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지표면 가까이 있는 물체가 받는 중력에 의한 가속도.2. 상세
지구가 자전하지 않고, 구형이며, 밀도가 균일하다고 가정하자. 지구의 질량을 [math(M)], 지구 반지름을 [math(R)], 물체의 질량을 [math(m)], 지표면으로부터 떨어진 물체의 높이를 [math(h)]라 놓으면, 중력은 방향에 대하선 지구의 질량중심인 중점과 물체의 질량중심을 잇는 선분과 평행한 방향으로 작용하는 인력이다. 크 크기는[math(\displaystyle F=\frac{GMm}{(R+h)^2} )]
[math(G)]는 중력 상수이다. 한편, [math(R \gg h)]라는 점을 기억하면, 위 식을 다음과 같이 변형하여
[math(\displaystyle F=m \cdot \frac{1}{R^2} \cdot \biggl(1+\frac{h}{R} \biggr)^{-2} )]
전개한다.
[math(\displaystyle F \approx m \cdot \frac{GM}{R^2} \biggl[ 1-\frac{2h}{R} \biggr]\approx m \cdot \frac{GM}{R^2} )]
여기서 나온
[math(\displaystyle g \equiv \frac{GM}{R^2} )]
을 중력가속도라 한다.
중력 상수 [math(G=6.673 \times 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^{2} \cdot kg^{-2}})], 지구 질량 [math(M=5.972 \times 10^{24} \, \mathrm{kg})], 지구 반경 [math(R=6.371 \times 10^{6} \, \mathrm{m})]임을 이용하면, [math(g \simeq 9.807 \, \mathrm{m / s^{2}})]으로 나온다.
다만, [math(g)]라는 값이 딱 떨어지는 유리수가 아니기 때문에 9.8이나 심하면 10을 사용하는 경우도 많다.
방향에 대해선 아주 지표면과 가까이 있는 스케일로 보면, 지표면은 거의 수평면으로 보일 것이며, 따라서 수평면에 수직한 방향으로 작용하게 된다.
2.1. 자전 고려
비관성 좌표계 문서를 참조하면, 자전 각속도를 [math(\boldsymbol{\omega})]라 한다면, 지구표면에서 받는 힘은[math(m\mathbf{g}=m\mathbf{g}_{0}-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}})]
여기서 [math(\mathbf{g}_{0})]는 자전을 고려하지 않을 때, 중력가속도로 위에서 분석한 내용이다.
우변의 2항은 코리올리 힘으로 물체의 속력 [math(v_{r})]과 직접적인 영향이 있다.
다만, 지구의 자전 각속도의 크기는 [math(0.00007292\,{\rm rad/s})]인데, [math(v_{r})]이 굉장히 작다면, 코리올리 힘은 거의 받지 않는다고 할 수 있다. 즉, 일상적인 스케일에서는 코리올리 힘을 고려하지 않아도 되나, [math(v_{r})]이 굉장히 커지는 ICBM이나 비행기 등은 고려해줘야 한다.
따라서 빠르게 움직이는 물체일 수록 이론 값과 실제 받는 중력의 크기는 다르게 된다.
3. 현실 고려
지구의 밀도는 불균일하며, 지구의 모양은 완벽한 구형이 아니다. 따라서 아주 정밀하게 측정한다면, 이론값과 실험치는 달라지게 된다.한국의 경우 중력 가속도가 [math(9.8\,\rm m/s^2)]에 매우 근사한데, 전국 여러 지점에서 측정한 중력 가속도가 [math(9.797\text{-}9.801\,\rm m/s^2)]로 측정된다.#
4. 표준 중력가속도
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를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[물리 상수#s-4.1|4.1]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[물리 상수#|]][[물리 상수#|]] 부분을5. 중력 퍼텐셜 에너지
중력은 보존력의 일종으로 다음이 성립한다.[math(\displaystyle W=-\Delta U )]
기준점을 지표면이라 놓고, 여기서의 퍼텐셜 에너지를 0이라 놓자.
지표면과 수직인 방향으로 [math(0 \to h)]만큼 움직였다고 하자. 이때, 일은
[math(\displaystyle -mgh=U(0)-U(h) )]
이상에서 퍼텐셜 에너지는
[math(\displaystyle U(h)=mgh )]
이다.
6. 자유낙하
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