1. 개요
Christoffel symbole / Christoffel 記號시공간의 대칭성 조건을 전제로 거리함수 계량텐서(metric tensor)를 특정지을때 아인슈타인 방정식에서 조사되는 리치-쿠르바스트로(Ricci-Curbastro)의 리치 텐서(리치-쿠르바스트로 텐서)와 레비-치비타(Tullio Levi-Civita)의 레비-치비타 접속(또는 레비치비타 기호)을 계산하기 위해 크리스토펠 기호(독일어: Christoffel symbole, 영어: Christoffel symbol)를 사용한다. [다][2][나] 또한 유체역학에서 스트레스 텐서를 다루거나 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)을 다룰때 사용하기도 한다.[바]
한편 크리스토펠 기호는 리만 곡률 텐서와 리치 텐서를 공변보존에서 공변미분(covariant derivative) 그리고 리치 스칼라 곡률(Ricci scalar curvature)과는 리치 텐서(리치-쿠르바스트로 텐서)에서 관련있다.
좌표계로 다루어질수있는 기하학적 미분 계산이 일반적으로 변화에대한 결과값을 보여주는 것에 효율적이라면 이와는 다르게 그러한 결과값의 과정에 관여한 정보들을 보존하고 있는 계산이 경우에따라 필요에 의해서 요구된다. 크리스토펠 기호는 그러한 요구를 만족시킬수있고 따라서 크리스토펠 기호가 사용되는 곳은 그러한 경우로 이해해볼수있다.
1.1. 크리스토펠 기호의 정의
그리스 문자 중 세 번째 글자인 감마 대문자(Γ)를 사용한다.[math(\displaystyle \begin{aligned} [가][나]\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} g^{\lambda\alpha}(g_{\nu\alpha, \mu} + g_{\mu\alpha, \nu} - g_{\mu\nu, \alpha})\\ \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} g^{\lambda\alpha} \left( \dfrac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x_{\mu}} + \dfrac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x_{\nu}} - \dfrac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_{\alpha}} \right) \end{aligned})] |
여기서, [math(g_{\mu\nu})] 는 계량텐서 , [math(g^{\lambda\alpha})] 는 계량탠서의 역행렬 이며 따라서 [math(
\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} )]는 공간의 곡률에 대한 정보를 다룰수있게되는 크리스토펠 기호(곡률)로 이해해볼수있다.
1.2. 거리함수텐서(계량텐서)
따라서 계량텐서는 '공간-시간의 곡률과 거리의 정의를 제공'할수있게 되므로 거리함수텐서(메트릭텐서)로 이해해볼수있다.거리함수(metric) 벡터(vector)는 다음과 같이 정의되므로,
[math(\displaystyle \begin{aligned} g_{1} =\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{1}} \right)\\ g_{2} =\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{2}} \right) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} g_{12} =\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{1}} \right)\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{2}} \right)\\ g_{23} =\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{2}} \right)\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right)\\ g_{31} =\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right)\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{1}} \right) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} = \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{1} \partial x_{2}} \right) \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right) +\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{2}} \right) \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{1} \partial x_{3}} \right)\\ \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} = \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2} \partial x_{3}} \right) \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{1}} \right) +\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right) \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2} \partial x_{1}} \right)\\ \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} = \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{3} \partial x_{1}} \right) \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{2}} \right) + \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{1}} \right) \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{3} \partial x_{2}} \right) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \left(\dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right) = 2\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right) \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2} \partial x_{1}} \right) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right) = \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right) \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2} \partial x_{1}} \right) = \Gamma_{321} \end{aligned})] |
한편 [math( g_{34})]의 역원으로 [math( g^{34})]을 취해보면[10]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Gamma_{321} = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right)\\ g^{34} \Gamma_{321} = g^{34} \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right) = \Gamma_{21}^{4} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} g^{34} \Gamma_{321} =\Gamma_{21}^{4} = g^{34} \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right)\\ \Gamma_{21}^{4} \cdot g_{34} = g_{34} \cdot g^{34} \cdot \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right)\\ \Gamma_{21}^{4}g_{34} = \cancel{g_{34}} \cdot \cancel{g^{34}} \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right)\\ \Gamma_{21}^{4}g_{34} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right) = \Gamma_{321} \end{aligned})] |
관례에 따라 [math( \Gamma_{21}^{4}g_{34} = \Gamma_{321} )]를 제1종(1st kind)으로 그리고 역원 표현의 [math( g^{34}\Gamma_{321} = \Gamma_{21}^{4} )] 를 제2종(2nd kind)으로 사용하고 있다.[라][마][카][타]
2. 역사
엘빈 브루노 크리스토펠(독어: Elwin Bruno Christoffel)이 1869년에 독자적으로 거리함수 벡터에 대한 작동의 기초 이론을 발표한바있다.[아] [자] 크리스토펠 기호(독일어: Christoffel symbole, 영어: Christoffel symbol)는 그의 이름을 따서 명명되었다.[17]2.1. 초기 원형 크리스토펠 기호
엘빈 브루노 크리스토펠(독어: Elwin Bruno Christoffel)이 1869년에 그의 발표 논문에서 사용한 초기 원형 크리스토펠 기호는 다음과 같다.[아][자]| <colbgcolor=#efefef,#555555> 제1종 | [math( \dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial w_{gk}}{\partial x_h} + \dfrac{\partial w_{hk}}{\partial x_g} -\dfrac{\partial w_{gh}}{\partial x_k} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}gh \\ k \end{bmatrix})] |
| 제2종 | [math( \displaystyle \sum_k \begin{bmatrix}il \\ k \end{bmatrix} \dfrac{E_{rk}}{E} = \begin{Bmatrix} il \\ r \end{Bmatrix} )] |
2.2. 크리스토펠 기호의 항등식들
엘빈 브루노 크리스토펠(독어: Elwin Bruno Christoffel)이 1869년에 그의 발표 논문에서 크리스토펠 기호를 사용해 증명한 항등식들은 다음과 같다.[아][자]| <colbgcolor=#efefef,#555555> 제1종 | [math( \begin{bmatrix}hg \\ k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}gh \\ k \end{bmatrix} )] |
| [math( \dfrac{\partial w_{hk} }{\partial x_g} = \begin{bmatrix}gh \\ k \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}gk \\ h \end{bmatrix})] | |
| 제2종 | [math( \begin{Bmatrix} li \\ r \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} il \\ r \end{Bmatrix} )] |
2.3. 현대 크리스토펠 기호
제 2종 크리스토펠 기호의 초기원형 [math( \begin{Bmatrix} i k \\ l \end{Bmatrix} )]는 현대 리만기하학에서 [math( \begin{Bmatrix} l \\ ik \end{Bmatrix} = \Gamma^{l}_{ik} )]로 표현하고 있다.3. 리만 곡률 텐서
리만 곡률 텐서로도 잘 알려진 리만-크리스토펠 곡률 텐서는 아래와 같이 크리스토펠이 2종류로 표현해 1869년에 발표한바있다.[math(\displaystyle \begin{aligned} (gkhi) = \dfrac{\partial \begin{bmatrix}gh \\ k \end{bmatrix} }{\partial x_i} - \dfrac{\partial \begin{bmatrix}gi \\ k \end{bmatrix} }{\partial x_h} + \displaystyle\sum_{ab} \dfrac{E_{ab}}{E} \left( \begin{bmatrix}gi \\ a \end{bmatrix}\begin{bmatrix}hk \\ b \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}gh \\ a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ik \\ b \end{bmatrix} \right) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} (gkhi) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial w_{gi} }{\partial x_i \partial x_k} + \dfrac{\partial w_{hk} }{\partial x_g \partial x_i} -\dfrac{\partial w_{gh} }{\partial x_i \partial x_k} -\dfrac{\partial w_{ik} }{\partial x_g \partial x_h} \right) + \displaystyle\sum_{ab} \dfrac{E_{ab}}{E} \left( \begin{bmatrix}gi \\ a \end{bmatrix}\begin{bmatrix}hk \\ b \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}gh \\ a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ik \\ b \end{bmatrix} \right) \end{aligned})] |
4. 비앙키 항등식
1902년 루이지 비앙키(Luigi Bianchi)가 크리스토펠 기호를 도입해서 비앙키 항등식(Bianchi identities)을 구현할때 사용한 크리스토펠 기호는 다음과 같다.[마]| <colbgcolor=#efefef,#555555> 제1종 | [math(\begin{bmatrix} i k \\ l \end{bmatrix} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial a_{il}}{\partial x_{k} } + \dfrac{\partial a_{kl}}{\partial x_{i} } - \dfrac{\partial a_{ik}}{\partial x_{l} } \right))] |
| 제2종 | [math( \begin{Bmatrix} i k \\ \lambda \end{Bmatrix} = \displaystyle \sum_{l}^{1...n}A_{\lambda l} \begin{bmatrix} i k \\ l \end{bmatrix} )] |
||<table align=center><table bgcolor=#ffffff,#1f2023><colbgcolor=#efefef,#555555> 제1종 ||[math( \Gamma_{ris} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial g_{ir}}{\partial u^{s}} +\dfrac{\partial g_{is}}{\partial u^{r}} -\dfrac{\partial g_{rs}}{\partial u^{i}} \right) = \begin{bmatrix} r s \\ i \end{bmatrix} )] ||
| 제2종 | [math( \Gamma_{rs}^{i} = \displaystyle\sum_{h} g^{ik} \Gamma_{rks} =\displaystyle\sum_{h} g^{ik}\begin{bmatrix} r s \\ k \end{bmatrix} = \begin{Bmatrix} r s \\ i \end{Bmatrix} )] |
5. 힐베르트 액션
다비트 힐베르트(Hilbert, D.)가 맥스웰 방정식를 도입해서 힐베르트 액션(Hilbert action)을 구현할때 사용한 제2종 크리스토펠 기호는 아래와 같다.[라][math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{Bmatrix} k \varrho \\ \mu \end{Bmatrix} = \dfrac{1}{2} \sum\limits_{\sigma} g^{\mu\sigma} \left( g_{\kappa\sigma\varrho} + g_{\varrho\sigma\kappa} - g_{\kappa\varrho\sigma} \right) \end{aligned})] |
6. 리치-쿠르바스트로 텐서와 크리스토펠 기호
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\alpha}(g_{\nu\alpha, \mu} + g_{\mu\alpha, \nu} - g_{\mu\nu, \alpha})\\ R_{\mu\nu} = \Gamma^{\lambda}_{\mu\lambda, \nu} - \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu, \lambda} + \Gamma^{\rho}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\rho} -\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\Gamma^{\lambda}_{\lambda\rho} \end{aligned})] |
7. 유체역학
1947년 애리스토틀 D. 미할(Aristotle D. Michal)교수가 그의 저서 <Matrix and Tensor Calculus>(직역:매트릭스 그리고 텐서 미적분학)에서 나비에-스토크스 방정식을 표현할때 사용한 크리스토펠 기호는 다음과 같다.[바][27][math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{\partial u^i}{\partial t} = \nu g^{\alpha \beta} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial^2 u^i}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\beta}} + \Gamma^i_{\sigma \beta}\dfrac{\partial u^{\sigma}}{\partial x^{\alpha}} +\Gamma^i_{\sigma \alpha}\dfrac{\partial u^{\sigma}}{\partial x^{\beta}} - \Gamma^{\sigma}_{\alpha \beta}\dfrac{\partial u^{i}}{\partial x^{\sigma}} + \left(\dfrac{\partial \Gamma^i_{\sigma \alpha}}{\partial x^{\beta}} + \Gamma^i_{\gamma \beta}\Gamma^{\gamma}_{\sigma \alpha} - \Gamma^i_{\gamma \gamma}\Gamma^{\gamma}_{ \alpha \beta} \right)u^{\sigma} \end{bmatrix}\\ - u^{\alpha} \left( \dfrac{\partial u^i}{\partial x^{\alpha}} + \Gamma^i_{\sigma \alpha} u^{\sigma} \right) + \dfrac{\nu}{3}g^{i\alpha} \dfrac{\partial }{\partial x^{\alpha}} \left( \dfrac{\partial u^\beta}{\partial x^{\beta}} + \Gamma^{\beta}_{\sigma \beta} u^{\sigma} \right)- \dfrac{1}{\rho}g^{i\alpha} \dfrac{\partial P}{\partial x^{\alpha}} + X^i \end{aligned})] |
8. 크리스토펠기호 접속계수 행렬
시공간의 구형 대칭을 가정하고[math(ds^2 = + g_{00}dt^2 + g_{11}dr^2 + g_{22}d\theta^2 + g_{33}d\phi^2 )] 을 얻는다.
시그니처는 시공간을 변별하는 시간 성분(𝑡)과 공간 성분(r,θ,ϕ)에서 (-,+,+,+)를 도입한다.
따라서[math(ds^2 = - v dt^2 + \lambda dr^2 +r^2 d\theta^2 +r^2 \sin^2\theta d\phi^2 )]를 구성하고 다음 공간-시간(space-time)순서 계량텐서행렬을 얻을수있다.
[math(ds^2 = \lambda dr^2 +r^2 d\theta^2 +r^2 \sin^2\theta d\phi^2 - v dt^2 )]
[math( g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} +\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & +r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & +r^2 \sin^2\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -v \end{pmatrix} )]
계량텐서 역행렬은
[math( g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\lambda} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{r^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{r^2 \sin^2\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\dfrac{1}{v} \end{pmatrix} )]
이다.
문자(변수)를 그대로 처리해서 크리스토펠 심볼(Christoffel symbols)을 계산한다.
[math(\{ \mu\nu,\rho \} = \dfrac{1}{2}g^{\lambda \rho} \left( \dfrac{\partial g_{\mu\lambda}}{\partial x_{ \nu}} + \dfrac{\partial g_{\lambda\nu}}{\partial x_{\mu}} - \dfrac{\partial g_{\nu\mu}}{\partial x_{\lambda}} \right) )]이다. 그리고 [math( g^{\square^1 \square^2} , \square^1 \neq \square^2 = 0 )] 이므로
[math(\{ \mu\mu,\mu \} = \dfrac{1}{2}g^{\mu\mu} \dfrac{\partial g_{\mu\mu}}{\partial x_{\mu}} , \{ \mu\mu,\nu \} = -\dfrac{1}{2}g^{\nu\nu} \dfrac{\partial g_{\mu\mu}}{\partial x_{\nu}} ,\{ \mu\nu,\nu \} = \dfrac{1}{2}g^{\nu\nu} \dfrac{\partial g_{\nu\nu}}{\partial x_{\mu}} , \{ \mu\nu,\lambda \} = 0)]
9. 관련 문서
[다] 절대미분 계산의 방법과 그 응용 Ricci, M.M.G., and T., Levi-Civita. "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications." Mathematische Annalen 54 (1901): 125-201. http://eudml.org/doc/157997[2] Gravitation, Charles W. Misner , Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1973)W. H. Freemanhttp://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/PGF5292_2021/Misner_Gravitation.pdf[나] (영역 Lluís Bel) Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstenschen Theorie ,Karl Schwarzschild https://doi.org/10.48550/arXiv.0709.2257[바] \[직역:매트릭스 그리고 텐서 미적분학\] Matrix And Tensor Calculus:WITH APPLICATIONS TO MECHANICS, ELASTICITY, and AERONAUTICS , ARISTOTLE D. MICHAL(애리스토틀 D. 미할) 1947,New York: J. Wiley, (P99)17.RlEMANN-CHRISTOFFEL TENSOR §The Riemann-Christoffel Curvature Tensor. https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212664/page/n21/mode/2up[가] 아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서 (Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie) Royal Prussian Academy of Science (Reimer, Berlin 1916, pp. 189-196) 저자: 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild) https://ko.wikisource.org/wiki/%EC%95%84%EC%9D%B8%EC%8A%88%ED%83%80%EC%9D%B8%EC%9D%98_%EC%9D%B4%EB%A1%A0%EC%97%90_%EB%94%B0%EB%A5%B8_%EC%A7%88%EB%9F%89_%EC%A0%90%EC%9D%98_%EC%A4%91%EB%A0%A5%EC%9E%A5%EC%97%90_%EB%8C%80%ED%95%B4%EC%84%9C[나] [다] [8] Journal for History of Mathematics Volume 28 Issue 2 / Pages.103-115 / 2015 / 1226-931X(pISSN) On the Development of Differential Geometry from mid 19C to early 20C by Christoffel, Ricci and Levi-Civita 크리스토펠, 리치, 레비-치비타에 의한 19세기 중반부터 20세기 초반까지 미분기하학의 발전 Won, Dae Yeon (Dept. of Math., Duksung Women's Univ.) 원대연 https://doi.org/10.14477/jhm.2015.28.2.103[9] Gravitation, Charles W. Misner , Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1973)W. H. Freeman - §8.5. PARALLEL TRANSPORT, COVARIANT DERIVATIVE, CONNECTION COEFFICIENTS, GEODESICS 209Phttp://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/PGF5292_2021/Misner_Gravitation.pdf[10] On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory by K. Schwarzschild (Communicated January 13th, 1916 \[see above p. 42\]) translation and foreword by S. Antoci∗ and A. Loinger∗∗ §1 ,(3)https://arxiv.org/pdf/physics/9905030.pdf[라] Die Grundlagen der Physik . (Erste Mitteilung.)D. Hilbert,Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1915), Volume: 1915, page 395-408 (P400)https://eudml.org/doc/58946[마] Rendiconti by Accademia nazionale dei Lincei. Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali Language Italian Volume ser.5:v.11:sem.1 (1902) Matematica - Sui simboli a quattro indici e sulla curvatura di Riemann. Nota del Socio Luigi Bianchi P3-7https://archive.org/details/rendiconti51111902acca/page/n9/mode/2up[카] \[직역:리만 공간의 기하학\]La géométrie des espaces de Riemann ,Élie Cartan, Publisher: Gauthier-Villars, 1925, CHAPITRE IV. http://archive.numdam.org/article/MSM_192591_0.pdf P23[타] E. Cartan. — Leçons sur la Géométrie des Espaces de Riemann (Cahiers scientifiques publiés sous la direction de M. Gaston Julia. Fascicule II). — Un vol. gr. in-8° de vi-274 pages et 34 figures. Prix: 40 francs. Gauthier-Villars et Cie. Paris, 1928. https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1928:27::65[아] Christoffel, E. B. 1869(1). Über die Transformation der homogenen Differential Ausdrücke zweiten Grades. Journal fir die Reine und Angewandte Mathematik 70, 46-70.https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0070[자] Christoffel, E. B. 1869(2). Uber ein die Transformation homogener Differentialausdriicke zweiten ,Grades betreffendes Theorem. Journal fir die Reine und Angewandte Mathematik 70, 241-245.https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0070?tify={%22pages%22:[245],%22pan%22:{%22x%22:0.455,%22y%22:0.317},%22view%22:%22info%22,%22zoom%22:0.717}[17] HISTORIA MATHEMATICA 17 (1990). 223-255 The Missing Link: Riemann’s ‘Commentatio,”Differential Geometry and Tensor Analysis RUTH FARWELL AND CHRISTOPHERKNEE, *Department of Mathematics and tDepartment of Sociology, St Mary’s College, Strawberry Hill, Twickenham TWl 4SX, England https://core.ac.uk/download/pdf/81196658.pdf[아] [자] [아] [자] [마] [카] [타] [라] [바] [27] Matrix And Tensor Calculus with applications to mechanics,elasticity and aeronautics ,Aristotle D. Michal,Full text 1947 versionhttps://archive.org/stream/in.ernet.dli.2015.212664/2015.212664.Matrix-And_djvu.txt