Geometry·Topology

[math( A )]는 보통위상공간 [math( \mathbb{R} )]의 열린집합들의 합집합이므로, [math( \mathbb{R} )]에서 열린집합이다. 이때, 임의의 열린구간들은 모두 린델뢰프하다. 왜냐하면 린델뢰프한 [math( \mathbb{R} )]과 위상 동형이기 때문이다. 그리고 [math( A )]는 이러한 열린구간들의 가산 합집합으로 나타낼 수 있다.[7] 린델뢰프한 공간의 가산 합집합 또한 린델뢰프하므로,[8] 결국 [math( A )]가 린델뢰프함이 증명된다. 따라서 [math( \mathcal{O} )]의 어떤 가산 부분집합 [math( \mathcal{U}_1 )]가 존재해 [math(\displaystyle A \subset \bigcup \mathcal{U_1} )]이다.

임의의 [math( x \in \mathbb{R} \setminus A )]를 잡자. 어쨋든 처음에 [math( \mathcal{O} )]는 전체 [math( S = (\mathbb{R}, \mathcal{T}) )]의 열린덮개라고 설정했으므로, 부분집합인 [math( \mathbb{R} \setminus A )]의 열린덮개이기도 하다. 따라서 [math( x )]를 포함하는 [math( \mathcal{O} )]의 원소 [math( (x \in )O_x \in \mathcal{O} )]가 존재한다. 이때, 각 [math( O_x )]들은 모두 [math( S )]에서 열린집합이므로, [math( x \in [x,a_x) \subset O_x )]인 반열린구간 [math( [x,a_x) )]가 존재한다. 이때, [math( (x,a_x) )]는 [math( \mathbb{R} )]에서 열린집합이고, [math( (x,a_x) \subset O_x )]이므로 [math( (x,a_x) \subset \mathrm{int}_{\mathbb{R}} O_x )]가 성립한다.[9] 여태까지 한 작업은 각 [math( x \in \mathbb{R} \setminus A )]마다 [math( (x,a_x) \subset \mathrm{int}_{\mathbb{R}}O_x )]인 열린구간 [math( (x,a_x) )]가 존재한다는 것이다. 이때, [math( x )]가 달라질 때마다 [math( (x,a_x) )]도 자명하게 달라지므로, 각 [math( x \in \mathbb{R} \setminus A )]들을 [math( (x,a_x) \subset \mathrm{int}_{\mathbb{R}}O_x \ )]인 각각의 열린구간 [math( (x,a_x) )]로 일대일 대응시킬 수 있다.
이제 [math( \mathbb{R} \setminus A )] 대신 일대일 대응된 [math( \{(x,a_x) \}_{x \in \mathbb{R} \setminus A} )]을 생각하자. 임의의 서로 다른 [math( (x,a_x), (y,a_y) )]를 잡자. 이 때 일반성을 잃지 않고 [math( x<y )]라고 가정할 수 있다. 가장 중요한 사실은 [math( (x,a_x) \cap (y,a_y) = \emptyset )]라는 것이다. 만약 둘이 겹친다고 하면 [math( x<y )]라 가정했으므로, [math( y \in (x,a_x) )]여야 한다. 이때 아래 두 가지 점이 상충된다.

1. [math( y \in \mathbb{R} \setminus A )]: [math( y )]는 [math(\displaystyle A = \bigcup_{O \in \mathcal{O}} \mathrm{int}_{\mathbb{R}} O )]의 원소가 아니므로, 임의의 [math( O \in \mathcal{O} )]에 대해 [math( y \notin O )]이어야 한다. 그러므로 항상 [math( y \notin \mathrm{int}_{\mathbb{R}}O (\subset O) )]이어야 하고, 따라서 [math( O_x )]에 대해서도 "[math( y \notin \mathrm{int}_{\mathbb{R}}O_x )]"이어야 한다.
2. [math( (x,a_x) \subset \mathrm{int}_{\mathbb{R}}O_x )]: 위에서 방금 얻었던 결론 [math( y \in (x,a_x) )]와 [math( (x,a_x) \subset \mathrm{int}_{\mathbb{R}} O_x )]를 합치면 "[math( y \in \mathrm{int}_{\mathbb{R}}O_x )]"를 얻는다.

따라서 각 [math( (x,a_x) \ne (y,a_y) )] 마다 [math( (x,a_x) \cap (y,a_y) = \emptyset )]여야 하고, 이는 [math( \{(x,a_x) \}_{x \in \mathbb{R} \setminus A} )]가 [math( \mathbb{R} )]에서 서로소인 열린집합들의 집합족임을 말한다.
이때 [math( \mathbb{R} )]은 분리 가능 공간이므로, [보조정리]에 의해 [math( \{(x,a_x) \}_{x \in \mathbb{R} \setminus A} )]는 가산집합이다. 따라서 이것에 일대일 대응이 되는 [math( \mathbb{R} \setminus A )] 또한 가산집합이다. 이에 따라 [math( \mathbb{R} \setminus A )]는 자명하게 린델뢰프 공간이고, [math( \mathcal{O} )]의 어떤 가산 부분집합 [math( \mathcal{U}_2 )]가 존재해 [math(\displaystyle \mathbb{R} \setminus A \subset \bigcup \mathcal{U}_2 )]이다.

이제 [math( S = (\mathbb{R}, \mathcal{T}) )]의 임의의 열린덮개 [math( \mathcal{O} )]에 대해, 각각 [math( A )]를 덮는 가산 부분덮개 [math( \mathcal{U}_1 )]와 [math( \mathbb{R} \setminus A )]를 덮는 가산 부분덮개 [math( \mathcal{U}_2 )]가 존재함을 보였다. [math( \mathcal{U}_1 )]과 [math( \mathcal{U}_2 )]이 모두 [math( \mathcal{O} )]의 부분집합이므로, 둘의 합집합 [math( \mathcal{U}_1 \cup \mathcal{U}_2 )] 또한 [math( \mathcal{O} )]의 부분집합이고, 유한 합집합이므로, 가선성이 유지된다. 마지막으로, [math(\displaystyle \bigcup(\mathcal{U}_1 \cup \mathcal{U}_2) = (\bigcup \mathcal{U}_1) \cup (\bigcup \mathcal{U}_2) = A \cup (\mathbb{R} \setminus A) = \mathbb{R} )]이므로 최종적으로 [math( \mathcal{U}_1 \cup \mathcal{U}_2 )]은 [math( S = (\mathbb{R}, \mathcal{T}) )]의 가산 부분덮개이다. 이에 따라 [math( S )]는 린델뢰프 공간이다. ■

조르겐프라이 직선 [math( S )]의 열린집합 [math( O )]에 대해, [math( O )]의 끝점 [math( E(O) )]는 [math( E(O) = O \setminus \mathrm{int}_{\mathbb{R}} O )]와 같이 정의된다. 이때, [math( \mathrm{int}_{\mathbb{R}}O )]은 [math( O )]의 보통위상공간 [math( \mathbb{R} )]에서의 내부이다.

즉, 예를 들어 열린집합 [math( [a,b) )]의 끝점은 [math( E([a,b)) = [a,b) \setminus (a,b) = \{a \} )]이다. 마찬가지로 [math( [1,2) \cup [3,4) )]의 끝점은 [math( \{1,3 \} )]이 출력된다.

증명에서 활용할 가장 중요한 결과는 임의의 [math( S )]의 열린집합 [math( O )]에 대해 끝점 [math( E(O) )]가 항상 가산집합이라는 것이다. 아래 과정에서 이것을 보인다. 먼저 임의의 [math( S )]의 열린집합 [math( O )]를 생각하자.
반열린구간들이 [math( S )]의 기저이므로, 임의의 [math( x \in E(O) )]에 대해, [math( x \in [x,b_x) \subset O )]인 반열린구간 [math( [x,b_x) )]가 존재한다. 이제 각 [math( x \in E(O) )]를 [math( x \in [x,b_x) \subset O )]인 반열린구간 [math( [x,b_x) )]에 하나씩 대응시키자. [math( x )]가 달라지면 [math( [x,b_x) )]도 달라지므로 이것은 일대일 대응이다.

이제 대응된 [math( \{[x,b_x) \}_{x \in E(O)} )]가 [math( S )]에서 서로소인 열린집합들의 집합족임을 보이자. 임의의 서로다른 [math( x,y(x \ne y) )]를 잡자. [math( [x,b_x) \cap [y,b_y) = \emptyset )]임을 보이기 위해 반대로 만약 [math( [x,b_x) \cap [y,b_y) \ne \emptyset )]라고 가정한다. 일반성을 잃지 않고 [math( x<y )]라고 가정할 수 있으므로, 둘이 겹친다면 반드시 [math( y \in [x,b_x) )]이어야 한다. 이때 아래 두 가지 결과가 서로 상충되며 모순이 생긴다.

1. [math( y \in E(O) )]: [math( \ x(\in E(O)) )]와 [math( [x,b_x) )]가 대응되어있는 상태이기 때문에, [math( [y,b_y) )]에 대해 [math( y \in E(O) )]이어야 한다. 즉, "[math( y \notin \mathrm{int}_{\mathbb{R}}O )]"이 성립한다.
2. [math( y \in [x,b_x) )]: [math( \ y \in [x,b_x) )]이고 [math( x \ne y )]이므로 [math( y \in (x,b_x) )]여야 한다. 이때, [math( y \in (x,b_x) \subset O )]가 성립하므로 결국 "[math( y \in \mathrm{int}_{\mathbb{R}}O )]"를 얻는다.

따라서 [math( \{[x,b_x) \}_{x \in E(O)} )]는 [math( S )]에서 서로소인 열린집합들의 집합족이며, [math( S )]가 분리 가능 공간이므로 [보조정리]에 의해 [math( \{[x,b_x) \}_{x \in E(O)} )]는 가산집합이고, 최종적으로 일대일 대응인 [math( E(O) )]가 가산집합이다.

귀류법을 이용하기 위해 반대로 [math( S )]가 제2가산 공간이라고 하고 [math( \{O_i \}_{i \in \mathbb{N}} )]를 [math( S )]의 가산 기저라고 하자. [math( \{O_i \}_{i \in \mathbb{N}} )]가 [math( S )]의 가산 기저이려면 합집합하여 반열린구간들을 만들 수 있어야 하므로, [math( S = (\mathbb{R}, \mathcal{T}) )]의 임의의 점 [math( x \in \mathbb{R} )]에 대해 [math( x \in O_i \subset [x,x+1) )]인 [math( O_i )]가 존재한다. 이것을 통해 [math( x \in E(O_i) )]임을 알 수 있다. 왜냐하면 첫번째로, 자명하게 [math( x \in O_i )]이다. 또한 두번째로, [math( O_i \subset [x,x+1) )]이므로 [math( \mathrm{int}_{\mathbb{R}}O_i \subset (x,x+1) = \mathrm{int}_{\mathbb{R}}[x,x+1) )]가 성립한다. 따라서 [math( x \notin \mathrm{int}_{\mathbb{R}}O_i )]를 얻는다. 종합하면 [math( x \in E(O_i) )]이다. 정리하면 [math( S )]의 임의의 점 [math( x \in \mathbb{R} )]마다 [math( x \in E(O_i) )]인 가산 기저의 원소 [math( O_i )]가 존재해야 한다. 다른 말로 하면 [math(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} E(O_i) = \mathbb{R} )]이다. 하지만 다른 한 편으로는 각 [math( i \in \mathbb{N} )]에 대해 [math( E(O_i) )]는 가산집합이므로, [math(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} E(O_i) )]는 가산집합의 가산 합집합이 되고 가산집합이다. [math( \mathbb{R} )]이 비가산이므로 이는 모순이다. 따라서 [math( S )]는 제2가산 공간이 아니다. ■

[math( \text{Define}: S \times S )]의 부분집합 [math( \mathcal{D} )]는 [math( \mathcal{D} = \{(x,-x): x \in \mathbb{R} \} )]와 같이 정의된다.

[math( \mathcal{D} )]가 닫힌집합임을 보이려면 임의의 [math( S \times S \setminus \mathcal{D} )]의 점 [math( x )]에 대해, [math( x \in O \subset S \times S \setminus \mathcal{D} )]인 열린근방 즉, [math( O \cap \mathcal{D} = \emptyset )]인 [math( x )]의 열린근방 [math( O )]가 존재함을 보이면 된다.

임의의 점 [math( (a,b) \in S \times S \setminus \mathcal{D} )]를 잡자. [math( (a,b) )]의 열린근방을 [math(\displaystyle [a,a+\frac{|a+b|}{\sqrt{2} }) \times [b,b+\frac{|a+b|}{\sqrt{2} }) )]로 잡는다. 그러면 [math(\displaystyle [a,a+\frac{|a+b|}{\sqrt{2} }) \times [b,b+\frac{|a+b|}{\sqrt{2} }) \cap \mathcal{D} = \emptyset )]가 성립한다. 이것은 [math( \mathcal{D} )]를 직선 [math( y=-x )]로 잡고 점 [math( (a,b) )]에서 [math( y=-x )]사이의 거리가 [math(\displaystyle \frac{|a+b|}{\sqrt{2} } )]임을 이용하여 보일 수 있다.

따라서 임의의 [math( S \times S \setminus \mathcal{D} )]의 점마다 [math( O \subset S \times S \setminus \mathcal{D} )]인 열린근방 [math( O )]를 찾을 수 있으므로, [math( S \times S \setminus \mathcal{D} )]는 이러한 [math( O )]들의 합집합이고, 열린집합이다. 따라서 [math( \mathcal{D} )]는 닫힌집합이다.

각 [math( (x,-x) \in \mathcal{D} )]들에 대하여 [math( [x,x+1) \times [-x,-x+1) )]는 [math( S \times S )]에서 열린집합이다. 따라서 교집합 [math( [x,x+1) \times [-x,-x+1) \cap \mathcal{D} )]는 [math( \mathcal{D} )]의 부분공간으로서 열린집합이다. [math( \text{x} )]가 이것의 원소라고 한다면 [math( \text{x} \in \mathcal{D} )]여야 하므로 우선 [math( \text{x} = (a,-a) )]이고, [math( \text{x} = (a,-a) \in [x,x+1) \times [-x,-x+1) )]이므로 각각 [math( a \in [x,x+1) )]와 [math( -a \in [-x,-x+1) )]라는 두 가지 정보를 얻는다.
즉, [math( x \leq a < x+1 )]이라고 하면 즉시 "[math( x \leq a )]"를 얻는다.
즉, [math( -x \leq -a < -x+1 )]이라고 하면 [math( -x \leq -a )]가 성립하고 결국 동치인 "[math( a \leq x )]"를 얻는다.
위의 두 가지 정보로부터 나온 사실을 조합하면 [math( a=x )]를 얻는다. 따라서 [math( [x,x+1) \times [-x,-x+1) \cap \mathcal{D} = \{(x,-x) \} )]라는 결론을 얻는다.(사실 이 결론은 좌표평면에 그려 기하학적으로 이해하는 게 더 쉬울 것이다.) 즉, [math( \mathcal{D} )]는 [math( S \times S )]의 부분공간으로서 이산공간이다. [math( \mathcal{D} )]가 이산위상이 부여된 비가산집합이므로, 자명하게 [math( \mathcal{D} )]는 린델뢰프 공간이 아니다.

만약 [math( S \times S )]가 린델뢰프 공간이라면 그것의 닫힌 부분집합인 [math( \mathcal{D} )] 또한 린델뢰프 공간이어야 하지만, 아님을 확인했으므로 결국 [math( S \times S )]는 린델뢰프 공간이 아니다. ■