omega \left(n_x + \frac{1}{2} \right) \\ E_{y}&=\hbar \omega \left(n_y + \frac{1}{2} \right) \\ E_{z}&=\hbar \omega \left(n_z + \frac{1}{2} \right)\end{aligned} )]
따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} E &= E_{x} + E_y + E_z \\& = \left( n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2} \right) \hbar \omega \\& = \left( n+\frac{3}{2} \right) \hbar \omega\end{aligned} )]
같은 방법으로 [math(k)]차원 조화 진동자의 에너지는 [math(\displaystyle \left( n + k/2 \right) \hbar \omega )]이다.
4. 기타
양자 조화 진동자는 해석적으로 정확하게 풀리면서도 실제 물리적 상황을 이해하는 데 대단히 유용한 시스템이다. 예를 들어, 1차원 공간에서의 일반적인 퍼텐셜 [math(V(x))]를 생각할 때, 이 퍼텐셜의 극솟값 주변[4]에서 테일러 전개를 하면,[math(\displaystyle V(x) \simeq V(x_{0})+\frac{V''(x_{0})}{2}(x-x_{0})^2 + \mathcal{O}(x^3) )]
으로 표현이 가능해서 국소적으로 일반적인 퍼텐셜에서 극소점 부근의 물리를 단순 조화 진동자 문제로 근사시킬 수 있는 경우가 많다. 대표적으로 여러 개의 자유 보존은 여러 개의 양자 조화 진동자와 같이 행동한다.
양자 조화 진동자가 실제 물리 현상을 설명하는 예를 물리화학과 고체 물리학에서 접할 수 있다. 대표적으로 고체의 격자 진동의 에너지 양자 포논을 분석할 때 쓰인다. 이원자 분자의 진동에너지는 공유결합을 양자 조화 진동자로 근사하여 볼츠만 합을 구해 내부에너지를 구할 수 있다. 물리화학이나 통계역학을 배우면 볼 수 있을 것이다.
5. 관련 문서
[1] 다만, 환산 플랑크 상수는 자연 단위계로써 1로 가정한다.[2] 사실 위 그림에서 각각 그어진 [math(x)]축과 평행한 직선과 [math(x)]축 사이의 거리는 입자가 가질 수 있는 에너지를 나타낸다. 이 에너지와 퍼텐셜의 교점이 전환점이며, 자세한 것은 퍼텐셜 에너지 문서를 참조하라.[3] 위에서 해밀토니안을 [math(\mathcal{H})]로 썼는데, 이 함수의 표기와 혼동하지 않기 위함이다.[4] 다른 말로, 어떤 점 [math(x_{0})] 인근에서, [math(V'(x_{0})=0)], [math( V''(x_{0})>0)]