1. 개요
harmonic oscillator · 調和 振動子평형점을 기준으로 물체의 변위에 비례한 복원력이 작용하게 되어 일정한 주기 운동을 하는 계를 말한다. 용수철 스프링 진동자가 대표적인 예이며, RLC 회로 등 조화 진동자와 동일한 양상을 보이는 고전역학을 벗어난 계도 존재한다.
2. 표현법 및 참고사항
이 문서 및 하위문서에서는 시간에 대한 물리량의 미분을 나타낼 때[math( \displaystyle \begin{aligned} \dot{A} &\equiv \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \\ \ddot{A} &\equiv \frac{\mathrm{d}^{2}A}{\mathrm{d}t^{2}} \end{aligned} )][1]
로 나타내져 있다. 여기서 [math(A )]는 물리량, [math(t )]는 시간이다.
또한, 특별한 말이 없는 이상 모든 마찰과 물체의 크기, 실이나 용수철의 질량은 무시할 수 있다고 가정한다.
3. 종류
3.1. 단순 조화 진동
위 그림과 같이 평형점[2] [math(\text{O} )]로부터 변위 [math(+A )]만큼 늘이고[3], 물체를 놓았을 때 물체의 운동이 어떻게 기술되는지 논의해보자.
후크 법칙에 따라 용수철이 평형점을 기준으로 [math(x )]만큼의 변위로 변화되었을 때의 탄성력은
[math( \displaystyle F=-kx )]
이다. 참고로 마이너스는 운동 방향과 반대 방향의 힘을 나타내며, 복원력이다. 따라서 운동 방정식은
[math( \displaystyle m\ddot{x}=-kx\,\rightarrow \, \ddot{x}=-\frac{k}{m}x )]
이다. 여기서 [math(k/m \equiv \omega^{2} )]으로 각진동수의 제곱으로 정의한다. 이와 같이 어떤 계의 운동 방정식이
[math( \displaystyle \ddot{x} + {\omega}^{2} x = 0 )]
로 기술될 때, 이 계를 단순 조화 진동자(Simple Harmonic Oscillator, SHO)라고 한다. 이러한 미분 방정식은 쉽게 풀리며, 그 해는
[math( \displaystyle x(t)=C_{1}\sin{(\omega t)}+C_{2}\cos{(\omega t)} )]
이다. 이때, 초기 변위는 [math(x(0)=A )]이고, 물체를 놓은 시점이므로 물체의 초기 속도는 [math(\dot{x}(0)=0 )]을 만족해야 한다. 따라서 이 조건에 의해 sine 항은 해가 될 수 없고, [math(\dot{x}(0)=0 )], [math(C_{2}=A )]를 얻는다. 따라서 용수철의 운동을 기술하는 변위 함수는
[math( \displaystyle x(t)=A\cos{(\omega t)} )]
로, [math(-A \leq x \leq A )] 사이를 진동하는 것을 알 수 있다.
그런데 위의 상황은 극히 특수한 상황이며, 실제론 관측하는 초기 시점을 뭘로 잡느냐에 따라 운동을 기술하는 변위 함수는 달라지게 된다. 위에서 밝혔듯 이 문제에선 sine 항과 cosine 항의 선형 결합으로 운동을 기술할 수 있고, 두 함수는 평행 이동 관계에 있기 때문에 일반적인 상황에서는 위상차 [math(\phi )]를 도입해서,
[math( \displaystyle x(t)=A\sin{(\omega t+\phi)} )]
로 나타나게 되며, 여기서 [math(A )]가 진폭이 된다.
용수철 진자의 속력은 변위 함수를 시간에 대해 한 번 미분하면 구할 수 있다.
[math( \displaystyle \dot{x}(t)=A\omega\cos{(\omega t+\phi)} )]
가속도는 두 번 미분함으로써 얻는다.
[math( \displaystyle \ddot{x}(t)=-A\omega^{2}\sin{(\omega t+\phi)} )]
다음으로는 역학적 에너지가 보존되는지 살펴보자. 맨 위에 같은 상황에서 초기 역학적 에너지 [math(E_{0} )]는 탄성에 의한 퍼텐셜 에너지밖에 없으므로
[math( \displaystyle E_{0}=\frac{1}{2}kA^{2} )]
[math(\textrm{O} )]점으로 부터 변위가 [math(x )]일 때, 물체는 탄성에 의한 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지 두 개 모두 갖는다.
[math( \displaystyle E=\frac{1}{2}kx^{2}+\frac{1}{2}m{\dot{x}}^{2} )]
따라서
[math( \displaystyle E=\frac{1}{2}k\left[ A\sin{(\omega t+\phi)} \right]^{2}+\frac{1}{2}m\left[ A \omega \cos{(\omega t+\phi)} \right]^{2} )]
이때, 위에서 한 정의에 따라 [math(m \omega^{2} =k )]가 되므로
[math( \displaystyle E=\frac{1}{2}k\left[ A\sin{(\omega t+\phi)} \right]^{2}+\frac{1}{2}k\left[ A\cos{(\omega t+\phi)} \right]^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}=E_{0} )]
로 역학적 에너지는 보존됨을 알 수 있다.
[math( \displaystyle E=\frac{1}{2}kx^{2}+\frac{1}{2}m{\dot{x}}^{2} )]
위 식에서 위상공간 즉, [math(x \text{-} \dot{x} )] 공간에서 개형은 적절히 처리하면, 타원이 된다. 즉, 단순 조화 진동자의 위상도는 아래와 같다.[4]
3.1.1. 초기 조건 문제
단순 조화 진동자에서 초기 조건 [math(x(0)=x_{0})], [math(\dot{x}(0)=v_{0})]인 경우를 분석해보고자 한다. 윗문단에 나타나 있듯 각진동수 [math(\omega=\sqrt{k/m})]으로 진동하는 단순 조화 진동자의 위치와 속도는[math(\displaystyle \begin{aligned} x(t)&=C_{1}\sin{(\omega t)}+C_{2}\cos{(\omega t)} \\ \dot{x}(t)&=C_{1}\omega \cos{(\omega t)}-C_{2}\omega \sin{(\omega t)} \end{aligned} )]
이때, [math(x(0)=x_{0})]에서 [math(C_{2}=x_{0})], [math(\dot{x}(0)=v_{0})]에서 [math(C_{1}=v_{0}/\omega)]이다. 따라서 진동자의 위치는 아래와 같이 구해진다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x(t)&=\frac{v_{0}}{\omega}\sin{(\omega t)}+x_{0}\cos{(\omega t)} \\ &=\left[ x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} \right]^{1/2}\left[ x_{0}\left[ x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} \right]^{-1/2} \cos{(\omega t)}+\frac{v_{0}}{\omega } \left[ x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} \right]^{-1/2} \sin{(\omega t)} \right] \\&=\left[ x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} \right]^{1/2}\cos{(\omega t+\phi)} \quad \left( \tan{\phi}=-\frac{v_{0}}{\omega x_{0}} \right) \end{aligned} )] |
3.1.2. 원운동과의 관계
위의 그림에서 (a)와 같이 등속 원운동하고 있는 물체를 고려해보자. 이때, 원운동 평면 상에 평행하게 들어오는 평행광선을 고려하고, 이것을 스크린에 비춘다고 생각해보자. 그렇다면, 스크린에는 스크린 평면 상에 투사된 원운동의 자취가 나올 것인데, 이 자취의 위치를 (b)와 같이 [math(\theta(t=0)=0)]이라 두고, 시간 [math(t)]에 따른 위치를 나타내면, 사인곡선의 그래프가 그려지는데, 이것은 곧, 단순 조화 진동자의 시간에 따른 위치 그래프와 같다.
이상에서 단순 조화 진동자의 운동은 원운동을 위와 같이 투사시킨 자취의 운동이라 볼 수 있는 것이다.
이렇게 생각할 경우, 구심력은 곧 조화 진동자의 최고 지점에서의 복원력과 같게 되므로
[math(\displaystyle mr\omega^{2}=kr )]
따라서 조화 진동자의 각진동수가 다음과 같고, 위의 미분 방정식을 이용한 해석과 같음을 얻을 수 있다:
[math(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} )]
3.1.3. 고차원 단순 조화 진동자
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3.2. 감쇠 조화 진동
이번엔 위의 경우에서 속도 [math(\dot{x} )]에 비례하는 저항력 [math(-b\dot{x} )]가 물체에 작용할 때, 기술되는 운동을 논의해보자. 이때, 운동 방정식은
[math( \displaystyle m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}\,\rightarrow \, \ddot{x}+\frac{b}{m} \dot{x}+\frac{k}{m}x=0 )]
이고, 이 방정식은 2계 선형 방정식임에 따라 쉽게 풀린다. 이와 같이
[math( \displaystyle \ddot{x} + {\omega}^{2} x = -2 \beta \dot{x} )]
꼴의 운동 방정식을 가지는 계를 감쇠 조화 진동자(Damped Harmonic Oscillator)라고 한다. 이 방정식의 특성 방정식은
[math( \displaystyle D^2+\frac{b}{m}D+\frac{k}{m}=0 )]
이므로
[math( \displaystyle D=-\frac{b}{2m} \pm \sqrt{ \left( \frac{b}{2m} \right)^2 - \frac{k}{m } } )]
이때, [math(b/2m \equiv \beta)][5]의 감쇠 계수로 정의하면,
[math( \displaystyle D=-\beta \pm \sqrt{ \beta^2 - \omega^{2}} )]
이 됨에 따라 이상에서 이 방정식은 판별식 [math(\displaystyle \beta^2 - \omega^{2} )]의 부호에 따라 다음과 같이 세 가지 형태의 해를 갖는다는 것을 알 수 있다.
| 형태 | 비고 | 경우 |
| [math( \displaystyle \beta^2 > \omega^{2} )] | 두 실근 | ⓐ |
| [math( \displaystyle \beta^2 = \omega^{2} )] | 중근 | ⓑ |
| [math( \displaystyle \beta^2 < \omega^{2} )] | 두 허근 | ⓒ |
우선 경우 ⓐ를 따져보도록 하자. 이 경우에 기술되는 변위 함수는
[math( \displaystyle x(t)=e^{-\beta t}[ C_{1} e^{ \sqrt{ \beta^2 - \omega^{2}} \, t } +C_{2} e^{ -\sqrt{ \beta^2 - \omega^{2}} \, t } ] )]
이다.
다음으로 경우 ⓑ를 따져보면, 그 해는 다음과 같다.
[math( \displaystyle x(t)= e^{-\beta t} [ C_{3}t+C_{4} ] )]
또한, 경우 ⓒ를 따져보면, 다음을 얻는다.
[math( \displaystyle x(t)= e^{-\beta t} [ C_{5}\sin{ ( \sqrt{ \omega^{2}-\beta^2 } \, t ) }+ C_{6}\cos{ ( \sqrt{ \omega^{2}-\beta^2 } \, t ) } ] )]
여기서 [math(C_{1} \sim C_{6})]는 각각 상수이며, 초기조건으로 결정할 수 있다.
경우 ⓐ~ⓒ에 대하여, 마찰 계수 [math(b )]만을 변화시키고, [math(x(0)=A )], [math(\dot{x}(0)=0 )]경우에 대해서 시뮬레이션 해보면, 아래와 같은 지수적으로 감소하는 개형이 나오게 된다.
특히 ⓒ에 대하여 변위 함수 [math(x(t))]는 아래와 같이 두 함수 [math(e^{-\beta t})], [math(-e^{-\beta t})] 사이에 위치하게 되며, 감쇠를 하긴 하지만 각진동수 [math(\omega_{d}\equiv \sqrt{\omega^2-\beta^2})]으로 진동함을 알 수 있다.
이때, ⓑ와 같이 평형점으로 돌아가는 감쇠를 임계 감쇠(Critical damping), ⓐ와 같이 ⓑ와 유사하지만 ⓑ에 비해 느리게 평형점으로 되돌아가는 감쇠를 과대 감쇠[6](Over damping), ⓒ와 같이 진동 형태를 유지하다, 평형점으로 되돌아가는 감쇠를 과소 감쇠[7](Under damping)라 한다. 이때, ⓐ, ⓑ는 계가 비진동성으로 응답하는 것을 알 수 있다.
이때, 아래와 같은 조건에 따른 감쇠 형태로 분류된다.
| 경우 | 감쇠 | 경우 |
| [math( \displaystyle \beta>\omega )] | 과대 감쇠 | ⓐ |
| [math( \displaystyle \beta=\omega )] | 임계 감쇠 | ⓑ |
| [math( \displaystyle 0<\beta<\omega )] | 과소 감쇠 | ⓒ |
감쇠 조화 진동자의 위상공간 즉, [math(x \text{-} \dot{x} )] 공간에서 그래프는 아래와 같은 개형을 가진다.[8]
위상 공간의 개형을 보면 역학적 에너지는 보존되지 않는다는 사실[9]을 알 수 있는데, 이것은 마찰력이라는 비보존력이 계에 작용하고 있음을 상기하면, 당연한 결과라는 사실을 알 수 있다.
3.3. 강제 조화 진동
조화 진동자에 외부 힘 [math(F(t))]가 작용할 때, 이 계의 운동 방정식은
[math( \displaystyle m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = F(t) )]
와 같이 나타나게 된다. 이러한 운동 방정식을 가지는 계를 강제 조화 진동자(Driven Harmonic Oscillator)라고 한다. 흔히 볼 수 있는 예시로 일정한 주기로 그네를 밀어주는 경우를 생각할 수 있다. 여기서 외부 힘에 해당하는 [math(F(t))]를 강제 조화 진동자의 구동력(Driving Force)라고 한다.
3.3.1. 사인형 구동력
가장 간단한 강제 조화 진동의 예시로, 외부 구동력이 cosine형 [math(F_{0}\cos{\omega't} )]으로 주어진다고 하자. 이렇게 되면, 운동 방정식은 다음과 같이 세워지게 된다.[math( \displaystyle m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}+F_{0}\cos{\omega't}\quad \rightarrow \quad \ddot{x}+\frac{b}{m} \dot{x}+\frac{k}{m}x=\frac{F_{0}}{m}\cos{\omega't} )]
이때, [math(\sqrt{k/m} \equiv \omega )], [math(F_{0}/m \equiv G_{0} )], 윗 문단에서 언급한 감쇠 계수 [math(\beta )]를 도입하면, 위의 미분 방정식은
[math( \displaystyle \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega^{2} x=G_{0}\cos{\omega't} )]
이 되며, 이 방정식은 특이해 [math(x_{p}(t) )]와 정상해 [math(x_{c}(t) )]의 선형 결합으로 이루어진다. 이것의 의미는 후술하기로 한다.
우선 특이해를 구하자. 오일러 공식을 이용하여,
[math( \displaystyle \ddot{X}+2\beta \dot{X}+\omega^{2} X=G_{0}e^{i \omega ' t} )]
으로 식을 바꾼 뒤, 예상되는 특이해 [math(X_{p}(t)=C e^{i \omega ' t} )]를 대입하면,
[math( \displaystyle (-{\omega '}^{2}+2 \beta \omega ' i+\omega^{2})Ce^{i \omega ' t}=G_{0}e^{i \omega ' t} )]
이상에서
[math( \displaystyle C=\frac{G_{0}}{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})+2{\beta}i \omega '}=\frac{ [ (\omega^{2}-{\omega '}^{2})-2{\beta}i \omega ' ]G_{0}}{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})^{2}+4{\beta}^{2} {\omega '}^{2}} )]
이때, [math(C )]를 극형식으로 나타냄으로써, 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} C=\frac{G_{0}}{\sqrt{{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})}^{2}+4{\beta}^{2} {\omega '}^{2} } }e^{-i \phi} \qquad \qquad \phi=\arctan{\left ( \frac{2{\beta} \omega '}{\omega^{2}-{\omega '}^{2}} \right )} \end{aligned} )] |
[math( \displaystyle X_{p}(t)=\frac{G_{0}}{\sqrt{{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})}^{2}+4{\beta}^{2} {\omega '}^{2} } }e^{i(\omega ' t-\phi)} )]
인데, 우리가 구하는 것은 물리현상이므로 실수부만 해로 취급하면, 본래의 미분방정식의 특이해는
[math( \displaystyle x_{p}(t)=\frac{G_{0}}{\sqrt{{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})}^{2}+4{\beta}^{2} {\omega '}^{2} } }\cos{(\omega ' t-\phi)} )]
정상해 [math(x_{c}(t) )]는 미분 방정식의 우변이 [math(0 )]이 되는 해로써, 이것은 감쇠 진동에서 구했던 해와 같다. 즉, 정상해는 진동계 자체의 진동 효과를 기술한다는 것을 알 수 있다. 또한, 정상해의 경우 윗 문단에서 보았듯, 감쇠항 [math(\exp{(-\beta t)} )]이 있어 [math(t \,\rightarrow \, \infty )]일 때, [math(x_{c}(t) \, \rightarrow \, 0 )]이 됨에 따라 시간이 매우 지난 후에 계의 운동을 기술하는 변위 함수는
[math( \displaystyle x(t) \,\rightarrow \, x_{p}(t)=\frac{G_{0}}{\sqrt{{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})}^{2}+4{\beta}^{2} {\omega '}^{2} } }\cos{(\omega ' t-\phi)} )]
가 된다. 이것은 곧 초반에는 정상해 항이 존재하기 때문에 계 자체의 진동과 외부 구동력에 의한 진동 두 효과가 동시에 나타나다([math(x(t)=x_{p}(t)+x_{c}(t))]) 시간이 많이 지나면, 결국 계는 외부 구동력의 효과만 남게 된다.([math(x(t)\to x_{p}(t))])
아래의 그림은 위 과정을 시각화한 것이다. 아래와 같이 강제 조화 진동은 진동계 자체의 진동 효과인 [math(x_{c}(t))]와 외부 구동력에 의한 진동 효과 [math(x_{p}(t))]의 선형결합으로 주어진다는 것을 알 수 있다.
| |
이번에는 이 운동의 위상차에 대한 것을 고려해보도록 하자. 강제 조화 진동자의 위상차는
[math( \displaystyle \phi=\arctan{\left ( \frac{2{\beta} \omega '}{\omega^{2}-{\omega '}^{2}} \right )} )]
임을 보았다. 따라서 이는 아래와 같이 요약할 수 있다.
- [math(\boldsymbol{\omega \gg \omega'})]: [math(\phi \to 0)]이므로 외부 구동력과 그 응답으로 나타나는 진동계의 운동의 위상은 거의 비슷하다.
- [math(\boldsymbol{\omega \approx \omega'})]: [math(\phi \approx \pi/2)]이므로 그 응답으로 나타나는 진동계의 운동의 위상은 외부 구동력의 위상의 [math(-\pi/2)]만큼 차이난다.
- [math(\boldsymbol{\omega \ll \omega'})]: [math(\phi \to \pi)]이므로 그 응답으로 나타나는 진동계의 운동의 위상은 구동력의 위상에 반전되어 나타난다.([math(-\pi)]의 위상차를 가진다.)
다음으로는 이 계의 공명에 대해 생각해보자. 시간이 매우 지난 뒤, 계는 진폭
[math( \displaystyle \frac{G_{0}}{\sqrt{{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})}^{2}+4{\beta}^{2} {\omega '}^{2} } } \equiv A )]
로 진동하게 된다. 이것이 어떤 각진동수 [math(\omega_{r} )]에서 최대가 될 조건은
[math( \displaystyle \left. \frac{{\rm d}A}{{\rm d} \omega '} \right|_{\omega '=\omega_{r}}=0 )]
을 만족해야 하므로
[math( \displaystyle \omega_{r}=\sqrt{{\omega}^{2}-2{\beta}^{2}} )]
일 때, 공명이 일어나게 된다. 감쇠 조화 진동자의 각진동수 [math(\omega_{d})]와 유사하지만 [math(\beta)]의 계수가 2임에 유의한다.
아래는 외부 구동력의 진동수에 따른 계의 진폭을 그래프로 나타낸 것이다.
흥미로운 것은 만약 계의 감쇠 계수가 매우 작아지면, 공명 진동수는 [math(\omega )]로 수렴하게 되며, 이때, 진폭은 [math(\infty )]로 발산한다. 즉, 진폭이 급격히 커져 진동계 자체가 파괴될 수 있다.
이와 관련해서, 물체의 기본 진동수로 접근하는 구동력을 물체에 가하면, 물체는 급격한 진동을 일으켜, 물체가 파괴될 수 있는 것을 간접적으로 알 수 있게 한다.[10]
3.3.2. 주기적 구동력
이 문단에서는 cosine형 구동력이 아닌 임의의 주기적인 구동력 [math(F(t))]가 주어지는 경우를 보고자한다. 이 경우 운동 방정식은[math( \displaystyle m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}+F(t)\quad\rightarrow \quad \ddot{x}+\frac{b}{m} \dot{x}+\frac{k}{m}x=\frac{F(t)}{m})]
와 같이 세워질 것이다. 우리는 앞서 [math(F(t))]를 주기적인 구동력이라 가정했고, 이에 따라
[math( \displaystyle \begin{aligned} F(t)&=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n} \sin{(n \omega' t)}+\sum_{n=0}^{\infty}b_{n} \cos{(n \omega' t)} \\ a_{n}&=\dfrac{\omega'}{\pi} \int_{0}^{2\pi/\omega'} F(t')\sin{(n \omega' t')}\,{\rm d}t' \\ b_{n}&=\dfrac{\omega'}{\pi} \int_{0}^{2\pi/\omega'} F(t')\cos{(n \omega' t')}\,{\rm d}t' \end{aligned})]
의 푸리에 급수로 전개할 수 있다. 따라서 우변은 곧 무한한 개수의 sine형 구동력이 중첩되어있는 상황으로 해석할 수 있고, 해는
[math( \displaystyle x(t)=x_{c}(t)+\sum_{n=0}^{\infty} X_{n}(t)+\sum_{n=0}^{\infty}Y_{n}(t) )]
의 형태로 주어짐을 알 수 있다.[11] 여기서 [math(X_{n})], [math(Y_{n})]은 각각 sine항, cosine항의 특이해이며, [math(x_{c})]는 정상해이다.
그런데 위의 결과를 살펴보면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} X_{n}(t)&=A_{n} \cos{(n \omega' t-\phi_{X_{n}})}, \qquad &\begin{cases} A_{n}&= \dfrac{a_{n}}{m}\dfrac{1}{ \sqrt{ (\omega^{2}-n^2 \omega'^{2} )^{2} +4 \beta^2 n^2 \omega'^2 }}\\ \phi_{X_{n}}&=\arctan{\left( \dfrac{2 \beta n \omega'}{\omega^2-n^2 \omega'^2} \right )} \end{cases} \\ Y_{n}(t)&=B_{n} \cos{(n \omega' t-\phi_{Y_{n}})}, \qquad &\begin{cases} B_{n}&= \dfrac{b_{n}}{m}\dfrac{1}{ \sqrt{ (\omega^{2}-n^2 \omega'^{2} )^{2} +4 \beta^2 n^2 \omega'^2 }}\\ \phi_{Y_{n}}&=\arctan{\left( \dfrac{2 \beta n \omega'}{\omega^2-n^2 \omega'^2} \right )} \end{cases} \end{aligned} )] |
이상에서
[math( \displaystyle x(t)=x_{c}(x)+\sum_{n=0}^{\infty} A_{n} \cos{(n \omega' t-\phi_{X_{n}})}+\sum_{n=0}^{\infty}B_{n} \cos{(n \omega' t-\phi_{Y_{n}})} )]
임을 알 수 있다.
이 결과를 이용하면, 외부 구동력이 구형파나 삼각파, 톱니파 형태인 경우에도 변위함수를 구할 수 있다.
아래는 [math(F(t))]가 아래와 같은 사각파 형태일 때 시뮬레이션 해본 것이다. (조건은 임의대로 설정)
3.3.3. 일반적 구동력
멈춰 있던 물체 ([math(x(-\infty)=\dot{x} (-\infty) = 0)])에 일반적인 구동력 [math(F(t))]을 가했을 때 조화 진동자의 움직임을 계산하는 것은 결국 다음 운동 방정식을 푸는 것과 같다.[math( \displaystyle \ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + \omega^2 x = \frac{F(t)}{m} )]
윗 문단에서 구동력이 주기함수일 때 [math(F(t))]를 푸리에 급수로 나타냈듯이, 일반적으로 [math(F(t))]는 다음과 같이 디랙 델타 함수들의 결합으로 나타낼 수 있다.
[math( \displaystyle \frac{F(t)}{m} = \int_{-\infty}^{\infty} { F(t') \frac{\delta (t - t')}{m} \,{\rm d}t'} )]
이것은 디랙 델타 함수의 정의에 의해 자명하다. 따라서, 다음 방정식
[math( \displaystyle \ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + \omega^2 x = \frac{\delta(t - t')}{m} )]
을 초기 조건 [math(\displaystyle x(-\infty) = \dot{x} (-\infty)=0)]에서 풀었을 때의 해를 [math(x(t) = G(t\,, t'))]라고 한다면, 운동 방정식은 선형 미분방정식이므로 우변이 [math(F(t)/m)]일 때의 해는 다음과 같다.
[math( \displaystyle x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} {F(t') G(t,\, t') \,{\rm d}t'} )]
이때 [math(G(t,\, t'))]를 조화 진동자에 대한 그린 함수(Green's function)라고 한다. 이는 물체를 시각 [math(t=t')]에 툭 쳐서 충격량 1을 주었을 때 물체의 움직임과 같다. 이것을 구하는 방법은 다양한 방법이 있으며, 라플라스 변환을 응용하면 어렵지 않게 풀 수 있다. 그 결과는 다음과 같다.
[math( \displaystyle G(t,\, t') = \frac{1}{m \omega_d} e^{-\beta (t-t')} \sin \left( \omega_d (t-t') \right) u(t-t') )]
이때 [math(u(t))]는 헤비사이드 계단함수이며, [math(\omega_d = \sqrt{\omega^2 - \beta^2})]이다. 따라서 이를 대입하면 일반적인 구동력 [math(F(t))]에 대하여 다음과 같이 운동 방정식의 해를 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} { \frac{F(t')}{m \omega_d} e^{-\beta (t-t')} \sin \left( \omega_d (t-t') \right) u(t-t') \,{\rm d}t'} \\ &= \int_{-\infty}^{t} {\frac{F(t')}{m \omega_d} e^{-\beta (t-t')} \sin \left( \omega_d (t-t') \right) \, {\rm d}t'} \end{aligned} )] |
4. 응용
4.1. 용수철 진자
용수철 진자는 용수철 진동자를 세운 버전이라 볼 수 있다.
위 그림의 (가)와 같이 용수철 상수가 [math(k )]인 가벼운 용수철만을 매달아 놓는다면, 용수철은 자연 길이[13]를 유지한다. 그러나, (나)와 같이 질량 [math(m )]의 물체를 조심스레 용수철에 연결하게 되면, 중력 때문에 용수철은 늘어나고, 탄성력과 중력이 평형을 이룰 때까지 늘어난다. 즉, 위 그림에서
[math( \displaystyle mg=k \alpha )]
이며, 실제 실험할 때는 용수철 상수를 모르기 때문에 이렇게 용수철에 물체를 매달아 늘어난 길이 [math(\alpha )]를 측정하여,
[math( \displaystyle k=\frac{mg}{\alpha} )]
를 이용하여 용수철 상수를 구한다.
반동이 가해지지 않는 이상 (나) 상태에서 용수철 진자는 힘의 평형이 이루어져, 정지하게 된다. 따라서 용수철 진자의 평형점은 (나)에서 O이다. 그런데 (다)처럼 평형점을 기준으로 [math( \displaystyle x )]만큼 늘어났을 때, 물체의 운동은 어떻게 기술되는 지 알아보자.
물체가 받는 힘은 자신의 중력과 탄성력이다. 중력 방향을 양으로 두면, 따라서 운동 방정식은
[math( \displaystyle m \ddot{x}=-k(x+\alpha)+mg )]
이고, 이것을 다시 쓰면,
[math( \displaystyle \ddot{x}+\frac{k}{m}x=-\frac{k\alpha}{m} +g=0 )]
으로 용수철 진동자와 같게 기술되는 것을 알 수 있다. 따라서 용수철 진자는 주기
[math( \displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} )]
으로 진동하며, 초기에 점 O를 기준으로, [math( \displaystyle x_{0} )]만큼 늘렸다면,
[math( \displaystyle x(t)=x_{0}\sin{\biggl( \sqrt{\frac{k}{m}} t+\phi \biggr)} )]
가 된다. 여기서 [math(\phi )]는 위상차이다.
이때, 물체의 속도와 가속도는 각각 다음과 같다.
[math( \displaystyle \dot{x}(t)=x_{0} \sqrt{\frac{k}{m}} \cos{\biggl( \sqrt{\frac{k}{m}} t+\phi \biggr)} )]
[math( \displaystyle \ddot{x}(t)=- \frac{k}{m}x_{0} \sin{\biggl( \sqrt{\frac{k}{m}} t+\phi \biggr)} )]
이번에는 역학적 에너지가 보존되는지 확인해보자. (나) 상황에서 O의 높이를 [math( \displaystyle 0 )]이라 잡으면, O를 기준으로 [math( \displaystyle x_{0} )]만큼 늘렸을 때, 물체의 역학적 에너지는 용수철의 탄성 에너지와 중력 퍼텐셜 에너지의 합이다.
[math( \displaystyle E_{0}=\frac{1}{2}k(x_{0}+\alpha)^{2}-mgx_{0} )]
이때, (다) 상황에서 물체의 역학적 에너지는
[math( \displaystyle E=\frac{1}{2}k (x+\alpha)^{2}+\frac{1}{2}m {\dot{x}}^{2}-mgx )]
위에서 구한 변위 함수와 속도 함수를 대입해서 전개해보면, [math(E=E_{0} )]의 결과를 얻으므로 용수철 진자에서도 역학적 에너지는 보존된다는 사실을 확인할 수 있다.
4.1.1. 용수철의 연결
이 문단에서는 용수철의 직렬 연결과 병렬 연결에 대해서 기술한다. 이는 위의 예시인 용수철 진자의 경우에도 적용할 수 있다. 아래의 그림은 예로써 용수철 상수가 각각 [math(k_{1})], [math(k_{2})]인 두 용수철을 (a) 직렬 연결, (b) 병렬 연결 했을 때의 모습이다.이 계는 단일 용수철이 진동하는 계로 대치할 수 있다. 용수철의 탄성력은 물체(질점)에 바로 가해진다고 가정한다.
4.1.1.1. 직렬 연결
[math(n)]개의 용수철을 직렬 연결했다고 생각해보자. 이때, [math(j)]번째 용수철의 용수철 상수는 [math(k_{j})]이다. 용수철에 연결된 물체에 [math(F)]의 힘을 가하여 [math(j)]번째 용수철을 [math(\Delta x_{j})]만큼 늘렸다고 생각해보자. 이때, 모든 용수철에선 탄성력을 발생시키며, 그 크기는 [math(F)]로 같다.[14][15] 따라서[math(\displaystyle F=k_{j}x_{j} \,\to\, x_{j}=\frac{F}{k_{j}} )]
이 성립한다. 모든 용수철의 늘어난 길이의 합 [math(\displaystyle \sum_{j=1}^{n} \Delta x_{j}=\Delta x )]라 하자. 그런데
[math(\displaystyle \Delta x= \sum_{j=1}^{n} \frac{F}{k_{j}} \,\to\, F=\left[ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{k_{j} } \right]^{-1}\cdot \Delta x )]
이상에서 용수철을 직렬로 연결했을 때는 용수철 상수가 [math(\displaystyle \left[ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{k_{j}}\right]^{-1})]인 용수철을 연결한 상황과 동일함을 알 수 있다. 저항에서 병렬 연결되었을 때 합성 저항을 구하는 것과 동치이다.
4.1.1.2. 병렬 연결
[math(n)]개의 용수철을 병렬 연결했다고 생각해보자. [math(j)]번째 용수철의 용수철 상수는 [math(k_{j})]이고, 자연 길이는 [math(L_{j})]이다. 용수철의 자연 길이가 다르므로 용수철을 물체에 연결할 때, 용수철은 늘어나거나 줄어든다. 용수철을 물체에 연결했을 때, 평형 상태의 물체의 위치를 [math(X_{0})]라 하자. 각 용수철의 변위는 [math(L_{j}-X_{0})]이므로 다음이 성립한다.[math(\displaystyle 0=\sum_{j=1}^{n} k_{j} [L_{j}-X_{0}] \,\to \, {\displaystyle \sum_{j=1}^{n} k_{j}L_{j} }=X_{0}{\displaystyle \sum_{j=1}^{n} k_{j}} )]
이 평형 위치로 부터 물체를 [math(F)]의 힘을 가하여 [math(\Delta x)]만큼 늘였다고 생각하자. 용수철의 모든 탄성력의 합은 이 [math(F)]의 합과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} F&=\sum_{j=1}^{n} k_{j}[\Delta x-L_{j}] \\ &=\sum_{j=1}^{n} k_{j} \Delta x -\sum_{j=1}^{n} k_{j} L_{j} \\&=\left[ \sum_{j=1}^{n} k_{j} \right] (\Delta x-X_{0}) \end{aligned} )]
단일 용수철 계로 생각할 때, [math(\Delta x-X_{0})]는 평형 위치로 부터 늘어난 길이라 볼 수 있으므로 곧 이 계는 용수철 상수 [math(\displaystyle \sum_{j=1}^{n} k_{j})]인 용수철이 연결되었다고 볼 수 있다. 저항에서 직렬 연결되었을 때 합성 저항을 구하는 것과 동치이다.
4.2. 진자
진자(pendulum)의 경우 엄밀하게 말하면 운동 방정식이 [math(\ddot{x}+\omega^2 x = f(t))] 꼴이 아니기 때문에 조화 진동자가 아니다. 그러나 진자의 진폭이 충분히 작은 경우에 대하여 조화 진동자로 근사할 수 있고, 같은 분석을 적용할 수 있다. 자세한 내용은 진자 문서 참조.
4.3. 지구 관통 터널
위 그림과 같이 지구 중심 [math(\text{O} )]를 지나가는 무지막지하게 뜨거운 직선형 터널을 뚫었고, 물체를 가만히 놓았을 때, 물체의 운동을 분석해보자. 문제를 간단히하기 위해 모든 마찰은 무시하고, 지구는 구형이며, 밀도 [math(\rho )]는 균일하며[16], 터널의 직경 [math(L )]은 지구 반경에 비해 무시 가능할 정도로 작다고 생각할 것이다. [math(m )]은 물체의 질량이다.
지구 중심 [math(\text{O} )]를 기준으로 하여, 윗 방향을 [math(+\hat{\mathbf{x}} )]라 놓자. 이때, 물체가 변위 [math(x )]에 위치할 때, 터널의 직경이 매우 작으므로 물체는 지구 내부에 위치한다고 생각할 수 있고, 힘은 물체를 지나고, 중심이 [math(\text{O} )]인 지구의 부분 질량에 의한 만유인력이다.[17][18]
[math( \displaystyle \mathbf{F}=- G \frac{m}{x^2} \left( \rho \cdot \frac{4}{3} \pi x^{3} \right) \hat{\mathbf{x}}=- \frac{4G \pi \rho m}{3} {\mathbf{x}} )]
이 된다. [math(G )]는 만유인력 상수이다.
따라서 물체의 운동 방정식은
[math( \displaystyle m \ddot{x}=- \frac{4G \pi \rho m}{3} x \,\rightarrow \, \ddot{x}+ \frac{4G \pi \rho}{3} x=0 )]
따라서 물체는 주기
[math( \displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{3}{4G \pi \rho }}=\sqrt{\frac{3 \pi}{G\rho}} )]
로 진동운동 함을 알 수 있다. 따라서 물체를 초기에 [math(x_{0} \leq R )]인 지점에서 떨어뜨렸다면, [math(-x_{0} \leq x \leq x_{0} )]에서 진동하게 된다.
따라서 위 결과로 지구의 한 표면에서 대척점의 표면까지 이동하는데 걸리는 시간은 위에서 구한 주기의 반이므로
[math( \displaystyle \frac{T}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3 \pi}{G\rho}} )]
가 되고, 각종 상수
- [math(G=6.67384 \times 10^{-11} \, \mathrm{N} \cdot \text{m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} )]
- [math(\rho=5515 \,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} )]
[math( \displaystyle \frac{T}{2} \approx 42.2\,\mathrm{min} )]
가 됨을 알 수 있다.
더 나아가 터널을 비스듬히 파서, 중심을 지나지 않더라도 주기는 모두 같게 나온다. 증명은 위와 같은 방법으로 하면 된다.
4.4. 액체관 진동
그림과 같이 단면적이 [math(A )]인 U자관에 밀도가 [math(\rho )]인 액체가 길이 [math(l )]만큼 차있는 것을 고려하자. 문제를 단순하게 생각하기 위해 모든 마찰 및 액체의 점성은 무시한다.[19] 관에 든 액체의 질량은 밀도와 부피의 곱으로 쓸 수 있으므로
[math( \displaystyle m = \rho Al )]
이때, 한쪽이 평형점 O를 기준으로 [math(x )] 만큼 눌러졌을 때, 작용하는 복원력은 [math(2x )]만큼의 액체 기둥에 작용하는 중력이다. 따라서 운동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math( \displaystyle \rho Al \ddot{x}=-\rho A g \cdot 2x )]
이것을 다시 쓰면,
[math( \displaystyle \ddot{x}+\frac{2g}{l} x=0 )]
이고, 이것은 명백히 주기
[math( \displaystyle T= \pi \sqrt{\frac{2l}{g}} )]
로 진동하는 용수철 진동자의 진동 방정식과 같다.
따라서 액체 기둥은 위와 같은 주기로 진동함을 알 수 있다.
4.5. 전자기 진동
4.6. 양자 조화 진동자
후크 법칙을 만족하는 계도 양자역학에서는 뉴턴의 운동 법칙이 아닌 슈뢰딩거 방정식에 의해 기술되므로, 본 문서에서 다룬 조화 진동자와는 다른 종류의 방정식으로 설명해야 한다. 자세한 내용은 문서 참조.
5. 관련 문서
[1] 좌변은 뉴턴식, 우변은 라이프니츠식 미분계수 표기다.[2] 용수철이 늘어나지 않은 지점을 말한다.[3] 마찬가지 조건에서 압축했을 때도 똑같이 기술된다.[4] [math(x(0)=+A)], [math(\dot{x}(0)=0)]일 때.[5] 진동학, 제어공학 등 학문에 따라 그리스 문자 제타(ζ)를 사용하면서 감쇄 계수, 감쇠비, 감쇄비, 제동비라고도 하는데, 이 경우 [math(\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{km}} = \frac{c}{2m \omega_n })]로 정의되며 아래의 식들이 조금 다른 형태로 수정된다.[6] 과도 감쇠, 과감쇠라고도 한다.[7] 부족 감쇠, 저감쇠라고도 한다.[8] 아래의 위상 공간에 대한 초기 조건은 위 그래프의 상황과 동일하다.[9] 역학적 에너지가 보존되는 단순 조화 진동자와 비교해보라.[10] 이것의 예로는 '목소리로 와인잔 깨기' 등이 있다.[11] 이는 운동을 기술하는 방정식이 선형 미분방정식이기 때문이다.[12] 외부 구동력이 sine형일 때는 이 문서에서 다루지는 않았으나, cosine형과 동일한 형태의 특이해를 얻는다.[13] 본래의 자신의 길이[14] 이 조건이 만족이 안되면 용수철들은 가속 운동할 것이다.[15] 오해하기 쉬우나 [math(F)]의 크기는 용수철들의 탄성력 크기의 합과 같지 않다.[16] 즉 맨틀, 외핵, 내핵 등이 없다고 가정하고.[17] 그림에서 점선에 해당하는 지구의 질량에 의한 만유인력을 말한다.[18] 이것의 증명은 뉴턴의 구각 정리로 할 수 있으며, 자세한 것은 고전역학 책을 참조한다.[19] 점성을 넣는 순간 식에 나비에-스토크스 방정식이라는 일반해조차 아직 안 나온 골칫거리를 넣어야 하기 때문.