1. 개요
diffraction grating빛을 여러 방항으로 회절시키는 도구.
슬릿 실험에서 구멍의 개수를 매우 많이 늘렸다고 생각하면 된다.
여기서는 투과형 회절 격자만을 다룬다.
2. 분석
우선 회절 격자의 길이를 [math(L)]이라 놓자. 격자에 [math(2n)]개의 구멍이 있다고 생각하고, 격자와 스크린은 [math(R)]만큼 떨어져있다고 가정한다.
회절 격자에는 하위헌스 원리에 따라 평면파가 들어오며, 슬릿에서 다시 원통파로 전파되게 된다고 생각할 수 있다. 이때, 중앙을 중심으로 위로는 +, 가운데는 0, 아래로는 -를 적용하여 정수 [math(m)]에 대하여 [math(m)]번째 슬릿에서 방사되어 [math(\sin{\theta})]인 지점에서 빛의 전기장의 파동 함수는 아래와 같이 나타낼 수 있다. [math(\delta)]는 인접한 슬릿과의 너비이다.
[math(\displaystyle \frac{E_{0}}{R-\delta \sin{\theta} \biggl(m-\dfrac{1}{2} \biggr) } \operatorname{cis}{ \biggl[ k \biggl(R-\delta \sin{\theta} \biggl(m-\dfrac{1}{2} \biggr) \biggr) -\omega t \biggr] } \qquad)](단, [math(operatorname{cis}(x) = cos x + i sin x)])
이것을 다음과 같이 나타내자.
[math(\displaystyle E_{0} \operatorname{cis}(kR-\omega t) \frac{ \operatorname{cis}{ \biggl[ - k\delta \sin{\theta} \biggl(m-\dfrac{1}{2} \biggr) \biggr] }}{R-\delta \sin{\theta} \biggl(m-\dfrac{1}{2} \biggr)} )]
또한, [math(R \gg \delta)]이므로
[math(\displaystyle \frac{E_{0} \operatorname{cis}(kR-\omega t)}{R} \operatorname{cis}{ \biggl[ -k\delta \sin{\theta} \biggl(m-\dfrac{1}{2} \biggr) \biggr] } )]
이상에서 해당 지점에서 전기장은 합으로 표기하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{E_{0} \operatorname{cis}(kR-\omega t)}{R} \sum_{m=-(n-1)}^{n} \operatorname{cis}{ \biggl[ -k\delta \sin{\theta} \biggl(m-\dfrac{1}{2} \biggr) \biggr] } )]
따라서
[math(\displaystyle \frac{E_{0} \operatorname{cis}(kR-\omega t)}{R} \frac{ \sin{(k n \delta \sin{\theta} )} }{\sin{ \biggl[ \dfrac{k\delta \sin{\theta}}{2} \biggr] }} )]
이에 따라 빛의 세기는
[math(\displaystyle I_{0} \frac{ \sin^{2}{ \biggl[ \dfrac{k \cdot 2n \cdot \delta \sin{\theta}}{2} \biggr]}}{\sin^{2}{ \biggl[ \dfrac{k\delta \sin{\theta}}{2} \biggr]}} )][1]
빛의 세기가 최대가 되는 다음이 만족할 때임이 알려져있다.
[math(\displaystyle \delta \sin{\theta_{\sf max}} = j \lambda )]
여기서 [math(j)]는 정수이다.
보통 회절 격자는 [math(500\,{\sf lines}/{\rm mm})]로 표시가 되어 있는데, 이는 [math(1\,{\rm mm})]에 500개의 구멍이 있다는 말이다. 일반적으로 [math(N\,{\sf lines}/{\rm mm})]일 때, [math(N^{-1}=\delta)]가 성립한다.
3. 분광
- 한 개의 파장을 갖는 빛을 회절 격자에 투과시킬 경우 [math(\theta_{\sf max})] 부근에 빛이 나타나게 된다. 이때, 해당 값은 [math(j)]에 따라 여러 개를 가지므로 여러 개의 무늬가 나타날 것이다.
- 백색광을 투과시킬 경우 해당 빛은 여러 파장을 가지는데, 파장 마다 [math(\theta_{\sf max})]값이 다르므로 연속적인 스팩트럼이 나타날 것이다. 다만, [math(j)]에 따라 [math(\theta_{\sf max})]는 여러 개를 가지므로 여러 개의 무늬가 나타날 것이다.
- 스마트폰이나 모니터 등 디스플레이를 회절 격자를 통과시키면, 적, 청, 녹색으로 분광되는 것을 알 수 있다. 이는 디스플레이 화면이 연속적인 파장을 갖는 광원이 방사되는 것이 아닌 3색으로 색을 구성하여 빛을 방사시키기 때문이다.
[1] 실제로는 구멍에서 간섭이 생기기 때문에 간섭항이 붙어야 하나, 구멍의 너비가 매우 작으므로 그것을 무시할 수 있다.