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1. 개요
Epsilon-Delta Definition of a Limit[1]오귀스탱루이 코시를 필두로 해서 규정한 함수의 극한값을 구하기 위한 수학적 기법이다. 이를 통해 변수의 값이 특정 수치에 가까워지면 함숫값도 극한값에 가까워진다 정도의 정의보다 수학적으로 엄밀하게 함수의 극한값을 정의하는 것이 가능해졌고 해석학이 비약적으로 발전할 수 있었다.
2. 나오게 된 배경
미적분학을 배우는 많은 학생들이 고등학교 수학에서 엄밀하지 못하게 정의한 함수를 미분할 때에, '분모에 0이 들어가면 안 된다'는 수학적 금기를 깨지 않기 위해 "0은 아니지만 0에 한없이 다가가는" 수로 나누어 왔을 것이다.미적분학이 처음 등장할 당시 학자들은 혁명적인 개념이었던 무한소를 이용한 미적분을 여러 분야에서 활발히 사용했고, 그러다가 엄밀하지 못한 무한소의 사용으로 결국 이상한 값이 나와버려 학자들마다 같은 주제로 다양한 답이 나오는 일이 빈번히 발생했다. 그를 보강하기 위해 극한이 나왔지만 역시 빈틈이 많았던 건 매한가지였고 직관력에 있어 타의 추종을 불허했던 오일러 역시 활발히 극한을 사용했지만 그도 당시의 한계를 넘어서지는 못하여 무한소 개념에 대해 이견을 표시하지 않은 채 극한만 그대로 사용했다.[2]
프랑스의 수학자 피에르 드 페르마는 극대-극소 문제를 해결하기 위해서 "adequality"라는 개념을 내놓았다. "ad-"+"equality", 즉 거의 같다는 뜻으로, 극점에서 독립변수가 아주 조금 변해도, 함숫값이 거의 같다는 것이다. 구체적인 예를 들면, [math(f(x)=x^4)]일 때, 극점 [math(x=c)]에서, 아주 작은 변화 [math(e)]에 대하여 [math(f(c+e)\approx f(c))]가 성립해서
[math(\displaystyle \begin{aligned} c^{4}+4c^{3}e+6c^{2}e^{2}+4ce^{3}+e^{4} &\approx c^{4} \\ 4c^{3}e+6c^{2}e^{2}+4ce^{3}+e^{4}&\approx 0 \end{aligned} )]
가 되는데, 양변을 [math(e)]로 나누면
[math(\displaystyle 4c^{3}+6c^{2}e+4ce^{2}+e^{3}\approx 0 )]
이 되고, [math(e)]를 0으로 취급하면 [math(4c^3 =0)]이 되어 [math(c=0)]으로 구할 수 있는 것이다.[3]
또한, 뉴턴은 시간에 따라 변화하는 양의 순간변화율을 구하기 위해 무한소 [math(\omicron)]을 도입한 유율법을 고안하였다. 여기서 뉴턴은 '시간에 따라 변화하는 양'을 유량(fluent, fluxio)', 순간변화율을 '유율(fluxion)'이라 불렀다. [math(y=(t+2)(t-2))]이라는 유량에 대하여 [math(t=1)]일 때의 유율은 다음과 같이 계산할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dot{y}&=\displaystyle\frac{y(1+\omicron)-y(1)}{(1+\omicron-1)} \\&=\frac{(\omicron+3)(\omicron-1)+3}{\omicron}\\&=\frac{\omicron^{2}+2\omicron}{\omicron}\\&=\omicron+2\\&=2 \end{aligned} )]
다만, 페르마의 "adequality"에서든지, 뉴턴의 "fluxion"에서든지, [math(0)]은 아니지만 아주 작고, 또 가끔은 [math(0)]으로 취급해버리는 무한소라는 개념이 엄밀히 정의되지 않고 남용되어 논란이 되었다. 그렇게 미적분의 맹점이 몇 가지 발견되면서 비판이 나왔고, 특히 롤의 정리를 발견한 미셸 롤과 철학자 조지 버클리가 맹렬히 비판했는데, 특히 버클리는 '사라진 값들의 유령(the ghosts of departed quantities)'이라는 표현까지 빌려와 신랄하게 까내렸다. 유율법의 자세한 개념과 역사에 대해서는 유율법을 참고하자.
그러다가 19세기 수학자 오귀스탱 루이 코시가 본문에서 말하는 엡실론-델타([math( \varepsilon - \delta )])를 꺼내들었다. 그야말로 철저하고 빈틈없는 정의로, 이해만 하면 극한은 물론이고 다른 정리의 증명까지 쉽게 만들어 버릴 수 있었으며 더 나아가 이 새로운 정의로 인해 해석학이 현대적으로도 견고해졌다.[4]
3. 정의
먼저, 극한을 엡실론 델타로 정의해 보자.| [math(f: D \to \mathbb{R})]을 집합 [math(D \subset \mathbb{R})] 위에서 정의된 함수, [math(a)]를 [math(D)]의 극한점, [math(L \in \mathbb{R})]이라 하자. [math(\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ f (x ) } = L \overset{\mathsf{def}}{\iff} & \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0\ \ {\sf s.t.}\ \forall x\in D ,\, ( 0 < | x - a | < \delta \Rightarrow | f ( x ) - L | < \varepsilon ) \end{aligned} )] |
이를 쉽게 풀어쓰면 다음과 같다.
| 함수 [math(f(x))]가 존재할 때, 임의의 양수 [math(\varepsilon)]만큼 주어진[5] 치역 범위 [math(|f(x)-L|<\varepsilon)][6] 안에 공역을 온전히 대응시킬 수 있는 해당 정의역 [math(0<|x-a|<\delta)][7] 및 정의역 범위 [math(\delta)]가 [math(\boldsymbol \varepsilon)]값과 무관하게 항상 존재한다면, [math( x \to a )]일 때 함수 [math( f ( x ) )]의 극한값을 [math( L )]이라고 정의한다.[8] 이때, 함수 [math( f ( x ) )] 는 [math( x \rightarrow a )]에서 [math( L )]에 수렴한다고 하며, [math( \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = L )] 로 표현한다. |
3.1. 설명
3.1.1. 엡실론과 델타의 의미론적 설명
| 임의의 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여 적당한 양수 [math(\delta(=\delta(\varepsilon)))]가 존재하여 [math( 0 < | x - a | < \delta \Rightarrow | f ( x ) - L | < \varepsilon)]가 될 때, |
- 임의의 양수 [math(\varepsilon)]이라는 말은 [math(\varepsilon)]이 어떠한 양수이든 상관없다는 뜻이다. 거기에 저 조건을 만족시키는 적절한 양수 [math(\delta)]가 존재하기만 하면 된다.
(문제를 푸는 학생들은 이 [math(\delta)]를 찾아내면 된다.) - 정의에 나오는 절댓값들이 이해를 어렵게 하는데, [math(0<\left|x-a\right|<\delta)]는 [math(x)]에서 [math(a)]까지의 거리가 [math(\delta)]보다는 작지만 [math(0)]은 아닌, 즉 [math(x)]는 [math(a)]가 아니라는 뜻이고, [math(|f(x)-L|<\varepsilon)]는 [math(f(x))]에서 [math(L)]까지의 거리가 [math(\varepsilon)]보다 작다는 뜻이다.[9] 절댓값의 정의에 따라 각각 [math(x\ne a\wedge a-\delta<x<a+\delta)]와 [math(L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon)]로 쓰면 더 이해하기 쉽지만, 복잡하므로 줄여서 [math(0<\left|x-a\right|<\delta)]와 [math(|f(x)-L|<\varepsilon)]를 쓰게 된 것.
- [math(x\to a)]로 갈 때 [math(f(x))]가 어디로 가는가를 생각하면 안 된다.[10] 거꾸로 [math(|f(x)-L|)]에 대한 값을 생각하고, 그에 따라 [math(\delta)]값을 찾아야 한다. 이 논법은 극한의 존재성을 논하는 것이지, 극한값을 찾는 것이 목적이 아니다.
즉, 위의 정의를 풀어 설명하면, 다음과 같다.
[math( \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = L )] 이라는 것은 양수 [math(\varepsilon)]이 아무리 작아도 그에 따라 적당한 양수 [math(\delta(=\delta(\varepsilon)))]가 존재하여, [math(x)]와 [math(a)]의 거리가 [math(\delta )]보다 작고 [math(0)]보다 크기만 하면 항상 [math(f(x))]와 [math(L)]의 거리가 [math(\varepsilon)]보다 작게 된다는 뜻이다. |
더 쉽게 설명하자면,
[math( \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = L )] 이라는 것은 어떠한 양수 [math(\varepsilon)]이 주어지더라도 어떠한 양수 [math(\delta(=\delta(\varepsilon)))]가 있어서 [math(a)]와 같지 않은 [math(x)]가 [math(a-\delta)]와 [math(a+\delta)] 사이에 있는 값이라면 [math(f(x)\in(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon))]라는 뜻이다. |
핵심은 양수 [math(\varepsilon)]에 비해 거기에 대응하는 어떠한 [math(x)]값을 설정해도 그보다는 작다는 것이다.
복잡한 전제를 떼고 핵심 아이디어만을 바라보면 이 방법으로 극한을 정의하는 것은, 함수의 값 [math(f(x))]를 [math(L)]에 어떤 한계 오차(임의의 [math(\varepsilon)])이내라도 접근시킬 수 있는 [math(x)]와 [math(a)]의 거리(어떤 [math(\delta)])값이 실수 범위 내에 항상 존재한다는 것이다.
다음과 같은 비유로 이해를 좀 더 쉽게 할 수 있다. 갑과 을이 게임을 하는데, 갑이 한계 오차 [math(\varepsilon)]을 제시하면 을은 그에 대하여 다음 조건을 만족하는 적정 거리[math(\delta)]를 말해야 하는 게임.
- 조건: [math( 0 < | x - a | < \delta \Rightarrow | f ( x ) - L | < \varepsilon)]
3.1.2. 기존 정의와 연계된 설명[11]
수학II에서 설명하는 극한의 대략적 정의| [math(x)]가 [math(a)]에 한없이 가까울 때, [math(f\left(x\right))]의 값도 [math(L)]에 한없이 가깝다. |
- '가깝다'와 '멀다'를 확실히 말하려면, 한계 오차가 존재해서 그 기준보다 작으면 '가깝다', 그 기준보다 크면 '멀다'라고 할 수 있어야 한다. 그 기준을 양의 실수 [math( \varepsilon )]으로 정의하자.
- '한없이 가까울 때'는, '[math(x)]와 [math(a)]의 차이가 얼마나 작은 값이든'이란 말과 같다. 즉, '모든 양의 실수에 대해'로 해석할 수 있다.
그러면 이제 주어진 문장은 이렇게 바뀐다.
| 양수 [math( \varepsilon )]의 값이 무엇이든 간에, [math(x)]가 [math(a)]에 한없이 가까우면 [math( \left| f \left( x \right) - L \right| < \varepsilon )]이다. |
| 임의의 실수 [math( \varepsilon > 0 )]에 대해, 적당한 실수 [math( \delta > 0 )]가 존재하고, [math( 0 < \left| x - a \right| < \delta)]이면 [math(\left| f \left( x \right) - L\right|< \varepsilon)]이다. |
더 간단히 말하자면, 엡실론-델타의 핵심은 두 수의 차이를 줄이는 것이다. 다만 차이를 줄이고자 하는 비교 대상이 셀 수 없이 많은 양수[12] [math(\boldsymbol \varepsilon )]이기 때문에 자연수의 집합보다 기수가 높아 수학적 귀납법으로 증명할 수 없기에 독립변수(한계 오차)가 어떤 양의 실수더라도 종속변수(기준 거리)가 항상 양의 실수 범위에 존재함을 보는 방법을 증명하는 것이다.
3.2. 상극한·하극한을 통한 이해
이 설명은 극한의 '공식'을 제시함으로써 엡실론-델타를 유도해내는 데에 초점을 맞춘다. 이 개념을 소개하려면 다음 상한, 하한 개념이 필요하다. (따라서 이 접근은 실수의 완비성 공리를 통해 극한을 정의하는 접근에 해당한다.) 실수의 공집합 아닌 부분집합 [math(\varnothing\neq X \subset \mathbb{R})]에 대해,- 상한 [math( \sup X)]는 [math(X)]의 '최대치'로, 모든 [math(p \in X)]에 대해 [math(p\leq M)]이 성립하는 최소의 수 [math(M)]을 말한다. 만약 그런 수 [math(M)]이 없다면, [math(\sup X = \infty)]로 정의한다.
- 하한 [math( \inf X)]는 [math(X)]의 '최소치'로, 모든 [math(p \in X)]에 대해 [math(p\geq m)]이 성립하는 최대의 수 [math(m)]을 말한다. 만약 그런 수 [math(m)]이 없다면, [math(\inf X = -\infty)]로 정의한다.
개구간 [math(X=(0,1))]의 경우, '최댓값' 혹은 '최솟값'이 존재하지 않지만, 해당 구간에서 어떤 수도 가장 작은 바운더리인 1을 넘을수 없으며(상한), 가장 큰 바운더리인 0을 넘을 수 없다(하한). 따라서 상한이 1이고 하한이 0이다.[13] 폐구간의 경우 최댓값이 곧 상한이 되고 최솟값이 곧 하한이 된다.
- 상한 [math(\sup X)]는 모든 [math(p \in X)]에 대하여, [math(u \in B\left(=\mathbb{R}\setminus X\right)\textsf{ s.t.}\, \forall u\in B, p\leq u)]가 성립하는 집합 [math(B)]의 폐포 [math(\overline{B})]의 분할[14]의 최소값으로 정의하며, 최소상계라고도 부른다.
- 하한 [math(\inf X)]는 모든 [math(p \in X)]에 대하여, [math(u \in B\left(=\mathbb{R}\setminus X\right)\textsf{ s.t.}\, \forall u\in B, p\geq u)]가 성립하는 집합 [math(B)]의 폐포 [math(\overline{B})]의 분할의 최대값으로 정의하며, 최대하계라고도 부른다.]
함수 [math( f(x) )]에 대해서도, 변수 [math(x)]의 범위만 잘 주어지면, 상한 또는 하한을 생각하곤 한다. 곧 다음과 같은 식이다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned}\displaystyle \sup_{0<|x-a|<\delta}{ f(x ) } & = \sup\{f(x) \mid 0<|x-a|<\delta\} \\ \inf_{0<|x-a|<\delta}{f(x)} & = \inf\{f(x)\mid 0<|x-a|<\delta\} \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} M_\delta &=\sup_{0<|x-a|<\delta}f(x) \\ m_\delta &=\inf_{0<|x-a|<\delta}f(x) \end{aligned})]
라 쓰자. 그러면 [math(M_\delta)]는 [math(0<|x-a|<\delta)] 범위에서 [math(f(x))]의 '최대치', [math(m_\delta)]는 '최소치'라 볼 수 있다. 가령 [math(f(x)=x^2)]고 [math(a=2)]이면,
[math(\begin{aligned}M_\delta&=(2+\delta)^2 \\ m_\delta &=\begin{cases} (2-\delta)^2 & (\delta\leq 2) \\ 0 & (\delta > 2)\end{cases} \end{aligned} )]
인 식이다.
이들 함수의 상한, 하한은 변수 [math(x)]가 [math(a)]에 '충분히 가까울 때 ([math(0<|x-a|<\delta)])' 함수값이 어느 범위에 있을 수 있는지([math(f(x)\in[m_\delta,M_\delta])])를 나타내는 양(quantity)이다. 때문에 이 상한, 하한이 '[math(x)]가 [math(a)]에 한없이 가까워질 때, 즉 [math(\delta\to 0)]일 때' 같은 값으로 다가가면, 그 값이 곧 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x))]라 부를 값이다.
물론 '[math(\delta\to 0)]일 때'가 딱히 명확하지 않다는 문제가 있기는 하지만, [math(M_\delta)]나 [math(m_\delta)]는 [math(\delta)]가 0으로 줄어들 때 각각 줄어드는/늘어나는 값이다. (이는 극한이 있거나 없거나 상관없이 성립하는 현상이다!) 때문에 [math(M_\delta)]의 '극한'은 이들의 '최소치,' 즉 [math(\displaystyle \inf_{\delta>0}M_\delta)]로 보는 것이 바람직하고, [math(m_\delta)]의 '극한'은 이들의 '최대치,' 즉 [math(\displaystyle \sup_{\delta>0}m_\delta)]로 보는 것이 바람직하다. 이를 종합하면 다음 '극한 후보'를 얻는다.
- 상극한 [math(\displaystyle \limsup_{x\to a}f(x) := \inf_{\delta>0} M_\delta = \inf_{\delta>0} \sup_{0<|x-a|<\delta} f(x))]
- 하극한 [math(\displaystyle \liminf_{x\to a}f(x) := \sup_{\delta>0} m_\delta = \sup_{\delta>0} \inf_{0<|x-a|<\delta} f(x))]
이제 앞서 언급한 극한의 '공식'은, 위 두 극한 후보가 같을 때에 씀직한 공식이다. 즉 다음과 같다.
| 극한 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x))]이 [math(L)]과 같다는 말은 위의 두 극한 후보가 값 [math(L)]과 같다는 말이다. 즉, [math(\displaystyle\begin{aligned}\limsup_{x\to a}f(x) &= \liminf_{x\to a}f(x) = L.\end{aligned})] |
| 극한 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]이 있다고 하고, 양수 [math(\varepsilon>0)]를 잡자. 그러면 [math(L)]이 [math(M_\delta,m_\delta)]의 각각 하한, 상한이므로, [math(L+\varepsilon,L-\varepsilon)]은 각각 [math(M_\delta,m_\delta)]의 하한('최소치'), 상한('최대치')이 될 수 없다. 때문에 [math(M_{\delta_1}<L+\varepsilon)], [math(m_{\delta_2}>L-\varepsilon)]인 양수 [math(\delta_1,\, \delta_2>0)]를 잡을 수 있다. 양수 [math(\delta=\min(\delta_1,\,\delta_2))]를 두면, [math(L-\varepsilon<m_{\delta_2}\leq m_\delta\leq M_\delta\leq M_{\delta_1}<L+\varepsilon)] 를 얻는데, 한편 [math(0<|x-a|<\delta)]이면 [math(f(x)\in [m_\delta,\,M_\delta])]이므로 [math(L-\varepsilon<m_\delta\leq f(x)\leq M_\delta<L+\varepsilon)] 이 따른다. 즉 [math(L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon)] 이고, 여기서 [math(|f(x)-L|<\varepsilon)]는 어렵지 않게 확인할 수 있다. 반대로 엡실론-델타 조건이 주어졌다고 하자. 그러면 임의의 양수 [math(\varepsilon>0)]에 대해, 어떤 [math(\delta>0)]가 있어서 [math(0<|x-a|<\delta)] 면 [math(L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon)]를 알고 있다. 즉 [math(f(x))]의 상한, 하한은 [math(0<|x-a|<\delta)]인 범위에서 구간 [math((L-\varepsilon,L+\varepsilon))] 내에 잡히고, 따라서 [math(\displaystyle L-\varepsilon\leq m_\delta,\ M_\delta\leq L+\varepsilon)] 이 따른다. [math(\delta)]보다 더 작은 양수들도 같은 부등식을 만족하므로, [math(\displaystyle L-\varepsilon\leq\sup_{\delta>0}m_\delta \quad)] 및 [math(\quad \displaystyle \inf_{\delta>0}M_\delta\leq L+\varepsilon)] 이 따르며, 그러므로 [math(\displaystyle L-\varepsilon\leq\liminf_{x\to a}f(x)\leq\limsup_{x\to a}f(x)\leq L+\varepsilon)] 이 여기서 따른다. [math(\varepsilon>0)]이 아무 양수이므로, 이게 항상 성립할 '극한 후보'는 [math(L)] 말고는 없다. |
3.3. 그래프를 통한 이해
디리클레 함수나 위상수학자의 사인곡선처럼 그래프를 그릴 수 없는 함수도 있지만, 여기서는 간단한 예시를 통해 엡실론-델타 논법을 이해해보자.위 그림과 같이 [math(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=L)]인 실수 전체의 집합에서 연속인 [math(y=f(x))]의 그래프에서 적당한 양수 [math(\varepsilon)]이 존재하고, 함숫값 [math(f(x))]와 [math(L)] 사이의 거리가 [math(\varepsilon)]보다 작은 영역을 회색 영역으로 하고, [math(x \neq a)]이면서 [math(x)]와 [math(a)]의 거리가 [math(\delta)]보다 작은 영역을 적색 영역으로 하자. 엡실론-델타 논법의 핵심은 [math(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=L)]이면, 적당한 양수 [math(\varepsilon)]가 얼마나 작든, 함숫값 [math(f(x))]가 회색 영역 내부에 존재하게 하는 [math(x)]가 적색 영역 안에 존재하게 하는 양수 [math(\delta)]가 항상 존재한다는 것이다.
이번에는 아래와 같이 [math(x=a)]에서 불연속인 함수 [math(y=f(x))]를 고려하자. 이 경우 [math(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x))]는 존재하지 않는다. 이것을 엡실론-델타 논법의 시각에서 보자.
위 그림과 같이 적당한 양수 [math(\varepsilon)]이 존재하고, 함숫값 [math(f(x))]와 [math(L)] 사이의 거리가 [math(\varepsilon)]보다 작은 영역을 회색 영역으로 하고, [math(x \neq a)]이면서 [math(x)]와 [math(a)]의 거리가 [math(\delta)]보다 작은 영역을 적색 영역으로 하자. 하지만 이번 경우에는 회색 영역에 함숫값 [math(f(x))]가 존재하지 않게 하는 [math(x)]가 적색 영역에 포함된 것을 알 수 있다. 따라서 엡실론-델타 논법을 만족시키지 않으므로 이 경우의 극한값이 [math(L)]이 아닌 것이다.(물론 이 예시의 경우 극한값이 존재하지 않지만 우선)
3.4. 변형
3.4.1. 좌극한과 우극한
함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(x)]가 [math(a)]보다 작은 값을 가지면서 [math(a)]에 다가가는 극한을 좌극한이라 하고, 다음과 같이 표기한다.[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^{-} }{ f ( x ) } = L )]
좌극한은 아래와 같이 정의된다.
| [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^{-} }{ f ( x ) } = L)]은 임의의 [math(\varepsilon>0)]에 대하여 [math(a-\delta<x<a \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon)] 이 성립하는 [math(\delta>0)]이 존재할 때 정의된다. |
함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(x)]가 [math(a)]보다 큰 값을 가지면서 [math(a)]에 다가가는 극한을 우극한이라 하고, 다음과 같이 표기한다.
[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^{+} }{ f ( x ) } = L )]
우극한은 아래와 같이 정의된다.
| [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^{+} }{ f ( x ) } = L)]은 임의의 [math(\varepsilon>0)]에 대하여 [math(a<x<a+\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon)] 이 성립하는 [math(\delta>0)]이 존재할 때 정의된다. |
3.4.2. 무한
[math(x)]가 발산하는 경우에 대해서도 극한을 정의할 수 있다.[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f ( x ) } = L \quad)] 또는 [math(\quad \displaystyle \lim_{ x \rightarrow -\infty }{ f ( x ) } = L)]
라는 식으로, 간단히 [math(x)]가 끝없이 커지거나 작아질 때, [math(f(x))]는 [math(L)]에 접근한다는 것이다.
이 경우에는 다음과 같이 극한을 정의할 수 있다.
| [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f ( x ) } = L)]은 임의의 [math(\varepsilon>0)]에 대하여 [math(x>M \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon)] 이 성립하는 [math(M>0)]이 존재할 때 정의된다. |
| [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow -\infty }{ f ( x ) } = L)]은 임의의 [math(\varepsilon>0)]에 대하여 [math(x<-M \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon)] 이 성립하는 [math(M>0)]이 존재할 때 정의된다. |
[math(x \to a)]에서 극한값이 발산하는 경우에도 극한을 정의할 수 있으며,
[math(\displaystyle \lim_{ x \to a }{ f ( x ) } = \infty \quad)] 또는 [math(\quad \displaystyle \lim_{ x \to a }{ f ( x ) } = -\infty)]
이 경우 아래와 같이 정의된다.
| [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = \infty)]은 임의의 [math(M>0)]에 대하여 [math(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>M)] 이 성립하는 [math(\delta>0)]이 존재할 때 정의된다. |
| [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = -\infty)]은 임의의 [math(M>0)]에 대하여 [math(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)<-M)] 이 성립하는 [math(\delta>0)]이 존재할 때 정의된다. |
[math(x)]가 발산하고, 그 극한값 또한 발산하는 경우에도 극한을 정의할 수 있다.
[math(\displaystyle \lim_{ x \to \pm \infty }{ f ( x ) } = \pm \infty)]
이 경우 아래와 같이 정의된다.
| [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f ( x ) } = \infty)]은 임의의 [math(M>0)]에 대하여 [math(x>K \Rightarrow f(x)>M)] 이 성립하는 [math(K>0)]이 존재할 때 정의된다. |
| [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f ( x ) } = -\infty)]은 임의의 [math(M>0)]에 대하여 [math(x>K \Rightarrow f(x)<-M)] 이 성립하는 [math(K>0)]이 존재할 때 정의된다. |
| [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow -\infty }{ f ( x ) } = \infty)]은 임의의 [math(M>0)]에 대하여 [math(x<-K \Rightarrow f(x)>M)] 이 성립하는 [math(K>0)]이 존재할 때 정의된다. |
| [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow -\infty }{ f ( x ) } = -\infty)]은 임의의 [math(M>0)]에 대하여 [math(x<-K \Rightarrow f(x)<-M)] 이 성립하는 [math(K>0)]이 존재할 때 정의된다. |
3.5. 예제
| [문제] 엡실론-델타 논법을 사용하여 [math(\displaystyle \lim_{x\to 3}{(2x-1)}=5)]임을 보이시오. |
- [풀이 보기]
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임의의 적당한 양수 [math(\varepsilon)]이 존재하여
[math(\displaystyle 0<|x-3|<\delta \Rightarrow |(2x-1)-5|<\varepsilon )]
이 되게 하는 양수 [math(\delta)]를 찾자.
[math(\displaystyle |(2x-1)-5|=2|x-3| )]
이고,
[math(\displaystyle |x-3|<\frac{\varepsilon}{2} )]
따라서
[math(\displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{2} )]
로 놓으면 충분하다. 따라서 임의의 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여 위의 결과를 사용하면 [math(0<|x-3|<\delta)]일 때
[math(\displaystyle |x-3|<\frac{\varepsilon}{2} \quad \to \quad |(2x-1)-5|<\varepsilon )]
로
[math(\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x-1)=5 )]
임을 알 수 있다.
이를 일반화해서 [math(a\neq0)]일 때
[math( \displaystyle \delta = \frac{\epsilon}{| a |} )]
[math(a=0)]일 때 [math(\delta)]를 임의의 양수로 잡으면 임의의 실수 [math(a)], [math(b)]에 대하여
[math( \displaystyle \lim_{x \to m} (ax+b) = am+b )]
가 성립함을 알 수 있다.
4. 확장
4.1. 이변수함수에서의 정의
다변수함수의 일종인 이변수함수의 극한은 [math( \displaystyle \lim_{( x,\, y )\rightarrow ( a,\, b )}{f ( x,\, y )} = L)]로 쓴다. 대략적인 뜻은 [math( ( x,\, y ))]가 한없이 [math( ( a,\, b ))]에 가까워질 때 [math( f ( x,\, y ))]가 한없이 [math( L )]에 가까워진다는 뜻이다.일변수함수에서는 [math( x )]를 [math( a )]에 접근시키는 방법이 좌극한과 우극한으로 딱 두 가지밖에 없다. 하지만 평면에서 점 [math( ( x,\, y ))]가 점[math( ( a,\, b ))]로 가까워지는 방법은 무한히 많다. 굳이 직선경로를 따라가며 가까워질 필요가 없기 때문이다. 따라서 점 [math( ( x,\, y ))]가 이 무한한 수의 경로를 따라 [math( ( a,\, b ))]에 가까워지면 그러한 경로에 따른 함숫값 [math( f ( x,\, y ))]가 모두 [math( L )]에 가까워져야 한다.
위에 나와있는 직관력만 무한히 좋은 극한의 정의는 수학에서는 좋아하지 않으니 코시의 엡실론 델타로 다시 정의해야 한다. 하지만 코시의 엡실론 - 델타 논법은 일변수 함수에서의 극한이므로 그대로 적용하여 정의하기는 힘들다. 코시의 엡실론 델타를 변형시켜서 적용하면 다음과 같다.
| 이변수 함수 [math( f )]는 중심이 [math( (a,\, b ))]인 원의 내부에서 정의된다고 하자. 이때 [math( \displaystyle \lim_{( x,\, y )\rightarrow ( a,\, b )}{ f ( x,\, y )} = L)] 이란 임의의 [math( \varepsilon > 0 )]에 대하여 적당한 [math( \delta > 0 )]가 존재하여 [math( 0 < \sqrt{( x - a )^2 + ( y - b )^2 } < \delta \Rightarrow | f ( x,\, y)- L | < \varepsilon )] 이 성립한다는 의미이다. 이때 [math( L )]을 [math( ( x,\, y)= ( a,\, b ))]에서의 극한값이라 부른다. |
이를 일반화한 것이 미분형식이다.
4.2. 복소함수의 극한
복소수 자체가 이미 실수부와 허수부의 두 성분이 있기 때문에 실변수의 이변수함수의 극한과 비슷하다. 어떤 복소수 [math(z_0)]로 향하는 경로는 무한히 많기 때문에 이로 인해 복소함수는 실함수와는 다른 독특한 성질을 가진다.복소함수의 극한은 아래와 같이 정의된다.
| 모든 [math(\varepsilon > 0)]에 대하여, 적당한 [math(\delta > 0)]가 존재하여, [math(0 < \vert z - z_0 \vert < \delta \Rightarrow \vert f ( z ) - L \vert < \varepsilon)] 이면, [math(\displaystyle \lim_{z \rightarrow z_{0}}{f ( z )} = L)] 로 정의한다. |
4.3. 거리 공간에서의 정의
두 거리 공간 [math((X, \, d_X))], [math((Y,\, d_Y))]이 있을 때, [math(E \subset X)]의 극한점 [math(a \in E')]에서의 함수 [math(f:\, E\to Y)]의 극한은 다음과 같이 정의한다.([math(L\in Y)])| 임의의 [math( \varepsilon > 0 )]에 대해 [math( \delta > 0 )]가 존재하여 [math(d_X (x, \, a)<\delta)]인 모든 [math(x\in E)]에 대해 [math(d_Y(f(x),\, L)<\varepsilon)] 일 때 [math(\displaystyle \lim_{x\to a}{f ( x ) } = L)] 로 정의한다. |
즉, 일변수함수, 다변수함수 그리고 복소함수에서의 극한의 정의는 유클리드 거리 공간에서의 극한의 정의의 특수한 경우다.
5. 문제 풀이 팁
수렴하는 극한을 보이는 경우에 적절하게 델타를 잡아서 부등식 [math(|f(x)-L|<\varepsilon)]을 만족시키는지 보여야 하므로, 부등식에 대한 이해가 필요하다. 다음과 같은 방법들을 사용하자.- 삼각부등식 [math(|a+b|\leq |a|+|b|)]을 적절히 활용한다.
- 분모와 분자가 모두 양수일 때 분모가 작을수록 분수의 값이 커진다.
- 산술-기하평균 부등식: [math(x+y\geq 2\sqrt{xy})][15]
- [math(\delta=\text{min}\{\delta_{1},\,\delta_{2},\,\cdots, \delta_{n}\})] 꼴로 잡으면, [math(0<|x-a|<\delta_{1})]일 때에 성립하는 부등식도 사용할 수 있고, [math(0<|x-a|<\delta_{2})]일 때에 성립하는 부등식도 사용할 수 있고, [math(\cdots)].[16][17]
- [math(\delta\leq 1)]이면 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(\delta^{n}\leq\delta)]. 이 부등식이 필요한 경우 [math(\delta=\text{min}\{1,\,a\})]꼴로 잡으면 된다.[18]
- 함수가 유리식일 경우와 같이 실수 전체 중에서 정의되지 않는 부분이 생기는 경우 [math(\delta)]를 좁히고 가면 편하다. 예를 들어서 [math(f(x)=x^{-1})] 에서 [math(x\to 1)]로의 극한을 생각할 때, [math(\delta\geq 1)] 이면 [math(f(x))]가 한없이 커질 수 있으므로, [math(\epsilon)]이 아무리 크더라도 엡실론-델타 논법을 만족시키는 것은 불가능하다. 이런 경우 [math(\delta=\text{min}\{2^{-1},\,a\})]꼴로 잡으면 된다.
- [math(|f(x)-L|)]에서 점점 커지는 방향으로 부등식을 만들어야지, 작아지는 쪽의 부등식은 생각하면 안 된다. [math(|f(x)-L|)]보다 작은 값보다 [math(\epsilon)]이 커봤자 의미가 없기 때문.
- [math(|f(x)-L|)]에서 출발한 부등식의 변이 [math(x)]만에 대한 함수일 때 그 극한이 [math(0)]이 아니면 부등식 자체는 옳은 부등식일지 몰라도 엡실론-델타 논법에 대한 풀이로서는 방향을 잘못 잡은 것이다. 왜냐하면, 적절하게 구한 [math(\delta)]에 대해서, [math(0<|x-a|<\delta)] 일 때, [math(|f(x)-L|\leq g(x)<\varepsilon)]이 성립한다면, [math(g(x))]의 [math(x\to a)]에 대한 극한이 [math(0)]일 때의 엡실론-델타 논법도 만족시키기 때문이다.
- [math(\delta)]는 작게 잡을수록 [math(|f(x)-L|<\varepsilon)]를 만족시켜야 하는 [math(x)]의 범위가 줄어들어서 편하지만, 그렇다고 분수꼴로 너무 작게 잡으면 계산이 지저분해지므로, 계산이 편한 한도 내에서 작게 잡으면 된다.
그리고 한 가지 주의할 점은, 문제를 푸는 방향[19]과 실제로 풀이를 적는 방향이 거꾸로란 것. 즉, [math(\delta)]를 구하는 것은 부등식을 다 구하고 난 다음 최종적으로 구할 수 있지만, 실제로 풀이를 적을 때는 [math(\delta)]를 먼저 적어놓고 부등식을 써야 한다.[20]
6. 기타
- 엄밀하게 정의, 증명하는 방식을 추구하는 대한민국 교육 과정에서도 미적분 부분에 있어서는 받아들이면서 넘어가는 게 많은데,이 엡실론-델타 때문이다. 하지만 바꿔 말하면 이거 가지고 극한 관련해서는 다 활용한다는 뜻이므로 이걸 이해하는 것이 매우 중요하다.
- 다만 순수과학에서의 수학과 공학계열의 공학수학에서 수학을 바라보는 관점이 다르다 보니 공학에서 엡실론-델타 논법은 그렇게 중요하지 않다. 수학과에서는 엄밀한 정의에 바탕해 논리적으로 증명해가는 과정을 중요하게 생각하지만 공학에서의 수학은 효율적인 기계를 설계하는데 필요한 수단이기 때문이다. 가령 대학교 1학년 공학수학 과목에서는 라플라스 변환과 같은 유용한 수학적 도구는 증명 없이 그냥 사용한다. 엡실론-델타의 증명을 정확하게 이해하는 것이 효율적인 공학 설계에 도움을 주는 바가 없다보니 공학수학 과목에서 언급과 증명을 하긴 하지만 이후 이를 사용해서 어떤 정리를 증명하거나 하지는 않는다. 그래서 수학과생들만 듣는게 아닌 이공계 공통 교양과목이라는 특성상 미적분학 과목에서도 새로운 개념을 만나는 족족 무조건적으로 꺼내들지는 않는다. 이것을 진짜 무조건적으로 꺼내드는 과목은 해석학개론이라는 1~2학년 수학과/수학교육과생들이 듣는 전공수학 과목인데, 여기서는 오히려 집합론의 기초개념과 체의 공리, 순서공리, 완비성 공리 등을 동원하여 완비순서체로서의 실수를 구성하고 엡실론-N 논법과 위상수학적 기초개념까지 학습한 후에야 엡실론과 델타를 꺼내들기 때문에 본격적인 엡실론-델타는 중간고사 직전에나 배우기 시작하는 경우가 많다. 이 과목부터는 진짜로 정리와 증명의 연속이다.
- 대학교에 처음 들어가서 이를 보고 멘탈붕괴를 겪는 학생이 있는데 이는 지극히 정상이다. 물론 '이런 기본적인 것조차 이해를 못하느냐', '대체 고등학교 수학에선 뭘 가르치는거냐'라며 현재의 교육과정을 한탄하는 일부 수학과 교수들이 간간히 있긴 하지만[21], 대학교 입학 전까지는 보통 한두개 정도의 미지수와 한글로 서술하는 방식의 정의만 접한 학부생들이 알파벳과 논리 기호로만 이뤄진 정의를 처음 접하면 이해하지 못하는게 정상이다[22]. 엡실론-델타를 이해하기 위해서는 논리학에서 1차 술어 논리, 즉 양화사 개념에 대해 알고 있어야 한다. 당장 본 문서에 소개된 해당 논법의 정의가 보편양화사와 존재양화사를 모두 포함한다.[23] 수학과라면 집합론 강의에서 술어논리를 배우게 되니 당연히 알 수밖에 없지만, 엄밀한 수학적 증명을 요하지 않는 기타 전공(특히 공학)의 경우 잊고 지나가도 큰 문제는 없다.
- 이 정의가 충격으로 다가오는 이유는, 처음 보는 사람들이 언뜻 보기에 난해하기 때문이다. 고등학교 수준에서 대충 넘어갔던 내용이라 정의 자체가 이해하기 어렵고, 또 굳이 왜 어렵게 엡실론 델타를 사용하는지에 대한 이해도 어렵다는 것이 진입장벽이다. 그렇다고 무한소를 이용한 정의를 쓰자니 더 어렵다는 것이 문제지만. 특히 연속을 이해하는 게 골때리는 데 초실수체는 실수가 아닌 순서체이고 따라서 완비성이 없는 구멍이 숭숭난 체이기 때문.
- 세상에서 가장 재미있는 세계사로 유명한 수학 석사 '래리 고닉'의 또 다른 저서 '세상에서 가장 재미있는 미적분(The Cartoon Guide to Calculus)'에서는 적절한 구간 내에서 어떤 [math(\varepsilon)]값이라도 그에 해당하는 [math(\delta)]값을 보여줄 수 있다는 식으로 설명해 놓았다.
- 이산함수 버전으로 엡실론-N 논법이 있다. 쉽게 말하면 수열이 극한값에 수렴한다는 것은 아무리 작은 양수(엡실론)를 선택하더라도 이 수열의 '몇(자연수 N)번째 항'이후에 나오는 모든 항들의 값과 수렴값의 차이는 그 양수보다 작다는 것.
[1] 번역하자면 극한의 엡실론-델타(적) 정의 정도로 번역할 수 있다. 한국에선 일본 용어의 직역인 엡실론-델타 논법으로 유명하다.[2] 현대 수학에서는 무한소를 수의 체계로 받아들이면 극한의 개념이 존재하지 않는다고 본다. 즉 무한소가 존재하는 비표준적인 초실수체와 극한이 존재하는 완비적인 실수 체계는 방법론적으로 공존할 수 없다.[3] 물론 미분가능한 함수의 미분계수가 [math(0)]인 점은 극점일 필요조건일 뿐이지 충분조건은 아니므로, 이게 진짜 극점인지는 확인이 필요하다.[4] 다만 이 엡실론-델타는 코시 이전에 베르나르트 볼차노와 카를 바이어슈트라스가 먼저 제안한 컨셉이기는 하다. 그래서 대학에서 해석학입문 첫학기 수업을 들으면 극한의 엡실론-델타 정의를 접하기 전까지 빌드업 과정에서 이 분들이 언급된다. 볼차노-바이어슈트라스 정리라든가, 코시 수열이라든가...[5] 임의의 양수이므로 [math(0.0001)]이나 [math(1/10^{100})] 같은 무지막지하게 작은 수들도 [math(\varepsilon)]에 들어갈 수 있다.[6] 즉, [math(L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon)][7] 우극한일땐 [math(a<x<a+\delta)], 좌극한일땐 [math(a-\delta<x<a)][8] 주의해야 할 점은, 이 때의 [math(x)]의 극한은 반드시 정의역 내부에 존재해야 한다. 다시 말하면 정의역은 집적점의 집합으로 구성된다. 이게 중요한 이유는, 만약 [math(0<|x-a|<\delta=\emptyset)]이라고 하자. 그러면 [math(p \to q)]에서 [math(p)]가 거짓이라면 결론인 [math(q)]의 진리치와 무관하게 항상 명제가 참이라는 논리식에 따라 전제가 거짓이므로 결론인 [math(|f(x)-L|<\varepsilon)]의 값이 존재하든 존재하지 않든 무조건 참이 되어 버리는 상황이 발생한다. 극단적으로 말하면 극한값이 무수히 많아도 논리적으로 하자가 없어진다.[9] 엡실론과 델타 둘 다 임의의 양수이기 때문에 '거리'라는 표현을 쓸 수 있다.[10] 즉, 임의의 [math(\delta)]값에 대하여 적당한 [math(\varepsilon)]값을 생각하는 방식은 사용될 수 없다.[11] 출처[12] 무한대도 셀 수 있는 무한이 있고 셀 수 없는 무한이 있다. 그중 양수는 셀 수 없는 무한에 해당한다.[13] 주식의 상한가 하한가와 비슷한 정의이지만 다르다.[14] 단순하게 폐포 [math(\overline{B})]의 최소값 혹은 최대값이라고만 하면 성립되지 않는 예외가 있다. 수직선상 기준으로 집합 [math(X)]의 우측, 좌측으로 쪼갠 분할로 보는 것이 더 적당하다.[15] 이변수함수의 엡실론-델타 논법 같은 경우 자주 나오는 패턴.[16] 작은 구간의 원소는 당연히 그 구간을 포함하는 더 큰 구간의 원소도 되기 때문.[17] 이때 [math(\delta)]의 개수는 반드시 유한하여야 한다. 양수 무한 개의 하한은 0일 수 있기 때문이다.[18] 1 대신 1보다 작은 양수도 가능[19] [math(\delta)]를 구하는 것[20] 채점자는 [math(\delta)]를 어떻게 구했는지는 관심이 없다. 구한 [math(\delta)]가 엡실론-델타 논법을 만족시키는지만이 관심 사항이다.[21] 이는 '대체 왜 대학생들에게 기초수학(미적분, 행렬) 따위를 가르쳐야 하느냐'는 한탄이 함께 이어지는 주요한 레퍼토리 중 하나이다. 다만 엡실론-델타를 고교과정에서 다루는 나라는 전 세계 어디에서도 없다는 게 함정. 아마 입실론 델타 같은 엄밀한 증명을 배우지 않고 극한을 배우고 미적분학을 배우는 고교 과정에 대한 회의인 듯 하다.[22] 특히 문과 전공 대학생들이 여러가지 이유로 인해 이과 전공 대상의 대학수학을 들을때 가장 먼저 포강이 마려워지는 1차 위기 시점이다. 특히 수학과 전공 수업의 경우엔 자세한 설명도 없이 스킵하고 넘어가는 경우가 태반이기 때문에 포강 기간 이후 빈자리가 늘어나는걸 흔히 볼 수 있며, 이걸 교수님도 잘 알고 있기 때문에 혹시나 타과생이 수강신청 했을 경우 안쓰러운 눈빛으로 쳐다보는 모습을 간간히 볼 수 있다. 그나마 친절한 교수님들은 수강변경 기간동안 다른 과 수업으로 바꿀것을 추천하는 경우도 있지만, 언제나 호기로운 학생들은 있기 마련이다.[23] 사실 거의 모든 수학적 개념 정의에 양화사는 빠지지 않는다.