음률

<colkeepall> 음악 이론과 화성학 Theory of Music and Harmony
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피타고라스 음률, 순정률, 평균율의 비교

<bgcolor=#fff,#1c1d1f>영상 1분 1초 부근에 등장하는 장3화음 비교에서 완전5도가 2:3, 장3도가 4:5로 간단한 정수비로만 이루어진 '순정률'에서는 맥놀이가 거의 느껴지지 않으며, 장3도만 64:81인 '피타고라스 음률'에서는 짧은 주기의 맥놀이를, '평균율'에서는 비교적 긴 주기의 맥놀이를 느낄 수 있다.

1. 소개2. 기초3. 순정률

3.1. 피타고라스 음률3.2. 5배음 한계 조율

4. 중간음률

4.1. 1/4 콤마 중간음률4.2. 1/3 콤마 중간음률

5. 자유음률

5.1. 평균율

6. 미분음률7. 음률 비교8. 기타

1. 소개

音律 | Temperament[1]

음률이란 사용할 음정 집합의 규정이다. 음률은 하나로 규정되지 않으며 이는 특정 음계에 대해서도 동일하다. 시대와 위치에 따라 널리 쓰이는 음률이 달랐으며, 현대에는 기준음 440hz의 옥타브당 12평균율이 표준적으로 쓰이고 있다.[2]

2. 기초

서양 음악사에서 음률의 기초를 닦은 것은 피타고라스이다. 피타고라스는 수학자이면서도 음악에 관심을 가져서, 음높이의 비율이 음정의 기본이 된다는 것을 밝혀냈다.[3] 그리고 그 비율이 간단할수록 더 듣기 좋은, 더 조화로운 화음이 된다는 것을 깨달았다. 물론 피타고라스가 주파수를 직접 잴 수는 없었을테니, 아래 나오는 내용들은 현 길이의 비율이나 관 길이의 비율로 생각해도 좋다.

다음은 배음의 단계에 따른 협화음정의 순서이다.

1:1 - 일치하는 두 음, 완전1도(Unison)이다. 가장 간단한 음정이다.
1:2 - 음높이가 2배 차이인 두 음, 완전8도(Octave)이다. 둔감한 이는 같은 음으로 듣기도 한다. 대부분의 음률[4]에서는 이 음정의 두 음을 서로 같은 음이름으로 간주한다.
2:3 - 완전5도(Perfect 5th)이다. 두 번째로 발생하는(3차) 배음과의 관계이며, 대부분의 음률에서 다른 음이름으로 간주하는 최초의 음정이다.
3:4 - 완전4도(Perfect 4th)이다. 완전8도와 완전5도에 종속된다[5]. 이 협화음정까지를 완전음정이라고 부른다.
4:5 - 장3도(Major 3rd)이다. 최초의 준완전음정이며, 완전5도와 함께 장3화음을 이룬다. 역사상의 음률은 이와 완전5도를 어떻게 어림하느냐에 따라 분류할 수 있다.
5:6 - 단3도(Minor 3rd)이다. 고전화성학 기준 마지막 준완전음정이며, 완전5도와 장3도에 종속된다[6].

이 문서 내에서 후술한 모든 음률은 1:2 음정을 같은 음이름으로 간주한다.

3. 순정률

純正律 | Just intonation

음들 사이의 주파수 비율(또는 음정)이 간단한 정수비인 음률(음계)을 말한다.

음 사이의 비율이 정수비이므로 몇몇 협화음은 말 그대로 완벽하지만, 수학적 이유로 필연적으로 발생하는 불협화음이나 튜닝에 있어서의 난점, 조옮김이 불가능하다는 치명적인 문제점 등으로 현재는 평균율에 표준의 자리를 내줬다. 하지만 국악의 음률을 비롯해 전통음악, 평균율 이전의 음악, 건반악기가 끼지 않는 클래식 음악에서는 자주 쓰였다.

현재는 거의 사용되고 있지 않다고는 하나, 그럼에도 성악이나 현악기 등 음의 높낮이가 고정되어 있지 않은 경우에는 상황에 따라 최대한 순정률에 가깝게 소리를 미세하게 조절하여 화음을 조화롭게 만드는 경우도 많다. 대표적인 예시가 바로 바이올린이나 첼로 등 프렛(음쇠)이 존재하지 않는 현악기들로, 이러한 악기들에서는 특정 상황에서는 순정률에 가까운 음높이로 연주를 할 것이 요구되기도 한다. 다만 근래의 피아노 등 건반악기가 포함되는 합주의 경우, 대체로는 아래의 평균율로 조율된 피아노에 맞춰서 소리내는 편이다.

3.1. 피타고라스 음률

피타고라스 音律 | Pythagorean Tuning

2:3(완전5도) 주파수 간격만을 사용하여 만들어낸 음률. 전설에 따르면 그리스의 수학자 피타고라스가 발견했다고 하여 이런 이름이 붙게 되었다. 그 간단한 원리와 산출의 쉬움 덕에 음악의 역사 이래 가장 먼저 사용되기 시작한 음률이기도 하다.

가장 큰 장점은 (대부분의) 완전5도 음정이 매우 정확하다는 것이다. 한 음에서 시작해서 2:3을 거듭하면[7] 주파수 비율이 1, 1.5, 2.25, 3.375, ... 인 음을 얻어나갈 수 있다. 이렇게 계속하다 보면, 12번을 반복한 이후에는 13번째 음이 시작음과 비슷한 음이 된다.[8] 얻은 각 음에 2를 적당히 곱하거나 나누어서 1과 2사이의 비율로 바꾸면, 한 옥타브가 12음으로 이루어진 음계를 얻을 수 있다. 이렇게 만들어진 12개의 음으로 이루어진 반음음계(크로매틱 스케일)를 피타고리안 크로매틱 스케일(Pythagorean chromatic scale)이라고 부른다.

늑대 5도와 이상적인 완전5도의 비교
영상 4초에 가장 처음 나오는 것이 늑대5도, 7초에 나오는 것이 이상적인 완전5도, 10초에 나오는 것이 늑대5도와 완전5도를 동시에 연주하였을 때의 맥놀이 현상이다.

그러나 완전5도 12개는 7옥타브와 비슷한 것이지, 완전히 같지 않다.[9] 저렇게 2:3 주파수 간격으로 음을 계속해서 산출하며 나머지 11개의 음을 거친 뒤 원래 출발하였던 음으로 돌아오게 되면 시작음과 도착음에 대략 24센트 만큼의 오차가 발생하게 되는데, 이 오차를 피타고리안 콤마(Pythagorean comma)라고 하며, 반음 간격의 대략 1/4, 한 옥타브의 약 1/53 만큼의 높이가 된다.[10] 피타고리안 콤마의 존재로 인해 한 옥타브 내 12개의 완전5도 음정 중 1개는 이 피타고리안 콤마만큼 오차가 발생하게 되며, 이렇게 깎인 음정을 늑대의 울음소리처럼 듣기 싫은 소리가 난다고 하여 늑대 5도(wolf 5th)라고 한다.

또한 순정한 장3도는 5:4, 피타고라스 음률에서의 장3도는 64:81[11]로, 피타고리안 음률에서의 장3도가 순정에 비해 1.25%만큼[12] 더 넓다. 이 차이를 신토닉 콤마(syntonic comma)라고 하며, 무시할 수 없는 수준이기에 피타고리안 음계에서는 장3도도 꽤 날카롭게 들린다.

이러한 피타고라스 음률의 구조적 문제점은 화성보다는 선율을 중시하는 교회음악과 단성음악이 주류였던 중세시대 초창기까지는 해도 큰 문제가 되지 않았다. 당대의 음악에는 화성적 요소가 거의 존재하지 않았을 뿐 더러, 중세시대 후반기에 어느정도는 화성적 요소를 갖춘 곡들이 등장하였을 때에도 선술한 늑대5도와 같은 불협화음들은 작곡가가 재량껏 회피하면 그만이었기 때문이다. 하지만 화성학 연구가 진행되고 다성음악이 고도로 발달하는 르네상스 시기에서부터 장3도가 포함된 3화음을 중시하며 피타고라스 음률은 사장되었다.

다음은 피타고리안 음률에서의 5음음계와[13] 장음계,[14] 반음계이다.

C	D	E	G	A	C
1:1	9:8	81:64	3:2	27:16	2:1

C	D	E	F	G	A	B	C
1:1	9:8	81:64	4:3	3:2	27:16	243:128	2:1

D♭

E♭

F♯

A♭

B♭

1:1

256:243

9:8

32:27

81:64

4:3

729:512

3:2

128:81

27:16

16:9

243:128

2:1

국악에서 음률을 산출하기 위해 사용한 삼분손익법 또한 근본적으로는 피타고리안 음률과 같다.

3.2. 5배음 한계 조율

五倍音限界調律 | 5-limit Tuning

2:3(완전5도)과 4:5(장3도)로 만들어진 음률. 가장 큰 장점은 3화음이 자연스럽다는 것. 이 장점으로 인해 르네상스 시대 순정률의 표준이 되었다.

C	D	E	F	G	A	B	C
1:1	9:8	5:4	4:3	3:2	5:3	15:8	2:1

특히 7음 장음계의 경우 모든 주요 3화음을 4:5:6으로 정확하게 맞출 수 있으며, 3개의 장3도 모두, 4개의 단3도 중 3개를 정확한 비율로 맞출 수 있다. 대부분의 주요 화음이 정확하기 때문에 사실상 표준이나 마찬가지이다. 단점은 D가 포함된 화음으로, D 27:40 A[15], D 27:32 F[16] 등이 신토닉 콤마만큼 깎인다.

이를 12음 음계로 확장하면 이렇게 된다.

D 10:9	A 5:3	E 5:4	B 15:8	F♯ 45:32
B♭ 16:9	F 4:3	C 1:1	G 3:2	D 9:8
G♭ 64:45	D♭ 16:15	A♭ 8:5	E♭ 6:5	B♭ 9:5

단점은 특정한 화음은 비율이 틀어져 사용할 수 없다는 것, 그리고 음의 간격이 동일하지 않아 조성을 바꿀 때 쓸 수 있는 화음과 없는 화음의 위치가 뒤죽박죽 섞여버린다는 것. 위 표에서 보이듯 D는 C에서 9:8(C→G→D)로도, 10:9(C→E→A→D)로도 얻을 수 있다. 9:8을 선택하면 A와 맞지 않게 되고, 10:9를 선택하면 G와 맞지 않게 된다. 또한 C-D의 비율과 D-E의 비율 역시 같은 장2도지만 달라지게 된다.

아치쳄발로의 연주 영상

이를 해결하기 위해 5배음 한계 조율은 동명이음을 사용한다. G와 맞는 9:8의 D와, A와 맞는 10:9의 D를 따로 두면 된다는 것. 위 영상처럼 르네상스 시기 만들어진 건반악기의 경우, 아예 동명이음을 각각의 키로 분리하여 연주하는 화성에 맞춰 다른 음을 누르도록 설계한 경우를 볼 수 있다. 그러나 여전히 조성을 바꾸는 것에는 제한이 남는다.

이와 관련해 이탈리아 수학자 Giovanni Battista Benedetti의 음악 퍼즐이 있다. G3→D4→A4→E4→C4→G4의 순서로 음을 맞추면 G4와 G3의 비가 2:1이 아니라 81:40이 된다. 이 차이는 위에서 말한 syntonic comma와 같다. 이것을 계속 연주하려고 하면 음고가 계속 올라가서 다른 이름의 음이 된다. 이런 상황까지 고려하여 건반악기를 만들 수는 없는 노릇이니, 작곡 단계에서 이와 같은 상황이 발생하는 전조를 피하게 되었다. 이후 전조의 제한을 벗어나기 위해 중간음률, 자유음률 등이 새로이 나타난다.

수학적으로는 가능한 두 음 사이의 비율을 5 이하의 소수(2, 3, 5)의 곱으로만 한정짓는 것으로, 마찬가지 원리로 7배음, 11배음 한계 조율 등의 더 복잡한 순정률을 구현할 수 있다. 예를 들어 7배음 한계 조율에는 B♭을 9:5가 아닌 7:4로 조율해서 4:5:6:7 비율의 자연스러운 딸림7화음을 나타낼 수 있다.[17][18]

4. 중간음률

中間音律(가온 音律) | Meantone Temperament

여러 협화음정 사이에 발생하는 콤마를 해결하기 위해, 콤마의 일정 부분씩을 협화음정의 비율에 가감하는 음률. 불협화음의 이유인 콤마를 여러 협화음정에 배분함으로써 불협화도를 줄이고, 전조의 제한을 일부 해결하는 방법이었으나, 장3도 3개와 옥타브 간의 차이를 무마하지 못하는 등 완전한 해방이 아니기에[19] 사용된 시기는 그다지 길지 않다.

4.1. 1/4 콤마 중간음률

1/4 콤마 中間音律 | 1/4-comma Meantone Temperament

순정한 장3도(4:5)를 위해, 완전5도 4개(64:81)와 장3도의 차이인 신토닉 콤마(80:81)의 1/4씩을 완전5도에서 제하는 음률. 이 음률에서는 완전5도 4개의 합과 순정 장3도의 음정이 같다.

C	D	E	F	G	A	B	C
1:1	[math(\sqrt{\smash[b]{5}})]:2	5:4	2⋅[math(5^{\smash{\frac 3 4}})]:5	[math(5^{\smash{\frac 1 4}})]:1	[math(5^{\smash{\frac 3 4}})]:2	[math(5^{\smash{\frac 5 4}})]:4	2:1

4.2. 1/3 콤마 중간음률

1/3 콤마 中間音律 | 1/3-comma Meantone Temperament

순정한 장6도(3:5)를 위해, 완전5도 3개(16:27)와 단3도의 차이인 신토닉 콤마(80:81)의 1/3씩을 완전5도에서 제하는 음률. 이 음률에서는 완전5도 3개의 합과 순정 장6도의 음정이 같다.

C	D	E	F	G	A	B	C
1:1	[math(\frac{10}{3}^{\smash{\frac 2 3}})]:2	[math(\frac{10}{3}^{\smash{\frac 4 3}})]:4	3·[math(\frac{10}{3}^{\smash{\frac 2 3}})]:5	[math(\frac{10}{3}^{\smash{\frac 1 3}})]:1	3:5	[math(\frac{10}{3}^{\smash{\frac 5 3}})]:4	2:1

5. 자유음률

自由均律 | Well temperament

한 옥타브를 자연 배음을 고려하지 않고 분할하는 조율 방식. 이 때 등분할 필요는 없다.

5.1. 평균율

平均律 | Equal temperament

한 옥타브를 자연 배음을 고려하지 않고 균일하게 등분하는 조율 방식. 혹은 표준적으로, 한 옥타브를 12개의 균일한 반음으로 등분하는 조율 방식. 현재 가장 널리 사용되고 있는 음률로, 현대적인 12음계 평균율은 한 옥타브를 1200센트로 나눈 뒤, 반음 하나의 높이를 100센트로 규정하고 있다.

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고정적 조율을 요하는 건반악기는 연주 중 음고 조절이 불가능하므로 조화롭게 연주될 수 있는 조율법이 필요하다. 특히 피아노의 조율은 반드시 평균율을 바탕으로 이루어지는데, 순정률의 단점인 조옮김이 불가능하는 점 탓에 다른 조성의 곡을 연주하려면 피아노를 새로 조율해야 하기 때문이다.

그래서 특정 조성에서의 완전한 협화를 포기하는 대신 모든 조성에서의 균등한 협화를 취해, 모든 음의 간격을 동일하게 만든 음률이 평균율이다. 이로 인해 피아노의 조율은 옥타브 관계를 제외한 모든 화음이 자연 배음에서 어긋났지만 오히려 음악적 흐름을 만드는 것은 자유로워졌다. 조금 더 과격하게 말하자면 평균율은 한 옥타브 음정을 제외한 그 어떤 음정도 제대로 맞지 않는 음률이지만, 순정률계 음률에서 발생하는 치명적인 구조적 문제들을 피하면서 건반악기로도 적당히 조화로운 음악을 만들어낼 수 있다는 장점으로 인해 순정률을 밀어내고 지금까지도 가장 널리 사용되는 음률이 되었다.

일반 초/중/고등학교 음악 이론에서는 C♯과 D♭이 같은 음(딴이름 한소리, 이명동음)이라고 가르치는 경우가 많은데, 이는 현대의 표준인 12평균율 체계를 기준으로 가르치기 때문이다.[20]

평균율의 보편화는 그 전까지 음악의 최대의 난제 중 하나였던 조옮김을 아무런 리스크나 제한 사항 없이도 할 수 있게 만들어주었으며, 이로부터 대략 4, 5세기가 지난 뒤 구닥다리라며 외면받았던 선법이 현대 선법이라는 이름으로 다시 음악적 요소 중 하나로서 주목받도록 하는 데 기여하였다.

수학적으로 평균율은 [math(2^{\frac{1}{12}})]의 공비를 가지는 등비수열이다. 다음은 평균율의 반음계를 소수 셋째 자리까지 나타낸 것이다.

C	D♭	D	E♭	E	F	F♯	G	A♭	A	B♭	B	C
1	1.059	1.122	1.189	1.256	1.334	1.414	1.498	1.587	1.682	1.782	1.888	2

평균율에서의 완전5도는 2:3보다 2센트가량 낮고,[21][22] 장3도는 4:5보다 14센트가량 낮다.

6. 미분음률

자세한 내용은 미분음 문서

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를

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#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[미분음#|]] 부분을

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7. 음률 비교

음률간 비교 C 기준, 단위: cent, 진동수의 비
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<colbgcolor=#ddd,#222> C 완전1도	0 1:1
D♭ 단2도	90.22 256:243	111.73 16:15	117.11 8⋅[math(5^{\smash{\frac 3 4}})]:25	100 2[math(^\frac{1}{12})]:1
D 장2도	-	182.40 10:9	193.16 [math(\sqrt{\smash[b]{5}})]:2	200 2[math(^\frac{1}{6})]:1
D 장2도	203.91 9:8		193.16 [math(\sqrt{\smash[b]{5}})]:2	200 2[math(^\frac{1}{6})]:1
E♭ 단3도	294.13 32:27	315.64 6:5	310.26 4⋅[math(5^{\smash{\frac 1 4}})]:5	300 2[math(^\frac{1}{4})]:1
E 장3도	407.82 81:64	386.31 5:4		400 2[math(^\frac{1}{3})]:1
F 완전4도	498.04 4:3		503.42 2⋅[math(5^{\smash{\frac 3 4}})]:5	500 2[math(^\frac{5}{12})]:1
F♯ 증4도	611.73 729:512	590.22 45:32	579.47 5[math(\sqrt{\smash[b]{5}})]:8	600 [math(\sqrt{2})]:1
G♭ 감5도	588.27 1024:729	609.78 64:45	620.53 16[math(\sqrt{\smash[b]{5}})]:25	600 [math(\sqrt{2})]:1
G 완전5도	701.96 3:2		696.58 [math(5^{\smash{\frac 1 4}})]:1	700 2[math(^\frac{7}{12})]:1
A♭ 단6도	792.18 128:81	813.69 8:5		800 2[math(^\frac{2}{3})]:1
A 장6도	905.87 27:16	884.36 5:3	889.74 [math(5^{\smash{\frac 3 4}})]:2	900 2[math(^\frac{3}{4})]:1
B♭ 단7도	996.09 16:9		1006.84 4⋅[math(\sqrt{\smash[b]{5}})]:5	1000 2[math(^\frac{5}{6})]:1
B♭ 단7도	-	1017.60 9:5	1006.84 4⋅[math(\sqrt{\smash[b]{5}})]:5	1000 2[math(^\frac{5}{6})]:1
B 장7도	1109.78 243:128	1088.27 15:8	1082.89 5⋅[math(5^{\smash{\frac 1 4}})]:4	1100 2[math(^\frac{11}{12})]:1
C' 옥타브	1200 2:1					}}}}}}}}}

8. 기타

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[1] 일상적인 대화에서는 기질, 성격 등을 뜻하며 보다 일상적인 용어로는 Tuning이 있다.[2] 이론적으로는 현대의 표준, 기준음 440hz의 옥타브당 12평균율을 제외한 모든 음률을 미분음으로 취급할 수 있다.[3] 전설에 따르면 피타고라스가 대장장이의 망치 소리가 조화롭기도 하고 그렇지 않기도 한 것을 보고 깨달음을 얻었다고 한다.[4] 특정 음률은 다른 두 음을 기준으로 삼을 때도 있다. 예시로, 보흘렌-피어스 음률이 있다.[5] (1:2) / (2:3) = (3:4)[6] (2:3) / (4:5) = (5:6)[7] 이는 5도권을 시계방향으로 도는 것과 정확하게 같다.[8] 정확히는 1.5^12 = 약 129.746으로, 2^7 = 128과 약 1.36%의 차이를 가진다. 즉 7옥타브가 완전5도 12개와 꽤 비슷한 것.[9] 완전5도 12개가 7옥타브보다 1.36% 더 높다.[10] 미분음 시스템 중에 한 옥타브를 53개의 음으로 균등히 나눈 53-EDO라는 음계가 있는데, 이 음계는 전술한 피타고리안 콤마를 기준으로 한 옥타브를 분할한 것이기에 이상적인 순정률에 매우 가깝다.[11] (2:3)^4 / (1:2)^2 = (64:81)[12] (64:81) / (4:5) = (80:81)[13] 2:3을 5번 쌓으면 약 7.59로, 2^3 = 8과 비슷하다. C에서 시작해 4번의 완전5도를 거쳐 C-G-D-A-E를 얻어 5음음계를 구성할 수 있다. 만들기도 쉽고 꽤나 그럴듯하기 때문에 세계 각지의 전통음악에서 비슷한 방식으로 5음을 만드는 음률들을 쉽게 찾아볼 수 있다.[14] 2:3을 7번 쌓으면 약 17.09로, 2^4 = 16과 비슷하다. F에서 시작해 6번의 완전5도를 거쳐 F-C-G-D-A-E-B를 얻어 장음계를 구성할 수 있다. 인접음 간 음정을 구해보면 5개는 9:8, 2개는 256:243임을 알 수 있는데, 이 중 큰 9:8을 온음, 작은 256:243을 반음이라고 부른다. 이렇게 얻은 음계를 피타고라스 다이아토닉 음계(Pythagorean diatonic scale)이라고 부른다.[15] (2:3) / (80:81) = (27:40)[16] (5:6) / (80:81) = (27:32)[17] 5배음 한계 조율에서 딸림7화음의 비율은 20:25:30:36이다.[18] 4:7 비율의 음정은 '자연7도(Harmonic Seventh)'라 한다.[19] C의 장 3도 아래로서 조율된 A♭과 E의 장 3도 위로써 조율된 G♯는 다른 음높이를 가진다. 이 다른 음높이를 가지는 두 음을 다 칠 수 있도록 하기 위해 중간음률로 조율된 일부 건반악기는 Split sharp라고 흰건반 사이에 2개의 검은건반이 있는 경우도 간혹 있다.[20] 12평균율에서의 이명동음이라고 가르치는 것은 사실 순정률에서는 모두 다른 음이다. 순정률로 조율할 경우 C의 장 3도 아래로서 조율된 A♭과 E의 장 3도 위로써 조율된 G♯는 다른 음높이를 가진다.[21] 사람이 인식할 수 있는 차이의 한계는 약 6센트로, 2센트는 무시할 수 있을 정도로 작은 차이이다.[22] 이보다 절대적 차이가 적은 최초의 평균율은 41평균율, 최소단위당 상대적 차이가 적은 최초의 평균율은 53평균율이다.

음률

1. 소개

2. 기초

3. 순정률

3.1. 피타고라스 음률

3.2. 5배음 한계 조율

4. 중간음률

4.1. 1/4 콤마 중간음률

4.2. 1/3 콤마 중간음률

5. 자유음률

5.1. 평균율

6. 미분음률

7. 음률 비교

8. 기타

분류