연속변형성

<rowcolor=#fff> '기하학·위상수학 Geometry·Topology '
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"	평면기하학에 대한 내용은 틀:평면기하학 참고.
기본 대상
공리		유클리드 기하학 · 비유클리드 기하학
도형	기본 도형	평면 · 부피 · 꼬인 위치 · 각기둥 · 각뿔 · 원기둥 · 원뿔 · 구 (공 모양) · 전개도 · 겨냥도 · 다면체 (정다면체) · 정사영 · 대칭(선대칭 · 점대칭)
	곡면	타원면 · 타원포물면 · 쌍곡포물면 · 원환면
	프랙털 도형	시에르핀스키 삼각형 · 시에르핀스키 사각형(멩거 스펀지) · 망델브로 집합 · 코흐 곡선 · 드래곤 커브
	기타	다포체 · 초구 · 준구 · 일각형 · 이각형
다루는 대상과 주요 토픽
대수기하학		대수다양체 · 층 · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브 · 타원곡선
미분기하학		미분다양체 · 측지선 · 곡률(스칼라 곡률 · 리만-크리스토펠 곡률 텐서 · 리치 텐서) · 열률 · 텐서 · 쌍곡 공간(쌍곡삼각형 · 푸앵카레 원반) · 타원 공간(구면삼각형) · 아핀접속
위상수학	위상 공간	유계 · 옹골 집합 · 다양체 · 택시 거리 공간 · 연결 공간 · 위상수학자의 사인곡선
	위상도형	사영평면 · 뫼비우스의 띠 · 클라인의 병 · 매듭(/목록)
	주요 성질·정리	분리공리 · 우리손 거리화정리(우리손 보조정리) · 베르 범주 정리
대수적 위상수학		호모토피 · 사슬 복합체 · 호몰로지 이론(호몰로지 · 코호몰로지) · 사상류 군 · 닐센-서스턴 분류
기타		차원 · 좌표계 · 거리함수 · 그물 · 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제 · 사이클로이드
정리·추측
실베스터-갈라이 정리 · 해안선 역설 · 바나흐-타르스키 역설 · 라이데마이스터 변환 · 오일러 지표 · 푸앵카레 정리 · 페르마의 마지막 정리 · 호지 추측^미해결 · 버츠와 스위너톤-다이어 추측^미해결
분야
논증기하학 · 대수기하학 · 미분기하학 · 해석 기하학 · 매듭이론 · 프랙털 이론 · 정보기하학 · 위상 데이터분석			}}}}}}}}}

[[대수학\|대수학 Algebra ]]
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"	이론
기본 대상		연산 · 항등식(가비의 이 · 곱셈 공식(통분 · 약분) · 인수분해) · 부등식(절대부등식) · 방정식(/풀이 · 근(무연근 · 허근 · 비에트의 정리(근과 계수의 관계) · 제곱근(이중근호 · 개방법) · 환원 불능) · 부정 · 불능) · 비례식 · 다항식 · 산술(시계 산술)
수 체계		자연수(소수) · 정수(음수) · 유리수 · 실수(무리수(대수적 무리수 · 초월수) · 초실수) · 복소수(허수) · 사원수 · 팔원수 · 대수적 수 · 벡터 공간
다루는 대상과 주요 토픽
대수적 구조
	군(group)	대칭군 · 기본군 · 자유군 · 리 군 · 괴물군 · 점군 · 순환군 · 군의 작용 · 동형 정리 · 실로우 정리
	환(ring)	아이디얼
	체(field)	갈루아 이론 · 분해체
	대수	가환대수 · 리 대수 · 불 대수(크로네커 델타)
마그마·반군·모노이드		자유 모노이드 · 가환 모노이드
선형대수학		벡터 · 행렬 · 텐서(텐서곱) · 벡터 공간(선형사상) · 가군(module) · 내적 공간(그람-슈미트 과정 · 수반 연산자)
정리·추측
대수학의 기본정리 · 나머지 정리 · 유클리드 호제법 · 부분분수분해 · PID 위의 유한생성 가군의 기본정리 · 산술·기하 평균 부등식 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 호지 추측^미해결 · 가환대수에서의 호몰로지 추측^미해결
관련 하위 분야
범주론		함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 · 토포스 이론 · 타입 이론
대수 위상수학		연속변형성 · 사슬 복합체 · 호몰로지 대수학(호몰로지 · 코호몰로지) · mapping class group · 닐센-서스턴 분류
대수기하학		대수다양체 · 층 · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브
대수적 정수론		타원곡선 · 디오판토스 방정식 · 유리근 정리 · 모듈러성 정리
가환대수학		스펙트럼 정리
표현론		실베스터 행렬
기타 및 관련 문서
수학 관련 정보 · 추상화 · 1학년의 꿈 · 노름 · 혼합계산 · 분배법칙 · 교환법칙 · 결합법칙 · 교재			}}}}}}}}}

1. 개요2. 정의3. 성질

3.1. 연속변형류(Homotopy class)3.2. 연속변형 유형(Homotopy type)

4. 관련 개념들

4.1. 경로 연속변형(Path homotopy)4.2. 부분공간을 고정한 연속변형(Homotopy relative to subspace)4.3. 변형수축(Deformation retract)4.4. 동위(Isotopy)

1. 개요

파일:external/upload.wikimedia.org/HomotopySmall.gif

▲ 연속변형의 일종인 경로 연속변형. 출처

Homotopy · 連續變形(性)

연속변형성 혹은 연속변형은 대수적 위상수학의 연구 주제 중 하나로 특정 위상공간에 주어진 두 연속함수 사이의 연속적인 변화를 주는 함수, 혹은 그 성질을 지칭하는 용어이다.

2. 정의

[ 정의 ] 연속변형성(Homotopy)

위상 공간 [math(X, Y)]와 연속함수 [math(f, g: X \rightarrow Y)]가 주어져 있다고 하자. 이 때 함수 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]가 존재하여 다음 성질들을 만족한다면, 두 연속함수 [math(f, g)]가 [math(H)]에 의해 연속변형적(homotopic by [math(H)])이라 정의한다.

함수 [math(H)]는 연속함수이다.
[math(\forall x \in X, \ \ H(x, t) = \begin{cases} f(x), & \textsf{if }t = 0 \\ g(x), & \textsf{if }t = 1 \end{cases})]

이 때, 연속함수 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]를 함수 [math(f, g)] 사이의 연속변형(Homotopy)이라 하고, [math(f \simeq_H g)][1]라 쓴다.

구간 [math(I = [0, 1])]의 원소를 시간으로 보면, [math(t \in I)]가 흐름에 따라 함수 [math(h_t: x \mapsto H(x, t))]가 결정된다고 볼 수 있다. 연속변형이라는 것은 이 함수의 모임 [math(\left\{ h_t \right\} _{t \in I})]가 [math(f = h_0)]부터 [math(g = h_1)]까지 연속성을 유지하면서 옮겨가는 것이라고 이해할 수 있다.[2]

3. 성질

3.1. 연속변형류(Homotopy class)

[ 명제 ] 위상 공간 [math(X, Y)] 사이의 연속함수들의 집합 [math(\mathcal C(X, Y))]에 관계 [math(\sim)]를

[math(f \sim g \ \ \Leftrightarrow \ \ f, g)] 가 연속변형적 [math(\ \ \Leftrightarrow \ \ f \simeq g)]

으로 주면, [math(\sim)]은 [math(\mathcal C(X, Y))] 위의 동치관계.

[ 증명 ]

[math(f, g, h \in \mathcal C(X, Y))]라 하자.

[math(f \sim f)] : [math(H(x, t) = f(x))]라 정의하면 된다.[3]
[math(f \simeq_H g \ \Rightarrow \ g \sim f)] : [math(H'(x, t) = H(x, 1 - t))]라 정의하면 된다.[4]
[math(f \simeq_{H_1} g, g \simeq_{H_2} h \ \Rightarrow \ f \sim g)] : [math(H_3(x, t) = \begin{cases} H_1(x, 2t), & \textsf{if }0 \leq t \leq \dfrac 12 \\ H_2(x, 2t - 1), & \textsf{if }\dfrac 12 \leq t \leq 1 \end{cases})]라 정의하면 된다.[5]□

[ 정의 ] 연속변형류(Homotopy class)

위 사실로부터 얻어지는 상집합 [math(\mathcal C(X, Y) / \sim)]에 대하여, 각 함수 [math(f \in \mathcal C(X, Y))]는 동치류 [math([f] \in \mathcal C(X, Y) / \sim)] 를 가진다. 이 [math([f])]를 [math(f)]의 연속변형류(Homotopy class)라고 정의한다.

정의에 따르면, [math([f] = [g] \Leftrightarrow f \simeq g)] 이다.

3.2. 연속변형 유형(Homotopy type)

[ 정의 ] 위상 공간 [math(X, Y)] 사이의 연속함수 [math(f: X \to Y)]에 대하여, 다음을 만족하는 연속함수 [math(g: Y \to X)]가 존재할 때 [math(f)]를 연속변형 동치(Homotopy equivalence), [math(g)]를 [math(f)]의 연속변형 역원(Homotopy inverse)라 한다.

[math([fg] = [\text{id}_Y], [gf] = [\text{id}_X])]

이 때, 두 공간 [math(X, Y)]는 서로 연속변형 동치(Homotopy equivalent)라 부른다.[6] 서로 같은 연속변형 유형(Homotopy type)을 가진다고 표현하기도 한다.

4. 관련 개념들

4.1. 경로 연속변형(Path homotopy)

[ 정의 ] 경로 연속변형(Path homotopy)

위상 공간 [math(X)]와 경로 [math(f, g: [0, 1] \rightarrow X)]가 주어져 있다고 하자. 이 때 함수 [math(H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow X)]가 존재하여 다음 성질들을 만족한다면, [math(H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow Y)]를 경로 [math(f, g)] 사이의 경로 연속변형(Path homotopy)이라 부른다.[7]

함수 [math(H)]는 연속함수이다.
[math(\forall s \in [0, 1], \ \ H(s, t) = \begin{cases} f(s), & \textsf{if }t = 0 \\ g(s), & \textsf{if }t = 1 \end{cases})]

위에서 정의한 연속변형의 경로 버전. 함수의 정의역이 일반 공간이 아닌 구간 [math([0, 1])]로 바뀐 것으로, 당연히 연속변형의 일종이다. 따로 정의할 필요가 있을까 싶겠지만, 대수적 위상수학의 기본군(Fundamental group)을 다룰 때는 경로 연속변형만을 취급하는 일이 많다.

4.2. 부분공간을 고정한 연속변형(Homotopy relative to subspace)

[ 정의 ] [math(A)]를 고정한 연속변형(Homotopy relative to [math(A)])

위상 공간 [math(X, Y)], 부분 공간 [math(A \subset X)]와 연속함수 [math(f, g: X \rightarrow Y)], 연속변형 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]가 주어져 있다고 하자. 만일 [math(H)]가 다음 조건을 만족하면, 연속변형 [math(H)]를 [math(A)]를 고정한 연속변형(Homotopy relative to [math(A)])이라 한다.

[math(\forall x \in A, \ \ H(x, t) = f(x) = g(x))][8]

이 때 [math(f \simeq_H g \textsf{ rel }A)]나 [math(f \simeq g \textsf{ rel }A)]로 나타낸다.

4.3. 변형수축(Deformation retract)

[ 정의 ] 변형수축(Deformation retract)

위상 공간 [math(X)]와 부분 공간 [math(A \subset X)], 연속함수 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow X)]가 주어져 있다고 하자. 만일 [math(H)]가 다음 조건을 만족하면, [math(A)]를 [math(X)]의 변형수축(Deformation retract of [math(X)])라 한다.

[math(\forall x \in X, \ \ H(x, 0) = x = \text{id}_X(x))]
[math(\forall x \in X, \ \ H(x, 1) \in A)]
[math(\forall a \in A \ \forall t \in [0, 1], \ \ H(a, t) = a = \text{id}_A(a))]

어떤 위상 공간이 그 부분공간으로 연속적 수축이 됨을 나타내는 용어. 단, 교재별로 세 번째 조건을 [math(H(a, t) \in A)]로 약화시킨 것을 정의로 삼기도 한다.[9] 이렇게 두 공간 사이의 변형수축이 존재하면, 두 공간의 기본군이 같아지며 이를 이용하여 기본군을 계산하는 경우가 많다.

4.4. 동위(Isotopy)

[ 정의 ] 동위(Isotopy)

위상 공간 [math(X, Y)]와 매장(Embedding) [math(f, g: X \rightarrow Y)], 연속변형 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]가 주어져 있다고 하자. 만일 [math(H)]가 다음 조건을 만족하면, 연속변형 [math(H)]를 동위(Isotopy)라고 한다.

[math(\forall t \in [0, 1], \ \ h_t(x) = H(x, t))]로 정의된 [math(h_t: X \rightarrow Y)]도 매장이다.

[1] 혼란의 여지가 없다면, [math(f \simeq g)]의 표현도 사용한다.[2] 그렇기 때문에 연속변형을 간단하게 [math(h_t: X \to Y(t \in I))]라고 표기하기도 한다. 단, 이 표기는 [math(t)]에 의한 연속성이 명시적으로 표현되지 않아 혼란을 초래할 수 있으므로 주의가 필요하다.[3] 시간의 흐름과 무관하게 움직이지 않는다고 생각.[4] Homotopy [math(H)]의 시간을 거슬러 움직인다고 생각.[5] Homotopy [math(H_1, H_2)]를 2배의 속도로 따라간다고 생각. 함수의 연속성은 붙임 보조정리로부터 얻어진다.[6] [math(f)]의 이름도 연속변형 동치이지만, 함수와 공간의 차이가 있으므로 구별이 된다.[7] 두 경로 [math(f, g)]는 [math(H)]에 의해 연속변형적(homotopic by [math(H)])인 것은 위 정의에 의해 명백. [math(f \simeq_H g)]나 [math(f \simeq g)]의 표현도 공유한다.[8] 물론 이것이 성립하려면, [math(f \rvert_A \equiv g \rvert_A)]이어야 한다.[9] 이렇게 정의할 경우, 본 문단에서 정의하는 것을 강한 변형수축(Strong deformation retract)라고 부른다.

연속변형성

1. 개요

2. 정의

3. 성질

3.1. 연속변형류(Homotopy class)

3.2. 연속변형 유형(Homotopy type)

4. 관련 개념들

4.1. 경로 연속변형(Path homotopy)

4.2. 부분공간을 고정한 연속변형(Homotopy relative to subspace)

4.3. 변형수축(Deformation retract)

4.4. 동위(Isotopy)

분류